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【例2】如图13.2-8，CD，CE分别是$△ ABC$的高和中线，若$AC=7\ \mathrm{cm}$，$BC=24\ \mathrm{cm}$，$AB=25\ \mathrm{cm}$，$∠ ACB=90°$。
（1）求$CD$的长。
（2）求$△ BCE$与$△ ACE$的周长差。
【点拨】（1）所求$CD$为直角三角形斜边的高线，而已知给出三边长，用等积法比较合适。（2）$△ BCE$与$△ ACE$有两组边对应相等，所以它们的周长差转化为$AC$与$BC$的差求解即可。
图13.2-8
（1）求$CD$的长。
（2）求$△ BCE$与$△ ACE$的周长差。
【点拨】（1）所求$CD$为直角三角形斜边的高线，而已知给出三边长，用等积法比较合适。（2）$△ BCE$与$△ ACE$有两组边对应相等，所以它们的周长差转化为$AC$与$BC$的差求解即可。
图13.2-8
答案
解：（1）$\because ∠ACB=90°$，CD是边AB上的高，$\therefore \frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CD$，$\therefore CD=\frac{AC· BC}{AB}=\frac{7×24}{25}=\frac{168}{25}$（cm）。
（2）$\because CE$为AB边上的中线，$\therefore AE=BE$，$\therefore △BCE$的周长与$△ACE$的周长的差为$(BC+CE+BE)-(AC+CE+AE)=BC-AC=24-7=17$（cm）。
（2）$\because CE$为AB边上的中线，$\therefore AE=BE$，$\therefore △BCE$的周长与$△ACE$的周长的差为$(BC+CE+BE)-(AC+CE+AE)=BC-AC=24-7=17$（cm）。
解析
【分析】
（1）已知△ABC是直角三角形，CD为斜边AB上的高，且已知三角形三边长，可利用等积法：直角三角形的面积既可以用两条直角边乘积的一半计算，也可以用斜边乘斜边上高的一半计算，建立等式即可求出CD的长度。
（2）求△BCE和△ACE的周长差，先写出两个三角形的周长表达式，观察可知CE是两个三角形的公共边，又因为CE是AB边上的中线，可得AE=BE，因此两个周长相减后，相等的边会相互抵消，仅剩BC与AC的差，代入数值即可算出结果。
【解析】
（1）
∵∠ACB=90°，CD是边AB上的高，
∴$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC·BC=\frac{1}{2}AB·CD$，
∴$CD=\frac{AC· BC}{AB}$，代入$AC=7\ \mathrm{cm}$，$BC=24\ \mathrm{cm}$，$AB=25\ \mathrm{cm}$，
得$CD=\frac{7×24}{25}=\frac{168}{25}$（cm）。
（2）
∵CE为AB边上的中线，
∴$AE=BE$，
△BCE的周长为$BC+CE+BE$，△ACE的周长为$AC+CE+AE$，
则周长差为：
$(BC+CE+BE)-(AC+CE+AE)=BC-AC=24-7=17$（cm）。
【答案】
（1）$CD$的长为$\frac{168}{25}\ \mathrm{cm}$；
（2）$△BCE$与$△ACE$的周长差为$17\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
直角三角形面积计算；三角形中线的性质；等积法求线段长
【点评】
本题侧重考查几何基础性质的应用，等积法是求解直角三角形斜边上高的常用技巧，计算周长差时通过挖掘公共边、相等线段抵消非差异部分，可大幅简化运算，解题时要注意观察图形中的相等关系。
【难度系数】
0.8
（1）已知△ABC是直角三角形，CD为斜边AB上的高，且已知三角形三边长，可利用等积法：直角三角形的面积既可以用两条直角边乘积的一半计算，也可以用斜边乘斜边上高的一半计算，建立等式即可求出CD的长度。
（2）求△BCE和△ACE的周长差，先写出两个三角形的周长表达式，观察可知CE是两个三角形的公共边，又因为CE是AB边上的中线，可得AE=BE，因此两个周长相减后，相等的边会相互抵消，仅剩BC与AC的差，代入数值即可算出结果。
【解析】
（1）
∵∠ACB=90°，CD是边AB上的高，
∴$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC·BC=\frac{1}{2}AB·CD$，
∴$CD=\frac{AC· BC}{AB}$，代入$AC=7\ \mathrm{cm}$，$BC=24\ \mathrm{cm}$，$AB=25\ \mathrm{cm}$，
得$CD=\frac{7×24}{25}=\frac{168}{25}$（cm）。
（2）
∵CE为AB边上的中线，
∴$AE=BE$，
△BCE的周长为$BC+CE+BE$，△ACE的周长为$AC+CE+AE$，
则周长差为：
$(BC+CE+BE)-(AC+CE+AE)=BC-AC=24-7=17$（cm）。
【答案】
（1）$CD$的长为$\frac{168}{25}\ \mathrm{cm}$；
（2）$△BCE$与$△ACE$的周长差为$17\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
直角三角形面积计算；三角形中线的性质；等积法求线段长
【点评】
本题侧重考查几何基础性质的应用，等积法是求解直角三角形斜边上高的常用技巧，计算周长差时通过挖掘公共边、相等线段抵消非差异部分，可大幅简化运算，解题时要注意观察图形中的相等关系。
【难度系数】
0.8
1. 用一块含$30°$角的透明直角三角板画已知$△ ABC$的边$BC$上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（
D
）答案
1. D
解析
【分析】
要判断哪个三角板的摆放位置正确，首先要明确三角形BC边上高的定义：从△ABC的顶点A向边BC所在的直线作垂线，顶点A和垂足之间的线段就是BC边上的高，因此正确的摆放需要同时满足两个条件：①三角板的一条直角边与BC所在直线重合，保证垂直关系；②三角板的另一条直角边经过顶点A。我们按照这两个条件逐一排查选项即可得到答案。
【解析】
根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形这条边上的高。作BC边上的高，需同时满足：过顶点A、与BC所在直线垂直。
选项A：三角板的直角边未与BC垂直，不满足垂直要求，摆放错误；
选项B：三角板的直角边未与BC垂直，无法保证过A的线段与BC垂直，摆放错误；
选项C：三角板的直角边未经过顶点A，不符合高的要求，摆放错误；
选项D：三角板的一条直角边与BC重合，另一条直角边经过点A，符合高的画法要求，摆放正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 三角形高的定义
2. 垂线的特征
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对三角形高的定义的理解，解题时紧扣“过对应顶点、与对边所在直线垂直”两个判断要素即可快速得出答案，注意不要混淆不同边上的高对应的顶点。
【难度系数】
0.8
要判断哪个三角板的摆放位置正确，首先要明确三角形BC边上高的定义：从△ABC的顶点A向边BC所在的直线作垂线，顶点A和垂足之间的线段就是BC边上的高，因此正确的摆放需要同时满足两个条件：①三角板的一条直角边与BC所在直线重合，保证垂直关系；②三角板的另一条直角边经过顶点A。我们按照这两个条件逐一排查选项即可得到答案。
【解析】
根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形这条边上的高。作BC边上的高，需同时满足：过顶点A、与BC所在直线垂直。
选项A：三角板的直角边未与BC垂直，不满足垂直要求，摆放错误；
选项B：三角板的直角边未与BC垂直，无法保证过A的线段与BC垂直，摆放错误；
选项C：三角板的直角边未经过顶点A，不符合高的要求，摆放错误；
选项D：三角板的一条直角边与BC重合，另一条直角边经过点A，符合高的画法要求，摆放正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 三角形高的定义
2. 垂线的特征
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对三角形高的定义的理解，解题时紧扣“过对应顶点、与对边所在直线垂直”两个判断要素即可快速得出答案，注意不要混淆不同边上的高对应的顶点。
【难度系数】
0.8
2. 如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是△ABC的（
① ② ③
A.角平分线、高线、中线
B.高线、中线、角平分线
C.中线、角平分线、高线
D.角平分线、中线、高线
A
）① ② ③
A.角平分线、高线、中线
B.高线、中线、角平分线
C.中线、角平分线、高线
D.角平分线、中线、高线
答案
2. A
解析
【分析】
解决本题首先需要明确三角形的角平分线、高线、中线的定义，再结合折叠“对应边相等、对应角相等”的性质，依次判断三个图中AD的身份：①观察图①，折叠后AB与AB'重合，可得AD平分∠BAC，对应角平分线；②观察图②，折叠后点B落在BC上的B'处，可得AD与BC垂直，对应高线；③观察图③，折叠后点C与点B重合，可得D为BC中点，对应中线，最终匹配选项即可。
【解析】
结合折叠性质和三角形三类线段的定义逐一判断：
1. 图①：将△ABD沿AD折叠后，边AB与AB'重合，由折叠性质得$∠ BAD=∠ B'AD$，即AD平分$∠ BAC$，因此AD是$△ ABC$的角平分线；
2. 图②：将△ABD沿AD折叠后，点B落在BC边上的$B'$处，由折叠性质得$∠ ADB=∠ ADB'$，又$∠ ADB+∠ ADB'=180°$，因此$∠ ADB=∠ ADB'=90°$，即$AD⊥ BC$，因此AD是$△ ABC$的高线；
3. 图③：将△ACD沿AD折叠后，点C与点B重合，由折叠性质得$CD=BD$，即D是BC的中点，因此AD是$△ ABC$的中线。
综上，AD依次是角平分线、高线、中线，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
三角形的角平分线；三角形的高；三角形的中线
【点评】
本题结合折叠的性质考查三角形三类重要线段的定义，解题的关键是熟练掌握折叠的性质和三类线段的定义，能结合图形特征快速判断线段的类型。
【难度系数】
0.85
解决本题首先需要明确三角形的角平分线、高线、中线的定义，再结合折叠“对应边相等、对应角相等”的性质，依次判断三个图中AD的身份：①观察图①，折叠后AB与AB'重合，可得AD平分∠BAC，对应角平分线；②观察图②，折叠后点B落在BC上的B'处，可得AD与BC垂直，对应高线；③观察图③，折叠后点C与点B重合，可得D为BC中点，对应中线，最终匹配选项即可。
【解析】
结合折叠性质和三角形三类线段的定义逐一判断：
1. 图①：将△ABD沿AD折叠后，边AB与AB'重合，由折叠性质得$∠ BAD=∠ B'AD$，即AD平分$∠ BAC$，因此AD是$△ ABC$的角平分线；
2. 图②：将△ABD沿AD折叠后，点B落在BC边上的$B'$处，由折叠性质得$∠ ADB=∠ ADB'$，又$∠ ADB+∠ ADB'=180°$，因此$∠ ADB=∠ ADB'=90°$，即$AD⊥ BC$，因此AD是$△ ABC$的高线；
3. 图③：将△ACD沿AD折叠后，点C与点B重合，由折叠性质得$CD=BD$，即D是BC的中点，因此AD是$△ ABC$的中线。
综上，AD依次是角平分线、高线、中线，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
三角形的角平分线；三角形的高；三角形的中线
【点评】
本题结合折叠的性质考查三角形三类重要线段的定义，解题的关键是熟练掌握折叠的性质和三类线段的定义，能结合图形特征快速判断线段的类型。
【难度系数】
0.85
3. 如图，AD，AE，AF分别是△ABC的中线、角平分线、高线，下列结论错误的是（
A.$CD=\frac{1}{2}BC$
B.$2∠BAE=∠BAC$
C.$∠C+∠CAF=90°$
D.$AE=AC$
D
）A.$CD=\frac{1}{2}BC$
B.$2∠BAE=∠BAC$
C.$∠C+∠CAF=90°$
D.$AE=AC$
答案
3. D
解析
【分析】
本题考查三角形中线、角平分线、高线的定义与性质，解题时结合各线段的定义，逐一分析每个选项的结论是否成立即可。首先回忆三类线段的性质：中线平分对边，角平分线平分对应内角，高线与对边垂直，对应直角三角形的两个锐角互余，再对照选项判断，找出错误结论。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 因为AD是△ABC的中线，所以D是BC的中点，可得$CD=\frac{1}{2}BC$，该结论正确，不符合题意；
B. 因为AE是△ABC的角平分线，所以AE平分∠BAC，即$∠BAE=\frac{1}{2}∠BAC$，因此$2∠BAE=∠BAC$，该结论正确，不符合题意；
C. 因为AF是△ABC的高线，所以$AF⊥BC$，即∠AFC=90°，在Rt△AFC中，两个锐角互余，因此$∠C+∠CAF=90°$，该结论正确，不符合题意；
D. 题干仅说明AE是角平分线，没有给出线段相等的相关条件，无法推出$AE=AC$，该结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
三角形的中线；三角形的角平分线；三角形的高
【点评】
本题属于基础概念题，核心是对三角形三类特殊线段性质的识记与应用，只要熟练掌握各线段的定义和性质就能快速判断。
【难度系数】
0.9
本题考查三角形中线、角平分线、高线的定义与性质，解题时结合各线段的定义，逐一分析每个选项的结论是否成立即可。首先回忆三类线段的性质：中线平分对边，角平分线平分对应内角，高线与对边垂直，对应直角三角形的两个锐角互余，再对照选项判断，找出错误结论。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 因为AD是△ABC的中线，所以D是BC的中点，可得$CD=\frac{1}{2}BC$，该结论正确，不符合题意；
B. 因为AE是△ABC的角平分线，所以AE平分∠BAC，即$∠BAE=\frac{1}{2}∠BAC$，因此$2∠BAE=∠BAC$，该结论正确，不符合题意；
C. 因为AF是△ABC的高线，所以$AF⊥BC$，即∠AFC=90°，在Rt△AFC中，两个锐角互余，因此$∠C+∠CAF=90°$，该结论正确，不符合题意；
D. 题干仅说明AE是角平分线，没有给出线段相等的相关条件，无法推出$AE=AC$，该结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
三角形的中线；三角形的角平分线；三角形的高
【点评】
本题属于基础概念题，核心是对三角形三类特殊线段性质的识记与应用，只要熟练掌握各线段的定义和性质就能快速判断。
【难度系数】
0.9
4. 王老师要将一块如图所示的三角形花园平均分给两个班级管理，则图中他所作的线段AD应该是$△ ABC$的（
A.角平分线
B.中线
C.高线
D.以上都不是
B
）A.角平分线
B.中线
C.高线
D.以上都不是
答案
4. B
解析
【分析】
首先明确题目要求是将三角形花园平均分成两部分，也就是分得的两个区域面积相等。观察线段AD将△ABC分为△ABD和△ACD两个三角形，这两个三角形有公共的高：即点A到BC边的垂线段长度。根据三角形面积公式，高相等的两个三角形，只要底边长相等，面积就相等，因此需要BD=DC，即D为BC的中点。再结合三角形各类特殊线段的定义，即可判断AD的类型。
【解析】
要平分三角形花园，需保证AD分得的两个三角形面积相等：
1. △ABD和△ACD分别以BD、DC为底时，二者的高均为点A到BC边的垂线段长度，即高相等；
2. 根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，要使两个三角形面积相等，需满足底$BD=DC$，即D是BC的中点；
3. 根据三角形中线的定义：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线，可知AD是△ABC的中线。
【答案】
B
【知识点】
三角形中线的定义，三角形面积计算
【点评】
本题结合实际场景考查三角形特殊线段的性质，解题的核心是抓住“面积相等”的要求，利用同高三角形面积与底的关系推导边的特点，再对应中线的定义得出结论，属于基础类题目。
【难度系数】
0.9
首先明确题目要求是将三角形花园平均分成两部分，也就是分得的两个区域面积相等。观察线段AD将△ABC分为△ABD和△ACD两个三角形，这两个三角形有公共的高：即点A到BC边的垂线段长度。根据三角形面积公式，高相等的两个三角形，只要底边长相等，面积就相等，因此需要BD=DC，即D为BC的中点。再结合三角形各类特殊线段的定义，即可判断AD的类型。
【解析】
要平分三角形花园，需保证AD分得的两个三角形面积相等：
1. △ABD和△ACD分别以BD、DC为底时，二者的高均为点A到BC边的垂线段长度，即高相等；
2. 根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，要使两个三角形面积相等，需满足底$BD=DC$，即D是BC的中点；
3. 根据三角形中线的定义：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线，可知AD是△ABC的中线。
【答案】
B
【知识点】
三角形中线的定义，三角形面积计算
【点评】
本题结合实际场景考查三角形特殊线段的性质，解题的核心是抓住“面积相等”的要求，利用同高三角形面积与底的关系推导边的特点，再对应中线的定义得出结论，属于基础类题目。
【难度系数】
0.9
