1. 如图，在$\triangle ABC$中，$AC = 8cm$，$F$是高$AD$和$BE$的交点。若$AD = BD$，则$BF$的长是()
A.$4cm$
B.$6cm$
C.$8cm$
D.$9cm$
A.$4cm$
B.$6cm$
C.$8cm$
D.$9cm$
答案
C
解析
∵AD、BE是△ABC的高，∴∠ADB=∠ADC=∠AEB=90°。
∴∠BDF=∠ADC=90°（F在AD上，∠BDF即∠ADB）。
∵∠AFE=∠BFD（对顶角相等），∠AEF=∠ADC=90°，
∴∠FAE+∠AFE=90°，∠CAD+∠C=90°，又∠FAE=∠CAD，
∴∠AFE=∠C，即∠BFD=∠C。
在△BDF和△ADC中，
∠BDF=∠ADC（已证），
∠BFD=∠C（已证），
BD=AD（已知），
∴△BDF≌△ADC（AAS）。
∴BF=AC=8cm。
∴∠BDF=∠ADC=90°（F在AD上，∠BDF即∠ADB）。
∵∠AFE=∠BFD（对顶角相等），∠AEF=∠ADC=90°，
∴∠FAE+∠AFE=90°，∠CAD+∠C=90°，又∠FAE=∠CAD，
∴∠AFE=∠C，即∠BFD=∠C。
在△BDF和△ADC中，
∠BDF=∠ADC（已证），
∠BFD=∠C（已证），
BD=AD（已知），
∴△BDF≌△ADC（AAS）。
∴BF=AC=8cm。
2. 如图，在四边形$ABCD$中，$\angle A = 90^{\circ}$，$AD = 3$，$BC = 5$，对角线$BD$平分$\angle ABC$，则$\triangle BCD$的面积为()
A.$8$
B.$7.5$
C.$15$
D.无法确定
A.$8$
B.$7.5$
C.$15$
D.无法确定
答案
B
解析
过点D作DE⊥BC于E。
∵BD平分∠ABC，∠A=90°，DE⊥BC，
∴∠BAD=∠BED=90°，∠ABD=∠EBD。
在△ABD和△EBD中，
∠BAD=∠BED，∠ABD=∠EBD，BD=BD，
∴△ABD≌△EBD（AAS），∴DE=AD=3。
△BCD的面积=1/2×BC×DE=1/2×5×3=7.5。
∵BD平分∠ABC，∠A=90°，DE⊥BC，
∴∠BAD=∠BED=90°，∠ABD=∠EBD。
在△ABD和△EBD中，
∠BAD=∠BED，∠ABD=∠EBD，BD=BD，
∴△ABD≌△EBD（AAS），∴DE=AD=3。
△BCD的面积=1/2×BC×DE=1/2×5×3=7.5。
3. (2024·德州)如图，$C$是$AB$的中点，且$CD = BE$，请添加一个条件：，使得$\triangle ACD\cong\triangle CBE$。
答案
∠ACD=∠B（或AD=CE等，合理即可）
解析
因为C是AB的中点，所以AC=CB。已知CD=BE，要使△ACD≌△CBE，根据SAS，可添加∠ACD=∠B；根据SSS，可添加AD=CE。（答案不唯一，写出一个即可）
4. (新考法·结论开放题)如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$AD$是$\triangle ABC$的角平分线，过点$D$分别作$DE\perp AB$，$DF\perp AC$，垂足分别是$E$，$F$。有下列结论：①$\angle ADC = 90^{\circ}$；②$DE = DF$；③$AD = BC$；④$BD = CD$。其中，不一定正确的是(填序号)。
答案
③
解析
∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC（等腰三角形三线合一），BD=CD，故①∠ADC=90°、④BD=CD正确；∵AD是角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF（角平分线的性质），故②正确；AD与BC不一定相等，故③不一定正确。
5. (2024·盐城)如图，点$A$，$B$，$C$，$D$在同一条直线上，$AE// BF$，$AE = BF$。若，则$AB = CD$。请从①$CE// DF$；②$CE = DF$；③$\angle E = \angle F$这$3$个选项中选择一个作为条件(写序号)，使结论成立，并证明。
答案
选择条件③。
证明：∵AE//BF，∴∠EAB=∠FBD（两直线平行，同位角相等）。
在△AEC和△BFD中，
∠E=∠F（已知），
AE=BF（已知），
∠EAB=∠FBD（已证），
∴△AEC≌△BFD（ASA）。
∴AC=BD（全等三角形对应边相等）。
∵AC=AB+BC，BD=BC+CD，
∴AB+BC=BC+CD。
∴AB=CD。
证明：∵AE//BF，∴∠EAB=∠FBD（两直线平行，同位角相等）。
在△AEC和△BFD中，
∠E=∠F（已知），
AE=BF（已知），
∠EAB=∠FBD（已证），
∴△AEC≌△BFD（ASA）。
∴AC=BD（全等三角形对应边相等）。
∵AC=AB+BC，BD=BC+CD，
∴AB+BC=BC+CD。
∴AB=CD。
6. (2023·成都改编)如图，在四边形$ABCD$中，$AB = CD$，$AB// CD$，连接$AC$，$BD$交于点$O$，则下列结论不一定正确的是()
A.$\angle DAB = \angle BCD$
B.$AD// BC$
C.$\angle DAB = \angle ABC$
D.$AO = CO$，$BO = DO$
A.$\angle DAB = \angle BCD$
B.$AD// BC$
C.$\angle DAB = \angle ABC$
D.$AO = CO$，$BO = DO$
答案
C
解析
∵AB=CD，AB//CD，
∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）.
∴∠DAB=∠BCD（平行四边形对角相等），A正确；
AD//BC（平行四边形对边平行），B正确；
AO=CO，BO=DO（平行四边形对角线互相平分），D正确；
∠DAB与∠ABC是邻角，平行四边形邻角互补但不一定相等，C不一定正确.
