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8. 解下列方程：
(1) $(x-3)^2 = 3x(x-3)$；
(2) $(3x+2)(x+3) = x+14$；
(3) $x^2 +5x -6 =0$；
(4) $3x^2 -3x =4(x-1)$。
(1) $(x-3)^2 = 3x(x-3)$；
(2) $(3x+2)(x+3) = x+14$；
(3) $x^2 +5x -6 =0$；
(4) $3x^2 -3x =4(x-1)$。
答案
(1) $x_1=3,x_2=-\frac{3}{2}$
(2) $x_1=\frac{2}{3},x_2=-4$
(3) $x_1=1,x_2=-6$
(4) $x_1=1,x_2=\frac{4}{3}$
(2) $x_1=\frac{2}{3},x_2=-4$
(3) $x_1=1,x_2=-6$
(4) $x_1=1,x_2=\frac{4}{3}$
解析
【分析】
解这组一元二次方程的总体思路：①遇到方程两边有相同含未知数的因式时，不要直接两边除以该因式（会导致丢根），优先移项后提取公因式，将方程转化为两个一次因式乘积为0的形式求解；②没有公因式的方程，先通过去括号、移项、合并同类项整理为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一般形式，再观察是否可用十字相乘法因式分解，转化为一次式乘积为0的形式求解，计算时注意符号不要出错。
【解析】
(1) 移项得：$(x-3)^2 - 3x(x-3)=0$
提取公因式$(x-3)$得：$(x-3)(x-3-3x)=0$
化简得：$(x-3)(-2x-3)=0$
$\therefore x-3=0$ 或 $-2x-3=0$
解得：$x_1=3,x_2=-\frac{3}{2}$
(2) 先去括号得：$3x^2+9x+2x+6=x+14$
移项、合并同类项得：$3x^2+10x-8=0$
十字相乘因式分解得：$(3x-2)(x+4)=0$
$\therefore 3x-2=0$ 或 $x+4=0$
解得：$x_1=\frac{2}{3},x_2=-4$
(3) 对等式左边十字相乘因式分解得：$(x+6)(x-1)=0$
$\therefore x+6=0$ 或 $x-1=0$
解得：$x_1=1,x_2=-6$
(4) 移项得：$3x^2-3x-4x+4=0$
合并同类项得：$3x^2-7x+4=0$
十字相乘因式分解得：$(3x-4)(x-1)=0$
$\therefore x-1=0$ 或 $3x-4=0$
解得：$x_1=1,x_2=\frac{4}{3}$
【答案】
(1) $x_1=3,x_2=-\frac{3}{2}$
(2) $x_1=\frac{2}{3},x_2=-4$
(3) $x_1=1,x_2=-6$
(4) $x_1=1,x_2=\frac{4}{3}$
【知识点】
一元二次方程求解、因式分解法、十字相乘法
【点评】
这组题目是一元二次方程解法的基础训练，解题时优先观察方程特征选择简便方法，注意不要随意约去含未知数的整式避免丢根，熟练掌握十字相乘法因式分解可大幅提升解题速度和准确率。
【难度系数】
0.8
解这组一元二次方程的总体思路：①遇到方程两边有相同含未知数的因式时，不要直接两边除以该因式（会导致丢根），优先移项后提取公因式，将方程转化为两个一次因式乘积为0的形式求解；②没有公因式的方程，先通过去括号、移项、合并同类项整理为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一般形式，再观察是否可用十字相乘法因式分解，转化为一次式乘积为0的形式求解，计算时注意符号不要出错。
【解析】
(1) 移项得：$(x-3)^2 - 3x(x-3)=0$
提取公因式$(x-3)$得：$(x-3)(x-3-3x)=0$
化简得：$(x-3)(-2x-3)=0$
$\therefore x-3=0$ 或 $-2x-3=0$
解得：$x_1=3,x_2=-\frac{3}{2}$
(2) 先去括号得：$3x^2+9x+2x+6=x+14$
移项、合并同类项得：$3x^2+10x-8=0$
十字相乘因式分解得：$(3x-2)(x+4)=0$
$\therefore 3x-2=0$ 或 $x+4=0$
解得：$x_1=\frac{2}{3},x_2=-4$
(3) 对等式左边十字相乘因式分解得：$(x+6)(x-1)=0$
$\therefore x+6=0$ 或 $x-1=0$
解得：$x_1=1,x_2=-6$
(4) 移项得：$3x^2-3x-4x+4=0$
合并同类项得：$3x^2-7x+4=0$
十字相乘因式分解得：$(3x-4)(x-1)=0$
$\therefore x-1=0$ 或 $3x-4=0$
解得：$x_1=1,x_2=\frac{4}{3}$
【答案】
(1) $x_1=3,x_2=-\frac{3}{2}$
(2) $x_1=\frac{2}{3},x_2=-4$
(3) $x_1=1,x_2=-6$
(4) $x_1=1,x_2=\frac{4}{3}$
【知识点】
一元二次方程求解、因式分解法、十字相乘法
【点评】
这组题目是一元二次方程解法的基础训练，解题时优先观察方程特征选择简便方法，注意不要随意约去含未知数的整式避免丢根，熟练掌握十字相乘法因式分解可大幅提升解题速度和准确率。
【难度系数】
0.8
9. 阅读下列材料：
解方程$(x^2 -1)^2 -5(x^2 -1)+6=0$.
解:设$x^2 -1=y$,则原方程化为$y^2 -5y +6=0$,
解得$y_1=2,y_2=3$.
当$y=2$时,$x^2 -1=2$,解得:$x=\pm\sqrt{3}$;
当$y=3$时,$x^2 -1=3$,解得$x=\pm2$.
$\therefore$原方程的解为:$x_1=\sqrt{3},x_2=-\sqrt{3},x_3=2,x_4=-2$.
以上解一元二次方程的方法叫作换元法,通过换元法达到了降次或者简化方程的目的,这体现了数学中的转化思想.
(1) 请用上述方法解下列方程:$(2x -5)^2 -4(2x -5)+3=0$;
(2) 已知实数$x,y$满足$(x^2 + y^2 +3)^2 -7x^2 -7y^2 -21=8$,求$x^2 + y^2$的值.
解方程$(x^2 -1)^2 -5(x^2 -1)+6=0$.
解:设$x^2 -1=y$,则原方程化为$y^2 -5y +6=0$,
解得$y_1=2,y_2=3$.
当$y=2$时,$x^2 -1=2$,解得:$x=\pm\sqrt{3}$;
当$y=3$时,$x^2 -1=3$,解得$x=\pm2$.
$\therefore$原方程的解为:$x_1=\sqrt{3},x_2=-\sqrt{3},x_3=2,x_4=-2$.
以上解一元二次方程的方法叫作换元法,通过换元法达到了降次或者简化方程的目的,这体现了数学中的转化思想.
(1) 请用上述方法解下列方程:$(2x -5)^2 -4(2x -5)+3=0$;
(2) 已知实数$x,y$满足$(x^2 + y^2 +3)^2 -7x^2 -7y^2 -21=8$,求$x^2 + y^2$的值.
答案
解:(1) 设$2x-5=a$,则原方程可化为$a^2-4a+3=0$,分解因式可得:$(a-1)(a-3)=0$,解得:$a_1=1,a_2=3$. 当$a=1$时,可得:$2x-5=1$,解得:$x=3$,当$a=3$时,可得:$2x-5=3$,解得:$x=4$. $\therefore$ 原方程的解为 $x_1=3$,$x_2=4$;
(2) 原方程整理得:$(x^2+y^2+3)^2-7(x^2+y^2)-21=8$,设$x^2+y^2=b$,则原方程化为$(b+3)^2-7b-21=8$,整理得:$b^2-b-20=0$,分解因式可得:$(b-5)(b+4)=0$,解得:$b_1=5,b_2=-4$. 当$b=5$时,$x^2+y^2=5$,当$b=-4$时,$x^2+y^2=-4$(不符合题意,舍去),$\therefore x^2+y^2=5$.
(2) 原方程整理得:$(x^2+y^2+3)^2-7(x^2+y^2)-21=8$,设$x^2+y^2=b$,则原方程化为$(b+3)^2-7b-21=8$,整理得:$b^2-b-20=0$,分解因式可得:$(b-5)(b+4)=0$,解得:$b_1=5,b_2=-4$. 当$b=5$时,$x^2+y^2=5$,当$b=-4$时,$x^2+y^2=-4$(不符合题意,舍去),$\therefore x^2+y^2=5$.
解析
【分析】
本题可利用材料给出的换元法求解，核心思路是将重复出现的整体式子替换为新的未知数，把复杂方程转化为熟悉的一元二次方程，解出新未知数后再回代求原未知数的值，同时注意挖掘题目隐含条件对解进行取舍：
(1) 观察方程发现$(2x-5)$整体重复出现，可将其设为$a$，原方程转化为关于$a$的一元二次方程，求解$a$后再反算$x$的值；
(2) 先整理方程，将含$x^2$、$y^2$的项提取公因式，发现$x^2+y^2$整体重复出现，将其设为$b$，转化为关于$b$的一元二次方程，求解后结合$x^2+y^2≥0$的非负性舍去不符合要求的解。
【解析】
(1) 设$2x-5=a$，则原方程可化为$a^2-4a+3=0$，
分解因式可得：$(a-1)(a-3)=0$，解得：$a_1=1,a_2=3$。
当$a=1$时，可得：$2x-5=1$，解得：$x=3$；
当$a=3$时，可得：$2x-5=3$，解得：$x=4$。
∴原方程的解为 $x_1=3$，$x_2=4$。
(2) 先整理原方程：$(x^2+y^2+3)^2 -7(x^2+y^2)-21=8$，
设$x^2+y^2=b$，则原方程化为$(b+3)^2-7b-21=8$，
整理得：$b^2 -b -20=0$，
分解因式可得：$(b-5)(b+4)=0$，解得：$b_1=5,b_2=-4$。
当$b=5$时，$x^2+y^2=5$，符合平方和的非负性；
当$b=-4$时，$x^2+y^2=-4$，不符合平方和非负的要求，舍去。
∴$x^2+y^2=5$。
【答案】
(1) $x_1=3$，$x_2=4$；
(2) $x^2+y^2=5$
【知识点】
换元法解方程；因式分解法解一元二次方程；平方的非负性
【点评】
本题考查换元思想的应用，通过整体替换简化方程，将陌生的复杂方程转化为已掌握的一元二次方程求解，解题时要注意第二问中隐含的平方和非负的条件，避免出现增根错误。
【难度系数】
0.7
本题可利用材料给出的换元法求解，核心思路是将重复出现的整体式子替换为新的未知数，把复杂方程转化为熟悉的一元二次方程，解出新未知数后再回代求原未知数的值，同时注意挖掘题目隐含条件对解进行取舍：
(1) 观察方程发现$(2x-5)$整体重复出现，可将其设为$a$，原方程转化为关于$a$的一元二次方程，求解$a$后再反算$x$的值；
(2) 先整理方程，将含$x^2$、$y^2$的项提取公因式，发现$x^2+y^2$整体重复出现，将其设为$b$，转化为关于$b$的一元二次方程，求解后结合$x^2+y^2≥0$的非负性舍去不符合要求的解。
【解析】
(1) 设$2x-5=a$，则原方程可化为$a^2-4a+3=0$，
分解因式可得：$(a-1)(a-3)=0$，解得：$a_1=1,a_2=3$。
当$a=1$时，可得：$2x-5=1$，解得：$x=3$；
当$a=3$时，可得：$2x-5=3$，解得：$x=4$。
∴原方程的解为 $x_1=3$，$x_2=4$。
(2) 先整理原方程：$(x^2+y^2+3)^2 -7(x^2+y^2)-21=8$，
设$x^2+y^2=b$，则原方程化为$(b+3)^2-7b-21=8$，
整理得：$b^2 -b -20=0$，
分解因式可得：$(b-5)(b+4)=0$，解得：$b_1=5,b_2=-4$。
当$b=5$时，$x^2+y^2=5$，符合平方和的非负性；
当$b=-4$时，$x^2+y^2=-4$，不符合平方和非负的要求，舍去。
∴$x^2+y^2=5$。
【答案】
(1) $x_1=3$，$x_2=4$；
(2) $x^2+y^2=5$
【知识点】
换元法解方程；因式分解法解一元二次方程；平方的非负性
【点评】
本题考查换元思想的应用，通过整体替换简化方程，将陌生的复杂方程转化为已掌握的一元二次方程求解，解题时要注意第二问中隐含的平方和非负的条件，避免出现增根错误。
【难度系数】
0.7
