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5. 已知$(a+b)^2=7$，$(a-b)^2=4$，求$a^2+b^2$和$ab$的值.
答案
$a^2+b^2=\frac{11}{2}$，$ab=\frac{3}{4}$
解析
【分析】
解题时首先回忆完全平方公式的展开形式，将两个已知等式分别展开后，会发现两个式子中都含有共同的代数式$a^2+b^2$和$ab$。观察两个展开式的结构特点：相加时含$ab$的项会相互抵消，可直接求出$a^2+b^2$的值；相减时含$a^2$和$b^2$的项会相互抵消，可直接求出$ab$的值，不需要单独计算$a$、$b$的具体数值，用整体思想求解即可。
【解析】
解：根据完全平方公式，将已知等式展开得：
$\begin{cases}(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = 7 \quad \mathrm{①} \\(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 = 4 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
1. 求$a^2+b^2$的值：
将①+②，得：
$a^2 + 2ab + b^2 + a^2 - 2ab + b^2 = 7 + 4$
化简得：$2(a^2 + b^2) = 11$
两边同时除以2，得：$a^2 + b^2 = \frac{11}{2}$
2. 求$ab$的值：
将①-②，得：
$a^2 + 2ab + b^2 - (a^2 - 2ab + b^2) = 7 - 4$
化简得：$4ab = 3$
两边同时除以4，得：$ab = \frac{3}{4}$
【答案】
$a^2+b^2=\frac{11}{2}$，$ab=\frac{3}{4}$
【知识点】
完全平方公式、整体代入求值
【点评】
本题是完全平方公式的典型应用题型，解题核心是灵活利用两个完全平方式的结构特征，通过加减运算消去不需要的项，整体求解目标代数式，避免了复杂的单个字母求值运算，熟练掌握完全平方公式的变形是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆完全平方公式的展开形式，将两个已知等式分别展开后，会发现两个式子中都含有共同的代数式$a^2+b^2$和$ab$。观察两个展开式的结构特点：相加时含$ab$的项会相互抵消，可直接求出$a^2+b^2$的值；相减时含$a^2$和$b^2$的项会相互抵消，可直接求出$ab$的值，不需要单独计算$a$、$b$的具体数值，用整体思想求解即可。
【解析】
解：根据完全平方公式，将已知等式展开得：
$\begin{cases}(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = 7 \quad \mathrm{①} \\(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 = 4 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
1. 求$a^2+b^2$的值：
将①+②，得：
$a^2 + 2ab + b^2 + a^2 - 2ab + b^2 = 7 + 4$
化简得：$2(a^2 + b^2) = 11$
两边同时除以2，得：$a^2 + b^2 = \frac{11}{2}$
2. 求$ab$的值：
将①-②，得：
$a^2 + 2ab + b^2 - (a^2 - 2ab + b^2) = 7 - 4$
化简得：$4ab = 3$
两边同时除以4，得：$ab = \frac{3}{4}$
【答案】
$a^2+b^2=\frac{11}{2}$，$ab=\frac{3}{4}$
【知识点】
完全平方公式、整体代入求值
【点评】
本题是完全平方公式的典型应用题型，解题核心是灵活利用两个完全平方式的结构特征，通过加减运算消去不需要的项，整体求解目标代数式，避免了复杂的单个字母求值运算，熟练掌握完全平方公式的变形是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8
6. 观察下列关于自然数的等式：
$3^2 - 4 × 1^2 = 5$ ①；$5^2 - 4 × 2^2 = 9$ ②；$7^2 - 4 × 3^2 = 13$ ③…
根据上述规律解决下列问题：
（1）完成第4个等式：$9^2 - 4 ×$
（2）写出你猜想的第$n$个等式（用含$n$的式子表示），并验证其正确性.
$3^2 - 4 × 1^2 = 5$ ①；$5^2 - 4 × 2^2 = 9$ ②；$7^2 - 4 × 3^2 = 13$ ③…
根据上述规律解决下列问题：
（1）完成第4个等式：$9^2 - 4 ×$
$4^2$
$=$ $17$
.（2）写出你猜想的第$n$个等式（用含$n$的式子表示），并验证其正确性.
答案
6. 解：
(1) $3^2-4×1^2=5$ ①；$5^2-4×2^2=9$ ②；$7^2-4×3^2=13$ ③…
$\therefore$ 第4个等式：$9^2-4×4^2=17$. 故答案为$4^2$，17.
(2) 第$n$个等式为$(2n+1)^2-4n^2=4n+1$，
左边$=(2n+1)^2-4n^2=4n^2+4n+1-4n^2=4n+1$，
右边$=4n+1$，
左边=右边，$\therefore (2n+1)^2-4n^2=4n+1$.
(1) $3^2-4×1^2=5$ ①；$5^2-4×2^2=9$ ②；$7^2-4×3^2=13$ ③…
$\therefore$ 第4个等式：$9^2-4×4^2=17$. 故答案为$4^2$，17.
(2) 第$n$个等式为$(2n+1)^2-4n^2=4n+1$，
左边$=(2n+1)^2-4n^2=4n^2+4n+1-4n^2=4n+1$，
右边$=4n+1$，
左边=右边，$\therefore (2n+1)^2-4n^2=4n+1$.
解析
【分析】
（1）先观察已知3个等式的数字规律：第①个等式中被减数底数为$2×1+1=3$，减数是$4×1^2$，结果为$4×1+1=5$；第②个等式中被减数底数为$2×2+1=5$，减数是$4×2^2$，结果为$4×2+1=9$；第③个等式中被减数底数为$2×3+1=7$，减数是$4×3^2$，结果为$4×3+1=13$。可总结出第$k$个等式的结构为$(2k+1)^2 -4×k^2=4k+1$，将$k=4$代入即可得到第4个等式。
（2）将上述规律中的$k$替换为$n$即可写出第$n$个等式，再利用完全平方公式展开等式左边并化简，对比右边即可验证等式的正确性。
【解析】
（1）根据规律，第4个等式对应$k=4$，因此减数为$4×4^2$，结果为$4×4+1=17$，即$9^2 - 4×4^2 = 17$。
（2）猜想第$n$个等式为：$\boldsymbol{(2n+1)^2 - 4n^2 = 4n+1}$。
验证：
左边利用完全平方公式展开：
$(2n+1)^2 - 4n^2 = 4n^2 + 4n + 1 - 4n^2 = 4n + 1$，
右边为$4n+1$，
左边$=$右边，因此猜想成立。
【答案】
（1）$4^2$，$17$；
（2）第$n$个等式为$(2n+1)^2 - 4n^2 = 4n+1$，经验证等式正确。
【知识点】
数字规律探究，完全平方公式，整式化简
【点评】
本题属于典型的数字规律探究类题型，既考查学生观察、归纳、猜想的逻辑思维能力，也结合整式运算考查对完全平方公式的掌握程度，是代数规律探究的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
（1）先观察已知3个等式的数字规律：第①个等式中被减数底数为$2×1+1=3$，减数是$4×1^2$，结果为$4×1+1=5$；第②个等式中被减数底数为$2×2+1=5$，减数是$4×2^2$，结果为$4×2+1=9$；第③个等式中被减数底数为$2×3+1=7$，减数是$4×3^2$，结果为$4×3+1=13$。可总结出第$k$个等式的结构为$(2k+1)^2 -4×k^2=4k+1$，将$k=4$代入即可得到第4个等式。
（2）将上述规律中的$k$替换为$n$即可写出第$n$个等式，再利用完全平方公式展开等式左边并化简，对比右边即可验证等式的正确性。
【解析】
（1）根据规律，第4个等式对应$k=4$，因此减数为$4×4^2$，结果为$4×4+1=17$，即$9^2 - 4×4^2 = 17$。
（2）猜想第$n$个等式为：$\boldsymbol{(2n+1)^2 - 4n^2 = 4n+1}$。
验证：
左边利用完全平方公式展开：
$(2n+1)^2 - 4n^2 = 4n^2 + 4n + 1 - 4n^2 = 4n + 1$，
右边为$4n+1$，
左边$=$右边，因此猜想成立。
【答案】
（1）$4^2$，$17$；
（2）第$n$个等式为$(2n+1)^2 - 4n^2 = 4n+1$，经验证等式正确。
【知识点】
数字规律探究，完全平方公式，整式化简
【点评】
本题属于典型的数字规律探究类题型，既考查学生观察、归纳、猜想的逻辑思维能力，也结合整式运算考查对完全平方公式的掌握程度，是代数规律探究的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
7. 请认真观察图形，解答下列问题：
(1) 根据图中条件，试用两种不同方法表示阴影部分的面积.
方法1：
(2) 从中你能发现什么结论？请用乘法公式表示该结论：
(3) 运用你所得到的结论，解决问题：已知$(x+y)^2=25$，$\frac{1}{2}xy=3$，求$x^2+y^2$的值.
(1) 根据图中条件，试用两种不同方法表示阴影部分的面积.
方法1：
$a^2+b^2$
；方法2：$(a+b)^2-2ab$
.(2) 从中你能发现什么结论？请用乘法公式表示该结论：
$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$
.(3) 运用你所得到的结论，解决问题：已知$(x+y)^2=25$，$\frac{1}{2}xy=3$，求$x^2+y^2$的值.
答案
7. 解：
(1) 方法1：两个正方形的面积和，即$a^2+b^2$.
方法2：大正方形的面积减去两个长方形的面积，即$(a+b)^2-2ab$，故答案为$a^2+b^2$，$(a+b)^2-2ab$.
(2) 根据方法1与方法2所表示的面积相等得，$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$.
(3) $\because \frac{1}{2}xy=3$，$\therefore xy=6$. 又$\because (x+y)^2=25$，$\therefore x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=25-12=13$.
(1) 方法1：两个正方形的面积和，即$a^2+b^2$.
方法2：大正方形的面积减去两个长方形的面积，即$(a+b)^2-2ab$，故答案为$a^2+b^2$，$(a+b)^2-2ab$.
(2) 根据方法1与方法2所表示的面积相等得，$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$.
(3) $\because \frac{1}{2}xy=3$，$\therefore xy=6$. 又$\because (x+y)^2=25$，$\therefore x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=25-12=13$.
解析
【分析】
(1) 求阴影面积可从两个角度思考：一是直接求和，阴影是两个独立的正方形，分别计算面积相加即可；二是间接求差，用整个大正方形的面积减去两个空白长方形的面积，即可得到阴影部分面积。
(2) 两种方法表示的是同一个阴影部分的面积，因此两个代数式相等，整理即可得到对应的乘法公式结论。
(3) 先根据$\frac{1}{2}xy=3$求出$xy$的值，再将$(x+y)^2$和$xy$的值代入(2)得到的公式中，即可计算出$x^2+y^2$的值。
【解析】
(1) 方法1：阴影部分由边长为$a$的正方形和边长为$b$的正方形组成，面积和为$a^2 + b^2$；
方法2：整个大正方形的边长为$a+b$，面积为$(a+b)^2$，空白部分是2个长为$a$、宽为$b$的长方形，总面积为$2ab$，因此阴影面积为$(a+b)^2 - 2ab$。
(2) 由于两种方法表示的阴影面积相等，因此可得结论：$a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$。
(3) 已知$\frac{1}{2}xy=3$，等式两边同时乘2得$xy=6$，
将$(x+y)^2=25$，$xy=6$代入公式$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy$，
计算得：$x^2 + y^2 = 25 - 2×6 = 25 - 12 = 13$。
【答案】
(1) $a^2 + b^2$；$(a+b)^2 - 2ab$
(2) $a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$
(3) $13$
【知识点】
完全平方公式，列代数式，代数式求值
【点评】
本题通过数形结合的方式推导完全平方公式的变形，既考查了用代数式表示几何图形面积的能力，也考查了公式的灵活应用能力，掌握完全平方公式的变形是解题的关键。
【难度系数】
0.8
(1) 求阴影面积可从两个角度思考：一是直接求和，阴影是两个独立的正方形，分别计算面积相加即可；二是间接求差，用整个大正方形的面积减去两个空白长方形的面积，即可得到阴影部分面积。
(2) 两种方法表示的是同一个阴影部分的面积，因此两个代数式相等，整理即可得到对应的乘法公式结论。
(3) 先根据$\frac{1}{2}xy=3$求出$xy$的值，再将$(x+y)^2$和$xy$的值代入(2)得到的公式中，即可计算出$x^2+y^2$的值。
【解析】
(1) 方法1：阴影部分由边长为$a$的正方形和边长为$b$的正方形组成，面积和为$a^2 + b^2$；
方法2：整个大正方形的边长为$a+b$，面积为$(a+b)^2$，空白部分是2个长为$a$、宽为$b$的长方形，总面积为$2ab$，因此阴影面积为$(a+b)^2 - 2ab$。
(2) 由于两种方法表示的阴影面积相等，因此可得结论：$a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$。
(3) 已知$\frac{1}{2}xy=3$，等式两边同时乘2得$xy=6$，
将$(x+y)^2=25$，$xy=6$代入公式$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy$，
计算得：$x^2 + y^2 = 25 - 2×6 = 25 - 12 = 13$。
【答案】
(1) $a^2 + b^2$；$(a+b)^2 - 2ab$
(2) $a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$
(3) $13$
【知识点】
完全平方公式，列代数式，代数式求值
【点评】
本题通过数形结合的方式推导完全平方公式的变形，既考查了用代数式表示几何图形面积的能力，也考查了公式的灵活应用能力，掌握完全平方公式的变形是解题的关键。
【难度系数】
0.8
8. (2025·深圳) 下列计算正确的是 (
A.$a^2 + a^4 = a^6$
B.$a^3 · a^3 = a^6$
C.$(a^2)^3 = a^5$
D.$(a + b)^2 = a^2 + b^2$
B
)A.$a^2 + a^4 = a^6$
B.$a^3 · a^3 = a^6$
C.$(a^2)^3 = a^5$
D.$(a + b)^2 = a^2 + b^2$
答案
8. B
解析
【分析】
这道题考查整式的相关运算法则，解题时需逐个结合对应法则判断选项对错：首先明确各选项涉及的运算类型，分别对应合并同类项、同底数幂乘法、幂的乘方、完全平方公式四个知识点，回忆每个知识点的运算规则后逐一验证，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A选项：$a^2$和$a^4$的相同字母指数不同，不属于同类项，不能直接合并相加，因此A计算错误；
B选项：根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得$a^3 · a^3 = a^{3+3}=a^6$，因此B计算正确；
C选项：根据幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，可得$(a^2)^3 = a^{2×3}=a^6 ≠ a^5$，因此C计算错误；
D选项：根据完全平方和公式，$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，选项遗漏了交叉项$2ab$，因此D计算错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
同底数幂的乘法、幂的乘方运算、完全平方公式
【点评】
本题属于整式运算的基础考查题，核心是区分不同整式运算的规则，避免混淆幂运算的指数处理方式、以及完全平方公式的展开结构，是整式运算章节的常规考法。
【难度系数】
0.8
这道题考查整式的相关运算法则，解题时需逐个结合对应法则判断选项对错：首先明确各选项涉及的运算类型，分别对应合并同类项、同底数幂乘法、幂的乘方、完全平方公式四个知识点，回忆每个知识点的运算规则后逐一验证，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A选项：$a^2$和$a^4$的相同字母指数不同，不属于同类项，不能直接合并相加，因此A计算错误；
B选项：根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得$a^3 · a^3 = a^{3+3}=a^6$，因此B计算正确；
C选项：根据幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，可得$(a^2)^3 = a^{2×3}=a^6 ≠ a^5$，因此C计算错误；
D选项：根据完全平方和公式，$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，选项遗漏了交叉项$2ab$，因此D计算错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
同底数幂的乘法、幂的乘方运算、完全平方公式
【点评】
本题属于整式运算的基础考查题，核心是区分不同整式运算的规则，避免混淆幂运算的指数处理方式、以及完全平方公式的展开结构，是整式运算章节的常规考法。
【难度系数】
0.8
9. (2025·宁夏) 下列运算正确的是（
A.$a^2+a^2=a^4$
B.$a^2· a^3=a^6$
C.$(a-2)^2=a^2-4$
D.$(a^2b)^2=a^4b^2$
D
）A.$a^2+a^2=a^4$
B.$a^2· a^3=a^6$
C.$(a-2)^2=a^2-4$
D.$(a^2b)^2=a^4b^2$
答案
9. D
解析
【分析】
本题考查整式的相关运算，解题思路是逐一分析每个选项对应的运算法则，分别计算验证结果是否正确，最终选出运算正确的选项。首先回忆合并同类项、同底数幂乘法、完全平方公式、积的乘方的运算规则，再逐个比对选项计算结果即可。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
选项A：属于合并同类项运算，合并同类项时，系数相加，字母和字母的指数保持不变，因此$a^2+a^2=(1+1)a^2=2a^2≠ a^4$，该选项运算错误；
选项B：属于同底数幂的乘法运算，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，因此$a^2·a^3=a^{2+3}=a^5≠ a^6$，该选项运算错误；
选项C：属于完全平方公式的应用，$(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$，代入$m=a、n=2$可得$(a-2)^2=a^2-2× a×2+2^2=a^2-4a+4≠ a^2-4$，该选项运算错误；
选项D：属于积的乘方运算，积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，因此$(a^2b)^2=(a^2)^2·b^2=a^{2×2}b^2=a^4b^2$，该选项运算正确。
【答案】
D
【知识点】
合并同类项，幂的运算法则，完全平方公式
【点评】
本题是整式运算的基础考查题，重点在于区分不同类型整式运算的规则，避免混淆完全平方公式与平方差公式、同底数幂乘法与幂的乘方的运算规律，熟练掌握基础运算法则是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.8
本题考查整式的相关运算，解题思路是逐一分析每个选项对应的运算法则，分别计算验证结果是否正确，最终选出运算正确的选项。首先回忆合并同类项、同底数幂乘法、完全平方公式、积的乘方的运算规则，再逐个比对选项计算结果即可。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
选项A：属于合并同类项运算，合并同类项时，系数相加，字母和字母的指数保持不变，因此$a^2+a^2=(1+1)a^2=2a^2≠ a^4$，该选项运算错误；
选项B：属于同底数幂的乘法运算，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，因此$a^2·a^3=a^{2+3}=a^5≠ a^6$，该选项运算错误；
选项C：属于完全平方公式的应用，$(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$，代入$m=a、n=2$可得$(a-2)^2=a^2-2× a×2+2^2=a^2-4a+4≠ a^2-4$，该选项运算错误；
选项D：属于积的乘方运算，积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，因此$(a^2b)^2=(a^2)^2·b^2=a^{2×2}b^2=a^4b^2$，该选项运算正确。
【答案】
D
【知识点】
合并同类项，幂的运算法则，完全平方公式
【点评】
本题是整式运算的基础考查题，重点在于区分不同类型整式运算的规则，避免混淆完全平方公式与平方差公式、同底数幂乘法与幂的乘方的运算规律，熟练掌握基础运算法则是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.8
