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1. 因式分解：①$x^{2}-4x= $____；②$x^{2}-6x + 9= $____；③$3x^{2}-27= $____；④$(x - 2)^{2}-9= $____；⑤$(x + 1)^{2}-3(x + 1)= $____；⑥$x^{2}-x - 20= $____。
答案
①$x(x - 4)$
②$(x - 3)^{2}$
③$3(x + 3)(x - 3)$
④$(x + 1)(x - 5)$
⑤$(x + 1)(x - 2)$
⑥$(x - 5)(x + 4)$
②$(x - 3)^{2}$
③$3(x + 3)(x - 3)$
④$(x + 1)(x - 5)$
⑤$(x + 1)(x - 2)$
⑥$(x - 5)(x + 4)$
2. 方程$4a^{2}-25 = 0$的左边因式分解后,原方程可化为____。
答案
$(2a + 5)(2a - 5)=0$
3. (2024江西中考)方程$(x + 2)(x - 5) = 0$的根是____。
答案
$x_{1}=-2,x_{2}=5$
4. (2024贵州中考改)方程$x^{2}-3x = 0$的根是____。
答案
$x_{1}=0,x_{2}=3$
5. (2024武汉六中)方程$(x - 1)^{2}= x - 1$的根为____。
答案
$x_{1}=1,x_{2}=2$
6. (2025孝感)对于任意实数$a$,$b$,定义一种运算：$a△b = a^{2}+b^{2}-ab$。若$x△(x - 1) = 3$,则$x$的值为____。
答案
2 或 -1
7. (2025绵阳)若方程$x^{2}-9x + 18 = 0$的两个根是等腰三角形的底边长和腰长,则三角形的周长为____。
答案
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8. (教材$P_{14}T_{1}$变式)用因式分解法解下列方程：
(1)$x^{2}-3x = 0$；(2)$(2x - 1)^{2}-x^{2}= 0$；(3)$x^{2}-3x + 2 = 0$。
(1)$x^{2}-3x = 0$；(2)$(2x - 1)^{2}-x^{2}= 0$；(3)$x^{2}-3x + 2 = 0$。
答案
解：(1)因式分解，得
$x(x - 3)=0$，
$\therefore x = 0$或$x - 3 = 0$，
$\therefore x_{1}=0,x_{2}=3$；
(2)因式分解，得
$(2x - 1 + x)(2x - 1 - x)=0$，
$\therefore 3x - 1 = 0$或$x - 1 = 0$，
$\therefore x_{1}=\frac{1}{3},x_{2}=1$；
(3)因式分解，得
$(x - 1)(x - 2)=0$，
$\therefore x - 1 = 0$或$x - 2 = 0$，
$\therefore x_{1}=1,x_{2}=2$.
$x(x - 3)=0$，
$\therefore x = 0$或$x - 3 = 0$，
$\therefore x_{1}=0,x_{2}=3$；
(2)因式分解，得
$(2x - 1 + x)(2x - 1 - x)=0$，
$\therefore 3x - 1 = 0$或$x - 1 = 0$，
$\therefore x_{1}=\frac{1}{3},x_{2}=1$；
(3)因式分解，得
$(x - 1)(x - 2)=0$，
$\therefore x - 1 = 0$或$x - 2 = 0$，
$\therefore x_{1}=1,x_{2}=2$.
9. 用适当的方法解下列方程：
(1)$2(x - 2)^{2}= 98$；(2)$2x^{2}-6x - 1 = 0$；(3)$2(x - 2)^{2}= 3(2 - x)$。
(1)$2(x - 2)^{2}= 98$；(2)$2x^{2}-6x - 1 = 0$；(3)$2(x - 2)^{2}= 3(2 - x)$。
答案
解：(1)$(x - 2)^{2}=49$，
$x - 2=\pm7$，
$\therefore x_{1}=9,x_{2}=-5$；
(2)$\because a = 2,b = - 6,c = - 1$，
$\therefore\Delta = b^{2}-4ac = (-6)^{2}-4\times2\times(-1)=44\gt0$，
$\therefore x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-6)\pm\sqrt{44}}{2\times2}=\frac{6\pm2\sqrt{11}}{4}$，
$\therefore x_{1}=\frac{3 + \sqrt{11}}{2},x_{2}=\frac{3 - \sqrt{11}}{2}$；
(3)$2(x - 2)^{2}-3(2 - x)=0$，
$2(x - 2)^{2}+3(x - 2)=0$，
$[2(x - 2)+3](x - 2)=0$，
$(2x - 1)(x - 2)=0$，
$\therefore x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$.
$x - 2=\pm7$，
$\therefore x_{1}=9,x_{2}=-5$；
(2)$\because a = 2,b = - 6,c = - 1$，
$\therefore\Delta = b^{2}-4ac = (-6)^{2}-4\times2\times(-1)=44\gt0$，
$\therefore x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-6)\pm\sqrt{44}}{2\times2}=\frac{6\pm2\sqrt{11}}{4}$，
$\therefore x_{1}=\frac{3 + \sqrt{11}}{2},x_{2}=\frac{3 - \sqrt{11}}{2}$；
(3)$2(x - 2)^{2}-3(2 - x)=0$，
$2(x - 2)^{2}+3(x - 2)=0$，
$[2(x - 2)+3](x - 2)=0$，
$(2x - 1)(x - 2)=0$，
$\therefore x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$.
