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10. (安徽一模)已知关于$x$的一元二次方程$x^2 + 2ax = 2(a - 1)$.若$x_1, x_2$是该方程不相等的两个实数根,且满足$(x_1 + a)^2 + (x_2 + a)^2 = 12$,那么$a$的值为 （
A.$2$或$-4$
B.$-2$或$4$
C.$3$或$-4$
D.$-3$或$4$
A
）A.$2$或$-4$
B.$-2$或$4$
C.$3$或$-4$
D.$-3$或$4$
答案
10. A
解析
【分析】
解题时先分两步思考：第一步，题目给出一元二次方程有两个不相等的实数根，首先要想到利用根的判别式Δ＞0确定参数a的取值范围，后续解出a后要验证是否符合该范围；第二步，对于给出的含两根的等式$(x_1 + a)^2 + (x_2 + a)^2 = 12$，先利用完全平方公式展开，再通过完全平方公式的变形将$x_1^2+x_2^2$转化为用$x_1+x_2$和$x_1x_2$表示的形式，最后结合一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）代入计算，得到关于a的方程，求解后结合判别式的范围筛选即可。
【解析】
首先将原方程整理为标准形式：
$x^2 + 2ax + 2 - 2a = 0$
① 由方程有两个不相等的实数根，得判别式$\Delta＞0$：
$\Delta=(2a)^2 - 4×1×(2 - 2a)=4a^2 + 8a - 8＞0$
② 展开等式$(x_1 + a)^2 + (x_2 + a)^2 = 12$：
$x_1^2 + 2ax_1 + a^2 + x_2^2 + 2ax_2 + a^2 = 12$
整理得：$(x_1^2+x_2^2) + 2a(x_1+x_2) + 2a^2 = 12$
根据完全平方公式变形，$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2$，代入上式得：
$(x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 + 2a(x_1+x_2) + 2a^2 = 12$
③ 根据根与系数的关系，对于方程$x^2 + 2ax + 2 - 2a = 0$，有：
$x_1+x_2=-2a$，$x_1x_2=2 - 2a$
将上述两式代入变形后的等式：
$(-2a)^2 - 2(2 - 2a) + 2a×(-2a) + 2a^2 = 12$
计算左边：
$4a^2 - 4 + 4a - 4a^2 + 2a^2 = 2a^2 + 4a - 4$
因此得方程：
$2a^2 + 4a - 4 = 12$
化简得：$a^2 + 2a - 8 = 0$
因式分解得：$(a+4)(a-2)=0$
解得$a=-4$或$a=2$
④ 验证判别式：
当$a=2$时，$\Delta=4×2^2 +8×2 -8=24＞0$，符合要求；
当$a=-4$时，$\Delta=4×(-4)^2 +8×(-4) -8=24＞0$，符合要求。
因此a的值为2或-4，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，完全平方公式变形
【点评】
本题是一元二次方程相关知识的综合应用，解题时要注意参数的取值范围受根的情况限制，求出参数的解后务必验证是否满足判别式的要求，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
解题时先分两步思考：第一步，题目给出一元二次方程有两个不相等的实数根，首先要想到利用根的判别式Δ＞0确定参数a的取值范围，后续解出a后要验证是否符合该范围；第二步，对于给出的含两根的等式$(x_1 + a)^2 + (x_2 + a)^2 = 12$，先利用完全平方公式展开，再通过完全平方公式的变形将$x_1^2+x_2^2$转化为用$x_1+x_2$和$x_1x_2$表示的形式，最后结合一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）代入计算，得到关于a的方程，求解后结合判别式的范围筛选即可。
【解析】
首先将原方程整理为标准形式：
$x^2 + 2ax + 2 - 2a = 0$
① 由方程有两个不相等的实数根，得判别式$\Delta＞0$：
$\Delta=(2a)^2 - 4×1×(2 - 2a)=4a^2 + 8a - 8＞0$
② 展开等式$(x_1 + a)^2 + (x_2 + a)^2 = 12$：
$x_1^2 + 2ax_1 + a^2 + x_2^2 + 2ax_2 + a^2 = 12$
整理得：$(x_1^2+x_2^2) + 2a(x_1+x_2) + 2a^2 = 12$
根据完全平方公式变形，$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2$，代入上式得：
$(x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 + 2a(x_1+x_2) + 2a^2 = 12$
③ 根据根与系数的关系，对于方程$x^2 + 2ax + 2 - 2a = 0$，有：
$x_1+x_2=-2a$，$x_1x_2=2 - 2a$
将上述两式代入变形后的等式：
$(-2a)^2 - 2(2 - 2a) + 2a×(-2a) + 2a^2 = 12$
计算左边：
$4a^2 - 4 + 4a - 4a^2 + 2a^2 = 2a^2 + 4a - 4$
因此得方程：
$2a^2 + 4a - 4 = 12$
化简得：$a^2 + 2a - 8 = 0$
因式分解得：$(a+4)(a-2)=0$
解得$a=-4$或$a=2$
④ 验证判别式：
当$a=2$时，$\Delta=4×2^2 +8×2 -8=24＞0$，符合要求；
当$a=-4$时，$\Delta=4×(-4)^2 +8×(-4) -8=24＞0$，符合要求。
因此a的值为2或-4，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，完全平方公式变形
【点评】
本题是一元二次方程相关知识的综合应用，解题时要注意参数的取值范围受根的情况限制，求出参数的解后务必验证是否满足判别式的要求，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
11. 小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是－2和－5，则原来的方程是 （
A.$x^2 +6x +5=0$
B.$x^2 -7x +10=0$
C.$x^2 -5x +2=0$
D.$x^2 -6x -10=0$
B
）A.$x^2 +6x +5=0$
B.$x^2 -7x +10=0$
C.$x^2 -5x +2=0$
D.$x^2 -6x -10=0$
答案
11. B
解析
【分析】
本题可利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解，解题思路如下：
1. 首先明确：小影仅写错常数项，说明她求解得到的两根对应的一次项系数是正确的，可通过她的两根计算正确的一次项系数；
2. 小冬仅写错一次项系数，说明他求解得到的两根对应的常数项是正确的，可通过他的两根计算正确的常数项；
3. 结合求出的一次项系数和常数项，即可得到原方程。
【解析】
设原一元二次方程为$x^2 + bx + c = 0$，根据韦达定理：若方程两根为$x_1,x_2$，则$x_1+x_2=-b$，$x_1x_2=c$。
1. 小影写错常数项，一次项系数$b$正确：她得到的两根为6和1，因此两根之和为$6+1=7=-b$，解得$b=-7$；
2. 小冬写错一次项系数，常数项$c$正确：他得到的两根为-2和-5，因此两根之积为$(-2)×(-5)=10=c$；
3. 将$b=-7$、$c=10$代入方程，可得原方程为$x^2 -7x +10=0$。
【答案】
B
【知识点】
韦达定理，一元二次方程系数确定
【点评】
本题是韦达定理的典型应用题型，解题核心是准确判断写错某项系数时剩余项系数的正确性，再分别计算对应系数即可，是根与系数关系章节的常考题。
【难度系数】
0.7
本题可利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解，解题思路如下：
1. 首先明确：小影仅写错常数项，说明她求解得到的两根对应的一次项系数是正确的，可通过她的两根计算正确的一次项系数；
2. 小冬仅写错一次项系数，说明他求解得到的两根对应的常数项是正确的，可通过他的两根计算正确的常数项；
3. 结合求出的一次项系数和常数项，即可得到原方程。
【解析】
设原一元二次方程为$x^2 + bx + c = 0$，根据韦达定理：若方程两根为$x_1,x_2$，则$x_1+x_2=-b$，$x_1x_2=c$。
1. 小影写错常数项，一次项系数$b$正确：她得到的两根为6和1，因此两根之和为$6+1=7=-b$，解得$b=-7$；
2. 小冬写错一次项系数，常数项$c$正确：他得到的两根为-2和-5，因此两根之积为$(-2)×(-5)=10=c$；
3. 将$b=-7$、$c=10$代入方程，可得原方程为$x^2 -7x +10=0$。
【答案】
B
【知识点】
韦达定理，一元二次方程系数确定
【点评】
本题是韦达定理的典型应用题型，解题核心是准确判断写错某项系数时剩余项系数的正确性，再分别计算对应系数即可，是根与系数关系章节的常考题。
【难度系数】
0.7
12. 关于$x$的一元二次方程$x^2 -8x +m=0$的两根为$x_1,x_2$，且$x_1=3x_2$，则$m$的值为
12
。答案
12. 12
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数关系的应用，解题思路如下：首先回忆一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的根与系数关系：两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$。结合本题已知条件$x_1=3x_2$，可先将$x_1$用$x_2$表示后代入两根之和的式子，求出两根的具体值，最后代入两根之积的表达式即可算出$m$的值。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 -8x +m=0$，其中$a=1$，$b=-8$，$c=m$，根据根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 8$，$x_1x_2 = \frac{c}{a} = m$
已知$x_1=3x_2$，将其代入$x_1 + x_2 = 8$中得：
$3x_2 + x_2 = 8$
合并同类项得$4x_2=8$，解得$x_2=2$
则$x_1=3×2=6$
因此$m = x_1x_2 = 6×2 = 12$
【答案】
12
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系 2. 代入消元法
【点评】
本题属于基础题型，核心考查韦达定理的应用，解题关键是结合已知的两根倍数关系和两根之和求出两根具体值，再通过两根之积计算参数，掌握根与系数的基本关系就能轻松解题。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程根与系数关系的应用，解题思路如下：首先回忆一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的根与系数关系：两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$。结合本题已知条件$x_1=3x_2$，可先将$x_1$用$x_2$表示后代入两根之和的式子，求出两根的具体值，最后代入两根之积的表达式即可算出$m$的值。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 -8x +m=0$，其中$a=1$，$b=-8$，$c=m$，根据根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 8$，$x_1x_2 = \frac{c}{a} = m$
已知$x_1=3x_2$，将其代入$x_1 + x_2 = 8$中得：
$3x_2 + x_2 = 8$
合并同类项得$4x_2=8$，解得$x_2=2$
则$x_1=3×2=6$
因此$m = x_1x_2 = 6×2 = 12$
【答案】
12
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系 2. 代入消元法
【点评】
本题属于基础题型，核心考查韦达定理的应用，解题关键是结合已知的两根倍数关系和两根之和求出两根具体值，再通过两根之积计算参数，掌握根与系数的基本关系就能轻松解题。
【难度系数】
0.8
13. 如果关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”。已知关于$x$的方程$x^2-(m-1)x - m = 0$（$m$是常数）是“邻根方程”，则$m$的值为________。
答案
13. 0或－2
解析
【分析】
解题时首先要准确理解“邻根方程”的定义：即一元二次方程的两个实数根相差1，等价于两根差的绝对值为1。接下来我们可以先对给定的一元二次方程进行因式分解，直接求出两个根的表达式，再根据两根差的绝对值为1列绝对值方程，最后求解绝对值方程即可得到m的值，整个过程都是我们已经学过的知识，注意不要漏解。
【解析】
先解方程$x^2-(m-1)x - m = 0$，
对左边因式分解可得：$(x - m)(x + 1) = 0$，
解得两个根为：$x_1 = m$，$x_2 = -1$。
因为该方程是“邻根方程”，所以两根差的绝对值为1，即：
$|m - (-1)| = 1$，也就是$|m + 1| = 1$，
去绝对值得：$m + 1 = 1$ 或 $m + 1 = -1$，
分别解得：$m = 0$ 或 $m = -2$。
【答案】
0或－2
【知识点】
因式分解解一元二次方程、新定义运算、绝对值化简
【点评】
本题属于新定义类基础题，核心是将陌生的“邻根方程”定义转化为熟悉的两根差为1的数量关系，再结合一元二次方程的解法列式计算即可，求解绝对值方程时要注意两种情况都要考虑，避免漏解。
【难度系数】
0.7
解题时首先要准确理解“邻根方程”的定义：即一元二次方程的两个实数根相差1，等价于两根差的绝对值为1。接下来我们可以先对给定的一元二次方程进行因式分解，直接求出两个根的表达式，再根据两根差的绝对值为1列绝对值方程，最后求解绝对值方程即可得到m的值，整个过程都是我们已经学过的知识，注意不要漏解。
【解析】
先解方程$x^2-(m-1)x - m = 0$，
对左边因式分解可得：$(x - m)(x + 1) = 0$，
解得两个根为：$x_1 = m$，$x_2 = -1$。
因为该方程是“邻根方程”，所以两根差的绝对值为1，即：
$|m - (-1)| = 1$，也就是$|m + 1| = 1$，
去绝对值得：$m + 1 = 1$ 或 $m + 1 = -1$，
分别解得：$m = 0$ 或 $m = -2$。
【答案】
0或－2
【知识点】
因式分解解一元二次方程、新定义运算、绝对值化简
【点评】
本题属于新定义类基础题，核心是将陌生的“邻根方程”定义转化为熟悉的两根差为1的数量关系，再结合一元二次方程的解法列式计算即可，求解绝对值方程时要注意两种情况都要考虑，避免漏解。
【难度系数】
0.7
14. 已知斜边长为5的直角三角形的两条直角边的长$a,b$是方程$x^2-(2m-1)x+4(m-1)=0$的两个根，求$m$的值.
答案
14. 解:由一元二次方程根与系数的关系,可得$a+b=2m-1,ab=4(m-1)$. 由勾股定理可得 $a^2 + b^2 = 5^2 = 25.$ $\therefore (a+b)^2 - 2ab=(2m-1)^2 - 8(m-1)=25$,解得 $m_1=4$,$m_2=-1$(不合题意,舍去). $\therefore m$ 的值为 4.
解析
【分析】
解题时首先根据“a、b是方程的两个根”这一条件，联想到一元二次方程根与系数的关系，可得到含m的a+b与ab的表达式；再结合直角三角形斜边长为5的条件，利用勾股定理得到$a^2+b^2=25$；接下来利用完全平方公式的变形$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$，将前两步的结果代入即可构造出关于m的一元二次方程；最后求解方程后，注意a、b是直角边长度，均为正数，要检验m的取值是否符合实际意义，舍去不合题意的解即可得到正确结果。
【解析】
解：
∵a、b是方程$x^2-(2m-1)x+4(m-1)=0$的两个根，
根据一元二次方程根与系数的关系可得：
$a+b=2m-1$，$ab=4(m-1)$，
∵a、b是斜边长为5的直角三角形的两条直角边，
由勾股定理得：$a^2 + b^2 = 5^2 = 25$，
又
∵$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$，
将$a+b$、$ab$代入得：
$(2m-1)^2 - 2×4(m-1)=25$，
整理得$m^2-3m-4=0$，
解得$m_1=4$，$m_2=-1$，
当$m=-1$时，$a+b=2×(-1)-1=-3＜0$，不符合边长为正的实际意义，故舍去，
∴m的值为4。
【答案】
$\boxed{4}$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，勾股定理，完全平方公式
【点评】
本题是代数与几何结合的基础综合题，解题核心是利用根与系数的关系结合完全平方公式变形，将几何的勾股定理转化为关于参数的方程，求解后需结合实际意义检验参数的解，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据“a、b是方程的两个根”这一条件，联想到一元二次方程根与系数的关系，可得到含m的a+b与ab的表达式；再结合直角三角形斜边长为5的条件，利用勾股定理得到$a^2+b^2=25$；接下来利用完全平方公式的变形$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$，将前两步的结果代入即可构造出关于m的一元二次方程；最后求解方程后，注意a、b是直角边长度，均为正数，要检验m的取值是否符合实际意义，舍去不合题意的解即可得到正确结果。
【解析】
解：
∵a、b是方程$x^2-(2m-1)x+4(m-1)=0$的两个根，
根据一元二次方程根与系数的关系可得：
$a+b=2m-1$，$ab=4(m-1)$，
∵a、b是斜边长为5的直角三角形的两条直角边，
由勾股定理得：$a^2 + b^2 = 5^2 = 25$，
又
∵$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$，
将$a+b$、$ab$代入得：
$(2m-1)^2 - 2×4(m-1)=25$，
整理得$m^2-3m-4=0$，
解得$m_1=4$，$m_2=-1$，
当$m=-1$时，$a+b=2×(-1)-1=-3＜0$，不符合边长为正的实际意义，故舍去，
∴m的值为4。
【答案】
$\boxed{4}$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，勾股定理，完全平方公式
【点评】
本题是代数与几何结合的基础综合题，解题核心是利用根与系数的关系结合完全平方公式变形，将几何的勾股定理转化为关于参数的方程，求解后需结合实际意义检验参数的解，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
15. 已知关于$x$的方程$x^2 - (k + 4)x + 2k + 4 = 0$.
（1）求证：不论$k$为何值，该方程总有两个实数根；
（2）设该方程的两个根为$x_1, x_2$，若$x_1 + x_2 = 7$，求$k$的值.
（1）求证：不论$k$为何值，该方程总有两个实数根；
（2）设该方程的两个根为$x_1, x_2$，若$x_1 + x_2 = 7$，求$k$的值.
答案
15. （1）证明：$b^2 - 4ac=[-(k + 4)]^2 - 4(2k + 4)=k^2 + 8k + 16 - 8k - 16=k^2$,$\because k^2≥0$,$\therefore b^2 - 4ac≥0$. $\therefore x^2 - (k + 4)x + 2k + 4 = 0$ 总有两个实数根； （2）解: $\because x^2 - (k + 4)x + 2k + 4 = 0$ 的两个根为 $x_1,x_2$,$\therefore x_1 + x_2 = k + 4$. $\because x_1 + x_2 = 7$,$\therefore k + 4 = 7$,解得 $k=3$.
解析
【分析】
（1）要证明一元二次方程总有两个实数根，需通过根的判别式Δ=b²-4ac的取值判断，只要Δ≥0即可满足结论。首先确定方程中a、b、c对应的代数式，代入判别式公式化简，验证化简结果恒为非负数即可。
（2）已知方程两根之和，可直接用一元二次方程根与系数的关系：对于ax²+bx+c=0，两根之和为-b/a，代入对应系数列出关于k的方程，求解即可得到k的值。
【解析】
（1）证明：在方程$x^2 - (k + 4)x + 2k + 4 = 0$中，$a=1$，$b=-(k+4)$，$c=2k+4$，
则判别式$\Delta = b^2 - 4ac=[-(k + 4)]^2 - 4(2k + 4)=k^2 + 8k + 16 - 8k - 16=k^2$，
$\because k^2≥0$，$\therefore \Delta≥0$，
$\therefore$不论$k$为何值，$x^2 - (k + 4)x + 2k + 4 = 0$ 总有两个实数根。
（2）解：$\because$方程$x^2 - (k + 4)x + 2k + 4 = 0$ 的两个根为 $x_1,x_2$，
根据根与系数的关系可得$x_1 + x_2 = k + 4$，
又$\because x_1 + x_2 = 7$，
$\therefore k + 4 = 7$，解得 $k=3$。
【答案】
（1）不论$k$为何值，该方程总有两个实数根，证明成立；（2）$k=3$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程的基础考查题，解题核心是熟练运用根的判别式判断根的情况、根与系数的关系列方程求解，计算量小，掌握基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.9
（1）要证明一元二次方程总有两个实数根，需通过根的判别式Δ=b²-4ac的取值判断，只要Δ≥0即可满足结论。首先确定方程中a、b、c对应的代数式，代入判别式公式化简，验证化简结果恒为非负数即可。
（2）已知方程两根之和，可直接用一元二次方程根与系数的关系：对于ax²+bx+c=0，两根之和为-b/a，代入对应系数列出关于k的方程，求解即可得到k的值。
【解析】
（1）证明：在方程$x^2 - (k + 4)x + 2k + 4 = 0$中，$a=1$，$b=-(k+4)$，$c=2k+4$，
则判别式$\Delta = b^2 - 4ac=[-(k + 4)]^2 - 4(2k + 4)=k^2 + 8k + 16 - 8k - 16=k^2$，
$\because k^2≥0$，$\therefore \Delta≥0$，
$\therefore$不论$k$为何值，$x^2 - (k + 4)x + 2k + 4 = 0$ 总有两个实数根。
（2）解：$\because$方程$x^2 - (k + 4)x + 2k + 4 = 0$ 的两个根为 $x_1,x_2$，
根据根与系数的关系可得$x_1 + x_2 = k + 4$，
又$\because x_1 + x_2 = 7$，
$\therefore k + 4 = 7$，解得 $k=3$。
【答案】
（1）不论$k$为何值，该方程总有两个实数根，证明成立；（2）$k=3$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程的基础考查题，解题核心是熟练运用根的判别式判断根的情况、根与系数的关系列方程求解，计算量小，掌握基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.9
16. 已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2x = k^2$($k$为常数).
（1）求证:无论$k$取何值,方程总有两个不相等的实数根;
（2）设$x_1,x_2$为方程的两个实数根,且满足$(x_1 - x_2)^2 = 12 - x_1x_2$,试求出$k$的值.
（1）求证:无论$k$取何值,方程总有两个不相等的实数根;
（2）设$x_1,x_2$为方程的两个实数根,且满足$(x_1 - x_2)^2 = 12 - x_1x_2$,试求出$k$的值.
答案
16. （1）证明: $\because b^2 - 4ac=(-2)^2 - 4(-k^2)=4k^2 + 4＞0$. $\therefore$ 不论 $k$ 取何值,方程总有两个不相等的实数根； （2）解: 由根与系数的关系得 $x_1 + x_2 = 2$,$x_1x_2 = -k^2$, $\because (x_1 - x_2)^2=12 - x_1x_2$,$\therefore (x_1 + x_2)^2 - 3x_1x_2=12$. $\therefore 4 + 3k^2=12$. $\therefore k=\pm\frac{2}{3}\sqrt{6}.$
解析
【分析】
（1）要证明一元二次方程总有两个不相等的实数根，核心思路是证明根的判别式Δ=b²-4ac＞0。首先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，确定a、b、c的表达式，代入判别式计算，再结合平方的非负性即可证明判别式恒大于0。
（2）已知方程两根满足的关系式，需先利用根与系数的关系求出两根之和、两根之积的表达式，再通过完全平方公式的变形，将$(x_1-x_2)^2$转化为含有$(x_1+x_2)$和$x_1x_2$的形式，代入已知等式得到关于k的方程，求解即可得到k的值。
【解析】
（1）证明：将原方程整理为一般形式得$x^2 - 2x - k^2 = 0$，
其中$a=1$，$b=-2$，$c=-k^2$，
则根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4×1×(-k^2) = 4 + 4k^2$，
$\because k^2≥0$，$\therefore 4 + 4k^2 ≥ 4 ＞ 0$，
$\therefore$ 无论$k$取何值，方程总有两个不相等的实数根。
（2）解：根据根与系数的关系，得：
$x_1 + x_2 = 2$，$x_1x_2 = -k^2$，
已知$(x_1 - x_2)^2 = 12 - x_1x_2$，
由完全平方公式变形可得$(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$，
代入已知等式得：$(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 = 12 - x_1x_2$，
整理得：$(x_1 + x_2)^2 - 3x_1x_2 = 12$，
将$x_1 + x_2 = 2$，$x_1x_2 = -k^2$代入上式：
$2^2 - 3×(-k^2) = 12$，
即$4 + 3k^2 = 12$，
解得$k^2 = \frac{8}{3}$，$\therefore k = \pm\frac{2\sqrt{6}}{3}$。
【答案】
（1）证明见解析；（2）$k=\pm\frac{2}{3}\sqrt{6}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系
3. 完全平方公式变形
【点评】
本题是一元二次方程的常规综合题型，第一问侧重根的判别式的基础应用，第二问需要灵活运用韦达定理和完全平方的变形公式，解题时需注意符号处理，避免运算错误。
【难度系数】
0.65
（1）要证明一元二次方程总有两个不相等的实数根，核心思路是证明根的判别式Δ=b²-4ac＞0。首先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，确定a、b、c的表达式，代入判别式计算，再结合平方的非负性即可证明判别式恒大于0。
（2）已知方程两根满足的关系式，需先利用根与系数的关系求出两根之和、两根之积的表达式，再通过完全平方公式的变形，将$(x_1-x_2)^2$转化为含有$(x_1+x_2)$和$x_1x_2$的形式，代入已知等式得到关于k的方程，求解即可得到k的值。
【解析】
（1）证明：将原方程整理为一般形式得$x^2 - 2x - k^2 = 0$，
其中$a=1$，$b=-2$，$c=-k^2$，
则根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4×1×(-k^2) = 4 + 4k^2$，
$\because k^2≥0$，$\therefore 4 + 4k^2 ≥ 4 ＞ 0$，
$\therefore$ 无论$k$取何值，方程总有两个不相等的实数根。
（2）解：根据根与系数的关系，得：
$x_1 + x_2 = 2$，$x_1x_2 = -k^2$，
已知$(x_1 - x_2)^2 = 12 - x_1x_2$，
由完全平方公式变形可得$(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$，
代入已知等式得：$(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 = 12 - x_1x_2$，
整理得：$(x_1 + x_2)^2 - 3x_1x_2 = 12$，
将$x_1 + x_2 = 2$，$x_1x_2 = -k^2$代入上式：
$2^2 - 3×(-k^2) = 12$，
即$4 + 3k^2 = 12$，
解得$k^2 = \frac{8}{3}$，$\therefore k = \pm\frac{2\sqrt{6}}{3}$。
【答案】
（1）证明见解析；（2）$k=\pm\frac{2}{3}\sqrt{6}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系
3. 完全平方公式变形
【点评】
本题是一元二次方程的常规综合题型，第一问侧重根的判别式的基础应用，第二问需要灵活运用韦达定理和完全平方的变形公式，解题时需注意符号处理，避免运算错误。
【难度系数】
0.65
