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【知识点1】完全平方公式
○两个数的和（或差）的
○两个数的和（或差）的
平方
，等于它们的平方和
，加上（或减去）它们的积的2倍
.即 $(a\pm b)^2=$$a^2\pm2ab+b^2$
.答案
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍，即$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$
解析
【分析】
本题考查完全平方公式的基础概念识记，解题时需回忆课本中完全平方公式的标准表述：首先明确公式描述的是两个数和（或差）的平方的运算结果，运算结果由两数的平方和，以及两数积的2倍两部分构成，和的情况就加2倍积，差的情况就减2倍积，最后对应转化为代数表达式即可完成填空。
【解析】
根据完全平方公式的定义依次填空：
第一个空填“平方”，第二个空填“平方和”，第三个空填“积的2倍”，第四个空填“$a^2\pm2ab+b^2$”，完整表述为：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍，即$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$。
【答案】
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍，即$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$
【知识点】
完全平方公式；整式乘法
【点评】
本题属于基础识记类习题，核心考察对完全平方公式的文字描述和代数形式的掌握程度，熟练记忆该公式是后续开展整式化简、因式分解等运算的重要前提。
【难度系数】
0.9
本题考查完全平方公式的基础概念识记，解题时需回忆课本中完全平方公式的标准表述：首先明确公式描述的是两个数和（或差）的平方的运算结果，运算结果由两数的平方和，以及两数积的2倍两部分构成，和的情况就加2倍积，差的情况就减2倍积，最后对应转化为代数表达式即可完成填空。
【解析】
根据完全平方公式的定义依次填空：
第一个空填“平方”，第二个空填“平方和”，第三个空填“积的2倍”，第四个空填“$a^2\pm2ab+b^2$”，完整表述为：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍，即$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$。
【答案】
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍，即$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$
【知识点】
完全平方公式；整式乘法
【点评】
本题属于基础识记类习题，核心考察对完全平方公式的文字描述和代数形式的掌握程度，熟练记忆该公式是后续开展整式化简、因式分解等运算的重要前提。
【难度系数】
0.9
1. 下列计算正确的是（
A.$(x+y)^2=x^2+y^2$
B.$(x-y)^2=x^2-2xy-y^2$
C.$(x+2y)(x-2y)=x^2-2y^2$
D.$(-x+y)^2=x^2-2xy+y^2$
D
）A.$(x+y)^2=x^2+y^2$
B.$(x-y)^2=x^2-2xy-y^2$
C.$(x+2y)(x-2y)=x^2-2y^2$
D.$(-x+y)^2=x^2-2xy+y^2$
答案
1. D
解析
【分析】
本题考查整式乘法公式的应用，解题时首先回忆完全平方公式和平方差公式的标准形式，再逐一将各选项按照对应公式展开，将展开结果和选项给出的式子对比，即可判断对错。
【解析】
我们先明确两个整式乘法的核心公式：
1. 完全平方公式：$\boldsymbol{(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2}$
2. 平方差公式：$\boldsymbol{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$
逐个分析选项：
选项A：$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$，选项结果缺少$2xy$项，计算错误。
选项B：$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$，选项结果最后一项符号错误，计算错误。
选项C：$(x+2y)(x-2y)=x^2-(2y)^2=x^2-4y^2$，选项结果中$y^2$的系数错误，计算错误。
选项D：$(-x+y)^2=(y-x)^2=x^2-2xy+y^2$，和选项给出的结果一致，计算正确。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式；平方差公式
【点评】
本题是整式乘法公式的基础考察题，易错点为混淆完全平方公式的项的符号、遗漏平方差公式中系数的平方运算，熟练记忆公式的标准形式就能快速解题。
【难度系数】
0.8
本题考查整式乘法公式的应用，解题时首先回忆完全平方公式和平方差公式的标准形式，再逐一将各选项按照对应公式展开，将展开结果和选项给出的式子对比，即可判断对错。
【解析】
我们先明确两个整式乘法的核心公式：
1. 完全平方公式：$\boldsymbol{(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2}$
2. 平方差公式：$\boldsymbol{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$
逐个分析选项：
选项A：$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$，选项结果缺少$2xy$项，计算错误。
选项B：$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$，选项结果最后一项符号错误，计算错误。
选项C：$(x+2y)(x-2y)=x^2-(2y)^2=x^2-4y^2$，选项结果中$y^2$的系数错误，计算错误。
选项D：$(-x+y)^2=(y-x)^2=x^2-2xy+y^2$，和选项给出的结果一致，计算正确。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式；平方差公式
【点评】
本题是整式乘法公式的基础考察题，易错点为混淆完全平方公式的项的符号、遗漏平方差公式中系数的平方运算，熟练记忆公式的标准形式就能快速解题。
【难度系数】
0.8
2. 如果$x^2+kx+81$是一个完全平方式，那么$k$的值是（
A.9
B.-9
C.9或-9
D.18或-18
D
）A.9
B.-9
C.9或-9
D.18或-18
答案
2. D
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆完全平方式的结构特征：完全平方式有两种形式，分别是$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$和$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，即首尾是两个平方项，中间项是首尾底数乘积的2倍，符号可正可负。解题时先确定给定多项式的首尾平方项对应的底数，再根据中间项的两种可能计算k的值，注意不要漏解。
【解析】
根据完全平方公式的两种形式：$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$。
已知$x^2+kx+81$是完全平方式，其中首项$x^2=(x)^2$，末项$81=9^2$，对照公式可得：
中间项$kx=\pm 2× x×9=\pm18x$
等式两边同时除以$x$（$x$为代数式变量，不为0），可得$k=\pm18$，即k的值为18或-18。
因此本题选D选项。
【答案】
D
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 完全平方式的特征
【点评】
本题重点考查完全平方式的结构特点，解题的关键是牢记完全平方式包含和的平方、差的平方两种形式，很多同学容易只考虑其中一种情况导致漏解，做题时要注意分类讨论两种可能性。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先回忆完全平方式的结构特征：完全平方式有两种形式，分别是$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$和$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，即首尾是两个平方项，中间项是首尾底数乘积的2倍，符号可正可负。解题时先确定给定多项式的首尾平方项对应的底数，再根据中间项的两种可能计算k的值，注意不要漏解。
【解析】
根据完全平方公式的两种形式：$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$。
已知$x^2+kx+81$是完全平方式，其中首项$x^2=(x)^2$，末项$81=9^2$，对照公式可得：
中间项$kx=\pm 2× x×9=\pm18x$
等式两边同时除以$x$（$x$为代数式变量，不为0），可得$k=\pm18$，即k的值为18或-18。
因此本题选D选项。
【答案】
D
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 完全平方式的特征
【点评】
本题重点考查完全平方式的结构特点，解题的关键是牢记完全平方式包含和的平方、差的平方两种形式，很多同学容易只考虑其中一种情况导致漏解，做题时要注意分类讨论两种可能性。
【难度系数】
0.7
3. 下列各式：①$(a+b)(a+c)$；②$(x+y)(-y+x)$；③$(ab-3x)(-3x+ab)$；④$(-m-n)(m+n)$。
其中可以运用完全平方公式计算的有
其中可以运用完全平方公式计算的有
③④
。答案
3. ③④
解析
【分析】
要判断式子能否用完全平方公式计算，首先明确完全平方公式的本质特征：是两个完全相同的二项式相乘，可表示为$(a±b)^2=a^2±2ab+b^2$。解题时先区分完全平方公式和平方差公式的差异：平方差公式是两个二项式一项相同、一项互为相反数，完全平方公式是两个二项式所有项都对应相同（或都互为相反数，提负号后可转化为相同），再逐个对式子做变形判断即可。
【解析】
完全平方公式的特征为：两个相同的二项式相乘，即$(A±B)(A±B)=(A±B)^2$，据此逐个判断：
1. 式子①$(a+b)(a+c)$：两个因式的第二项分别为$b$和$c$，不相等，两个因式不相同，不能用完全平方公式计算；
2. 式子②$(x+y)(-y+x)$：调整顺序得$(x+y)(x-y)$，属于一项相同、一项互为相反数，是平方差公式的适用形式，不能用完全平方公式计算；
3. 式子③$(ab-3x)(-3x+ab)$：调整第二个因式的项的顺序得$(ab-3x)(ab-3x)=(ab-3x)^2$，符合完全平方公式特征，可以运用；
4. 式子④$(-m-n)(m+n)$：对第一个因式提取负号，得$-(m+n)(m+n)=-(m+n)^2$，符合完全平方公式特征，可以运用。
综上，可以运用完全平方公式计算的是③④。
【答案】
③④
【知识点】
完全平方公式的特征、平方差公式的特征、整式符号变形
【点评】
本题核心是区分完全平方公式和平方差公式的适用形式，解题时要注意先对式子做简单的顺序调整、符号变形后再判断，避免因表面形式不符合就误判。
【难度系数】
0.7
要判断式子能否用完全平方公式计算，首先明确完全平方公式的本质特征：是两个完全相同的二项式相乘，可表示为$(a±b)^2=a^2±2ab+b^2$。解题时先区分完全平方公式和平方差公式的差异：平方差公式是两个二项式一项相同、一项互为相反数，完全平方公式是两个二项式所有项都对应相同（或都互为相反数，提负号后可转化为相同），再逐个对式子做变形判断即可。
【解析】
完全平方公式的特征为：两个相同的二项式相乘，即$(A±B)(A±B)=(A±B)^2$，据此逐个判断：
1. 式子①$(a+b)(a+c)$：两个因式的第二项分别为$b$和$c$，不相等，两个因式不相同，不能用完全平方公式计算；
2. 式子②$(x+y)(-y+x)$：调整顺序得$(x+y)(x-y)$，属于一项相同、一项互为相反数，是平方差公式的适用形式，不能用完全平方公式计算；
3. 式子③$(ab-3x)(-3x+ab)$：调整第二个因式的项的顺序得$(ab-3x)(ab-3x)=(ab-3x)^2$，符合完全平方公式特征，可以运用；
4. 式子④$(-m-n)(m+n)$：对第一个因式提取负号，得$-(m+n)(m+n)=-(m+n)^2$，符合完全平方公式特征，可以运用。
综上，可以运用完全平方公式计算的是③④。
【答案】
③④
【知识点】
完全平方公式的特征、平方差公式的特征、整式符号变形
【点评】
本题核心是区分完全平方公式和平方差公式的适用形式，解题时要注意先对式子做简单的顺序调整、符号变形后再判断，避免因表面形式不符合就误判。
【难度系数】
0.7
4. 运用完全平方公式计算：
(1) $(3x - 2y)^2$；
(2) $(-2m - 1)^2$；
(3) $(-2x + \frac{1}{2})^2$；
(4) $(-4x^2 - 1)^2$。
(1) $(3x - 2y)^2$；
(2) $(-2m - 1)^2$；
(3) $(-2x + \frac{1}{2})^2$；
(4) $(-4x^2 - 1)^2$。
答案
(1) $9x^2-12xy+4y^2$
(2) $4m^2+4m+1$
(3) $4x^2-2x+\frac{1}{4}$
(4) $16x^4+8x^2+1$
(2) $4m^2+4m+1$
(3) $4x^2-2x+\frac{1}{4}$
(4) $16x^4+8x^2+1$
解析
【分析】
我们需要运用完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$进行计算，解题时先确定每道式子中对应公式里的$a$和$b$，带负号的项可以先提取符号再计算，也可以直接将负号纳入$a$或$b$代入公式。计算时要注意系数需要同时乘方，不要遗漏中间的2倍乘积项，最后合并整理结果即可。
【解析】
(1) 对于$(3x - 2y)^2$，对应完全平方差公式，其中$a=3x$，$b=2y$：
$\begin{aligned}(3x - 2y)^2&=(3x)^2 - 2· 3x· 2y + (2y)^2\\&=9x^2 - 12xy + 4y^2\end{aligned}$
(2) 对于$(-2m - 1)^2$，可先变形为$[-(2m+1)]^2=(2m+1)^2$，对应完全平方和公式，其中$a=2m$，$b=1$：
$\begin{aligned}(-2m - 1)^2&=(2m+1)^2\\&=(2m)^2 + 2· 2m· 1 + 1^2\\&=4m^2 + 4m + 1\end{aligned}$
(3) 对于$(-2x + \frac{1}{2})^2$，对应完全平方和公式，其中$a=-2x$，$b=\frac{1}{2}$：
$\begin{aligned}(-2x + \frac{1}{2})^2&=(-2x)^2 + 2· (-2x)· \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2\\&=4x^2 - 2x + \frac{1}{4}\end{aligned}$
(4) 对于$(-4x^2 - 1)^2$，可先变形为$[-(4x^2+1)]^2=(4x^2+1)^2$，对应完全平方和公式，其中$a=4x^2$，$b=1$：
$\begin{aligned}(-4x^2 - 1)^2&=(4x^2+1)^2\\&=(4x^2)^2 + 2· 4x^2· 1 + 1^2\\&=16x^4 + 8x^2 + 1\end{aligned}$
【答案】
(1) $9x^2-12xy+4y^2$
(2) $4m^2+4m+1$
(3) $4x^2-2x+\frac{1}{4}$
(4) $16x^4+8x^2+1$
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 积的乘方运算
3. 整式乘法
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用类题目，解题的关键是准确对应公式中的$a$、$b$项，注意符号的处理，避免出现忽略系数乘方、漏写2倍乘积项、符号错误等常见问题。
【难度系数】
0.8
我们需要运用完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$进行计算，解题时先确定每道式子中对应公式里的$a$和$b$，带负号的项可以先提取符号再计算，也可以直接将负号纳入$a$或$b$代入公式。计算时要注意系数需要同时乘方，不要遗漏中间的2倍乘积项，最后合并整理结果即可。
【解析】
(1) 对于$(3x - 2y)^2$，对应完全平方差公式，其中$a=3x$，$b=2y$：
$\begin{aligned}(3x - 2y)^2&=(3x)^2 - 2· 3x· 2y + (2y)^2\\&=9x^2 - 12xy + 4y^2\end{aligned}$
(2) 对于$(-2m - 1)^2$，可先变形为$[-(2m+1)]^2=(2m+1)^2$，对应完全平方和公式，其中$a=2m$，$b=1$：
$\begin{aligned}(-2m - 1)^2&=(2m+1)^2\\&=(2m)^2 + 2· 2m· 1 + 1^2\\&=4m^2 + 4m + 1\end{aligned}$
(3) 对于$(-2x + \frac{1}{2})^2$，对应完全平方和公式，其中$a=-2x$，$b=\frac{1}{2}$：
$\begin{aligned}(-2x + \frac{1}{2})^2&=(-2x)^2 + 2· (-2x)· \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2\\&=4x^2 - 2x + \frac{1}{4}\end{aligned}$
(4) 对于$(-4x^2 - 1)^2$，可先变形为$[-(4x^2+1)]^2=(4x^2+1)^2$，对应完全平方和公式，其中$a=4x^2$，$b=1$：
$\begin{aligned}(-4x^2 - 1)^2&=(4x^2+1)^2\\&=(4x^2)^2 + 2· 4x^2· 1 + 1^2\\&=16x^4 + 8x^2 + 1\end{aligned}$
【答案】
(1) $9x^2-12xy+4y^2$
(2) $4m^2+4m+1$
(3) $4x^2-2x+\frac{1}{4}$
(4) $16x^4+8x^2+1$
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 积的乘方运算
3. 整式乘法
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用类题目，解题的关键是准确对应公式中的$a$、$b$项，注意符号的处理，避免出现忽略系数乘方、漏写2倍乘积项、符号错误等常见问题。
【难度系数】
0.8
运用完全平方公式简便计算：
(1) $199^2$；
(2) $(50 \frac{1}{4})^2$。
(1) $199^2$；
(2) $(50 \frac{1}{4})^2$。
答案
(1) 39601
(2) $2\ 525\frac{1}{16}$
(2) $2\ 525\frac{1}{16}$
解析
【分析】
本题考查完全平方公式的简便应用，解题思路是将原式中不易直接计算的数拆分为两个易计算数的和或差，使之符合完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$的结构，再代入公式计算即可，避免大数直接相乘。
第(1)问中199接近整百数200，可拆为$200-1$，使用完全平方差公式计算；第(2)问中带分数$50\frac{1}{4}$可拆为整数部分加分数部分，即$50+\frac{1}{4}$，使用完全平方和公式计算。
【解析】
(1) 计算$199^2$：
$\begin{aligned}199^2&=(200-1)^2\\&=200^2 - 2×200×1 + 1^2\\&=40000 - 400 + 1\\&=39601\end{aligned}$
(2) 计算$(50\frac{1}{4})^2$：
$\begin{aligned}(50\frac{1}{4})^2&=(50+\frac{1}{4})^2\\&=50^2 + 2×50×\frac{1}{4} + (\frac{1}{4})^2\\&=2500 + 25 + \frac{1}{16}\\&=2525\frac{1}{16}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{39601}$
(2) $\boxed{2525\frac{1}{16}}$
【知识点】
完全平方公式；有理数简便运算
【点评】
本题是整式乘法公式用于简便计算的基础题型，核心是掌握凑整的思想，将复杂的乘方运算转化为几个简单运算的组合，既提升计算效率，也能降低出错概率。
【难度系数】
0.8
本题考查完全平方公式的简便应用，解题思路是将原式中不易直接计算的数拆分为两个易计算数的和或差，使之符合完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$的结构，再代入公式计算即可，避免大数直接相乘。
第(1)问中199接近整百数200，可拆为$200-1$，使用完全平方差公式计算；第(2)问中带分数$50\frac{1}{4}$可拆为整数部分加分数部分，即$50+\frac{1}{4}$，使用完全平方和公式计算。
【解析】
(1) 计算$199^2$：
$\begin{aligned}199^2&=(200-1)^2\\&=200^2 - 2×200×1 + 1^2\\&=40000 - 400 + 1\\&=39601\end{aligned}$
(2) 计算$(50\frac{1}{4})^2$：
$\begin{aligned}(50\frac{1}{4})^2&=(50+\frac{1}{4})^2\\&=50^2 + 2×50×\frac{1}{4} + (\frac{1}{4})^2\\&=2500 + 25 + \frac{1}{16}\\&=2525\frac{1}{16}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{39601}$
(2) $\boxed{2525\frac{1}{16}}$
【知识点】
完全平方公式；有理数简便运算
【点评】
本题是整式乘法公式用于简便计算的基础题型，核心是掌握凑整的思想，将复杂的乘方运算转化为几个简单运算的组合，既提升计算效率，也能降低出错概率。
【难度系数】
0.8
