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9. 如果关于$x$的一元二次方程$kx^2 - \sqrt{2k+1}x +1=0$有两个不相等的实数根，那么$k$的取值范围是（
A.$k＜\dfrac{1}{2}$
B.$k＜\dfrac{1}{2}$且$k≠0$
C.$-\dfrac{1}{2}≤k≤\dfrac{1}{2}$
D.$-\dfrac{1}{2}≤k＜\dfrac{1}{2}$且$k≠0$
D
）A.$k＜\dfrac{1}{2}$
B.$k＜\dfrac{1}{2}$且$k≠0$
C.$-\dfrac{1}{2}≤k≤\dfrac{1}{2}$
D.$-\dfrac{1}{2}≤k＜\dfrac{1}{2}$且$k≠0$
答案
9.D
解析
【分析】
要确定一元二次方程中参数k的取值范围，需结合三个限制条件逐一分析：①一元二次方程的二次项系数不为0；②二次根式的被开方数是非负数；③方程有两个不相等的实数根，则判别式Δ＞0。分别求解每个条件对应的k的范围，再取公共部分即可得到最终取值范围。
【解析】
∵方程$kx^2 - \sqrt{2k+1}x +1=0$是一元二次方程，
∴二次项系数$k≠0$ ①；
∵二次根式$\sqrt{2k+1}$有意义，
∴被开方数$2k+1≥0$，解得$k≥-\frac{1}{2}$ ②；
∵方程有两个不相等的实数根，
∴判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，其中$a=k$，$b=-\sqrt{2k+1}$，$c=1$，
代入得：$(\sqrt{2k+1})^2 - 4× k× 1 ＞ 0$，
化简：$2k+1 - 4k ＞ 0$，即$1-2k＞0$，解得$k＜\frac{1}{2}$ ③；
综合①②③，可得k的取值范围是$-\frac{1}{2}≤k＜\frac{1}{2}$且$k≠0$。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的定义；二次根式有意义的条件；根的判别式
【点评】
本题属于易错题，解题时容易遗漏二次项系数不为0、二次根式被开方数非负这两个隐含条件，仅通过判别式求解会选到错误选项，需注意审题，全面梳理参数的所有限制条件。
【难度系数】
0.6
要确定一元二次方程中参数k的取值范围，需结合三个限制条件逐一分析：①一元二次方程的二次项系数不为0；②二次根式的被开方数是非负数；③方程有两个不相等的实数根，则判别式Δ＞0。分别求解每个条件对应的k的范围，再取公共部分即可得到最终取值范围。
【解析】
∵方程$kx^2 - \sqrt{2k+1}x +1=0$是一元二次方程，
∴二次项系数$k≠0$ ①；
∵二次根式$\sqrt{2k+1}$有意义，
∴被开方数$2k+1≥0$，解得$k≥-\frac{1}{2}$ ②；
∵方程有两个不相等的实数根，
∴判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，其中$a=k$，$b=-\sqrt{2k+1}$，$c=1$，
代入得：$(\sqrt{2k+1})^2 - 4× k× 1 ＞ 0$，
化简：$2k+1 - 4k ＞ 0$，即$1-2k＞0$，解得$k＜\frac{1}{2}$ ③；
综合①②③，可得k的取值范围是$-\frac{1}{2}≤k＜\frac{1}{2}$且$k≠0$。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的定义；二次根式有意义的条件；根的判别式
【点评】
本题属于易错题，解题时容易遗漏二次项系数不为0、二次根式被开方数非负这两个隐含条件，仅通过判别式求解会选到错误选项，需注意审题，全面梳理参数的所有限制条件。
【难度系数】
0.6
10. 若关于x的一元二次方程$ax^2 - x - \frac{1}{4}=0(a≠0)$有两个不相等的实数根，则点$P(a+1, -a-3)$在第
四
象限。答案
10.四
解析
【分析】
要确定点P所在象限，需先判断点P横、纵坐标的正负，而坐标的正负由参数a的取值范围决定：首先根据一元二次方程有两个不相等实数根的条件，利用根的判别式求出a的取值范围，再分别代入点P的横、纵坐标判断符号，最后结合象限内点的坐标特征即可得出结论。
【解析】
∵ 关于x的一元二次方程$ax^2 - x - \frac{1}{4}=0(a≠0)$有两个不相等的实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$
其中$a=a$，$b=-1$，$c=-\frac{1}{4}$，代入得：
$\Delta = (-1)^2 - 4 × a × (-\frac{1}{4}) = 1 + a ＞ 0$
解得：$a ＞ -1$
又
∵ $a≠0$，
∴ $a$的取值范围为$a ＞ -1$且$a≠0$
对于点$P(a+1, -a-3)$：
横坐标：$a+1$，
∵ $a ＞ -1$，
∴ $a+1 ＞ 0$，横坐标为正
纵坐标：$-a-3$，
∵ $a ＞ -1$，
∴ $-a ＜ 1$，则$-a -3 ＜ 1 - 3 = -2 ＜ 0$，纵坐标为负
根据象限内点的坐标特征：横坐标为正、纵坐标为负的点在第四象限。
【答案】
四
【知识点】
一元二次方程根的判别式；平面直角坐标系中点的坐标特征
【点评】
本题是基础综合题，将一元二次方程根的情况与平面直角坐标系中点的坐标判断结合，解题的关键是熟练掌握根的判别式的应用和各象限内点的坐标符号规律。
【难度系数】
0.7
要确定点P所在象限，需先判断点P横、纵坐标的正负，而坐标的正负由参数a的取值范围决定：首先根据一元二次方程有两个不相等实数根的条件，利用根的判别式求出a的取值范围，再分别代入点P的横、纵坐标判断符号，最后结合象限内点的坐标特征即可得出结论。
【解析】
∵ 关于x的一元二次方程$ax^2 - x - \frac{1}{4}=0(a≠0)$有两个不相等的实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$
其中$a=a$，$b=-1$，$c=-\frac{1}{4}$，代入得：
$\Delta = (-1)^2 - 4 × a × (-\frac{1}{4}) = 1 + a ＞ 0$
解得：$a ＞ -1$
又
∵ $a≠0$，
∴ $a$的取值范围为$a ＞ -1$且$a≠0$
对于点$P(a+1, -a-3)$：
横坐标：$a+1$，
∵ $a ＞ -1$，
∴ $a+1 ＞ 0$，横坐标为正
纵坐标：$-a-3$，
∵ $a ＞ -1$，
∴ $-a ＜ 1$，则$-a -3 ＜ 1 - 3 = -2 ＜ 0$，纵坐标为负
根据象限内点的坐标特征：横坐标为正、纵坐标为负的点在第四象限。
【答案】
四
【知识点】
一元二次方程根的判别式；平面直角坐标系中点的坐标特征
【点评】
本题是基础综合题，将一元二次方程根的情况与平面直角坐标系中点的坐标判断结合，解题的关键是熟练掌握根的判别式的应用和各象限内点的坐标符号规律。
【难度系数】
0.7
11. 若关于$x$的方程$|x^2 - 2x - 8| = m$有两个解，则实数$m$的取值范围是
$m=0$或$m＞9$
.答案
11.$m=0$或$m＞9$
解析
【分析】
要解决含绝对值的一元二次方程解的个数问题，可转化为函数图像交点问题思考：首先根据绝对值的非负性确定m的初步范围，再将方程左侧转化为二次函数翻折后的图像，方程有2个解等价于直线y=m与翻折后的二次函数图像有2个交点，最后结合二次函数的顶点、与x轴交点分析不同m对应的交点个数即可得到结果。
【解析】
根据绝对值的性质，当m＜0时，方程$|x^2 - 2x - 8| = m$无实根，仅需考虑m≥0的情况。
1. 对二次函数配方得：$x^2-2x-8=(x-1)^2-9$，因此原二次函数$y=x^2-2x-8$的顶点为$(1,-9)$；令$y=0$，解方程$x^2-2x-8=0$得$x=-2$或$x=4$，即二次函数与x轴交于$(-2,0)$、$(4,0)$两点。
2. 将$y=x^2-2x-8$x轴下方的图像沿x轴翻折到x轴上方，得到$y=|x^2-2x-8|$的图像，翻折后原顶点对应点为$(1,9)$。
3. 分析交点个数：
当$m=0$时，直线$y=m$与图像交于$(-2,0)$、$(4,0)$两点，对应方程有2个解；
当$0＜m＜9$时，直线与图像有4个交点，对应方程有4个解；
当$m=9$时，直线与图像有3个交点，对应方程有3个解；
当$m＞9$时，直线仅与翻折后图像的上半部分交于2个点，对应方程有2个解。
综上，方程有两个解时m的取值范围是$m=0$或$m＞9$。
【答案】
$m=0$或$m＞9$
【知识点】
绝对值性质、二次函数图像变换、函数与方程
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，解题关键是将方程解的个数问题转化为函数图像交点问题，需要注意翻折后顶点坐标的变化，以及m=0的特殊情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
要解决含绝对值的一元二次方程解的个数问题，可转化为函数图像交点问题思考：首先根据绝对值的非负性确定m的初步范围，再将方程左侧转化为二次函数翻折后的图像，方程有2个解等价于直线y=m与翻折后的二次函数图像有2个交点，最后结合二次函数的顶点、与x轴交点分析不同m对应的交点个数即可得到结果。
【解析】
根据绝对值的性质，当m＜0时，方程$|x^2 - 2x - 8| = m$无实根，仅需考虑m≥0的情况。
1. 对二次函数配方得：$x^2-2x-8=(x-1)^2-9$，因此原二次函数$y=x^2-2x-8$的顶点为$(1,-9)$；令$y=0$，解方程$x^2-2x-8=0$得$x=-2$或$x=4$，即二次函数与x轴交于$(-2,0)$、$(4,0)$两点。
2. 将$y=x^2-2x-8$x轴下方的图像沿x轴翻折到x轴上方，得到$y=|x^2-2x-8|$的图像，翻折后原顶点对应点为$(1,9)$。
3. 分析交点个数：
当$m=0$时，直线$y=m$与图像交于$(-2,0)$、$(4,0)$两点，对应方程有2个解；
当$0＜m＜9$时，直线与图像有4个交点，对应方程有4个解；
当$m=9$时，直线与图像有3个交点，对应方程有3个解；
当$m＞9$时，直线仅与翻折后图像的上半部分交于2个点，对应方程有2个解。
综上，方程有两个解时m的取值范围是$m=0$或$m＞9$。
【答案】
$m=0$或$m＞9$
【知识点】
绝对值性质、二次函数图像变换、函数与方程
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，解题关键是将方程解的个数问题转化为函数图像交点问题，需要注意翻折后顶点坐标的变化，以及m=0的特殊情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
12. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ 2x^2 + (k - 8)x - 4k = 0 $。
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个根小于 3，求 $ k $ 的取值范围。
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个根小于 3，求 $ k $ 的取值范围。
答案
12.（1）证明:$\Delta = b^2-4ac=(k-8)^2-4×2×(-4k)=(k+8)^2≥0$，$\therefore$ 原方程总有两个实数根；
（2）解:$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{(k+8)^2}}{2a}=\dfrac{8-k\pm|k+8|}{4}$，$\therefore x_1=4$，$x_2=-\dfrac{k}{2}$。$\because -\dfrac{k}{2}＜3$，$\therefore k＞-6$。
（2）解:$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{(k+8)^2}}{2a}=\dfrac{8-k\pm|k+8|}{4}$，$\therefore x_1=4$，$x_2=-\dfrac{k}{2}$。$\because -\dfrac{k}{2}＜3$，$\therefore k＞-6$。
解析
【分析】
（1）要证明一元二次方程总有两个实数根，核心思路是验证根的判别式$\Delta ≥ 0$：先确定方程中二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的取值，代入判别式公式化简，利用平方的非负性判断化简结果恒大于等于0即可完成证明。
（2）先通过求根公式求出方程的两个根，观察两根可得其中一个根是固定值4，不满足小于3的要求，因此只需让另一个根小于3，列一元一次不等式求解即可得到$k$的取值范围。
【解析】
（1）证明：在一元二次方程$2x^2 + (k - 8)x - 4k = 0$中，$a=2$，$b=k-8$，$c=-4k$，
根的判别式：
$\begin{aligned}\Delta &= b^2-4ac \\&=(k-8)^2-4×2×(-4k) \\&=k^2-16k+64+32k \\&=k^2+16k+64 \\&=(k+8)^2\end{aligned}$
∵ 任意数的平方都是非负数，即$(k+8)^2≥0$，
∴ 该方程总有两个实数根。
（2）解：根据一元二次方程求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，代入对应数值得：
$x=\frac{-(k-8)\pm\sqrt{(k+8)^2}}{2×2}=\frac{8-k\pm|k+8|}{4}$
计算可得两个根为：$x_1=4$，$x_2=-\frac{k}{2}$。
∵ $x_1=4≥3$，要满足方程有一个根小于3，只需$x_2=-\frac{k}{2}＜3$，
解不等式：两边同乘2得$-k＜6$，系数化为1得$k＞-6$。
【答案】
（1）证明：$\Delta = (k-8)^2-4×2×(-4k)=(k+8)^2≥0$，$\therefore$ 原方程总有两个实数根；
（2）$k＞-6$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 求根公式解方程
3. 解一元一次不等式
【点评】
本题是一元二次方程的基础常规题，第一问直接考察根的判别式的应用，计算难度较低；第二问需要先求出方程的两根，结合根的限制条件列不等式求解，侧重考察计算能力和简单的逻辑分析能力，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.7
（1）要证明一元二次方程总有两个实数根，核心思路是验证根的判别式$\Delta ≥ 0$：先确定方程中二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的取值，代入判别式公式化简，利用平方的非负性判断化简结果恒大于等于0即可完成证明。
（2）先通过求根公式求出方程的两个根，观察两根可得其中一个根是固定值4，不满足小于3的要求，因此只需让另一个根小于3，列一元一次不等式求解即可得到$k$的取值范围。
【解析】
（1）证明：在一元二次方程$2x^2 + (k - 8)x - 4k = 0$中，$a=2$，$b=k-8$，$c=-4k$，
根的判别式：
$\begin{aligned}\Delta &= b^2-4ac \\&=(k-8)^2-4×2×(-4k) \\&=k^2-16k+64+32k \\&=k^2+16k+64 \\&=(k+8)^2\end{aligned}$
∵ 任意数的平方都是非负数，即$(k+8)^2≥0$，
∴ 该方程总有两个实数根。
（2）解：根据一元二次方程求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，代入对应数值得：
$x=\frac{-(k-8)\pm\sqrt{(k+8)^2}}{2×2}=\frac{8-k\pm|k+8|}{4}$
计算可得两个根为：$x_1=4$，$x_2=-\frac{k}{2}$。
∵ $x_1=4≥3$，要满足方程有一个根小于3，只需$x_2=-\frac{k}{2}＜3$，
解不等式：两边同乘2得$-k＜6$，系数化为1得$k＞-6$。
【答案】
（1）证明：$\Delta = (k-8)^2-4×2×(-4k)=(k+8)^2≥0$，$\therefore$ 原方程总有两个实数根；
（2）$k＞-6$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 求根公式解方程
3. 解一元一次不等式
【点评】
本题是一元二次方程的基础常规题，第一问直接考察根的判别式的应用，计算难度较低；第二问需要先求出方程的两根，结合根的限制条件列不等式求解，侧重考察计算能力和简单的逻辑分析能力，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.7
13. 已知关于$x$的方程$x^2 + (8 - 4m)x + 4m^2 = 0$.若方程有两个相等的实数根,求$m$的值,并求出此时方程的根;
答案
13. 解:若方程有两个相等的实数根，则有$\Delta = b^2-4ac=(8-4m)^2-16m^2=64-64m=0$，解得$m=1$。当$m=1$时，原方程为$x^2+4x+4=0$，$\therefore x_1=x_2=-2$。
解析
【分析】
解题时首先根据一元二次方程根的情况与判别式的对应关系思考：当方程有两个相等的实数根时，判别式Δ=0。第一步先确定一元二次方程的二次项系数a、一次项系数b、常数项c，代入判别式公式得到关于m的方程，求解得到m的值；第二步将m的值代回原方程，解此时的一元二次方程即可得到对应根。
【解析】
解：
∵ 关于x的一元二次方程$x^2 + (8 - 4m)x + 4m^2 = 0$有两个相等的实数根
∴ 判别式$\Delta = b^2-4ac = 0$
其中$a=1$，$b=8-4m$，$c=4m^2$，代入得：
$\Delta=(8-4m)^2-4×1×4m^2=64-64m+16m^2-16m^2=64-64m=0$
解得$m=1$
将$m=1$代入原方程，得：
$x^2+(8-4×1)x+4×1^2=0$，即$x^2+4x+4=0$
因式分解得$(x+2)^2=0$
$\therefore x_1=x_2=-2$
【答案】
$m$的值为$1$，此时方程的根为$x_1=x_2=-2$
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式 2.解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程根的判别式的应用，牢记判别式和方程根的对应关系是解题的关键，计算过程中要注意整式运算的准确性，避免因计算失误失分。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据一元二次方程根的情况与判别式的对应关系思考：当方程有两个相等的实数根时，判别式Δ=0。第一步先确定一元二次方程的二次项系数a、一次项系数b、常数项c，代入判别式公式得到关于m的方程，求解得到m的值；第二步将m的值代回原方程，解此时的一元二次方程即可得到对应根。
【解析】
解：
∵ 关于x的一元二次方程$x^2 + (8 - 4m)x + 4m^2 = 0$有两个相等的实数根
∴ 判别式$\Delta = b^2-4ac = 0$
其中$a=1$，$b=8-4m$，$c=4m^2$，代入得：
$\Delta=(8-4m)^2-4×1×4m^2=64-64m+16m^2-16m^2=64-64m=0$
解得$m=1$
将$m=1$代入原方程，得：
$x^2+(8-4×1)x+4×1^2=0$，即$x^2+4x+4=0$
因式分解得$(x+2)^2=0$
$\therefore x_1=x_2=-2$
【答案】
$m$的值为$1$，此时方程的根为$x_1=x_2=-2$
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式 2.解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程根的判别式的应用，牢记判别式和方程根的对应关系是解题的关键，计算过程中要注意整式运算的准确性，避免因计算失误失分。
【难度系数】
0.8
14. 已知关于$x$的一元二次方程$(a+c)x^2 + 2bx + (a - c)=0$，其中$a,b,c$分别为$△ ABC$的三边的长.
(1) 如果$x=-1$是方程的根，试判断$△ ABC$的形状，并说明理由；
(2) 如果方程有两个相等的实数根，试判断$△ ABC$的形状，并说明理由；
(3) 如果$△ ABC$是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.
(1) 如果$x=-1$是方程的根，试判断$△ ABC$的形状，并说明理由；
(2) 如果方程有两个相等的实数根，试判断$△ ABC$的形状，并说明理由；
(3) 如果$△ ABC$是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.
答案
14. 解：
(1) 把$x=-1$代入方程得$2a-2b=0$，$\therefore a=b$。$\therefore △ ABC$是等腰三角形；
(2) $\because$ 方程有两个相等的实数根，$\therefore (2b)^2-4(a+c)(a-c)=0$。$\therefore b^2+c^2=a^2$。$\therefore △ ABC$是直角三角形；
(3) $\because △ ABC$是等边三角形，$\therefore a=b=c$。$\therefore$ 原方程变为$2ax^2+2ax=0$。$\because a≠0$，$\therefore x_1=0$，$x_2=-1$。
(1) 把$x=-1$代入方程得$2a-2b=0$，$\therefore a=b$。$\therefore △ ABC$是等腰三角形；
(2) $\because$ 方程有两个相等的实数根，$\therefore (2b)^2-4(a+c)(a-c)=0$。$\therefore b^2+c^2=a^2$。$\therefore △ ABC$是直角三角形；
(3) $\because △ ABC$是等边三角形，$\therefore a=b=c$。$\therefore$ 原方程变为$2ax^2+2ax=0$。$\because a≠0$，$\therefore x_1=0$，$x_2=-1$。
解析
【分析】
本题是一元二次方程与三角形性质的综合题，解题思路如下：
(1) 已知x=-1是方程的根，根据一元二次方程根的定义，将x=-1代入原方程，化简得到三角形边a、b的关系，即可判断三角形形状；
(2) 已知方程有两个相等的实数根，根据一元二次方程根的判别式Δ=0的性质，列出关于三边a、b、c的等式，整理后结合勾股定理逆定理判断三角形形状；
(3) 已知△ABC是等边三角形，可得三边a=b=c，将其代入原方程化简，结合a是边长不为0的条件，求解化简后的一元二次方程即可得到根。
【解析】
(1) 将$x=-1$代入方程$(a+c)x^2 + 2bx + (a - c)=0$，得：
$(a+c)×(-1)^2 + 2b×(-1) + (a - c)=0$
化简得：$a+c-2b+a-c=0$，即$2a-2b=0$，$\therefore a=b$
$\therefore △ ABC$是等腰三角形。
(2) $\because$ 方程有两个相等的实数根，$\therefore$ 根的判别式$\Delta=0$，即：
$(2b)^2 - 4(a+c)(a - c)=0$
展开化简得：$4b^2 - 4(a^2 - c^2)=0$，两边同除以4得$b^2 - a^2 + c^2=0$，即$b^2 + c^2 = a^2$
根据勾股定理逆定理，$\therefore △ ABC$是直角三角形。
(3) $\because △ ABC$是等边三角形，$\therefore a=b=c$，代入原方程得：
$(a+a)x^2 + 2ax + (a - a)=0$，即$2ax^2 + 2ax=0$
$\because a$是三角形边长，$\therefore a≠0$，方程两边同除以$2a$得：$x^2 + x=0$
因式分解得$x(x+1)=0$，解得$x_1=0$，$x_2=-1$。
【答案】
(1) $△ ABC$是等腰三角形；
(2) $△ ABC$是直角三角形；
(3) 方程的根为$x_1=0$，$x_2=-1$。
【知识点】
一元二次方程根的定义，根的判别式，特殊三角形判定
【点评】
本题综合考查了一元二次方程的相关性质和特殊三角形的判定，解题的核心是熟练掌握方程根的意义、判别式的应用，以及不同特殊三角形的边长关系，能有效提升代数与几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
本题是一元二次方程与三角形性质的综合题，解题思路如下：
(1) 已知x=-1是方程的根，根据一元二次方程根的定义，将x=-1代入原方程，化简得到三角形边a、b的关系，即可判断三角形形状；
(2) 已知方程有两个相等的实数根，根据一元二次方程根的判别式Δ=0的性质，列出关于三边a、b、c的等式，整理后结合勾股定理逆定理判断三角形形状；
(3) 已知△ABC是等边三角形，可得三边a=b=c，将其代入原方程化简，结合a是边长不为0的条件，求解化简后的一元二次方程即可得到根。
【解析】
(1) 将$x=-1$代入方程$(a+c)x^2 + 2bx + (a - c)=0$，得：
$(a+c)×(-1)^2 + 2b×(-1) + (a - c)=0$
化简得：$a+c-2b+a-c=0$，即$2a-2b=0$，$\therefore a=b$
$\therefore △ ABC$是等腰三角形。
(2) $\because$ 方程有两个相等的实数根，$\therefore$ 根的判别式$\Delta=0$，即：
$(2b)^2 - 4(a+c)(a - c)=0$
展开化简得：$4b^2 - 4(a^2 - c^2)=0$，两边同除以4得$b^2 - a^2 + c^2=0$，即$b^2 + c^2 = a^2$
根据勾股定理逆定理，$\therefore △ ABC$是直角三角形。
(3) $\because △ ABC$是等边三角形，$\therefore a=b=c$，代入原方程得：
$(a+a)x^2 + 2ax + (a - a)=0$，即$2ax^2 + 2ax=0$
$\because a$是三角形边长，$\therefore a≠0$，方程两边同除以$2a$得：$x^2 + x=0$
因式分解得$x(x+1)=0$，解得$x_1=0$，$x_2=-1$。
【答案】
(1) $△ ABC$是等腰三角形；
(2) $△ ABC$是直角三角形；
(3) 方程的根为$x_1=0$，$x_2=-1$。
【知识点】
一元二次方程根的定义，根的判别式，特殊三角形判定
【点评】
本题综合考查了一元二次方程的相关性质和特殊三角形的判定，解题的核心是熟练掌握方程根的意义、判别式的应用，以及不同特殊三角形的边长关系，能有效提升代数与几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
