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10. (2025信阳)已知方程$(x + 3)(2x - 1) = 0$,则$2x - 1= $____。
答案
0 或 -7
11. (教材$P_{22}T_{5}$变式)若菱形$ABCD$的一条对角线长为8,边$CD的长是方程x^{2}-10x + 24 = 0$的一个根,则该菱形$ABCD$的周长为____。
答案
24
12. (2025长沙)已知$x = - 1是一元二次方程(3 - k)x^{2}+9x + k^{2}= 0$的一个根,则$k$的值为____。
答案
-2
13. 用因式分解法解下列方程：
(1)$(x - 3)^{2}-4(x - 2)^{2}= 0$；(2)$(2x + 3)^{2}-2x - 3 = 0$。
(1)$(x - 3)^{2}-4(x - 2)^{2}= 0$；(2)$(2x + 3)^{2}-2x - 3 = 0$。
答案
解：(1)因式分解，得
$[(x - 3)+2(x - 2)][(x - 3)-2(x - 2)]=0$，
$\therefore(x - 3)+2(x - 2)=0$或$(x - 3)-2(x - 2)=0$，
$\therefore x_{1}=\frac{7}{3},x_{2}=1$；
(2)因式分解，得
$(2x + 3)(2x + 3 - 1)=0$，
$\therefore 2x + 3 = 0$或$2x + 2 = 0$，
$\therefore x_{1}=-\frac{3}{2},x_{2}=-1$.
$[(x - 3)+2(x - 2)][(x - 3)-2(x - 2)]=0$，
$\therefore(x - 3)+2(x - 2)=0$或$(x - 3)-2(x - 2)=0$，
$\therefore x_{1}=\frac{7}{3},x_{2}=1$；
(2)因式分解，得
$(2x + 3)(2x + 3 - 1)=0$，
$\therefore 2x + 3 = 0$或$2x + 2 = 0$，
$\therefore x_{1}=-\frac{3}{2},x_{2}=-1$.
14. (2025武昌联考)已知关于$x的一元二次方程x^{2}-(k + 2)x + 2k = 0$。
(1)求证：无论$k$为何值,此方程总有一个根是定值；
(2)若直角三角形的一边长为3,另两边的长恰好是该方程的两根,求$k$的值。
(1)求证：无论$k$为何值,此方程总有一个根是定值；
(2)若直角三角形的一边长为3,另两边的长恰好是该方程的两根,求$k$的值。
答案
解：(1)$\because x^{2}-(k + 2)x + 2k = 0$，
$\therefore(x - 2)(x - k)=0$，
$\therefore x_{1}=2,x_{2}=k$，
$\therefore$无论$k$为何值，
此方程总有一个根是定值$x = 2$；
(2)由(1)知该方程的两根为$x_{1}=2,x_{2}=k$.
①若斜边长为 3，则另两直角边的长分别为 2 和$k$，
$\therefore 2^{2}+k^{2}=3^{2}$，
$\because k_{1}=\sqrt{5},k_{2}=-\sqrt{5}$（舍去）；
②若斜边长为$k$，则另两直角边的长分别为 2 和 3，$\therefore 2^{2}+3^{2}=k^{2}$，
$\because k_{1}=\sqrt{13},k_{2}=-\sqrt{13}$（舍去）.
综上所述，$k$的值为$\sqrt{5}$或$\sqrt{13}$.
$\therefore(x - 2)(x - k)=0$，
$\therefore x_{1}=2,x_{2}=k$，
$\therefore$无论$k$为何值，
此方程总有一个根是定值$x = 2$；
(2)由(1)知该方程的两根为$x_{1}=2,x_{2}=k$.
①若斜边长为 3，则另两直角边的长分别为 2 和$k$，
$\therefore 2^{2}+k^{2}=3^{2}$，
$\because k_{1}=\sqrt{5},k_{2}=-\sqrt{5}$（舍去）；
②若斜边长为$k$，则另两直角边的长分别为 2 和 3，$\therefore 2^{2}+3^{2}=k^{2}$，
$\because k_{1}=\sqrt{13},k_{2}=-\sqrt{13}$（舍去）.
综上所述，$k$的值为$\sqrt{5}$或$\sqrt{13}$.
15. (2025武汉二中)解方程$(x + 1)^{2}-5(x + 1)+4 = 0$时,我们可以将$x + 1$看成一个整体,设$x + 1 = y$,则原方程可化为$y^{2}-5y + 4 = 0$,解得$y_{1}= 1$,$y_{2}= 4$。当$y = 1$时,$x + 1 = 1$,解得$x = 0$；当$y = 4$时,$x + 1 = 4$,解得$x = 3$,所以原方程的解为$x_{1}= 0$,$x_{2}= 3$。请利用这种方法解下列方程：
(1)$(2x - 5)^{2}-(2x - 5)-2 = 0$；(2)$(x^{2}+2x)^{2}+x^{2}+2x - 6 = 0$。
(1)$(2x - 5)^{2}-(2x - 5)-2 = 0$；(2)$(x^{2}+2x)^{2}+x^{2}+2x - 6 = 0$。
答案
解：(1)设$2x - 5 = y$，
则原方程可化为$y^{2}-y - 2 = 0$，
$\therefore(y - 2)(y + 1)=0$，
解得$y_{1}=2,y_{2}=-1$.
当$y = 2$时，$2x - 5 = 2$，
解得$x=\frac{7}{2}$；
当$y = - 1$时，$2x - 5 = - 1$，
解得$x = 2$.
$\therefore$原方程的解为$x_{1}=\frac{7}{2},x_{2}=2$；
(2)设$x^{2}+2x = y$，
则原方程可化为$y^{2}+y - 6 = 0$，
$\therefore(y + 3)(y - 2)=0$，
解得$y_{1}=-3,y_{2}=2$.
当$y = - 3$时，$x^{2}+2x = - 3$，
方程无实数解；
当$y = 2$时，$x^{2}+2x = 2$，
解得$x_{1}=-1+\sqrt{3},x_{2}=-1-\sqrt{3}$.
$\therefore$原方程的解为$x_{1}=-1+\sqrt{3}$，
$x_{2}=-1-\sqrt{3}$.
则原方程可化为$y^{2}-y - 2 = 0$，
$\therefore(y - 2)(y + 1)=0$，
解得$y_{1}=2,y_{2}=-1$.
当$y = 2$时，$2x - 5 = 2$，
解得$x=\frac{7}{2}$；
当$y = - 1$时，$2x - 5 = - 1$，
解得$x = 2$.
$\therefore$原方程的解为$x_{1}=\frac{7}{2},x_{2}=2$；
(2)设$x^{2}+2x = y$，
则原方程可化为$y^{2}+y - 6 = 0$，
$\therefore(y + 3)(y - 2)=0$，
解得$y_{1}=-3,y_{2}=2$.
当$y = - 3$时，$x^{2}+2x = - 3$，
方程无实数解；
当$y = 2$时，$x^{2}+2x = 2$，
解得$x_{1}=-1+\sqrt{3},x_{2}=-1-\sqrt{3}$.
$\therefore$原方程的解为$x_{1}=-1+\sqrt{3}$，
$x_{2}=-1-\sqrt{3}$.
