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1.（南京中考）下列图形中，一定有外接圆的是 （
A.三角形
B.四边形
C.五边形
D.六边形
A
）A.三角形
B.四边形
C.五边形
D.六边形
答案
1.A
解析
【分析】
要判断哪个图形一定有外接圆，首先明确：若多边形的所有顶点都在同一个圆上，则该多边形有外接圆。解题思路为：①回忆确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定唯一的圆；②逐一分析各选项图形是否所有顶点必然共圆：三角形的三个顶点一定不共线，必然满足三点共圆；而边数≥4的多边形，只有满足特殊顶点共圆条件时才有外接圆，并非所有这类图形都一定有。
【解析】
我们根据外接圆的相关性质逐一判断选项：
1. 选项A：任意三角形的三个顶点都不在同一条直线上，根据“不在同一直线上的三个点确定一个圆”，可知所有三角形都一定有唯一的外接圆，符合要求。
2. 选项B：四边形只有满足对角互补的条件时才有外接圆，例如普通的平行四边形就没有外接圆，因此不是所有四边形都一定有外接圆，不符合要求。
3. 选项C、D：五边形、六边形只有正五边形、正六边形这类特殊的多边形，或者满足所有顶点共圆的特殊多边形才有外接圆，并非所有五边形、六边形都一定有，不符合要求。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 确定圆的条件
2. 多边形外接圆判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点是理解任意三角形恒有外接圆，边数大于等于4的多边形仅在满足特殊条件时才有外接圆，掌握核心概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
要判断哪个图形一定有外接圆，首先明确：若多边形的所有顶点都在同一个圆上，则该多边形有外接圆。解题思路为：①回忆确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定唯一的圆；②逐一分析各选项图形是否所有顶点必然共圆：三角形的三个顶点一定不共线，必然满足三点共圆；而边数≥4的多边形，只有满足特殊顶点共圆条件时才有外接圆，并非所有这类图形都一定有。
【解析】
我们根据外接圆的相关性质逐一判断选项：
1. 选项A：任意三角形的三个顶点都不在同一条直线上，根据“不在同一直线上的三个点确定一个圆”，可知所有三角形都一定有唯一的外接圆，符合要求。
2. 选项B：四边形只有满足对角互补的条件时才有外接圆，例如普通的平行四边形就没有外接圆，因此不是所有四边形都一定有外接圆，不符合要求。
3. 选项C、D：五边形、六边形只有正五边形、正六边形这类特殊的多边形，或者满足所有顶点共圆的特殊多边形才有外接圆，并非所有五边形、六边形都一定有，不符合要求。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 确定圆的条件
2. 多边形外接圆判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点是理解任意三角形恒有外接圆，边数大于等于4的多边形仅在满足特殊条件时才有外接圆，掌握核心概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
2. 若一个直角三角形的两边长分别为6和8，则这个直角三角形外接圆的直径是（
A.8
B.10
C.5或4
D.10或8
D
）A.8
B.10
C.5或4
D.10或8
答案
2.D
解析
【分析】
解题时首先要明确直角三角形外接圆的核心性质：直角三角形的外接圆直径等于其斜边长度，原理是90°圆周角所对的弦是直径。由于题目仅给出两边长为6和8，未明确说明8是直角边还是斜边，因此需要分两种情况讨论，避免漏解：第一种情况讨论8为斜边的场景，第二种情况讨论6和8均为直角边的场景，分别计算对应外接圆直径后汇总结果即可。
【解析】
根据圆周角定理的推论：90°的圆周角所对的弦是直径，可知直角三角形的外接圆直径等于该三角形的斜边长，分两种情况计算：
1. 当边长为8的边是直角三角形的斜边时，外接圆的直径直接等于斜边长8；
2. 当边长为6和8的边都是直角三角形的直角边时，由勾股定理可得斜边长为$\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$，此时外接圆的直径为10。
综上，该直角三角形外接圆的直径为10或8，故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 直角三角形外接圆性质
2. 勾股定理
3. 分类讨论思想
【点评】
本题属于易错题，解题时常因忽略题目未明确8是直角边还是斜边，仅计算6、8为直角边的情况导致漏解，答题时需注意审题，对未明确边长类型的直角三角形问题要全面考虑，分情况讨论避免出错。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确直角三角形外接圆的核心性质：直角三角形的外接圆直径等于其斜边长度，原理是90°圆周角所对的弦是直径。由于题目仅给出两边长为6和8，未明确说明8是直角边还是斜边，因此需要分两种情况讨论，避免漏解：第一种情况讨论8为斜边的场景，第二种情况讨论6和8均为直角边的场景，分别计算对应外接圆直径后汇总结果即可。
【解析】
根据圆周角定理的推论：90°的圆周角所对的弦是直径，可知直角三角形的外接圆直径等于该三角形的斜边长，分两种情况计算：
1. 当边长为8的边是直角三角形的斜边时，外接圆的直径直接等于斜边长8；
2. 当边长为6和8的边都是直角三角形的直角边时，由勾股定理可得斜边长为$\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$，此时外接圆的直径为10。
综上，该直角三角形外接圆的直径为10或8，故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 直角三角形外接圆性质
2. 勾股定理
3. 分类讨论思想
【点评】
本题属于易错题，解题时常因忽略题目未明确8是直角边还是斜边，仅计算6、8为直角边的情况导致漏解，答题时需注意审题，对未明确边长类型的直角三角形问题要全面考虑，分情况讨论避免出错。
【难度系数】
0.7
3. 如图,在平面直角坐标系中,A(0,−2),B(2,0),C(2,2).则△ABC 的外心坐标为 (
A.(0,0)
B.(−1,0)
C.(−1,1)
D.(−2,1)
C
)A.(0,0)
B.(−1,0)
C.(−1,1)
D.(−2,1)
答案
3.C
解析
【分析】
要确定△ABC的外心，首先明确外心是三角形三边垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等。我们可以先根据已知点的坐标特征求其中两条边的垂直平分线解析式，再联立解析式求交点，即为外心坐标；也可以通过外心的性质排除错误选项，简化计算。
第一步先观察B、C两点坐标：B(2,0)、C(2,2)，横坐标相同，说明BC是竖直线段，它的垂直平分线是水平线，过BC中点(2,1)，因此BC的垂直平分线为y=1，外心必在这条直线上，可直接排除y坐标不为1的选项A、B。
第二步再求AB边的垂直平分线：先算AB中点，再求AB的斜率，进而得到垂直平分线的斜率，写出解析式后和y=1联立，即可求得外心坐标。
【解析】
三角形的外心是三边垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等。
1. 求BC边的垂直平分线：
已知B(2,0)，C(2,2)，BC为竖直线段，中点坐标为$(\frac{2+2}{2},\frac{0+2}{2})=(2,1)$。
垂直于竖直线的直线为水平线，因此BC的垂直平分线为$y=1$，外心的纵坐标必为1，排除选项A、B。
2. 求AB边的垂直平分线：
已知A(0,-2)，B(2,0)，AB的中点坐标为$(\frac{0+2}{2},\frac{-2+0}{2})=(1,-1)$。
AB的斜率$k_{AB}=\frac{0-(-2)}{2-0}=1$，因此AB的垂直平分线的斜率为$k=-1$（互相垂直的直线斜率乘积为-1）。
由点斜式得AB的垂直平分线解析式：$y - (-1) = -1×(x - 1)$，化简得$y=-x$。
3. 联立两条垂直平分线求交点：
将$y=1$代入$y=-x$，得$x=-1$，因此交点坐标为$(-1,1)$，即为△ABC的外心坐标。
也可验证：点$(-1,1)$到A、B、C三点的距离均为$\sqrt{(-1-0)^2+(1+2)^2}=\sqrt{10}$，$\sqrt{(-1-2)^2+(1-0)^2}=\sqrt{10}$，$\sqrt{(-1-2)^2+(1-2)^2}=\sqrt{10}$，满足外心到三顶点距离相等的性质。
【答案】
C
【知识点】
外心的定义；垂直平分线的性质；坐标与图形性质
【点评】
本题解题关键是掌握三角形外心的性质，结合线段坐标特征先简化垂直平分线的求解，通过排除法或联立解析式均可快速得到答案，也可直接代入选项验证到三个顶点的距离是否相等，方法灵活。
【难度系数】
0.7
要确定△ABC的外心，首先明确外心是三角形三边垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等。我们可以先根据已知点的坐标特征求其中两条边的垂直平分线解析式，再联立解析式求交点，即为外心坐标；也可以通过外心的性质排除错误选项，简化计算。
第一步先观察B、C两点坐标：B(2,0)、C(2,2)，横坐标相同，说明BC是竖直线段，它的垂直平分线是水平线，过BC中点(2,1)，因此BC的垂直平分线为y=1，外心必在这条直线上，可直接排除y坐标不为1的选项A、B。
第二步再求AB边的垂直平分线：先算AB中点，再求AB的斜率，进而得到垂直平分线的斜率，写出解析式后和y=1联立，即可求得外心坐标。
【解析】
三角形的外心是三边垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等。
1. 求BC边的垂直平分线：
已知B(2,0)，C(2,2)，BC为竖直线段，中点坐标为$(\frac{2+2}{2},\frac{0+2}{2})=(2,1)$。
垂直于竖直线的直线为水平线，因此BC的垂直平分线为$y=1$，外心的纵坐标必为1，排除选项A、B。
2. 求AB边的垂直平分线：
已知A(0,-2)，B(2,0)，AB的中点坐标为$(\frac{0+2}{2},\frac{-2+0}{2})=(1,-1)$。
AB的斜率$k_{AB}=\frac{0-(-2)}{2-0}=1$，因此AB的垂直平分线的斜率为$k=-1$（互相垂直的直线斜率乘积为-1）。
由点斜式得AB的垂直平分线解析式：$y - (-1) = -1×(x - 1)$，化简得$y=-x$。
3. 联立两条垂直平分线求交点：
将$y=1$代入$y=-x$，得$x=-1$，因此交点坐标为$(-1,1)$，即为△ABC的外心坐标。
也可验证：点$(-1,1)$到A、B、C三点的距离均为$\sqrt{(-1-0)^2+(1+2)^2}=\sqrt{10}$，$\sqrt{(-1-2)^2+(1-0)^2}=\sqrt{10}$，$\sqrt{(-1-2)^2+(1-2)^2}=\sqrt{10}$，满足外心到三顶点距离相等的性质。
【答案】
C
【知识点】
外心的定义；垂直平分线的性质；坐标与图形性质
【点评】
本题解题关键是掌握三角形外心的性质，结合线段坐标特征先简化垂直平分线的求解，通过排除法或联立解析式均可快速得到答案，也可直接代入选项验证到三个顶点的距离是否相等，方法灵活。
【难度系数】
0.7
4. 如图，点A，B，C均在6×6的正方形网格的格点上，以A，B，C为顶点的三角形的外接圆除经过A，B，C三点外，还经过的格点个数为
5
。答案
4.5
解析
【分析】
要确定△ABC的外接圆还经过的格点个数，首先需根据“三角形外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点”确定外心位置，再计算外接圆半径，最后找出所有到外心距离等于半径的格点，排除A、B、C三点后即可得到结果。具体步骤为：1. 建立平面直角坐标系，写出A、B、C三点坐标；2. 求两条边的垂直平分线方程，联立得外心坐标；3. 计算外接圆半径的平方；4. 列方程找出所有满足到外心距离等于半径的格点，统计除A、B、C外的个数。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，建立平面直角坐标系，令$A(0,0)$，则$B(2,2)$，$C(5,0)$。
1. 求外心坐标：
AB的中点为$(1,1)$，AB的斜率为$\frac{2-0}{2-0}=1$，故AB的垂直平分线斜率为$-1$，方程为$y-1=-(x-1)$，即$y=-x+2$。
AC为水平线段，中点为$(2.5,0)$，故AC的垂直平分线为竖直直线$x=2.5$。
联立两个垂直平分线方程，解得外心$O$的坐标为$(2.5, -0.5)$。
2. 计算外接圆半径的平方：$OA^2=(2.5-0)^2+(-0.5-0)^2=6.5$。
3. 找符合条件的格点：设格点坐标为$(x,y)$（$x$、$y$均为整数），则满足$(x-2.5)^2+(y+0.5)^2=6.5$，整理得$(2x-5)^2+(2y+1)^2=26$。
26可拆分为平方和$1^2+5^2$，分情况求解：
当$(2x-5)^2=1$，$(2y+1)^2=25$时，解得$(x,y)=(3,2),(3,-3),(2,2),(2,-3)$；
当$(2x-5)^2=25$，$(2y+1)^2=1$时，解得$(x,y)=(5,0),(5,-1),(0,0),(0,-1)$。
共得到8个格点，去掉$A(0,0)$、$B(2,2)$、$C(5,0)$三点，剩余5个格点在外接圆上。
【答案】
5
【知识点】
确定圆的条件；三角形的外接圆与外心；坐标与图形性质
【点评】
本题解题的核心是利用外心是三角形三边垂直平分线的交点确定圆心，结合坐标系和两点间距离公式筛选符合条件的格点，既考查了对圆的基本性质的掌握，也锻炼了网格中的计算、观察能力。
【难度系数】
0.6
要确定△ABC的外接圆还经过的格点个数，首先需根据“三角形外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点”确定外心位置，再计算外接圆半径，最后找出所有到外心距离等于半径的格点，排除A、B、C三点后即可得到结果。具体步骤为：1. 建立平面直角坐标系，写出A、B、C三点坐标；2. 求两条边的垂直平分线方程，联立得外心坐标；3. 计算外接圆半径的平方；4. 列方程找出所有满足到外心距离等于半径的格点，统计除A、B、C外的个数。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，建立平面直角坐标系，令$A(0,0)$，则$B(2,2)$，$C(5,0)$。
1. 求外心坐标：
AB的中点为$(1,1)$，AB的斜率为$\frac{2-0}{2-0}=1$，故AB的垂直平分线斜率为$-1$，方程为$y-1=-(x-1)$，即$y=-x+2$。
AC为水平线段，中点为$(2.5,0)$，故AC的垂直平分线为竖直直线$x=2.5$。
联立两个垂直平分线方程，解得外心$O$的坐标为$(2.5, -0.5)$。
2. 计算外接圆半径的平方：$OA^2=(2.5-0)^2+(-0.5-0)^2=6.5$。
3. 找符合条件的格点：设格点坐标为$(x,y)$（$x$、$y$均为整数），则满足$(x-2.5)^2+(y+0.5)^2=6.5$，整理得$(2x-5)^2+(2y+1)^2=26$。
26可拆分为平方和$1^2+5^2$，分情况求解：
当$(2x-5)^2=1$，$(2y+1)^2=25$时，解得$(x,y)=(3,2),(3,-3),(2,2),(2,-3)$；
当$(2x-5)^2=25$，$(2y+1)^2=1$时，解得$(x,y)=(5,0),(5,-1),(0,0),(0,-1)$。
共得到8个格点，去掉$A(0,0)$、$B(2,2)$、$C(5,0)$三点，剩余5个格点在外接圆上。
【答案】
5
【知识点】
确定圆的条件；三角形的外接圆与外心；坐标与图形性质
【点评】
本题解题的核心是利用外心是三角形三边垂直平分线的交点确定圆心，结合坐标系和两点间距离公式筛选符合条件的格点，既考查了对圆的基本性质的掌握，也锻炼了网格中的计算、观察能力。
【难度系数】
0.6
5. 有下列说法:① 直径是弦;② 平分弦的直径垂直于弦;③ 三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等;④ 半径相等的两个半圆是等弧;⑤ 垂直于弦的直径平分弦.其中正确的是
①③④⑤
（填序号）.答案
5.①③④⑤
解析
【分析】
本题考查圆的相关概念、垂径定理及推论、三角形外心的性质，解题时需逐个验证每个说法的正误，尤其要注意定理适用的前提条件，避免因忽略特殊情况判断错误。
【解析】
我们逐一分析每个说法：
1. 对于①：弦是连接圆上任意两点的线段，直径是经过圆心、两端点都在圆上的线段，符合弦的定义，因此直径是弦，①正确；
2. 对于②：平分弦（非直径）的直径垂直于弦，若被平分的弦本身是直径，两条直径互相平分但不一定垂直，该说法未注明弦不是直径，因此②错误；
3. 对于③：三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，因此外心到三角形各顶点的距离都相等，等于外接圆半径，③正确；
4. 对于④：等弧是能够完全重合的弧，半径相等的两个半圆长度相等、弯曲程度一致，可以完全重合，因此是等弧，④正确；
5. 对于⑤：这是垂径定理的核心内容，垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧，该表述成立，⑤正确。
综上，正确的是①③④⑤。
【答案】
①③④⑤
【知识点】
垂径定理及推论；圆的相关概念；三角形外心的性质
【点评】
本题属于基础概念辨析题，重点考查对定理、概念的精准掌握，易错点是忽略“平分弦的直径垂直于弦”的前提是被平分的弦不是直径，日常学习中要注意识记定理的完整内容，避免因疏漏条件出错。
【难度系数】
0.7
本题考查圆的相关概念、垂径定理及推论、三角形外心的性质，解题时需逐个验证每个说法的正误，尤其要注意定理适用的前提条件，避免因忽略特殊情况判断错误。
【解析】
我们逐一分析每个说法：
1. 对于①：弦是连接圆上任意两点的线段，直径是经过圆心、两端点都在圆上的线段，符合弦的定义，因此直径是弦，①正确；
2. 对于②：平分弦（非直径）的直径垂直于弦，若被平分的弦本身是直径，两条直径互相平分但不一定垂直，该说法未注明弦不是直径，因此②错误；
3. 对于③：三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，因此外心到三角形各顶点的距离都相等，等于外接圆半径，③正确；
4. 对于④：等弧是能够完全重合的弧，半径相等的两个半圆长度相等、弯曲程度一致，可以完全重合，因此是等弧，④正确；
5. 对于⑤：这是垂径定理的核心内容，垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧，该表述成立，⑤正确。
综上，正确的是①③④⑤。
【答案】
①③④⑤
【知识点】
垂径定理及推论；圆的相关概念；三角形外心的性质
【点评】
本题属于基础概念辨析题，重点考查对定理、概念的精准掌握，易错点是忽略“平分弦的直径垂直于弦”的前提是被平分的弦不是直径，日常学习中要注意识记定理的完整内容，避免因疏漏条件出错。
【难度系数】
0.7
6. 如图,要将残缺的圆片复原,已知弧上的三点A,B,C.
（1）画出该圆片的圆心O；
（2）连接BC,若△ABC是等腰三角形,底边BC=16 cm,腰AB=10 cm,求圆片的半径.
（1）画出该圆片的圆心O；
（2）连接BC,若△ABC是等腰三角形,底边BC=16 cm,腰AB=10 cm,求圆片的半径.
答案
6. (1) 如图，分别作弦AB和AC的垂直平分线，两直线的交点O即为所求的圆心；
(2) 连接AO,OB，设AO与BC的交点为D.
∵ BC=16 cm,
∴ BD=8 cm.
∵ AB=10 cm,
∴ AD=6 cm. 设圆片的半径为R cm，在Rt△BOD中，OD=(R-6)cm.
∴ 由勾股定理得R²=8²+(R-6)²，解得R=$\frac{25}{3}$.
∴ 圆片的半径为$\frac{25}{3}$ cm。
解析
【分析】
（1）要确定残缺圆的圆心，根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线经过圆心，且圆心到圆上各点距离相等，因此只需作出任意两条不平行弦的垂直平分线，交点即为所求圆心；
（2）已知△ABC是底边为BC的等腰三角形，结合等腰三角形三线合一的性质，可知过圆心O和点A的直线垂直平分BC，先在直角三角形ABD中求出AD的长度，再设半径为R，用含R的式子表示OD的长度，最后在直角三角形BOD中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
（1）分别作弦AB、AC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心O，作图结果如图所示；
（2）连接AO、OB，设AO与BC交于点D。
∵ △ABC是等腰三角形，底边BC=16cm，
∴ AO垂直平分BC，即$BD=\frac{1}{2}BC=8$cm，$∠ ADB=90°$。
在Rt△ABD中，由勾股定理得：$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$cm。
设圆片的半径为R cm，则$OB=R$ cm，$OD=AO-AD=(R-6)$cm。
在Rt△BOD中，由勾股定理得：$OB^2=BD^2+OD^2$，
代入得$R^2=8^2+(R-6)^2$，
展开计算：$R^2=64+R^2-12R+36$，
整理得$12R=100$，解得$R=\frac{25}{3}$。
【答案】
(1) 如图，分别作弦AB和AC的垂直平分线，两直线的交点O即为所求的圆心；
(2) 圆片的半径为$\frac{25}{3}$ cm。
【知识点】
1. 确定圆的条件
2. 垂径定理
3. 勾股定理
【点评】
本题是圆的基础应用题型，既考查了找圆心的基本作图方法，又结合了等腰三角形性质、勾股定理考查圆的半径计算，将几何作图和方程思想结合，需要熟练掌握垂径定理的应用场景。
【难度系数】
0.7
（1）要确定残缺圆的圆心，根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线经过圆心，且圆心到圆上各点距离相等，因此只需作出任意两条不平行弦的垂直平分线，交点即为所求圆心；
（2）已知△ABC是底边为BC的等腰三角形，结合等腰三角形三线合一的性质，可知过圆心O和点A的直线垂直平分BC，先在直角三角形ABD中求出AD的长度，再设半径为R，用含R的式子表示OD的长度，最后在直角三角形BOD中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
（1）分别作弦AB、AC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心O，作图结果如图所示；
（2）连接AO、OB，设AO与BC交于点D。
∵ △ABC是等腰三角形，底边BC=16cm，
∴ AO垂直平分BC，即$BD=\frac{1}{2}BC=8$cm，$∠ ADB=90°$。
在Rt△ABD中，由勾股定理得：$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$cm。
设圆片的半径为R cm，则$OB=R$ cm，$OD=AO-AD=(R-6)$cm。
在Rt△BOD中，由勾股定理得：$OB^2=BD^2+OD^2$，
代入得$R^2=8^2+(R-6)^2$，
展开计算：$R^2=64+R^2-12R+36$，
整理得$12R=100$，解得$R=\frac{25}{3}$。
【答案】
(1) 如图，分别作弦AB和AC的垂直平分线，两直线的交点O即为所求的圆心；
(2) 圆片的半径为$\frac{25}{3}$ cm。
【知识点】
1. 确定圆的条件
2. 垂径定理
3. 勾股定理
【点评】
本题是圆的基础应用题型，既考查了找圆心的基本作图方法，又结合了等腰三角形性质、勾股定理考查圆的半径计算，将几何作图和方程思想结合，需要熟练掌握垂径定理的应用场景。
【难度系数】
0.7
7. 已知线段AB，且AB＜6，则经过A，B两点且半径为3的圆有 （
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
C
）A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
答案
7.C
解析
【分析】
要确定经过A、B两点且半径为3的圆的个数，核心是找符合条件的圆心的个数。经过A、B两点的圆的圆心到A、B的距离相等，因此圆心在AB的垂直平分线上；同时圆的半径为3，说明圆心到A（或B）的距离必须等于3。因此我们可以把问题转化为：求分别以A、B为圆心，3为半径的两个圆的交点个数，交点就是满足条件的圆心，交点个数就是符合要求的圆的个数，结合已知AB＜6，通过两圆位置关系的判定即可得出结果。
【解析】
设满足条件的圆的圆心为点C，根据题意可得：
∵ 圆过A、B两点，半径为3，
∴ CA = CB = 3，
即点C既在以A为圆心、3为半径的圆上，也在以B为圆心、3为半径的圆上，点C是两圆的公共点。
两圆的半径均为3，半径之和为3+3=6，半径之差为3-3=0，
已知AB＜6，且线段AB长度大于0，即0 ＜ AB ＜ 6，符合两圆相交的条件（圆心距大于半径之差，小于半径之和），
因此两圆有2个公共点，即有2个满足条件的圆心C，对应就有2个符合要求的圆。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
确定圆的条件；圆与圆的位置关系；垂直平分线的性质
【点评】
本题考查经过两点的圆的特征，解题的关键是将求圆的个数问题转化为两圆交点个数问题，结合两圆位置关系的判定规则即可快速求解，属于对基础概念应用的考查。
【难度系数】
0.7
要确定经过A、B两点且半径为3的圆的个数，核心是找符合条件的圆心的个数。经过A、B两点的圆的圆心到A、B的距离相等，因此圆心在AB的垂直平分线上；同时圆的半径为3，说明圆心到A（或B）的距离必须等于3。因此我们可以把问题转化为：求分别以A、B为圆心，3为半径的两个圆的交点个数，交点就是满足条件的圆心，交点个数就是符合要求的圆的个数，结合已知AB＜6，通过两圆位置关系的判定即可得出结果。
【解析】
设满足条件的圆的圆心为点C，根据题意可得：
∵ 圆过A、B两点，半径为3，
∴ CA = CB = 3，
即点C既在以A为圆心、3为半径的圆上，也在以B为圆心、3为半径的圆上，点C是两圆的公共点。
两圆的半径均为3，半径之和为3+3=6，半径之差为3-3=0，
已知AB＜6，且线段AB长度大于0，即0 ＜ AB ＜ 6，符合两圆相交的条件（圆心距大于半径之差，小于半径之和），
因此两圆有2个公共点，即有2个满足条件的圆心C，对应就有2个符合要求的圆。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
确定圆的条件；圆与圆的位置关系；垂直平分线的性质
【点评】
本题考查经过两点的圆的特征，解题的关键是将求圆的个数问题转化为两圆交点个数问题，结合两圆位置关系的判定规则即可快速求解，属于对基础概念应用的考查。
【难度系数】
0.7
8. 小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是 （
A.第①块
B.第②块
C.第③块
D.第④块
B
）A.第①块
B.第②块
C.第③块
D.第④块
答案
8.B
解析
【分析】要配到和原圆形玻璃大小一致的玻璃，需要先确定原圆的圆心和半径。根据确定圆的定理：不在同一直线上的三个点可以确定唯一的圆，因此所带的碎片需要包含一段足够长的完整圆弧，才能在弧上选取三个不共线的点，进而确定圆心和半径。观察四块碎片：第①、③、④块都没有保留足够长的完整圆弧，无法选出三个能确定原圆的点；只有第②块保留了较长的完整圆弧，满足复原原圆的要求。
【解析】根据“不在同一直线上的三个点确定一个圆”的原理：
1. 复原原圆的前提是能找到原圆上三个不共线的点，因此碎片需要包含一段完整的圆弧，才能从中选取符合要求的三个点。
2. 对四块碎片逐一判断：①、③、④块的边缘圆弧长度极短，无法获取三个能确定原圆的点；第②块有较长的完整圆弧，可在弧上任意取三个点，作任意两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是原圆的圆心，圆心到弧上点的距离就是原圆的半径，即可配到大小相同的圆形玻璃。因此应带第②块。
【答案】B
【知识点】确定圆的条件，垂直平分线的应用
【点评】本题结合生活场景考查几何知识的应用，解题关键是理解确定圆的条件，明确只有保留足够长度的圆弧才能复原原圆的大小。
【难度系数】0.8
【解析】根据“不在同一直线上的三个点确定一个圆”的原理：
1. 复原原圆的前提是能找到原圆上三个不共线的点，因此碎片需要包含一段完整的圆弧，才能从中选取符合要求的三个点。
2. 对四块碎片逐一判断：①、③、④块的边缘圆弧长度极短，无法获取三个能确定原圆的点；第②块有较长的完整圆弧，可在弧上任意取三个点，作任意两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是原圆的圆心，圆心到弧上点的距离就是原圆的半径，即可配到大小相同的圆形玻璃。因此应带第②块。
【答案】B
【知识点】确定圆的条件，垂直平分线的应用
【点评】本题结合生活场景考查几何知识的应用，解题关键是理解确定圆的条件，明确只有保留足够长度的圆弧才能复原原圆的大小。
【难度系数】0.8
