13. 如图,$P$是直线$y=\frac {3}{4}x$上一动点,若点$A,B$的坐标分别为$(5,0),(9,3)$,则$\triangle PAB$的面积为
$\frac{15}{2}$
.答案
13.$\frac{15}{2}$ 解析：由点A，B的坐标，易得直线AB对应的函数表达式为y = $\frac{3}{4}$x - $\frac{15}{4}$，
∴直线AB可以看作是由直线OP向下平移$\frac{15}{4}$个单位长度得到的，即直线AB与直线OP平行.连接OB，根据“同底等高的两个三角形的面积相等”，得S△PAB = S△OAB = $\frac{1}{2}$OA·|yB| = $\frac{1}{2}$×5×3 = $\frac{15}{2}$.
∴直线AB可以看作是由直线OP向下平移$\frac{15}{4}$个单位长度得到的，即直线AB与直线OP平行.连接OB，根据“同底等高的两个三角形的面积相等”，得S△PAB = S△OAB = $\frac{1}{2}$OA·|yB| = $\frac{1}{2}$×5×3 = $\frac{15}{2}$.
14. 在平面直角坐标系中,已知$A(-1,0),B(3,0),C(0,-1)$三点,$D(1,m)$是一个动点.当$\triangle ACD$的周长最小时,$\triangle ABD$的面积为
$\frac{4}{3}$
.答案
14.$\frac{4}{3}$ 解析：根据题意，得点D在直线x = 1上运动，点C关于直线x = 1的对称点E的坐标为(2,-1).设直线AE对应的函数表达式为y = kx + b.把A(-1,0)，E(2,-1)代入，得$\begin{cases}0=-k+b,\\-1=2k+b,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-\frac{1}{3},\\b=-\frac{1}{3}.\end{cases}$
∴直线AE对应的函数表达式为y = - $\frac{1}{3}$x - $\frac{1}{3}$.易得当点D在直线AE上时，△ACD的周长最小，
∴将D(1,m)代入y = - $\frac{1}{3}$x - $\frac{1}{3}$，得m = - $\frac{1}{3}$ - $\frac{1}{3}$ = - $\frac{2}{3}$，即点D的坐标为(1,- $\frac{2}{3}$)，
∴当△ACD的周长最小时，S△ABD = $\frac{1}{2}$AB×| - $\frac{2}{3}$| = $\frac{1}{2}$×4×$\frac{2}{3}$ = $\frac{4}{3}$.
∴直线AE对应的函数表达式为y = - $\frac{1}{3}$x - $\frac{1}{3}$.易得当点D在直线AE上时，△ACD的周长最小，
∴将D(1,m)代入y = - $\frac{1}{3}$x - $\frac{1}{3}$，得m = - $\frac{1}{3}$ - $\frac{1}{3}$ = - $\frac{2}{3}$，即点D的坐标为(1,- $\frac{2}{3}$)，
∴当△ACD的周长最小时，S△ABD = $\frac{1}{2}$AB×| - $\frac{2}{3}$| = $\frac{1}{2}$×4×$\frac{2}{3}$ = $\frac{4}{3}$.
15. 某企业下属$A,B$两厂向甲、乙两地运送水泥共520吨,$A$厂比$B$厂少运送20吨,从$A$厂运往甲、乙两地的运费分别为40元/吨和35元/吨,从$B$厂运往甲、乙两地的运费分别为28元/吨和25元/吨.
(1)$A$厂运送
(2) 现甲地需要水泥240吨,乙地需要水泥280吨.受条件限制,从$B$厂运往甲地的水泥最多150吨.设从$A$厂运往甲地水泥$a$吨,从$A,B$两厂将水泥运往甲、乙两地的总运费为$w$元.求$w$与$a$之间的函数表达式,并请你为该企业设计一种总运费最低的运送方案.
(1)$A$厂运送
250
吨水泥,$B$厂运送270
吨水泥.(2) 现甲地需要水泥240吨,乙地需要水泥280吨.受条件限制,从$B$厂运往甲地的水泥最多150吨.设从$A$厂运往甲地水泥$a$吨,从$A,B$两厂将水泥运往甲、乙两地的总运费为$w$元.求$w$与$a$之间的函数表达式,并请你为该企业设计一种总运费最低的运送方案.
答案
15.(1)250 270 (2)
∵从A厂运往甲地水泥a吨，
∴从A厂运往乙地水泥(250 - a)吨，从B厂运往甲地水泥(240 - a)吨，从B厂运往乙地水泥280 - (250 - a) = (30 + a)吨.
∵从B厂运往甲地的水泥最多150吨，
∴240 - a ≤ 150，解得a ≥ 90.根据题意，得w = 40a + 35(250 - a) + 28(240 - a) + 25(a + 30) = 2a + 16220.
∵2 ＞ 0，
∴w随a的增大而增大，
∴当a = 90时，总运费最低，最低运费为2×90 + 16220 = 16400(元).答：总运费最低的运送方案为从A厂运往甲地水泥90吨，运往乙地水泥160吨，从B厂运往甲地水泥150吨，运往乙地水泥120吨，总运费最低为16400元
∵从A厂运往甲地水泥a吨，
∴从A厂运往乙地水泥(250 - a)吨，从B厂运往甲地水泥(240 - a)吨，从B厂运往乙地水泥280 - (250 - a) = (30 + a)吨.
∵从B厂运往甲地的水泥最多150吨，
∴240 - a ≤ 150，解得a ≥ 90.根据题意，得w = 40a + 35(250 - a) + 28(240 - a) + 25(a + 30) = 2a + 16220.
∵2 ＞ 0，
∴w随a的增大而增大，
∴当a = 90时，总运费最低，最低运费为2×90 + 16220 = 16400(元).答：总运费最低的运送方案为从A厂运往甲地水泥90吨，运往乙地水泥160吨，从B厂运往甲地水泥150吨，运往乙地水泥120吨，总运费最低为16400元
16. 如图①,某乘客乘高速列车从甲地经过乙地到丙地,高速列车匀速行驶,如图②所示为高速列车离乙地的距离$y(km)$与行驶时间$x(h)$之间的函数图象.
(1) 甲、丙两地间的距离是
(2) 求高速列车离乙地的距离$y(km)$与行驶时间$x(h)$之间的函数表达式,并写出$x$的取值范围.
(1) 甲、丙两地间的距离是
1050
$km$;(2) 求高速列车离乙地的距离$y(km)$与行驶时间$x(h)$之间的函数表达式,并写出$x$的取值范围.
答案
16.(1)1050 (2)当0≤x≤3时，设高速列车离乙地的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数表达式为y = k₁x + b₁.把(0,900)，(3,0)代入，得$\begin{cases}b_1=900,\\3k_1+b_1=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}k_1=-300,\\b_1=900.\end{cases}$
∴y = - 300x + 900.
∵高速列车的速度为900÷3 = 300(km/h)，150÷300 = 0.5(h)，3 + 0.5 = 3.5(h)，
∴图象过点(3.5,150).当3 ＜ x ≤ 3.5时，设高速列车离乙地的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数表达式为y = k₂x + b₂.把(3,0)，(3.5,150)代入，得$\begin{cases}3k_2+b_2=0,\\3.5k_2+b_2=150,\end{cases}$解得$\begin{cases}k_2=300,\\b_2=-900.\end{cases}$
∴y = 300x - 900，
∴y = $\begin{cases}-300x+900(0\leq x\leq3),\\300x-900(3＜x\leq3.5)\end{cases}$
∴y = - 300x + 900.
∵高速列车的速度为900÷3 = 300(km/h)，150÷300 = 0.5(h)，3 + 0.5 = 3.5(h)，
∴图象过点(3.5,150).当3 ＜ x ≤ 3.5时，设高速列车离乙地的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数表达式为y = k₂x + b₂.把(3,0)，(3.5,150)代入，得$\begin{cases}3k_2+b_2=0,\\3.5k_2+b_2=150,\end{cases}$解得$\begin{cases}k_2=300,\\b_2=-900.\end{cases}$
∴y = 300x - 900，
∴y = $\begin{cases}-300x+900(0\leq x\leq3),\\300x-900(3＜x\leq3.5)\end{cases}$
