7. 如图，$D$是$AB$上一点，$DF$交$AC$于点$E$，$DE = FE$，$FC// AB$。若$AB = 4$，$CF = 3$，则$BD$的长为。
答案
1
解析
∵FC//AB，
∴∠ADE=∠CFE（两直线平行，内错角相等）。
在△ADE和△CFE中，
∠ADE=∠CFE，
DE=FE，
∠AED=∠CEF（对顶角相等），
∴△ADE≌△CFE（ASA）。
∴AD=CF=3（全等三角形对应边相等）。
∵AB=4，
∴BD=AB-AD=4-3=1。
8. 如图，$CA$平分$\angle DCB$，$CB = CD$，$DA$的延长线交$BC$于点$E$。若$\angle EAC = 49^{\circ}$，则$\angle BAE$的度数为。
答案
82
解析
∵CA平分∠DCB，∴∠DCA=∠BCA。
在△DCA和△BCA中，
$\left\{\begin{array}{l} CD=CB\\ ∠DCA=∠BCA\\ CA=CA\end{array}\right.$，
∴△DCA≌△BCA（SAS），∴∠DAC=∠BAC。
∵DA的延长线交BC于E，∴∠DAC+∠EAC=180°（邻补角定义）。
∵∠EAC=49°，∴∠DAC=180°-49°=131°，∴∠BAC=131°。
∵∠BAC=∠BAE+∠EAC，∴∠BAE=∠BAC-∠EAC=131°-49°=82°。
9. 如图，在$\triangle ABC$和$\triangle DCB$中，$AC$与$BD$交于点$E$，且$\angle A = \angle D$，$AB = DC$。
(1)写出图中所有全等的三角形：；
(2)若$\angle AEB = 50^{\circ}$，则$\angle EBC$的度数为。
(1)写出图中所有全等的三角形：；
(2)若$\angle AEB = 50^{\circ}$，则$\angle EBC$的度数为。
答案
(1) △ABE≌△DCE，△ABC≌△DCB
(2) 25°
(2) 25°
10. 如图，$D$是四边形$AEBC$内一点，连接$AD$，$DB$，已知$CA = CB$，$DA = DB$，$EA = EB$。求证：$C$，$D$，$E$三点在一条直线上。
答案
证明：
1. 在△CAD和△CBD中，
∵ CA=CB，DA=DB，CD=CD，
∴ △CAD≌△CBD（SSS）。
∴ ∠CDA=∠CDB。
2. 在△EAD和△EBD中，
∵ EA=EB，DA=DB，ED=ED，
∴ △EAD≌△EBD（SSS）。
∴ ∠EDA=∠EDB。
3. 设AB中点为O，连接DO。
在△AOD和△BOD中，
∵ AD=BD，∠ADO=∠BDO（由∠CDA=∠CDB得），DO=DO，
∴ △AOD≌△BOD（SAS）。
∴ ∠AOD=∠BOD=90°，即CD⊥AB。
4. 同理，可证ED⊥AB。
5. ∵ CD⊥AB，ED⊥AB，
∴ CD与ED在同一直线上（过一点有且只有一条直线与已知直线垂直）。
∴ C，D，E三点在一条直线上。
1. 在△CAD和△CBD中，
∵ CA=CB，DA=DB，CD=CD，
∴ △CAD≌△CBD（SSS）。
∴ ∠CDA=∠CDB。
2. 在△EAD和△EBD中，
∵ EA=EB，DA=DB，ED=ED，
∴ △EAD≌△EBD（SSS）。
∴ ∠EDA=∠EDB。
3. 设AB中点为O，连接DO。
在△AOD和△BOD中，
∵ AD=BD，∠ADO=∠BDO（由∠CDA=∠CDB得），DO=DO，
∴ △AOD≌△BOD（SAS）。
∴ ∠AOD=∠BOD=90°，即CD⊥AB。
4. 同理，可证ED⊥AB。
5. ∵ CD⊥AB，ED⊥AB，
∴ CD与ED在同一直线上（过一点有且只有一条直线与已知直线垂直）。
∴ C，D，E三点在一条直线上。
11. 如图，在四边形$ABCD$中，$AD// BC$，点$E$，$F$分别在$AD$，$BC$上，$AE = CF$，过点$A$，$C$分别作直线$EF$的垂线，垂足分别为$G$，$H$。
（1）求证：$\triangle AGE\cong\triangle CHF$。
（2）连接$AC$，线段$GH$与$AC$是否互相平分？请说明理由。
（1）求证：$\triangle AGE\cong\triangle CHF$。
（2）连接$AC$，线段$GH$与$AC$是否互相平分？请说明理由。
答案
（1）∵AG⊥EF，CH⊥EF，
∴∠AGE=∠CHF=90°．
∵AD//BC，
∴∠AEG=∠CFH（内错角相等）．
在△AGE和△CHF中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠AGE=∠CHF,\\ ∠AEG=∠CFH,\\ AE=CF,\end{array}\right.$
∴△AGE≌△CHF（AAS）．
（2）互相平分．理由如下：
∵△AGE≌△CHF，
∴AG=CH．
∵AG⊥EF，CH⊥EF，
∴AG//CH．
∴四边形AGCH是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．
∴AC与GH互相平分（平行四边形对角线互相平分）．
∴∠AGE=∠CHF=90°．
∵AD//BC，
∴∠AEG=∠CFH（内错角相等）．
在△AGE和△CHF中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠AGE=∠CHF,\\ ∠AEG=∠CFH,\\ AE=CF,\end{array}\right.$
∴△AGE≌△CHF（AAS）．
（2）互相平分．理由如下：
∵△AGE≌△CHF，
∴AG=CH．
∵AG⊥EF，CH⊥EF，
∴AG//CH．
∴四边形AGCH是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．
∴AC与GH互相平分（平行四边形对角线互相平分）．
