1. 解下列方程：
(1) $(2x-1)^2 -81=0$；
(2) $(3x-1)^2=4(2x+3)^2$。

(1) $x_1=5,x_2=-4$
(2) $x_1=-7,x_2=-\frac{5}{7}$

【分析】
这两道一元二次方程都呈现平方项的结构特征，优先选择更简便的方法求解，无需展开整理为一般式：
1. 第(1)题是形如$a^2-b^2=0$的结构，可先移项后利用直接开平方法，将二次方程降为两个一次方程求解；也可直接用平方差公式因式分解求解。
2. 第(2)题左右两侧均为完全平方形式，先移项转化为$a^2-b^2=0$的结构，再利用平方差公式因式分解，转化为两个一次因式乘积为0的形式，进而得到两个一次方程求解，可避免直接开平方时的符号遗漏问题。
【解析】
(1) 解方程$(2x-1)^2 -81=0$
移项，得：$(2x-1)^2=81$
两边直接开平方，得：$2x-1=\pm9$
分两种情况计算：
① 当$2x-1=9$时，$2x=10$，解得$x=5$
② 当$2x-1=-9$时，$2x=-8$，解得$x=-4$
(2) 解方程$(3x-1)^2=4(2x+3)^2$
移项，得：$(3x-1)^2 - [2(2x+3)]^2=0$
利用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$因式分解，得：
$[3x-1+2(2x+3)][3x-1-2(2x+3)]=0$
分别化简两个因式：
第一个因式：$3x-1+4x+6=7x+5$
第二个因式：$3x-1-4x-6=-x-7$
因此原方程等价于：$7x+5=0$ 或 $-x-7=0$
分别求解：
① 当$7x+5=0$时，解得$x=-\frac{5}{7}$
② 当$-x-7=0$时，解得$x=-7$
【答案】
(1) $x_1=5,x_2=-4$
(2) $x_1=-7,x_2=-\frac{5}{7}$
【知识点】
直接开平方法解方程，因式分解法解方程，平方差公式
【点评】
本题考查一元二次方程的简便解法，解题的关键是观察方程的结构特征，选择合适的求解方法，能大幅简化运算、降低出错概率，需要熟练掌握平方差公式的应用以及降次求解的思路。
【难度系数】
0.8

2. 如果方程$x^2 + 4x + n = 0$可以配方成$(x + m)^2 = 3$，那么$(n - m)^{2026} =$ .

1

【分析】
解题思路可通过两种方式推导：一是将已知配方后的方程展开为一元二次方程的一般形式，与题干给出的原方程对比对应项的系数，即可求出m、n的值；二是对原方程直接使用配方法变形，再和给定的配方形式匹配得到m、n，最后将m、n代入所求代数式，结合乘方的运算性质计算结果即可。
【解析】
第一步：将配方后的方程展开
把$(x+m)^2=3$展开并整理为一般形式：
$x^2 + 2mx + m^2 = 3$，即$x^2 + 2mx + (m^2 - 3) = 0$
第二步：对比系数求m、n
已知原方程为$x^2 + 4x + n = 0$，两个方程是同一个方程，对应项系数相等：
一次项系数：$2m = 4$，解得$m=2$
常数项：$m^2 - 3 = n$，把$m=2$代入得$n = 2^2 - 3 = 4 - 3 = 1$
第三步：代入计算所求代数式
将$n=1$，$m=2$代入$(n - m)^{2026}$得：
$(1 - 2)^{2026} = (-1)^{2026} = 1$（负数的偶次幂为正数）
【答案】
1
【知识点】
配方法解一元二次方程、代数式求值、有理数乘方运算
【点评】
本题属于配方法的基础应用题型，解题关键是明确配方前后方程各项系数的对应关系，计算乘方时注意判断指数的奇偶性即可，是一元二次方程章节的常考基础题。
【难度系数】
0.85

3. 解下列方程：
(1) $x^2 + 2x - 399 = 0$；
(2) $2x^2 - 4x - 1 = 0$。

(1) $x_1=19,x_2=-21$
(2) $x_1=1+\frac{\sqrt{6}}{2},x_2=1-\frac{\sqrt{6}}{2}$

【分析】
求解一元二次方程可根据方程特征选择配方法、公式法等简便解法。第(1)题二次项系数为1，一次项系数为偶数，适合用配方法求解：先将常数项移到等号右侧，再给等式两边同时加一次项系数一半的平方，将左侧凑为完全平方式后开方计算即可；第(2)题可先将二次项系数化为1后用配方法求解，也可直接代入求根公式计算，计算时注意判别式和符号不要出错。
【解析】
(1) 移项，得 $x^2 + 2x = 399$，
配方，等式两边同时加1，得 $x^2 + 2x + 1 = 399 + 1$，即 $(x+1)^2 = 400$，
开平方，得 $x+1 = \pm20$，
即 $x+1=20$ 或 $x+1=-20$，
解得 $x_1=19$，$x_2=-21$。
(2) 我们用配方法求解：
将二次项系数化为1，得 $x^2 - 2x - \frac{1}{2} = 0$，
移项，得 $x^2 - 2x = \frac{1}{2}$，
配方，等式两边同时加1，得 $x^2 -2x +1 = \frac{1}{2} + 1$，即 $(x-1)^2 = \frac{3}{2}$，
开平方，得 $x-1 = \pm \frac{\sqrt{6}}{2}$，
解得 $x_1=1+\frac{\sqrt{6}}{2}$，$x_2=1-\frac{\sqrt{6}}{2}$。
【答案】
(1) $x_1=19,x_2=-21$
(2) $x_1=1+\frac{\sqrt{6}}{2},x_2=1-\frac{\sqrt{6}}{2}$
【知识点】
一元二次方程解法，配方法，公式法
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，核心考查配方法和公式法的应用，解题时可根据方程形式灵活选择简便解法，注意计算过程中符号和开方运算的准确性即可。
【难度系数】
0.8

4. 解下列方程：
（1）$2x^2 -5x -1=0$；
（2）$2x^2 +3=-7x$。

(1) $x_1=\frac{5+\sqrt{33}}{4},x_2=\frac{5-\sqrt{33}}{4}$
(2) $x_1=-3,x_2=-\frac{1}{2}$

【分析】
解一元二次方程的核心思路是先将方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，先计算判别式$\Delta=b^2-4ac$判断根的情况，若$\Delta≥0$可选择公式法求解，若方程能因式分解也可选择因式分解法快速求解。第（1）题已经是一般形式，直接用公式法计算即可；第（2）题需要先移项整理为一般形式，既可以用公式法也可以用十字相乘法因式分解求解。
【解析】
（1）对于方程$2x^2 -5x -1=0$，
可知$a=2$，$b=-5$，$c=-1$，
计算判别式$\Delta = b^2-4ac = (-5)^2 - 4×2×(-1) = 25 + 8 = 33 ＞ 0$，方程有两个不相等的实数根，
代入求根公式$x = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，得：
$x = \frac{5\pm\sqrt{33}}{2×2} = \frac{5\pm\sqrt{33}}{4}$。
（2）先整理方程$2x^2 +3=-7x$，移项得$2x^2 +7x +3=0$，
对左边因式分解，十字相乘得$(2x+1)(x+3)=0$，
则$2x+1=0$或$x+3=0$，
解得$x=-\frac{1}{2}$或$x=-3$。
【答案】
(1) $x_1=\frac{5+\sqrt{33}}{4},x_2=\frac{5-\sqrt{33}}{4}$
(2) $x_1=-3,x_2=-\frac{1}{2}$
【知识点】
1. 一元二次方程求根公式
2. 因式分解法解方程
3. 一元二次方程判别式
【点评】
这两道题是一元二次方程解法的常规基础题，解题时需注意先将方程化为一般形式，计算过程中要注意符号问题，熟练掌握公式法和因式分解法能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.8

5. 方程$2x(x-3)+5(3-x)=0$的根是（）

A.$x=\frac{5}{2}$
B.$x=3$
C.$x_1=\frac{5}{2},x_2=3$
D.$x_1=-\frac{5}{2},x_2=3$

C

【分析】
本题是求解一元二次方程的根，观察方程结构可以发现，式子中含有(x-3)和(3-x)两个互为相反数的因式，优先选择因式分解法解题更简便。首先将(3-x)变形为-(x-3)，再提取公因式(x-3)，将方程转化为两个一次因式乘积为0的形式，最后根据“若ab=0，则a=0或b=0”分别求解两个一次方程即可得到原方程的根。
【解析】
解：对原方程进行变形：
$2x(x-3)+5(3-x)=0$
$⇒ 2x(x-3)-5(x-3)=0$
提取公因式$(x-3)$得：
$(x-3)(2x-5)=0$
根据乘积为0的性质可得：
$x-3=0$ 或 $2x-5=0$
分别求解：
当$x-3=0$时，解得$x_2=3$；
当$2x-5=0$时，$2x=5$，解得$x_1=\frac{5}{2}$。
因此方程的根为$x_1=\frac{5}{2},x_2=3$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
因式分解法解方程、提取公因式、一元二次方程的根
【点评】
本题考查一元二次方程的解法，选择因式分解法能大幅简化计算，解题时需注意互为相反数的因式变形时的符号问题，避免因符号错误导致结果出错。
【难度系数】
0.8

6. 对于实数a,b,定义运算“※”:a※b=a²-2b,例如:5※1=5²-2×1=23.若x※x=-1,则x的值为（）

A.1
B.0
C.0或1
D.1或-1

A

【分析】
本题是新定义运算结合一元二次方程求解的题型，解题时首先要准确理解题干给出的“※”运算规则，将x※x转化为常规的代数表达式，再结合x※x=-1的等量关系列出一元二次方程，最后求解方程即可得到x的值。
【解析】
根据定义的运算规则：$a※b=a^2 - 2b$，将$a=x$、$b=x$代入可得：
$x※x = x^2 - 2x$
已知$x※x=-1$，因此列方程：
$x^2 - 2x = -1$
移项整理为一元二次方程的标准形式：
$x^2 - 2x + 1 = 0$
利用完全平方公式因式分解得：
$(x - 1)^2 = 0$
解得：$x_1=x_2=1$，即x的值为1。
【答案】
A
【知识点】
新定义运算，解一元二次方程
【点评】
本题侧重考查新定义的转化能力和一元二次方程的基础求解能力，解题核心是严格按照新定义规则列方程，解方程时注意识别完全平方形式，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.8

7. (1) 方程$(x+2)^2=3(x+2)$的解是;

$x_1=-2,x_2=1$

【分析】
本题适合用因式分解法求解，注意不能直接在方程两边同时除以$(x+2)$，否则会漏掉$x=-2$这个根。解题思路：①先将方程右侧的项移到左侧，使方程右边为0；②对左侧的多项式提取公因式$(x+2)$，转化为两个一次因式乘积的形式；③根据“两个因式的乘积为0，则至少一个因式为0”的原理，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的解。
【解析】
解：移项，得$(x+2)^2 - 3(x+2)=0$，
提取公因式$(x+2)$，得$(x+2)(x+2 - 3)=0$，
整理，得$(x+2)(x - 1)=0$，
$\therefore x+2=0$或$x-1=0$，
解得$x_1=-2$，$x_2=1$。
【答案】
$x_1=-2,x_2=1$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；提取公因式
【点评】
本题属于一元二次方程解法的基础题，选择因式分解法可简化计算过程，解题时要注意不能随意约去含未知数的整式，避免出现漏解的错误，掌握因式分解法的步骤即可轻松解答。
【难度系数】
0.8

(2) 定义A※B = A(B-1)，若y※(y+3)=3，则y的值为。

-3 或 1

【分析】
本题是新定义运算结合一元二次方程求解的题型，解题思路分为两步：第一步先根据题目给出的新运算规则，将含※的运算式转化为常规的代数式；第二步对得到的方程整理化简，选用合适的方法解一元二次方程即可得到y的值。首先确定新运算中A对应y，B对应y+3，代入定义式即可列出关于y的方程。
【解析】
根据新定义$A※B = A(B-1)$，可得$y※(y+3)$中$A=y$，$B=y+3$，代入定义得：
$\begin{aligned}y[(y+3)-1]&=3\\y(y+2)&=3\\y^2+2y-3&=0\end{aligned}$
对上述一元二次方程因式分解得：
$(y+3)(y-1)=0$
则$y+3=0$或$y-1=0$，解得$y_1=-3$，$y_2=1$。
【答案】
-3 或 1
【知识点】
新定义运算、一元二次方程的解法、代数式化简
【点评】
本题核心是准确理解新运算的规则，将陌生运算转化为熟悉的代数运算，再运用一元二次方程的解法求解即可，解题过程中注意运算不要出错。
【难度系数】
0.7