1. 在$\triangle ABC$中，若$AB = 2$，$AC = 4$，且$BC$的长为整数，则$\triangle ABC$的周长可能是(
A.8
B.11
C.12
D.15
B
)A.8
B.11
C.12
D.15
答案
1.B
解析
在$\triangle ABC$中，根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。已知$AB = 2$，$AC = 4$，则$AC - AB ＜ BC ＜ AC + AB$，即$4 - 2 ＜ BC ＜ 4 + 2$，所以$2 ＜ BC ＜ 6$。因为$BC$的长为整数，所以$BC$可能为$3$、$4$、$5$。
当$BC = 3$时，周长为$AB + AC + BC = 2 + 4 + 3 = 9$；
当$BC = 4$时，周长为$2 + 4 + 4 = 10$；
当$BC = 5$时，周长为$2 + 4 + 5 = 11$。
综上，$\triangle ABC$的周长可能是$9$、$10$、$11$，选项中只有$11$符合，故答案为B。
当$BC = 3$时，周长为$AB + AC + BC = 2 + 4 + 3 = 9$；
当$BC = 4$时，周长为$2 + 4 + 4 = 10$；
当$BC = 5$时，周长为$2 + 4 + 5 = 11$。
综上，$\triangle ABC$的周长可能是$9$、$10$、$11$，选项中只有$11$符合，故答案为B。
2. 如图，点$D$，$E$分别在$\triangle ABC$的边上，连接$AD$，$CE$，$DE$，且$AD$，$CE$交于点$F$。若$\angle ACE=\frac{1}{2}\angle ACB$，$BC = 2BD$，则下列说法错误的是(
A.$AD$是$\triangle ABC$的中线
B.$S_{\triangle BDE}=S_{\triangle CDE}$
C.$CE$是$\triangle ADC$的角平分线
D.$\angle ACB = 2\angle DCF$
C
)A.$AD$是$\triangle ABC$的中线
B.$S_{\triangle BDE}=S_{\triangle CDE}$
C.$CE$是$\triangle ADC$的角平分线
D.$\angle ACB = 2\angle DCF$
答案
2.C
解析
证明：
A.
∵ $BC=2BD$，
∴ $BD=DC$，
∴ $AD$ 是 $\triangle ABC$ 的中线，A 正确；
B.
∵ $BD=DC$，$\triangle BDE$ 与 $\triangle CDE$ 同高，
∴ $S_{\triangle BDE}=S_{\triangle CDE}$，B 正确；
C. 由 $\angle ACE=\frac{1}{2}\angle ACB$ 知 $\angle ACE=\angle ECB$，但 $CE$ 平分 $\angle ACB$ 而非 $\angle ADC$，C 错误；
D.
∵ $\angle ACE=\frac{1}{2}\angle ACB$，$\angle ACE=\angle DCF+\angle FCD$（此处应为 $\angle ACE=\angle DCF$，因 $D$ 在 $BC$ 上），
∴ $\angle ACB=2\angle DCF$，D 正确。
错误选项：C
A.
∵ $BC=2BD$，
∴ $BD=DC$，
∴ $AD$ 是 $\triangle ABC$ 的中线，A 正确；
B.
∵ $BD=DC$，$\triangle BDE$ 与 $\triangle CDE$ 同高，
∴ $S_{\triangle BDE}=S_{\triangle CDE}$，B 正确；
C. 由 $\angle ACE=\frac{1}{2}\angle ACB$ 知 $\angle ACE=\angle ECB$，但 $CE$ 平分 $\angle ACB$ 而非 $\angle ADC$，C 错误；
D.
∵ $\angle ACE=\frac{1}{2}\angle ACB$，$\angle ACE=\angle DCF+\angle FCD$（此处应为 $\angle ACE=\angle DCF$，因 $D$ 在 $BC$ 上），
∴ $\angle ACB=2\angle DCF$，D 正确。
错误选项：C
3. 如图，$\triangle ABC\cong\triangle DEF$。若$\angle A = 40^{\circ}$，$\angle CED = 35^{\circ}$，则$\angle FEC$的度数为(
A.$25^{\circ}$
B.$30^{\circ}$
C.$35^{\circ}$
D.$40^{\circ}$
B
)A.$25^{\circ}$
B.$30^{\circ}$
C.$35^{\circ}$
D.$40^{\circ}$
答案
3.B
解析
证明：
∵$\triangle ABC\cong\triangle DEF$，
∴$\angle A=\angle D=40°$。
在$\triangle CED$中，$\angle CED=35°$，
∴$\angle ECD=180°-\angle D-\angle CED=180°-40°-35°=105°$。
∵$\angle ACB+\angle ECD=180°$（平角定义），
∴$\angle ACB=180°-105°=75°$。
∵$\triangle ABC\cong\triangle DEF$，
∴$\angle DFE=\angle ACB=75°$。
在$\triangle FEC$中，$\angle FEC=180°-\angle DFE-\angle CED=180°-75°-75°=30°$。
答案：B
∵$\triangle ABC\cong\triangle DEF$，
∴$\angle A=\angle D=40°$。
在$\triangle CED$中，$\angle CED=35°$，
∴$\angle ECD=180°-\angle D-\angle CED=180°-40°-35°=105°$。
∵$\angle ACB+\angle ECD=180°$（平角定义），
∴$\angle ACB=180°-105°=75°$。
∵$\triangle ABC\cong\triangle DEF$，
∴$\angle DFE=\angle ACB=75°$。
在$\triangle FEC$中，$\angle FEC=180°-\angle DFE-\angle CED=180°-75°-75°=30°$。
答案：B
4. (教材$P43$例$1$变式)如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$D$为$BC$上一点，且$DA = DC$，$BD = BA$，则$\angle B$的度数为(
A.$40^{\circ}$
B.$36^{\circ}$
C.$30^{\circ}$
D.$25^{\circ}$
B
)A.$40^{\circ}$
B.$36^{\circ}$
C.$30^{\circ}$
D.$25^{\circ}$
答案
4.B
解析
证明：设$\angle B = x$。
$\because AB = AC$，
$\therefore \angle C = \angle B = x$。
$\because DA = DC$，
$\therefore \angle DAC = \angle C = x$，
$\therefore \angle ADB = \angle DAC + \angle C = 2x$。
$\because BD = BA$，
$\therefore \angle BAD = \angle ADB = 2x$。
在$\triangle ABC$中，$\angle BAC = \angle BAD + \angle DAC = 3x$。
$\because \angle BAC + \angle B + \angle C = 180°$，
$\therefore 3x + x + x = 180°$，解得$x = 36°$。
$\therefore \angle B = 36°$。
B
$\because AB = AC$，
$\therefore \angle C = \angle B = x$。
$\because DA = DC$，
$\therefore \angle DAC = \angle C = x$，
$\therefore \angle ADB = \angle DAC + \angle C = 2x$。
$\because BD = BA$，
$\therefore \angle BAD = \angle ADB = 2x$。
在$\triangle ABC$中，$\angle BAC = \angle BAD + \angle DAC = 3x$。
$\because \angle BAC + \angle B + \angle C = 180°$，
$\therefore 3x + x + x = 180°$，解得$x = 36°$。
$\therefore \angle B = 36°$。
B
5. 如图，在锐角三角形$ABC$中，$AB = AC$，$AD$是$\triangle ABC$的角平分线，$E$是$AD$上一点，连接$EB$，$EC$。若$\angle EBC = 45^{\circ}$，$BC = 6$，则$\triangle EBC$的面积为(
A.12
B.9
C.6
D.以上都不对
B
)A.12
B.9
C.6
D.以上都不对
答案
5.B
解析
证明：
∵ $AB = AC$，$AD$是$\triangle ABC$的角平分线，
∴ $AD$垂直平分$BC$（等腰三角形三线合一），
∴ $BD = DC = \frac{BC}{2} = 3$，且$ED \perp BC$。
在$Rt\triangle EBD$中，$\angle EBC = 45°$，
∴ $\angle BED = 90° - 45° = 45°$，
∴ $ED = BD = 3$（等角对等边）。
$\triangle EBC$的面积为：
$S_{\triangle EBC} = \frac{1}{2} × BC × ED = \frac{1}{2} × 6 × 3 = 9$
答案：B
∵ $AB = AC$，$AD$是$\triangle ABC$的角平分线，
∴ $AD$垂直平分$BC$（等腰三角形三线合一），
∴ $BD = DC = \frac{BC}{2} = 3$，且$ED \perp BC$。
在$Rt\triangle EBD$中，$\angle EBC = 45°$，
∴ $\angle BED = 90° - 45° = 45°$，
∴ $ED = BD = 3$（等角对等边）。
$\triangle EBC$的面积为：
$S_{\triangle EBC} = \frac{1}{2} × BC × ED = \frac{1}{2} × 6 × 3 = 9$
答案：B
6. (教材$P50$习题第$6$题变式)如图，点$A$，$B$，$C$在同一条直线上，$\triangle ABD$，$\triangle BCE$均为等边三角形，连接$AE$和$CD$，$AE$分别交$CD$，$BD$于点$M$，$P$，$CD$交$BE$于点$Q$，连接$PQ$，$BM$。有下列结论：①$\triangle ABE\cong\triangle DBC$；②$\angle DMA = 60^{\circ}$；③$\triangle BPQ$为等边三角形；④$MB$平分$\angle AMC$。其中，正确的有(
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
D
)A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
6.D
解析
证明：
①
∵△ABD，△BCE为等边三角形，
∴AB=DB，BE=BC，∠ABD=∠CBE=60°，
∴∠ABE=∠DBC=120°，
在△ABE和△DBC中，
$\left\{\begin{array}{l} AB=DB\\ ∠ABE=∠DBC\\ BE=BC\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DBC(SAS)，①正确；
②
∵△ABE≌△DBC，
∴∠BAE=∠BDC，
∵∠DMA=∠BAE+∠ACD，∠ABD=∠BDC+∠ACD=60°，
∴∠DMA=∠ABD=60°，②正确；
③
∵∠ABD=∠CBE=60°，A，B，C共线，
∴∠DBE=60°，
在△ABP和△DBQ中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠BAP=∠BDQ\\ AB=DB\\ ∠ABP=∠DBQ=60°\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△DBQ(ASA)，
∴BP=BQ，
∵∠DBE=60°，
∴△BPQ为等边三角形，③正确；
④过B作BH⊥AE于H，BJ⊥CD于J，
∵△ABE≌△DBC，
∴AE=CD，S△ABE=S△DBC，
∴$\frac{1}{2}AE· BH=\frac{1}{2}CD· BJ$，
∴BH=BJ，
∵BH⊥AE，BJ⊥CD，
∴MB平分∠AMC，④正确。
综上，正确的有①②③④，共4个。
答案：D
①
∵△ABD，△BCE为等边三角形，
∴AB=DB，BE=BC，∠ABD=∠CBE=60°，
∴∠ABE=∠DBC=120°，
在△ABE和△DBC中，
$\left\{\begin{array}{l} AB=DB\\ ∠ABE=∠DBC\\ BE=BC\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DBC(SAS)，①正确；
②
∵△ABE≌△DBC，
∴∠BAE=∠BDC，
∵∠DMA=∠BAE+∠ACD，∠ABD=∠BDC+∠ACD=60°，
∴∠DMA=∠ABD=60°，②正确；
③
∵∠ABD=∠CBE=60°，A，B，C共线，
∴∠DBE=60°，
在△ABP和△DBQ中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠BAP=∠BDQ\\ AB=DB\\ ∠ABP=∠DBQ=60°\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△DBQ(ASA)，
∴BP=BQ，
∵∠DBE=60°，
∴△BPQ为等边三角形，③正确；
④过B作BH⊥AE于H，BJ⊥CD于J，
∵△ABE≌△DBC，
∴AE=CD，S△ABE=S△DBC，
∴$\frac{1}{2}AE· BH=\frac{1}{2}CD· BJ$，
∴BH=BJ，
∵BH⊥AE，BJ⊥CD，
∴MB平分∠AMC，④正确。
综上，正确的有①②③④，共4个。
答案：D
7. (新考法·条件开放题)如图，点$B$，$F$，$C$，$E$在同一条直线上，$AB// ED$，$AC// FD$，要使$\triangle ABC\cong\triangle DEF$，只需添加一个条件，则这个条件可以是
答案不唯一,如AB=DE
。答案
7.答案不唯一,如AB=DE
8. (2023·威海)如图，在正方形$ABCD$中，分别以点$A$，$B$为圆心，$AB$长为半径画弧，两弧交于点$E$，连接$DE$，则$\angle CDE$的度数为
15°
。答案
8.15°
解析
解：连接AE，BE，AD，BC，DC。
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=BC，∠ADC=90°。
∵分别以A，B为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，
∴AE=AB，BE=AB，
∴AE=BE=AB，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠EAB=60°。
∵∠DAB=90°，
∴∠DAE=∠DAB - ∠EAB=90° - 60°=30°。
∵AD=AE，
∴△ADE是等腰三角形，
∴∠ADE=∠AED=(180° - ∠DAE)/2=(180° - 30°)/2=75°。
∵∠ADC=90°，
∴∠CDE=∠ADC - ∠ADE=90° - 75°=15°。
15°
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=BC，∠ADC=90°。
∵分别以A，B为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，
∴AE=AB，BE=AB，
∴AE=BE=AB，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠EAB=60°。
∵∠DAB=90°，
∴∠DAE=∠DAB - ∠EAB=90° - 60°=30°。
∵AD=AE，
∴△ADE是等腰三角形，
∴∠ADE=∠AED=(180° - ∠DAE)/2=(180° - 30°)/2=75°。
∵∠ADC=90°，
∴∠CDE=∠ADC - ∠ADE=90° - 75°=15°。
15°
9. (整体思想)在$\triangle ABC$中，$AB$，$AC$的垂直平分线分别交$BC$于点$E$，$F$。若$\angle BAC = 115^{\circ}$，则$\angle EAF$的度数为
9.50°
。答案
9.50°
解析
在$\triangle ABC$中，
$\because \angle BAC=115^{\circ}$，
$\therefore \angle B+\angle C=180^{\circ}-\angle BAC=180^{\circ}-115^{\circ}=65^{\circ}$。
$\because AB$，$AC$的垂直平分线分别交$BC$于点$E$，$F$，
$\therefore EA=EB$，$FA=FC$，
$\therefore \angle EAB=\angle B$，$\angle FAC=\angle C$，
$\therefore \angle EAB+\angle FAC=\angle B+\angle C=65^{\circ}$，
$\therefore \angle EAF=\angle BAC-(\angle EAB+\angle FAC)=115^{\circ}-65^{\circ}=50^{\circ}$。
50°
$\because \angle BAC=115^{\circ}$，
$\therefore \angle B+\angle C=180^{\circ}-\angle BAC=180^{\circ}-115^{\circ}=65^{\circ}$。
$\because AB$，$AC$的垂直平分线分别交$BC$于点$E$，$F$，
$\therefore EA=EB$，$FA=FC$，
$\therefore \angle EAB=\angle B$，$\angle FAC=\angle C$，
$\therefore \angle EAB+\angle FAC=\angle B+\angle C=65^{\circ}$，
$\therefore \angle EAF=\angle BAC-(\angle EAB+\angle FAC)=115^{\circ}-65^{\circ}=50^{\circ}$。
50°
