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1. (湖北中考)一元二次方程$x^2 -4x +3=0$的两个实数根为$x_1,x_2$，下列结论正确的是（
A.$x_1+x_2=-4$
B.$x_1+x_2=3$
C.$x_1x_2=4$
D.$x_1x_2=3$
D
）A.$x_1+x_2=-4$
B.$x_1+x_2=3$
C.$x_1x_2=4$
D.$x_1x_2=3$
答案
1. D
解析
【分析】
要解决这道题，我们需要用到一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）。首先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项，两根$x_1$、$x_2$满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。我们只需要先确定题目所给方程的$a$、$b$、$c$的值，代入公式计算两根之和与两根之积，再和选项对比就能得到正确答案。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 -4x +3=0$，可得：
二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-4$，常数项$c=3$。
根据根与系数的关系：
两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{(-4)}{1}=4$，因此选项A、B错误；
两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{3}{1}=3$，因此选项C错误，选项D正确。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对一元二次方程根与系数关系的应用，解题时要注意准确识别各项系数的符号，避免因符号看错导致计算错误。
【难度系数】
0.85
要解决这道题，我们需要用到一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）。首先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项，两根$x_1$、$x_2$满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。我们只需要先确定题目所给方程的$a$、$b$、$c$的值，代入公式计算两根之和与两根之积，再和选项对比就能得到正确答案。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 -4x +3=0$，可得：
二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-4$，常数项$c=3$。
根据根与系数的关系：
两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{(-4)}{1}=4$，因此选项A、B错误；
两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{3}{1}=3$，因此选项C错误，选项D正确。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对一元二次方程根与系数关系的应用，解题时要注意准确识别各项系数的符号，避免因符号看错导致计算错误。
【难度系数】
0.85
2.（河北中考）若一元二次方程$x(x+2)-3=0$的两根之和与两根之积分别为$m,n$，则点$(m,n)$在平面直角坐标系中位于（
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
C
）A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
2. C
解析
【分析】
解决本题的思路如下：首先需要将给定的一元二次方程整理为一般形式$ax^2+bx+c=0$，准确确定系数$a、b、c$的值；其次根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），分别计算出两根之和$m$与两根之积$n$；最后根据$m、n$的正负性，结合平面直角坐标系各象限的坐标符号特征，判断点$(m,n)$所在的象限。
【解析】
第一步：将原方程化为一元二次方程的一般形式：
展开$x(x+2)-3=0$，得$x^2 + 2x - 3 = 0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=2$，常数项$c=-3$。
第二步：根据根与系数的关系计算$m$和$n$：
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和为$-\frac{b}{a}$，两根之积为$\frac{c}{a}$，因此：
$m = -\frac{b}{a} = -\frac{2}{1} = -2$，$n = \frac{c}{a} = \frac{-3}{1} = -3$。
第三步：判断点所在象限：
点$(m,n)$即$(-2,-3)$，横坐标和纵坐标均为负数，符合第三象限内点的坐标特征，因此该点位于第三象限。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系 2. 平面直角坐标系象限判定 3. 一元二次方程化简
【点评】
本题属于基础综合题，将一元二次方程的相关知识与平面直角坐标系的内容结合考查，解题的关键是先将方程化为一般式再代入韦达定理计算，注意不要弄错系数的符号，熟练掌握各象限坐标的符号特征即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
解决本题的思路如下：首先需要将给定的一元二次方程整理为一般形式$ax^2+bx+c=0$，准确确定系数$a、b、c$的值；其次根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），分别计算出两根之和$m$与两根之积$n$；最后根据$m、n$的正负性，结合平面直角坐标系各象限的坐标符号特征，判断点$(m,n)$所在的象限。
【解析】
第一步：将原方程化为一元二次方程的一般形式：
展开$x(x+2)-3=0$，得$x^2 + 2x - 3 = 0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=2$，常数项$c=-3$。
第二步：根据根与系数的关系计算$m$和$n$：
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和为$-\frac{b}{a}$，两根之积为$\frac{c}{a}$，因此：
$m = -\frac{b}{a} = -\frac{2}{1} = -2$，$n = \frac{c}{a} = \frac{-3}{1} = -3$。
第三步：判断点所在象限：
点$(m,n)$即$(-2,-3)$，横坐标和纵坐标均为负数，符合第三象限内点的坐标特征，因此该点位于第三象限。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系 2. 平面直角坐标系象限判定 3. 一元二次方程化简
【点评】
本题属于基础综合题，将一元二次方程的相关知识与平面直角坐标系的内容结合考查，解题的关键是先将方程化为一般式再代入韦达定理计算，注意不要弄错系数的符号，熟练掌握各象限坐标的符号特征即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
3.（东营中考）若$x_1,x_2$是关于$x$的一元二次方程$x^2 - 25x - 1 = 0$的两个实数根，则代数式$x_1^2 - 24x_1 + x_2$的值为（
A.0
B.25
C.26
D.−1
C
）A.0
B.25
C.26
D.−1
答案
3. C
解析
【分析】
解题时首先利用一元二次方程根的定义，将所求代数式中的二次项$x_1^2$降次转化为一次式，化简后代数式会出现两根之和的形式，再结合一元二次方程根与系数的关系求出两根之和，代入即可得到结果，无需直接求解方程的根，可简化计算。
【解析】
∵ $x_1$是一元二次方程$x^2 - 25x - 1 = 0$的实数根，
∴ 将$x=x_1$代入方程得：$x_1^2 - 25x_1 - 1 = 0$，移项可得$x_1^2 = 25x_1 + 1$。
将$x_1^2 = 25x_1 + 1$代入代数式$x_1^2 - 24x_1 + x_2$得：
$\begin{aligned}原式&=25x_1 + 1 - 24x_1 + x_2\\&=x_1 + x_2 + 1\end{aligned}$
又
∵ $x_1,x_2$是方程$x^2 - 25x - 1 = 0$的两个实数根，根据根与系数的关系，两根之和$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 25$（其中$a=1,b=-25$）。
代入上式得：原式$=25 + 1 = 26$。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 根与系数的关系（韦达定理）
3. 代数式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程相关性质的综合基础题，解题核心是通过根的定义实现降次，将待求式转化为可利用韦达定理计算的形式，避开了直接求根的复杂运算，是此类代数式求值题的常用解题思路。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用一元二次方程根的定义，将所求代数式中的二次项$x_1^2$降次转化为一次式，化简后代数式会出现两根之和的形式，再结合一元二次方程根与系数的关系求出两根之和，代入即可得到结果，无需直接求解方程的根，可简化计算。
【解析】
∵ $x_1$是一元二次方程$x^2 - 25x - 1 = 0$的实数根，
∴ 将$x=x_1$代入方程得：$x_1^2 - 25x_1 - 1 = 0$，移项可得$x_1^2 = 25x_1 + 1$。
将$x_1^2 = 25x_1 + 1$代入代数式$x_1^2 - 24x_1 + x_2$得：
$\begin{aligned}原式&=25x_1 + 1 - 24x_1 + x_2\\&=x_1 + x_2 + 1\end{aligned}$
又
∵ $x_1,x_2$是方程$x^2 - 25x - 1 = 0$的两个实数根，根据根与系数的关系，两根之和$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 25$（其中$a=1,b=-25$）。
代入上式得：原式$=25 + 1 = 26$。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 根与系数的关系（韦达定理）
3. 代数式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程相关性质的综合基础题，解题核心是通过根的定义实现降次，将待求式转化为可利用韦达定理计算的形式，避开了直接求根的复杂运算，是此类代数式求值题的常用解题思路。
【难度系数】
0.7
4. 一元二次方程$x^2 - 2x - 3 = 0$与$2x^2 + 8x + 1 = 0$的所有根的和为
-2
.答案
4. -2
解析
【分析】
要计算两个一元二次方程所有根的和，无需分别求解每个根，可直接利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）简化计算：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$，$\Delta≥0$），两根之和为$-\frac{b}{a}$。解题步骤为：先分别求出两个方程各自的两根之和，再将两个和相加，即可得到所有根的总和，计算时注意符号不要出错。
【解析】
1. 求方程$x^2 - 2x - 3 = 0$的两根之和：
该方程中$a_1=1$，$b_1=-2$，且判别式$\Delta_1=(-2)^2-4×1×(-3)=16＞0$，有两个实数根，根据韦达定理，两根之和为：
$x_1+x_2=-\frac{b_1}{a_1}=-\frac{-2}{1}=2$
2. 求方程$2x^2 + 8x + 1 = 0$的两根之和：
该方程中$a_2=2$，$b_2=8$，且判别式$\Delta_2=8^2-4×2×1=56＞0$，有两个实数根，根据韦达定理，两根之和为：
$x_3+x_4=-\frac{b_2}{a_2}=-\frac{8}{2}=-4$
3. 计算所有根的和：
$2+(-4)=-2$
【答案】
$-2$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 实数的加减运算
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查韦达定理的应用，相较于直接求根再求和的方法，用韦达定理计算更简便，解题的易错点是计算两根和时符号处理错误。
【难度系数】
0.8
要计算两个一元二次方程所有根的和，无需分别求解每个根，可直接利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）简化计算：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$，$\Delta≥0$），两根之和为$-\frac{b}{a}$。解题步骤为：先分别求出两个方程各自的两根之和，再将两个和相加，即可得到所有根的总和，计算时注意符号不要出错。
【解析】
1. 求方程$x^2 - 2x - 3 = 0$的两根之和：
该方程中$a_1=1$，$b_1=-2$，且判别式$\Delta_1=(-2)^2-4×1×(-3)=16＞0$，有两个实数根，根据韦达定理，两根之和为：
$x_1+x_2=-\frac{b_1}{a_1}=-\frac{-2}{1}=2$
2. 求方程$2x^2 + 8x + 1 = 0$的两根之和：
该方程中$a_2=2$，$b_2=8$，且判别式$\Delta_2=8^2-4×2×1=56＞0$，有两个实数根，根据韦达定理，两根之和为：
$x_3+x_4=-\frac{b_2}{a_2}=-\frac{8}{2}=-4$
3. 计算所有根的和：
$2+(-4)=-2$
【答案】
$-2$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 实数的加减运算
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查韦达定理的应用，相较于直接求根再求和的方法，用韦达定理计算更简便，解题的易错点是计算两根和时符号处理错误。
【难度系数】
0.8
5. 关于$x$的一元二次方程$x^2 + 2x - 1 = 0$的两根之和为
-2
。答案
5. -2
解析
【分析】
本题要求一元二次方程的两根之和，可直接运用一元二次方程根与系数的关系求解，无需计算两根的具体值。首先回忆一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，其两根之和为$-\frac{b}{a}$，接下来只需对应找到题干方程中$a$、$b$的取值，代入公式计算即可。
【解析】
解：一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根据根与系数的关系，方程的两根之和满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。
题干中方程为$x^2+2x-1=0$，对应可得二次项系数$a=1$，一次项系数$b=2$，
代入公式得两根之和为$-\frac{b}{a}=-\frac{2}{1}=-2$。
【答案】
-2
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题属于基础题型，核心考查根与系数关系的直接应用，解题关键是准确识别一元二次方程的各项系数，同时注意两根之和公式的符号不要记错。
【难度系数】
0.9
本题要求一元二次方程的两根之和，可直接运用一元二次方程根与系数的关系求解，无需计算两根的具体值。首先回忆一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，其两根之和为$-\frac{b}{a}$，接下来只需对应找到题干方程中$a$、$b$的取值，代入公式计算即可。
【解析】
解：一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根据根与系数的关系，方程的两根之和满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。
题干中方程为$x^2+2x-1=0$，对应可得二次项系数$a=1$，一次项系数$b=2$，
代入公式得两根之和为$-\frac{b}{a}=-\frac{2}{1}=-2$。
【答案】
-2
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题属于基础题型，核心考查根与系数关系的直接应用，解题关键是准确识别一元二次方程的各项系数，同时注意两根之和公式的符号不要记错。
【难度系数】
0.9
6. 已知实数$a,b$是方程$x^2 - x - 1 = 0$的两根，求$\frac{b}{a} + \frac{a}{b}$的值.
答案
6. 解:由题意知,$a+b=1,ab=-1. \therefore \frac{b}{a}+\frac{a}{b}=\frac{(a+b)^2-2ab}{ab}=-3.$
解析
【分析】
已知a、b是一元二次方程的两根，要求$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$的值，首先可利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和$a+b$与两根之积$ab$；再将所求分式通分，结合完全平方公式把分子变形为含有$a+b$和$ab$的形式，最后整体代入数值计算即可，无需单独求解a、b的具体值，能简化计算过程。
【解析】
解：
∵实数a，b是方程$x^2 - x - 1 = 0$的两根，
根据一元二次方程根与系数的关系可得：
$a+b=1$，$ab=-1$，
对所求代数式化简：
$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}=\frac{b^2+a^2}{ab}=\frac{(a+b)^2-2ab}{ab}$，
将$a+b=1$，$ab=-1$代入上式：
原式$=\frac{1^2 - 2×(-1)}{-1}=\frac{1+2}{-1}=-3$。
【答案】
$-3$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式，分式化简
【点评】
本题是根与系数关系的典型基础应用题，解题核心是将所求代数式合理变形，转化为用两根之和、两根之积表示的形式，通过整体代入求值，既简化了计算步骤，也能避免求解方程根带来的计算失误。
【难度系数】
0.7
已知a、b是一元二次方程的两根，要求$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$的值，首先可利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和$a+b$与两根之积$ab$；再将所求分式通分，结合完全平方公式把分子变形为含有$a+b$和$ab$的形式，最后整体代入数值计算即可，无需单独求解a、b的具体值，能简化计算过程。
【解析】
解：
∵实数a，b是方程$x^2 - x - 1 = 0$的两根，
根据一元二次方程根与系数的关系可得：
$a+b=1$，$ab=-1$，
对所求代数式化简：
$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}=\frac{b^2+a^2}{ab}=\frac{(a+b)^2-2ab}{ab}$，
将$a+b=1$，$ab=-1$代入上式：
原式$=\frac{1^2 - 2×(-1)}{-1}=\frac{1+2}{-1}=-3$。
【答案】
$-3$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式，分式化简
【点评】
本题是根与系数关系的典型基础应用题，解题核心是将所求代数式合理变形，转化为用两根之和、两根之积表示的形式，通过整体代入求值，既简化了计算步骤，也能避免求解方程根带来的计算失误。
【难度系数】
0.7
7. 已知一元二次方程$x^2 - 2x + m = 0$。
（1）若方程有两个实数根，求$m$的取值范围；
（2）若方程的两个实数根为$x_1, x_2$，且$x_1 + 3x_2 = 3$，求$m$的值。
（1）若方程有两个实数根，求$m$的取值范围；
（2）若方程的两个实数根为$x_1, x_2$，且$x_1 + 3x_2 = 3$，求$m$的值。
答案
7. 解:(1) $\because$ 方程 $x^2 - 2x + m = 0$ 有两个实数根, $\therefore b^2 - 4ac=(-2)^2-4m≥0$,解得 $m≤1$； (2) 由根与系数的关系可知,$x_1+x_2=2,x_1x_2=m$. 解方程组$\begin{cases}x_1+x_2=2,\\x_1+3x_2=3.\end{cases}$得$\begin{cases}x_1=\frac{3}{2},\\x_2=\frac{1}{2}.\end{cases}$ $\therefore m=x_1x_2=\frac{3}{4}.$
解析
【分析】
（1）一元二次方程有两个实数根的前提是判别式$\Delta≥0$，先确定本题方程中$a=1$、$b=-2$、$c=m$，代入判别式得到关于$m$的不等式，解不等式即可求出$m$的取值范围。
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，可直接得到两根之和$x_1+x_2$的值，结合题目给出的$x_1+3x_2=3$，联立组成二元一次方程组，解出两个根的具体值，再根据两根之积等于$m$，代入计算即可求出$m$的值。
【解析】
（1）$\because$ 方程$x^2 - 2x + m = 0$有两个实数根，
$\therefore$ 判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4×1× m≥0$，
即$4 - 4m≥0$，解得$m≤1$。
（2）由根与系数的关系可知：$x_1+x_2 = -\frac{b}{a}=2$，$x_1x_2 = \frac{c}{a}=m$，
联立方程组$\begin{cases}x_1 + x_2 = 2\\x_1 + 3x_2 = 3\end{cases}$，
用第二个方程减去第一个方程得：$2x_2=1$，解得$x_2=\frac{1}{2}$，
将$x_2=\frac{1}{2}$代入$x_1+x_2=2$，得$x_1=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$，
$\therefore m = x_1x_2 = \frac{3}{2}×\frac{1}{2}=\frac{3}{4}$。
【答案】
（1）$m≤1$；（2）$m=\frac{3}{4}$
【知识点】
根的判别式，根与系数的关系，解二元一次方程组
【点评】
本题是一元二次方程的基础应用题型，既考查了用判别式判断方程根的情况的方法，也考查了韦达定理的简单应用，解题时要牢记相关公式，保证计算过程准确。
【难度系数】
0.8
（1）一元二次方程有两个实数根的前提是判别式$\Delta≥0$，先确定本题方程中$a=1$、$b=-2$、$c=m$，代入判别式得到关于$m$的不等式，解不等式即可求出$m$的取值范围。
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，可直接得到两根之和$x_1+x_2$的值，结合题目给出的$x_1+3x_2=3$，联立组成二元一次方程组，解出两个根的具体值，再根据两根之积等于$m$，代入计算即可求出$m$的值。
【解析】
（1）$\because$ 方程$x^2 - 2x + m = 0$有两个实数根，
$\therefore$ 判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4×1× m≥0$，
即$4 - 4m≥0$，解得$m≤1$。
（2）由根与系数的关系可知：$x_1+x_2 = -\frac{b}{a}=2$，$x_1x_2 = \frac{c}{a}=m$，
联立方程组$\begin{cases}x_1 + x_2 = 2\\x_1 + 3x_2 = 3\end{cases}$，
用第二个方程减去第一个方程得：$2x_2=1$，解得$x_2=\frac{1}{2}$，
将$x_2=\frac{1}{2}$代入$x_1+x_2=2$，得$x_1=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$，
$\therefore m = x_1x_2 = \frac{3}{2}×\frac{1}{2}=\frac{3}{4}$。
【答案】
（1）$m≤1$；（2）$m=\frac{3}{4}$
【知识点】
根的判别式，根与系数的关系，解二元一次方程组
【点评】
本题是一元二次方程的基础应用题型，既考查了用判别式判断方程根的情况的方法，也考查了韦达定理的简单应用，解题时要牢记相关公式，保证计算过程准确。
【难度系数】
0.8
8. 已知关于x的一元二次方程$x^2 +5x -m=0$的一个根是2，则另一个根是 （
A.-7
B.7
C.3
D.-3
A
）A.-7
B.7
C.3
D.-3
答案
8. A
解析
【分析】
解题有两种思路：① 利用一元二次方程根的定义：把已知根x=2代入原方程，先求出参数m的值，再解完整的一元二次方程，就能得到另一个根；② 利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和为$-\frac{b}{a}$，不需要计算参数m，直接结合已知根就能快速求出另一个根，第二种方法更简便。
【解析】
方法一（根与系数的关系法）：
设方程的另一个根为$x_1$，对于方程$x^2 +5x -m=0$，其中$a=1$，$b=5$，根据根与系数的关系，两根之和为$x_1 + 2 = -\frac{b}{a} = -\frac{5}{1} = -5$，
解得$x_1 = -5 - 2 = -7$。
方法二（代入求参法）：
将x=2代入原方程得：$2^2 + 5×2 - m = 0$，
计算得$4+10 - m=0$，解得$m=14$，
则原方程为$x^2 +5x -14=0$，
因式分解得$(x+7)(x-2)=0$，
解得$x_1=-7$，$x_2=2$，即另一个根为-7。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的根的定义
【点评】
本题属于基础题型，两种解题方法都可得到结果，其中运用根与系数的关系求解无需计算参数，运算量更小、效率更高，是解决这类问题的优先选择。
【难度系数】
0.9
解题有两种思路：① 利用一元二次方程根的定义：把已知根x=2代入原方程，先求出参数m的值，再解完整的一元二次方程，就能得到另一个根；② 利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和为$-\frac{b}{a}$，不需要计算参数m，直接结合已知根就能快速求出另一个根，第二种方法更简便。
【解析】
方法一（根与系数的关系法）：
设方程的另一个根为$x_1$，对于方程$x^2 +5x -m=0$，其中$a=1$，$b=5$，根据根与系数的关系，两根之和为$x_1 + 2 = -\frac{b}{a} = -\frac{5}{1} = -5$，
解得$x_1 = -5 - 2 = -7$。
方法二（代入求参法）：
将x=2代入原方程得：$2^2 + 5×2 - m = 0$，
计算得$4+10 - m=0$，解得$m=14$，
则原方程为$x^2 +5x -14=0$，
因式分解得$(x+7)(x-2)=0$，
解得$x_1=-7$，$x_2=2$，即另一个根为-7。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的根的定义
【点评】
本题属于基础题型，两种解题方法都可得到结果，其中运用根与系数的关系求解无需计算参数，运算量更小、效率更高，是解决这类问题的优先选择。
【难度系数】
0.9
9. 已知$m$，$n$是一元二次方程$x^2+3x-6=0$的两个根，则$m^2 - mn + n + 4m$的值为（
A.9
B.6
C.3
D.0
A
）A.9
B.6
C.3
D.0
答案
9. A
解析
【分析】
遇到一元二次方程两根相关的代数式求值问题，可从两个核心角度思考：①根的定义：方程的根代入原方程等式成立，可用来对高次项降次；②根与系数的关系（韦达定理）：可直接得到两根之和、两根之积，无需单独求根。本题所求式子含有二次项$m^2$，先利用根的定义把$m^2$替换为含$m$的一次式，化简后会出现$m+n$、$mn$的结构，再代入韦达定理的结论计算即可。
【解析】
解：$\because m$是一元二次方程$x^2+3x-6=0$的根，
$\therefore$将$x=m$代入方程得：$m^2+3m-6=0$，即$m^2=-3m+6$。
将$m^2=-3m+6$代入待求式：
$\begin{aligned}m^2 - mn + n + 4m&= (-3m +6) - mn + n + 4m\\&= m + n - mn + 6\end{aligned}$
又$\because m$、$n$是一元二次方程$x^2+3x-6=0$的两个根，根据根与系数的关系：
$m+n=-\frac{3}{1}=-3$，$mn=\frac{-6}{1}=-6$
将上述值代入化简后的式子：
原式$= (-3) - (-6) + 6 = -3 + 6 + 6 = 9$
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系；代数式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的典型考题，解题核心是通过降次将待求式转化为含两根之和、两根之积的结构，利用整体代入思想计算，避免了求解方程根的复杂运算。
【难度系数】
0.7
遇到一元二次方程两根相关的代数式求值问题，可从两个核心角度思考：①根的定义：方程的根代入原方程等式成立，可用来对高次项降次；②根与系数的关系（韦达定理）：可直接得到两根之和、两根之积，无需单独求根。本题所求式子含有二次项$m^2$，先利用根的定义把$m^2$替换为含$m$的一次式，化简后会出现$m+n$、$mn$的结构，再代入韦达定理的结论计算即可。
【解析】
解：$\because m$是一元二次方程$x^2+3x-6=0$的根，
$\therefore$将$x=m$代入方程得：$m^2+3m-6=0$，即$m^2=-3m+6$。
将$m^2=-3m+6$代入待求式：
$\begin{aligned}m^2 - mn + n + 4m&= (-3m +6) - mn + n + 4m\\&= m + n - mn + 6\end{aligned}$
又$\because m$、$n$是一元二次方程$x^2+3x-6=0$的两个根，根据根与系数的关系：
$m+n=-\frac{3}{1}=-3$，$mn=\frac{-6}{1}=-6$
将上述值代入化简后的式子：
原式$= (-3) - (-6) + 6 = -3 + 6 + 6 = 9$
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系；代数式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的典型考题，解题核心是通过降次将待求式转化为含两根之和、两根之积的结构，利用整体代入思想计算，避免了求解方程根的复杂运算。
【难度系数】
0.7
