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1.(教材$P_{9}T_{2}$变式)用配方法解下列方程:
(1)$x^{2}-4x-117= 0;$ (2)$3x^{2}+6x-13= 0.$
(1)$x^{2}-4x-117= 0;$ (2)$3x^{2}+6x-13= 0.$
答案
解：(1) 移项，得 $ x^{2}-4x = 117 $，
配方，得 $ x^{2}-4x + 4 = 117 + 4 $，
$ (x - 2)^{2} = 121 $，
$ \therefore x - 2 = \pm 11 $，
$ \therefore x_{1} = 13 $，$ x_{2} = -9 $；
(2) 移项，得 $ 3x^{2} + 6x = 13 $，
二次项系数化为 1，得 $ x^{2} + 2x = \frac{13}{3} $，
配方，得 $ x^{2} + 2x + 1 = \frac{13}{3} + 1 $，$ (x + 1)^{2} = \frac{16}{3} $，$ \therefore x + 1 = \pm \frac{4\sqrt{3}}{3} $，
$ \therefore x_{1} = -1 + \frac{4\sqrt{3}}{3} $，$ x_{2} = -1 - \frac{4\sqrt{3}}{3} $。
配方，得 $ x^{2}-4x + 4 = 117 + 4 $，
$ (x - 2)^{2} = 121 $，
$ \therefore x - 2 = \pm 11 $，
$ \therefore x_{1} = 13 $，$ x_{2} = -9 $；
(2) 移项，得 $ 3x^{2} + 6x = 13 $，
二次项系数化为 1，得 $ x^{2} + 2x = \frac{13}{3} $，
配方，得 $ x^{2} + 2x + 1 = \frac{13}{3} + 1 $，$ (x + 1)^{2} = \frac{16}{3} $，$ \therefore x + 1 = \pm \frac{4\sqrt{3}}{3} $，
$ \therefore x_{1} = -1 + \frac{4\sqrt{3}}{3} $，$ x_{2} = -1 - \frac{4\sqrt{3}}{3} $。
2.(2024乐山中考改)若关于x的多项式$4x^{2}+(k-2)x+9$是一个完全平方式,则k的值为______.
答案
14 或 -10. 解：由题意，
得 $ 4x^{2} + (k - 2)x + 9 = (2x \pm 3)^{2} $，
即 $ 4x^{2} + (k - 2)x + 9 = 4x^{2} \pm 12x + 9 $，
$ \therefore k - 2 = \pm 12 $，
$ \therefore k = 14 $ 或 $ k = -10 $。
得 $ 4x^{2} + (k - 2)x + 9 = (2x \pm 3)^{2} $，
即 $ 4x^{2} + (k - 2)x + 9 = 4x^{2} \pm 12x + 9 $，
$ \therefore k - 2 = \pm 12 $，
$ \therefore k = 14 $ 或 $ k = -10 $。
3.(2025武汉二中)已知$x^{2}+y^{2}-8x+10y+41= 0$.则$(x+y)^{2025}$的值为______.
答案
-1 解：-1.
配方，得 $ (x - 4)^{2} + (y + 5)^{2} = 0 $，
$ \therefore x - 4 = 0 $，$ y + 5 = 0 $，
$ \therefore x = 4 $，$ y = -5 $，
$ \therefore (x + y)^{2025} = (-1)^{2025} = -1 $。
配方，得 $ (x - 4)^{2} + (y + 5)^{2} = 0 $，
$ \therefore x - 4 = 0 $，$ y + 5 = 0 $，
$ \therefore x = 4 $，$ y = -5 $，
$ \therefore (x + y)^{2025} = (-1)^{2025} = -1 $。
4.已知$\triangle ABC$的三边长分别为a,b,c,且$c= 5,a^{2}-6a+b^{2}-8b+25= 0$.求证:$\triangle ABC$是直角三角形.
答案
证明：$ \because a^{2} - 6a + b^{2} - 8b + 25 = 0 $，
$ \therefore (a - 3)^{2} + (b - 4)^{2} = 0 $，
$ \therefore a = 3 $，$ b = 4 $。
$ \because c = 5 $，$ \therefore a^{2} + b^{2} = c^{2} $，
$ \therefore \triangle ABC $ 是直角三角形。
$ \therefore (a - 3)^{2} + (b - 4)^{2} = 0 $，
$ \therefore a = 3 $，$ b = 4 $。
$ \because c = 5 $，$ \therefore a^{2} + b^{2} = c^{2} $，
$ \therefore \triangle ABC $ 是直角三角形。
5.已知m,n为实数,$A= 2m^{2}-mn+n^{2},B= -3n^{2}+3mn+m^{2}-1$.比较多项式A与B的大小.
答案
解：$ \because A - B = (2m^{2} - mn + n^{2}) - (-3n^{2} + 3mn + m^{2} - 1) = m^{2} - 4mn + 4n^{2} + 1 = (m - 2n)^{2} + 1 ＞ 0 $，
$ \therefore A ＞ B $。
$ \therefore A ＞ B $。
6.(2025南通)【方法呈现】(1)把一个多项式进行配方,可以来解决代数式值的最小(或最大)问题.例如:$x^{2}+2x+3= (x^{2}+2x+1)+2= (x+1)^{2}+2,\because (x+1)^{2}≥0,\therefore (x+1)^{2}+2≥2$.则这个代数式$x^{2}+2x+3$的最小值是______,这时相应的x的值是______;
【尝试应用】(2)求代数式$-x^{2}+14x+10$的最大值,并写出相应的x的值.
(3)已知实数m,n满足$m^{2}+2m+n-3= 0$,则$4m+n$的最大值为______.
【尝试应用】(2)求代数式$-x^{2}+14x+10$的最大值,并写出相应的x的值.
(3)已知实数m,n满足$m^{2}+2m+n-3= 0$,则$4m+n$的最大值为______.
答案
解：(1) 2，-1；
(2) $ -x^{2} + 14x + 10 = -(x - 7)^{2} + 59 $，$ \because -(x - 7)^{2} \leq 0 $，
$ \therefore -(x - 7)^{2} + 59 \leq 59 $，
$ \therefore $ 代数式 $ -x^{2} + 14x + 10 $ 有最大值 59，相应的 $ x $ 的值为 7。
(3) 4. $ \because n = -m^{2} - 2m + 3 $，
$ \therefore 4m + n = 4m - m^{2} - 2m + 3 $
$ = -m^{2} + 2m + 3 $
$ = -(m - 1)^{2} + 4 \leq 4 $，
$ \therefore 4m + n $ 的最大值为 4。
(2) $ -x^{2} + 14x + 10 = -(x - 7)^{2} + 59 $，$ \because -(x - 7)^{2} \leq 0 $，
$ \therefore -(x - 7)^{2} + 59 \leq 59 $，
$ \therefore $ 代数式 $ -x^{2} + 14x + 10 $ 有最大值 59，相应的 $ x $ 的值为 7。
(3) 4. $ \because n = -m^{2} - 2m + 3 $，
$ \therefore 4m + n = 4m - m^{2} - 2m + 3 $
$ = -m^{2} + 2m + 3 $
$ = -(m - 1)^{2} + 4 \leq 4 $，
$ \therefore 4m + n $ 的最大值为 4。
