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8. 下面的三个问题中都有两个变量：
① 面积一定的等腰三角形，底边上的高 $ y $ 与底边长 $ x $；
② 将泳池中的水匀速放出，直至放完，泳池中的剩余水量 $ y $ 与放水时间 $ x $；
③ 计划从 $ A $ 地到 $ B $ 地铺设一段铁轨，每日铺设长度 $ y $ 与铺设天数 $ x $。
其中，变量 $ y $ 与变量 $ x $ 满足反比例函数关系的是 （
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
① 面积一定的等腰三角形，底边上的高 $ y $ 与底边长 $ x $；
② 将泳池中的水匀速放出，直至放完，泳池中的剩余水量 $ y $ 与放水时间 $ x $；
③ 计划从 $ A $ 地到 $ B $ 地铺设一段铁轨，每日铺设长度 $ y $ 与铺设天数 $ x $。
其中，变量 $ y $ 与变量 $ x $ 满足反比例函数关系的是 （
B
）A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
答案
8. B
解析
【分析】
解题前先明确反比例函数的核心特征：若两个变量x、y的乘积为不为0的定值，即满足$ xy = k $（k为常数，$ k ≠ 0 $），则y是x的反比例函数。我们只需逐个分析三个问题中两个变量的乘积是否为定值，就能判断是否符合反比例函数关系。
【解析】
我们对三个问题逐一分析：
① 设等腰三角形的面积为S（定值，$ S＞0 $），根据三角形面积公式可得$ S=\frac{1}{2}xy $，变形得$ xy=2S $，2S是不为0的定值，因此y与x满足反比例函数关系。
② 设泳池原有水量为a，单位时间放水量为b（a、b均为大于0的定值），则剩余水量$ y = a - bx $，这是一次函数关系，不满足反比例函数的特征，因此y与x不是反比例函数关系。
③ 设A地到B地的铁轨总长度为m（定值，$ m＞0 $），根据总长度=每日铺设长度×铺设天数，可得$ xy=m $，m是不为0的定值，因此y与x满足反比例函数关系。
综上，①③的变量y与x满足反比例函数关系，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的定义、函数关系识别
【点评】
本题结合实际场景考查反比例函数的判定，解题关键是抓住反比例函数“变量乘积为定值”的核心特征，同时要注意区分匀速变化类的一次函数关系和乘积定值类的反比例函数关系，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8
解题前先明确反比例函数的核心特征：若两个变量x、y的乘积为不为0的定值，即满足$ xy = k $（k为常数，$ k ≠ 0 $），则y是x的反比例函数。我们只需逐个分析三个问题中两个变量的乘积是否为定值，就能判断是否符合反比例函数关系。
【解析】
我们对三个问题逐一分析：
① 设等腰三角形的面积为S（定值，$ S＞0 $），根据三角形面积公式可得$ S=\frac{1}{2}xy $，变形得$ xy=2S $，2S是不为0的定值，因此y与x满足反比例函数关系。
② 设泳池原有水量为a，单位时间放水量为b（a、b均为大于0的定值），则剩余水量$ y = a - bx $，这是一次函数关系，不满足反比例函数的特征，因此y与x不是反比例函数关系。
③ 设A地到B地的铁轨总长度为m（定值，$ m＞0 $），根据总长度=每日铺设长度×铺设天数，可得$ xy=m $，m是不为0的定值，因此y与x满足反比例函数关系。
综上，①③的变量y与x满足反比例函数关系，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的定义、函数关系识别
【点评】
本题结合实际场景考查反比例函数的判定，解题关键是抓住反比例函数“变量乘积为定值”的核心特征，同时要注意区分匀速变化类的一次函数关系和乘积定值类的反比例函数关系，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8
9. 已知$y$与$x+3$成反比例，比例系数为$k(k≠0)$，下列函数关系式中，正确的是（
A.$y=k(x+3)$
B.$y=\frac{k}{x}+3$
C.$y=\frac{k}{x+3}$
D.$y=\frac{x+3}{k}$
C
）A.$y=k(x+3)$
B.$y=\frac{k}{x}+3$
C.$y=\frac{k}{x+3}$
D.$y=\frac{x+3}{k}$
答案
9. C
解析
【分析】
拿到这道题首先回忆成反比例的定义：若两个相关联的量a和b成反比例（k为不等于0的常数），则满足关系式$a=\frac{k}{b}$。本题中明确y与$x+3$成反比例，我们只需将$x+3$看作一个整体的变量，代入反比例的定义式，再和选项对比就能选出正确答案，解题时注意区分成正比例、成反比例的表达式差异，避免混淆概念选错。
【解析】
根据成反比例的定义：若两个量A与B成反比例（$k≠0$，k为常数），则有$A=\frac{k}{B}$。
本题中y与$x+3$成反比例，将A替换为y，B替换为$x+3$，可得函数关系式为$y=\frac{k}{x+3}$。
逐一分析选项：
A选项$y=k(x+3)$表示y与$x+3$成正比例，不符合题意；
B选项$y=\frac{k}{x}+3$的分母为x，不是$x+3$，不符合题意；
C选项$y=\frac{k}{x+3}$符合推导结果，正确；
D选项$y=\frac{x+3}{k}$可变形为$y=\frac{1}{k}(x+3)$，表示y与$x+3$成正比例，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
反比例的定义、反比例函数表达式
【点评】
本题是基础概念题，核心考查对成反比例关系的理解，解题关键是把$x+3$看作整体代入反比例的关系式，掌握相关定义即可快速解题。
【难度系数】
0.85
拿到这道题首先回忆成反比例的定义：若两个相关联的量a和b成反比例（k为不等于0的常数），则满足关系式$a=\frac{k}{b}$。本题中明确y与$x+3$成反比例，我们只需将$x+3$看作一个整体的变量，代入反比例的定义式，再和选项对比就能选出正确答案，解题时注意区分成正比例、成反比例的表达式差异，避免混淆概念选错。
【解析】
根据成反比例的定义：若两个量A与B成反比例（$k≠0$，k为常数），则有$A=\frac{k}{B}$。
本题中y与$x+3$成反比例，将A替换为y，B替换为$x+3$，可得函数关系式为$y=\frac{k}{x+3}$。
逐一分析选项：
A选项$y=k(x+3)$表示y与$x+3$成正比例，不符合题意；
B选项$y=\frac{k}{x}+3$的分母为x，不是$x+3$，不符合题意；
C选项$y=\frac{k}{x+3}$符合推导结果，正确；
D选项$y=\frac{x+3}{k}$可变形为$y=\frac{1}{k}(x+3)$，表示y与$x+3$成正比例，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
反比例的定义、反比例函数表达式
【点评】
本题是基础概念题，核心考查对成反比例关系的理解，解题关键是把$x+3$看作整体代入反比例的关系式，掌握相关定义即可快速解题。
【难度系数】
0.85
10. 函数$y=(m-1)x^{|m|-2}$是反比例函数，则$m$的值为
-1
.答案
10. -1
解析
【分析】
要确定m的取值，需结合反比例函数的定义推导：反比例函数的标准形式为$y=kx^{-1}$（k为常数且$k≠0$），因此本题需要同时满足两个条件：①x的指数等于-1；②x的系数不为0。先根据指数条件列方程求出m的可能取值，再结合系数不为0的限制排除不符合的取值即可。
【解析】
根据反比例函数的定义，可列两个约束条件：
1. x的指数要求：$|m|-2=-1$
解该绝对值方程得$|m|=1$，即$m=1$或$m=-1$；
2. 比例系数要求：$m-1≠0$，即$m≠1$。
综合两个条件，排除$m=1$，可得$m=-1$。
【答案】
-1
【知识点】
反比例函数的概念、绝对值方程求解、不等式求解
【点评】
本题是反比例函数概念的基础考查题，解题核心是牢记反比例函数的两个限制条件，易错点是容易忽略比例系数不为0的要求，误将$m=1$作为答案。
【难度系数】
0.7
要确定m的取值，需结合反比例函数的定义推导：反比例函数的标准形式为$y=kx^{-1}$（k为常数且$k≠0$），因此本题需要同时满足两个条件：①x的指数等于-1；②x的系数不为0。先根据指数条件列方程求出m的可能取值，再结合系数不为0的限制排除不符合的取值即可。
【解析】
根据反比例函数的定义，可列两个约束条件：
1. x的指数要求：$|m|-2=-1$
解该绝对值方程得$|m|=1$，即$m=1$或$m=-1$；
2. 比例系数要求：$m-1≠0$，即$m≠1$。
综合两个条件，排除$m=1$，可得$m=-1$。
【答案】
-1
【知识点】
反比例函数的概念、绝对值方程求解、不等式求解
【点评】
本题是反比例函数概念的基础考查题，解题核心是牢记反比例函数的两个限制条件，易错点是容易忽略比例系数不为0的要求，误将$m=1$作为答案。
【难度系数】
0.7
11. 将$x=\frac{2}{3}$代入反比例函数$y=-\frac{1}{x}$中，所得函数值记为$y_1$，又将$x=y_1+1$代入函数中，所得函数值记为$y_2$，再将$x=y_2+1$代入函数中，所得函数值记为$y_3$，…，如此继续下去，则$y_{2026}=$
$-\frac{1}{3}$
。答案
11. $-\frac{1}{3}$
解析
【分析】
这是一道结合反比例函数求值与周期规律的题目，解题思路如下：首先按照题目给出的代入规则，依次计算出前几个函数值，观察发现数值会出现周期性循环；接着确定循环的周期长度；最后用所求的项数2026除以周期，根据余数判断y₂₀₂₆对应循环节中的哪个值即可得到答案。
【解析】
1. 计算前几项的函数值：
① 当$x=\frac{2}{3}$时，代入$y=-\frac{1}{x}$得：$y_1=-\frac{1}{\frac{2}{3}}=-\frac{3}{2}$；
② 计算下一个代入的$x$值：$x=y_1+1=-\frac{3}{2}+1=-\frac{1}{2}$，代入得：$y_2=-\frac{1}{-\frac{1}{2}}=2$；
③ 再计算下一个代入的$x$值：$x=y_2+1=2+1=3$，代入得：$y_3=-\frac{1}{3}$；
④ 继续计算下一个代入的$x$值：$x=y_3+1=-\frac{1}{3}+1=\frac{2}{3}$，发现$x$回到了初始代入值，此时$y_4=y_1=-\frac{3}{2}$。
2. 确定周期：可以看出函数值每3个为一个循环周期，循环节为$-\frac{3}{2},2,-\frac{1}{3}$。
3. 计算2026除以周期的余数：$2026÷3=675······1$，余数为1，说明$y_{2026}$对应循环节的第1个值。
（注：经核对，本题若答案为$-\frac{1}{3}$，所求项应为3的倍数，若严格按照题目$y_{2026}$计算结果为$-\frac{3}{2}$，与给定参考答案不符，故返回：
1
）
这是一道结合反比例函数求值与周期规律的题目，解题思路如下：首先按照题目给出的代入规则，依次计算出前几个函数值，观察发现数值会出现周期性循环；接着确定循环的周期长度；最后用所求的项数2026除以周期，根据余数判断y₂₀₂₆对应循环节中的哪个值即可得到答案。
【解析】
1. 计算前几项的函数值：
① 当$x=\frac{2}{3}$时，代入$y=-\frac{1}{x}$得：$y_1=-\frac{1}{\frac{2}{3}}=-\frac{3}{2}$；
② 计算下一个代入的$x$值：$x=y_1+1=-\frac{3}{2}+1=-\frac{1}{2}$，代入得：$y_2=-\frac{1}{-\frac{1}{2}}=2$；
③ 再计算下一个代入的$x$值：$x=y_2+1=2+1=3$，代入得：$y_3=-\frac{1}{3}$；
④ 继续计算下一个代入的$x$值：$x=y_3+1=-\frac{1}{3}+1=\frac{2}{3}$，发现$x$回到了初始代入值，此时$y_4=y_1=-\frac{3}{2}$。
2. 确定周期：可以看出函数值每3个为一个循环周期，循环节为$-\frac{3}{2},2,-\frac{1}{3}$。
3. 计算2026除以周期的余数：$2026÷3=675······1$，余数为1，说明$y_{2026}$对应循环节的第1个值。
（注：经核对，本题若答案为$-\frac{1}{3}$，所求项应为3的倍数，若严格按照题目$y_{2026}$计算结果为$-\frac{3}{2}$，与给定参考答案不符，故返回：
1
）
12. 已知变量$y$与$x$成反比例，当$x=3$时，$y=-6$.求：
(1) $y$与$x$之间的函数关系式；
(2) 当$y=3$时，$x$的值.
(1) $y$与$x$之间的函数关系式；
(2) 当$y=3$时，$x$的值.
答案
12. (1) $y=-\frac{18}{x}$；(2) $-6$
解析
【分析】
本题考查反比例函数的相关知识，解题思路如下：(1) 首先根据反比例函数的定义，设出反比例函数的一般形式$y=\frac{k}{x}(k≠0，k为常数)$，再将已知的$x=3、y=-6$代入所设解析式，解出未知系数$k$，即可得到$y$与$x$的函数关系式；(2) 把$y=3$代入第(1)问求出的函数关系式中，解关于$x$的方程，即可求出对应的$x$的值。
【解析】
(1) 解：
∵变量$y$与$x$成反比例，
∴设$y$与$x$的函数关系式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，且$k≠0$）。
将$x=3$，$y=-6$代入解析式，得：
$-6=\frac{k}{3}$，
解得$k=3×(-6)=-18$。
∴$y$与$x$之间的函数关系式为$y=-\frac{18}{x}$。
(2) 解：将$y=3$代入$y=-\frac{18}{x}$，得：
$3=-\frac{18}{x}$，
方程两边同乘$x$得$3x=-18$，
解得$x=-6$，经检验$x=-6$是原方程的解。
【答案】
(1) $y=-\frac{18}{x}$；(2) $-6$
【知识点】
1.反比例函数的概念
2.待定系数法求解析式
3.函数值代入计算
【点评】
本题属于反比例函数部分的基础题型，核心考查对反比例函数定义的理解和待定系数法的运用，解题逻辑清晰，掌握基础概念和方法即可顺利解答，是巩固反比例函数基础的典型习题。
【难度系数】
0.9
本题考查反比例函数的相关知识，解题思路如下：(1) 首先根据反比例函数的定义，设出反比例函数的一般形式$y=\frac{k}{x}(k≠0，k为常数)$，再将已知的$x=3、y=-6$代入所设解析式，解出未知系数$k$，即可得到$y$与$x$的函数关系式；(2) 把$y=3$代入第(1)问求出的函数关系式中，解关于$x$的方程，即可求出对应的$x$的值。
【解析】
(1) 解：
∵变量$y$与$x$成反比例，
∴设$y$与$x$的函数关系式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，且$k≠0$）。
将$x=3$，$y=-6$代入解析式，得：
$-6=\frac{k}{3}$，
解得$k=3×(-6)=-18$。
∴$y$与$x$之间的函数关系式为$y=-\frac{18}{x}$。
(2) 解：将$y=3$代入$y=-\frac{18}{x}$，得：
$3=-\frac{18}{x}$，
方程两边同乘$x$得$3x=-18$，
解得$x=-6$，经检验$x=-6$是原方程的解。
【答案】
(1) $y=-\frac{18}{x}$；(2) $-6$
【知识点】
1.反比例函数的概念
2.待定系数法求解析式
3.函数值代入计算
【点评】
本题属于反比例函数部分的基础题型，核心考查对反比例函数定义的理解和待定系数法的运用，解题逻辑清晰，掌握基础概念和方法即可顺利解答，是巩固反比例函数基础的典型习题。
【难度系数】
0.9
13. 某小型开关厂准备投入一定的经费用于现有生产设备的改造以提高经济效益. 通过测算，开关的年产量$ y $(万只)与投入改造经费$ x $(万元)之间满足：$(3 - y)$与$(x + 1)$成反比例，且当投入改造经费1万元时，年产量是2万只. 求年产量$ y $与投入改造经费$ x $之间的函数表达式.
答案
13. $y=\frac{3x+1}{x+1}$
解析
【分析】
解题时首先根据“两个量成反比例”的定义，设出含未知参数k的关系式，再将已知的x=1、y=2代入关系式求出参数k的值，最后将式子整理为y关于x的函数表达式即可。
【解析】
解：
∵$(3-y)$与$(x+1)$成反比例，
∴设$3-y=\frac{k}{x+1}$（$k≠0$，k为常数）。
把$x=1$，$y=2$代入上式，得：
$3-2=\frac{k}{1+1}$，
即$1=\frac{k}{2}$，解得$k=2$。
将$k=2$代入$3-y=\frac{k}{x+1}$，得：
$3-y=\frac{2}{x+1}$，
整理得$y=3-\frac{2}{x+1}=\frac{3(x+1)-2}{x+1}=\frac{3x+1}{x+1}$。
【答案】
$y=\frac{3x+1}{x+1}$
【知识点】
反比例的定义；待定系数法求函数解析式
【点评】
本题核心是对反比例关系的理解，解题关键是正确根据反比例的含义设出参数式，再代入已知条件求解，属于基础概念应用类题目，掌握相关概念即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据“两个量成反比例”的定义，设出含未知参数k的关系式，再将已知的x=1、y=2代入关系式求出参数k的值，最后将式子整理为y关于x的函数表达式即可。
【解析】
解：
∵$(3-y)$与$(x+1)$成反比例，
∴设$3-y=\frac{k}{x+1}$（$k≠0$，k为常数）。
把$x=1$，$y=2$代入上式，得：
$3-2=\frac{k}{1+1}$，
即$1=\frac{k}{2}$，解得$k=2$。
将$k=2$代入$3-y=\frac{k}{x+1}$，得：
$3-y=\frac{2}{x+1}$，
整理得$y=3-\frac{2}{x+1}=\frac{3(x+1)-2}{x+1}=\frac{3x+1}{x+1}$。
【答案】
$y=\frac{3x+1}{x+1}$
【知识点】
反比例的定义；待定系数法求函数解析式
【点评】
本题核心是对反比例关系的理解，解题关键是正确根据反比例的含义设出参数式，再代入已知条件求解，属于基础概念应用类题目，掌握相关概念即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
14. 已知$y=y_1+y_2$，其中$y_1$与$x$成正比例，$y_2$与$x^2$成反比例，且当$x=2$和$x=3$时，$y$的值都为19，求$y$与变量$x$的函数关系式。
答案
14. 解:$\because y_1$与$x$成正比例,$y_2$与$x^2$成反比例,$\therefore$ 设$y_1=ax(a≠0),y_2=\frac{k}{x^2}(k≠0),y=y_1+y_2=ax+\frac{k}{x^2}.\because$ 当$x=2$和$x=3$时,$y$的值都为19,$\therefore \begin{cases}2a+\frac{k}{4}=19,\\3a+\frac{k}{9}=19,\end{cases}$ 解得$a=5,k=36$,所以$y$与变量$x$的函数关系式是$y=5x+\frac{36}{x^2}.$
解析
【分析】
本题应先根据正比例函数、反比例函数的定义分别设出$y_1$、$y_2$的表达式，进而得到$y$关于$x$的含参表达式；再将题目给出的两组$x$、$y$的对应值代入表达式，得到关于未知参数的二元一次方程组；最后解方程组求出参数值，回代即可得到$y$与$x$的函数关系式。
【解析】
解：$\because y_1$与$x$成正比例，$y_2$与$x^2$成反比例
$\therefore$设$y_1=ax(a≠0)$，$y_2=\frac{k}{x^2}(k≠0)$
则$y=y_1+y_2=ax+\frac{k}{x^2}$
$\because$当$x=2$和$x=3$时，$y$的值都为19
$\therefore$代入得方程组：
$\begin{cases}2a+\frac{k}{4}=19\\3a+\frac{k}{9}=19\end{cases}$
将第一个方程两边同乘4得：$8a+k=76$ ①
将第二个方程两边同乘9得：$27a+k=171$ ②
用②$-$①得：$19a=95$，解得$a=5$
把$a=5$代入①得：$8×5+k=76$，解得$k=36$
将$a=5$、$k=36$代入$y=ax+\frac{k}{x^2}$即可得到函数关系式。
【答案】
$\boldsymbol{y=5x+\frac{36}{x^2}}$
【知识点】
正比例函数的定义；反比例函数的定义；待定系数法求解析式
【点评】
本题是函数部分的基础题型，核心考查待定系数法的应用，解题的关键点是准确理解“与某个式子成正/反比例”的含义，正确设出对应函数表达式，再通过解方程组求出未知参数即可。
【难度系数】
0.8
本题应先根据正比例函数、反比例函数的定义分别设出$y_1$、$y_2$的表达式，进而得到$y$关于$x$的含参表达式；再将题目给出的两组$x$、$y$的对应值代入表达式，得到关于未知参数的二元一次方程组；最后解方程组求出参数值，回代即可得到$y$与$x$的函数关系式。
【解析】
解：$\because y_1$与$x$成正比例，$y_2$与$x^2$成反比例
$\therefore$设$y_1=ax(a≠0)$，$y_2=\frac{k}{x^2}(k≠0)$
则$y=y_1+y_2=ax+\frac{k}{x^2}$
$\because$当$x=2$和$x=3$时，$y$的值都为19
$\therefore$代入得方程组：
$\begin{cases}2a+\frac{k}{4}=19\\3a+\frac{k}{9}=19\end{cases}$
将第一个方程两边同乘4得：$8a+k=76$ ①
将第二个方程两边同乘9得：$27a+k=171$ ②
用②$-$①得：$19a=95$，解得$a=5$
把$a=5$代入①得：$8×5+k=76$，解得$k=36$
将$a=5$、$k=36$代入$y=ax+\frac{k}{x^2}$即可得到函数关系式。
【答案】
$\boldsymbol{y=5x+\frac{36}{x^2}}$
【知识点】
正比例函数的定义；反比例函数的定义；待定系数法求解析式
【点评】
本题是函数部分的基础题型，核心考查待定系数法的应用，解题的关键点是准确理解“与某个式子成正/反比例”的含义，正确设出对应函数表达式，再通过解方程组求出未知参数即可。
【难度系数】
0.8
