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教材母题 (教材 $ P_{17}T_{13} $) 无论 $ p $ 取何值, 方程 $ (x - 3)(x - 2) - p^{2} = 0 $ 总有两个不相等的实数根吗? 给出答案并说明理由.
答案
解：原方程可化为
$x^{2}-5x+6-p^{2}=0$，
$\because \Delta =4p^{2}+1＞0$，
∴原方程总有两个不相等的实数根.
$x^{2}-5x+6-p^{2}=0$，
$\because \Delta =4p^{2}+1＞0$，
∴原方程总有两个不相等的实数根.
【教材变式 1】 不解方程, 判断下列方程根的情况.
(1) (2025 信阳) $ x^{2} + x + 3 = 0 $; (2) (2025 长沙) $ 3x^{2} - x - 2 = 0 $.
(1) (2025 信阳) $ x^{2} + x + 3 = 0 $; (2) (2025 长沙) $ 3x^{2} - x - 2 = 0 $.
答案
解：(1)$\because \Delta =1^{2}-4×1×3=-11＜0$，
∴方程没有实数根；
(2)$\because \Delta =(-1)^{2}-4×3×(-2)=25＞0$，
∴方程有两个不相等的实数根.
∴方程没有实数根；
(2)$\because \Delta =(-1)^{2}-4×3×(-2)=25＞0$，
∴方程有两个不相等的实数根.
【教材变式 2】 不解方程, 判断下列关于 $ x $ 的一元二次方程的根的情况.
(1) $ x^{2} - (m + 2)x + (2m - 1) = 0 $; (2) (2024 广安中考) $ \frac{1}{2}x^{2} + kx + k - \frac{1}{2} = 0 $.
(1) $ x^{2} - (m + 2)x + (2m - 1) = 0 $; (2) (2024 广安中考) $ \frac{1}{2}x^{2} + kx + k - \frac{1}{2} = 0 $.
答案
解：(1)$\because \Delta =(m+2)^{2}-4(2m-1)=(m-2)^{2}+4＞0$，
∴方程有两个不相等的实数根；
(2)$\because \Delta =k^{2}-4×\frac {1}{2}×(k-\frac {1}{2})=k^{2}-2k+1=(k-1)^{2}≥0$，
∴方程有两个实数根.
∴方程有两个不相等的实数根；
(2)$\because \Delta =k^{2}-4×\frac {1}{2}×(k-\frac {1}{2})=k^{2}-2k+1=(k-1)^{2}≥0$，
∴方程有两个实数根.
【教材变式 3】 定义新运算“$ a * b $”：对于任意实数 $ a,b $, 都有 $ a * b = (a + b)(a - b) - 1 $, 其中等式右边是通常的加法, 减法, 乘法运算, 例如 $ 3 * 2 = (3 + 2)(3 - 2) - 1 = 5 - 1 = 4 $. 若 $ x * k = 2x $ ( $ k $ 为实数) 是关于 $ x $ 的方程, 则它的根的情况为.
答案
有两个不相等的实数根
【教材变式 4】 若关于 $ x $ 的方程 $ 2x^{2} - 4x + t = 0 $ 没有实数根, 则 $ t $ 的取值范围是.
答案
$t＞2$
【教材变式 5】 (2024 湖北元调) 若关于 $ x $ 的方程 $ (m + 2)x^{2} - 3x + 1 = 0 $ 有两个实数根, 则 $ m $ 的取值范围是.
答案
$m≤\frac {1}{4}$且$m≠-2$
【教材变式 6】 (2024 宿迁中考) 规定: 对于任意实数 $ a,b,c $, 有 $ [a,b]★c = ac + b $, 其中等式的右边是通常的乘法和加法运算, 例如: $ [2,3]★1 = 2×1 + 3 = 5 $. 若关于 $ x $ 的方程 $ [x,x + 1]★(mx) = 0 $ 有两个不相等的实数根, 则 $ m $ 的取值范围是.
答案
$m＜\frac {1}{4}$且$m≠0$
【教材变式 7】 已知关于 $ x $ 的方程 $ x^{2} + (2m + 1)x + m^{2} + 1 = 0 $ 有两个不相等的实数根.
(1) 求 $ m $ 的取值范围;
(2) 判断关于 $ x $ 的方程 $ (m - 1)x^{2} + 2x - 1 = 0 $ 的根的情况.
(1) 求 $ m $ 的取值范围;
(2) 判断关于 $ x $ 的方程 $ (m - 1)x^{2} + 2x - 1 = 0 $ 的根的情况.
答案
解：(1)由题意知，$\Delta =(2m+1)^{2}-4(m^{2}+1)=4m-3＞0,\therefore m＞\frac {3}{4}$；
(2)①当$m=1$时，
原方程为$2x-1=0$，
故有一个实数根；
②当$m-1≠0$时，
$\Delta =2^{2}+4(m-1)=4m$，
![img alt=图片编号或题号]
(2)①当$m=1$时，
原方程为$2x-1=0$，
故有一个实数根；
②当$m-1≠0$时，
$\Delta =2^{2}+4(m-1)=4m$，
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