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9. 将边长为2的小正方形ABCD和边长为4的大正方形EFGH按如图所示摆放，使得C，E两点刚好重合，且B，C，H三点共线，此时经过A，F，G三点作一个圆，则该圆的半径为
第9题第10题
2√5
。第9题第10题答案
9.2√5
解析
【分析】
我们可以通过建立平面直角坐标系求出A、F、G三点的坐标，根据不在同一直线上的三点确定一个圆的性质，圆心是三角形AFG三边垂直平分线的交点。先利用F、G两点的坐标特点求出线段FG的垂直平分线，得到圆心的横坐标，再设出圆心坐标，利用圆心到圆上各点距离相等的性质列方程求出圆心纵坐标，最后计算圆心到任意一点的距离即可得到圆的半径。
【解析】
以点C（即E点）为原点，B、C、H所在直线为x轴，DC所在直线为y轴建立平面直角坐标系。
根据正方形的边长可得三点坐标：$A(-2,2)$，$F(0,-4)$，$G(4,-4)$。
观察F、G两点纵坐标相同，因此线段FG的垂直平分线为直线$x=\frac{0+4}{2}=2$，可设圆心坐标为$(2,y)$。
因为圆心到A、F的距离均等于半径$r$，所以：
$(2-0)^2+(y+4)^2=(2+2)^2+(y-2)^2$
展开得：$4+y^2+8y+16=16+y^2-4y+4$
化简得：$12y=0$，解得$y=0$。
则圆心坐标为$(2,0)$，半径$r=\sqrt{(2-0)^2+(0+4)^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
【答案】
$2\sqrt{5}$
【知识点】
确定圆的条件，垂直平分线的性质，勾股定理
【点评】
本题通过建立坐标系将几何问题转化为代数问题求解，利用特殊线段的垂直平分线简化了计算过程，是解决此类过三点求圆半径问题的常用思路。
【难度系数】
0.6
我们可以通过建立平面直角坐标系求出A、F、G三点的坐标，根据不在同一直线上的三点确定一个圆的性质，圆心是三角形AFG三边垂直平分线的交点。先利用F、G两点的坐标特点求出线段FG的垂直平分线，得到圆心的横坐标，再设出圆心坐标，利用圆心到圆上各点距离相等的性质列方程求出圆心纵坐标，最后计算圆心到任意一点的距离即可得到圆的半径。
【解析】
以点C（即E点）为原点，B、C、H所在直线为x轴，DC所在直线为y轴建立平面直角坐标系。
根据正方形的边长可得三点坐标：$A(-2,2)$，$F(0,-4)$，$G(4,-4)$。
观察F、G两点纵坐标相同，因此线段FG的垂直平分线为直线$x=\frac{0+4}{2}=2$，可设圆心坐标为$(2,y)$。
因为圆心到A、F的距离均等于半径$r$，所以：
$(2-0)^2+(y+4)^2=(2+2)^2+(y-2)^2$
展开得：$4+y^2+8y+16=16+y^2-4y+4$
化简得：$12y=0$，解得$y=0$。
则圆心坐标为$(2,0)$，半径$r=\sqrt{(2-0)^2+(0+4)^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
【答案】
$2\sqrt{5}$
【知识点】
确定圆的条件，垂直平分线的性质，勾股定理
【点评】
本题通过建立坐标系将几何问题转化为代数问题求解，利用特殊线段的垂直平分线简化了计算过程，是解决此类过三点求圆半径问题的常用思路。
【难度系数】
0.6
10. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC=5$，$BC=6$. $\odot O$经过$B$，$C$两点，且$AO=3$，则$\odot O$的半径长是________.
答案
10.√10或√58
解析
【分析】
首先由AB=AC可知△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质，过A作BC的垂线，垂足D是BC的中点，即AD是BC的垂直平分线。又因为⊙O经过B、C两点，圆心O在BC的垂直平分线上，因此A、O、D三点共线。先利用勾股定理求出AD的长度，再分两种情况讨论：圆心O在点A靠近BC的一侧、圆心O在点A远离BC的一侧，分别计算OD的长度，最后在Rt△OBD中用勾股定理求出半径OB的长度即可。
【解析】
过点A作AD⊥BC于点D，
∵AB=AC=5，BC=6，
∴BD=CD=½BC=3，AD是BC的垂直平分线。
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。
∵⊙O经过B、C两点，
∴圆心O在BC的垂直平分线AD所在的直线上，即A、O、D三点共线，分两种情况：
①当点O在点A的下方（靠近BC侧）时：
∵AO=3，
∴$OD=AD-AO=4-3=1$，
在Rt△OBD中，半径$OB=\sqrt{BD^2+OD^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$；
②当点O在点A的上方（远离BC侧）时：
∵AO=3，
∴$OD=AD+AO=4+3=7$，
在Rt△OBD中，半径$OB=\sqrt{BD^2+OD^2}=\sqrt{3^2+7^2}=\sqrt{58}$。
综上，⊙O的半径长为$\sqrt{10}$或$\sqrt{58}$。
【答案】
$\sqrt{10}$或$\sqrt{58}$
【知识点】
等腰三角形性质，勾股定理，垂直平分线性质
【点评】
本题解题的关键是明确圆心和点A都在BC的垂直平分线上，易错点是容易忽略圆心在点A远离BC一侧的情况，解题时要注意分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
首先由AB=AC可知△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质，过A作BC的垂线，垂足D是BC的中点，即AD是BC的垂直平分线。又因为⊙O经过B、C两点，圆心O在BC的垂直平分线上，因此A、O、D三点共线。先利用勾股定理求出AD的长度，再分两种情况讨论：圆心O在点A靠近BC的一侧、圆心O在点A远离BC的一侧，分别计算OD的长度，最后在Rt△OBD中用勾股定理求出半径OB的长度即可。
【解析】
过点A作AD⊥BC于点D，
∵AB=AC=5，BC=6，
∴BD=CD=½BC=3，AD是BC的垂直平分线。
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。
∵⊙O经过B、C两点，
∴圆心O在BC的垂直平分线AD所在的直线上，即A、O、D三点共线，分两种情况：
①当点O在点A的下方（靠近BC侧）时：
∵AO=3，
∴$OD=AD-AO=4-3=1$，
在Rt△OBD中，半径$OB=\sqrt{BD^2+OD^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$；
②当点O在点A的上方（远离BC侧）时：
∵AO=3，
∴$OD=AD+AO=4+3=7$，
在Rt△OBD中，半径$OB=\sqrt{BD^2+OD^2}=\sqrt{3^2+7^2}=\sqrt{58}$。
综上，⊙O的半径长为$\sqrt{10}$或$\sqrt{58}$。
【答案】
$\sqrt{10}$或$\sqrt{58}$
【知识点】
等腰三角形性质，勾股定理，垂直平分线性质
【点评】
本题解题的关键是明确圆心和点A都在BC的垂直平分线上，易错点是容易忽略圆心在点A远离BC一侧的情况，解题时要注意分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
11. 已知坐标平面内有A,B,C三点,且点A,B,C的坐标分别为A(3,7),B(-1,-5),C(1,1).
试确定过A,B,C三点是否能确定一个圆,并说明你的理由.
试确定过A,B,C三点是否能确定一个圆,并说明你的理由.
答案
11. 解：不能。理由：设直线AB的表达式为y=kx+b，由点A(3,7)，B(-1,-5)，可以求得y=3x-2。当x=1时，y=1，即点C在直线AB上。因此点A,B,C在同一直线上，
∴ 过A,B,C三点不能够确定一个圆。
∴ 过A,B,C三点不能够确定一个圆。
解析
【分析】
要判断过三点能否确定一个圆，首先要明确核心结论：只有不在同一直线上的三个点才能确定唯一的圆，因此本题的解题关键是判断A、B、C三点是否共线。我们可以先通过待定系数法求出过A、B两点的直线解析式，再将点C的横坐标代入解析式，计算对应的纵坐标是否与点C的纵坐标一致，若一致则说明点C在直线AB上，三点共线，不能确定圆；若不一致则三点不共线，可以确定圆。
【解析】
解：
∵ 不在同一直线上的三点才能确定一个圆，因此先判断A、B、C三点是否共线。
设过A、B两点的直线表达式为$y=kx+b$，将$A(3,7)$、$B(-1,-5)$分别代入表达式得：
$\begin{cases}3k + b = 7 \\-k + b = -5\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程得：$4k=12$，解得$k=3$，
将$k=3$代入$-k + b = -5$得：$-3 + b = -5$，解得$b=-2$，
∴ 直线AB的表达式为$y=3x-2$。
将点C的横坐标$x=1$代入$y=3x-2$得：$y=3×1 - 2=1$，与点C的纵坐标一致，
∴ 点C在直线AB上，即A、B、C三点在同一条直线上，
∴ 过A、B、C三点不能确定一个圆。
【答案】
不能。理由：设直线AB的表达式为y=kx+b，由点A(3,7)，B(-1,-5)，可以求得y=3x-2。当x=1时，y=1，即点C在直线AB上。因此点A,B,C在同一直线上，
∴ 过A,B,C三点不能够确定一个圆。
【知识点】
确定圆的条件；待定系数法求一次函数解析式；三点共线判定
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心是牢记不共线的三点才能确定圆的结论，通过求直线解析式验证点的位置是判断三点共线的常用方法，解题时要注意先验证三点是否共线，不要直接默认三点可以确定圆。
【难度系数】
0.8
要判断过三点能否确定一个圆，首先要明确核心结论：只有不在同一直线上的三个点才能确定唯一的圆，因此本题的解题关键是判断A、B、C三点是否共线。我们可以先通过待定系数法求出过A、B两点的直线解析式，再将点C的横坐标代入解析式，计算对应的纵坐标是否与点C的纵坐标一致，若一致则说明点C在直线AB上，三点共线，不能确定圆；若不一致则三点不共线，可以确定圆。
【解析】
解：
∵ 不在同一直线上的三点才能确定一个圆，因此先判断A、B、C三点是否共线。
设过A、B两点的直线表达式为$y=kx+b$，将$A(3,7)$、$B(-1,-5)$分别代入表达式得：
$\begin{cases}3k + b = 7 \\-k + b = -5\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程得：$4k=12$，解得$k=3$，
将$k=3$代入$-k + b = -5$得：$-3 + b = -5$，解得$b=-2$，
∴ 直线AB的表达式为$y=3x-2$。
将点C的横坐标$x=1$代入$y=3x-2$得：$y=3×1 - 2=1$，与点C的纵坐标一致，
∴ 点C在直线AB上，即A、B、C三点在同一条直线上，
∴ 过A、B、C三点不能确定一个圆。
【答案】
不能。理由：设直线AB的表达式为y=kx+b，由点A(3,7)，B(-1,-5)，可以求得y=3x-2。当x=1时，y=1，即点C在直线AB上。因此点A,B,C在同一直线上，
∴ 过A,B,C三点不能够确定一个圆。
【知识点】
确定圆的条件；待定系数法求一次函数解析式；三点共线判定
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心是牢记不共线的三点才能确定圆的结论，通过求直线解析式验证点的位置是判断三点共线的常用方法，解题时要注意先验证三点是否共线，不要直接默认三点可以确定圆。
【难度系数】
0.8
12. 我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆.例如线段AB的最小覆盖圆就是以线段AB为直径的圆.
（1）请分别作出下图中两个三角形的最小覆盖圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）探究三角形的最小覆盖圆有何规律，请写出你所得到的结论（不要求证明）.
（1）请分别作出下图中两个三角形的最小覆盖圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）探究三角形的最小覆盖圆有何规律，请写出你所得到的结论（不要求证明）.
答案
12. (1) 如图所示
(2) 锐角三角形和直角三角形的最小覆盖圆是其外接圆；钝角三角形的最小覆盖圆是以其最长边为直径的圆。
解析
【分析】
解题思路如下：1. 先理解最小覆盖圆的定义：能完全覆盖平面图形的最小圆。2. 判断两个三角形的类型：第一个三角形顶角为80°，其余两角均为锐角，属于锐角三角形，其最小覆盖圆是外接圆，尺规作外接圆的核心是作任意两边的垂直平分线，交点为外心，以外心到顶点的距离为半径作圆即可。第二个三角形顶角为100°，是钝角三角形，最长边为BC，钝角顶点在以BC为直径的圆内部，因此最小覆盖圆是以BC为直径的圆，作图核心是作BC的垂直平分线找到BC中点，以中点为圆心、BC长度的一半为半径作圆。3. 第二问结合两类三角形的情况，再补充直角三角形的特征，归纳普遍规律即可。
【解析】
（1）第一个锐角三角形：作AB、BC两边的垂直平分线，两线交点为外接圆圆心，以该交点到顶点的距离为半径作圆，即为最小覆盖圆；第二个钝角三角形：作BC的垂直平分线，与BC的交点为BC中点，以该中点为圆心、$\frac{1}{2}$BC长为半径作圆，即为最小覆盖圆，作图痕迹如图所示。
（2）按三角形类型分类探究：①锐角三角形：三个顶点均在其外接圆上，不存在更小的圆能同时覆盖三个顶点，故最小覆盖圆为外接圆；②直角三角形：其外接圆是以斜边为直径的圆，刚好能覆盖整个三角形，是最小覆盖圆；③钝角三角形：钝角顶点落在以最长边为直径的圆内部，该圆比外接圆更小，故最小覆盖圆是以最长边为直径的圆。
【答案】
(1) 如图所示
(2) 锐角三角形和直角三角形的最小覆盖圆是其外接圆；钝角三角形的最小覆盖圆是以其最长边为直径的圆。
【知识点】
1. 尺规作图 2. 三角形外接圆 3. 最小覆盖圆
【点评】
本题结合新定义考查基础作图能力和归纳探究能力，既巩固了作垂直平分线、作三角形外接圆的基础技能，也需要通过对比不同三角形的特征总结规律，兼顾了基础和思维能力的考查。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 先理解最小覆盖圆的定义：能完全覆盖平面图形的最小圆。2. 判断两个三角形的类型：第一个三角形顶角为80°，其余两角均为锐角，属于锐角三角形，其最小覆盖圆是外接圆，尺规作外接圆的核心是作任意两边的垂直平分线，交点为外心，以外心到顶点的距离为半径作圆即可。第二个三角形顶角为100°，是钝角三角形，最长边为BC，钝角顶点在以BC为直径的圆内部，因此最小覆盖圆是以BC为直径的圆，作图核心是作BC的垂直平分线找到BC中点，以中点为圆心、BC长度的一半为半径作圆。3. 第二问结合两类三角形的情况，再补充直角三角形的特征，归纳普遍规律即可。
【解析】
（1）第一个锐角三角形：作AB、BC两边的垂直平分线，两线交点为外接圆圆心，以该交点到顶点的距离为半径作圆，即为最小覆盖圆；第二个钝角三角形：作BC的垂直平分线，与BC的交点为BC中点，以该中点为圆心、$\frac{1}{2}$BC长为半径作圆，即为最小覆盖圆，作图痕迹如图所示。
（2）按三角形类型分类探究：①锐角三角形：三个顶点均在其外接圆上，不存在更小的圆能同时覆盖三个顶点，故最小覆盖圆为外接圆；②直角三角形：其外接圆是以斜边为直径的圆，刚好能覆盖整个三角形，是最小覆盖圆；③钝角三角形：钝角顶点落在以最长边为直径的圆内部，该圆比外接圆更小，故最小覆盖圆是以最长边为直径的圆。
【答案】
(1) 如图所示
(2) 锐角三角形和直角三角形的最小覆盖圆是其外接圆；钝角三角形的最小覆盖圆是以其最长边为直径的圆。
【知识点】
1. 尺规作图 2. 三角形外接圆 3. 最小覆盖圆
【点评】
本题结合新定义考查基础作图能力和归纳探究能力，既巩固了作垂直平分线、作三角形外接圆的基础技能，也需要通过对比不同三角形的特征总结规律，兼顾了基础和思维能力的考查。
【难度系数】
0.7
13. 在$△ ABC$和$△ ADE$中，$AB=AC$，$AD=AE$，$∠ BAC=∠ DAE=50°$，连接$BD$和$CE$，将$△ ADE$绕点$A$旋转（$△ ADE$始终在$AB$所在直线的右侧范围内旋转），$BD$，$CE$也随之运动.
（1）如图①，在$△ ADE$绕点$A$旋转过程中，当$AE// BC$时，求$∠ CAD$的度数；
（2）如图②，当点$D$恰好是$△ ABC$的外心时，连接$DC$，判断四边形$ADCE$的形状，并说明理由.
（1）如图①，在$△ ADE$绕点$A$旋转过程中，当$AE// BC$时，求$∠ CAD$的度数；
（2）如图②，当点$D$恰好是$△ ABC$的外心时，连接$DC$，判断四边形$ADCE$的形状，并说明理由.
答案
13. 解：(1)
∵ AB=AC，∠BAC=50°，
∴ ∠ABC=∠ACB=$\frac{1}{2}$(180°-50°)=65°。
∵ AE//BC，
∴ ∠CAE=∠ACB=65°。
∵ ∠DAE=50°，
∴ ∠CAD=∠CAE-∠DAE=65°-50°=15°；
(2) 四边形ADCE为菱形，理由：
∵ 点D为△ABC的外心，
∴ AD=BD=CD。
∵ ∠BAC=∠DAE，
∴ ∠BAC - ∠CAD=∠DAE - ∠CAD，即∠BAD=∠CAE。在△BAD和△CAE中，$\begin{cases} BA=CA, \\ ∠BAD=∠CAE, \\ AD=AE, \end{cases}$
∴ △BAD ≌ △CAE (SAS)。
∴ BD=CE。又
∵ AD=AE，
∴ AD=AE=CD=CE。
∴ 四边形ADCE为菱形。
∵ AB=AC，∠BAC=50°，
∴ ∠ABC=∠ACB=$\frac{1}{2}$(180°-50°)=65°。
∵ AE//BC，
∴ ∠CAE=∠ACB=65°。
∵ ∠DAE=50°，
∴ ∠CAD=∠CAE-∠DAE=65°-50°=15°；
(2) 四边形ADCE为菱形，理由：
∵ 点D为△ABC的外心，
∴ AD=BD=CD。
∵ ∠BAC=∠DAE，
∴ ∠BAC - ∠CAD=∠DAE - ∠CAD，即∠BAD=∠CAE。在△BAD和△CAE中，$\begin{cases} BA=CA, \\ ∠BAD=∠CAE, \\ AD=AE, \end{cases}$
∴ △BAD ≌ △CAE (SAS)。
∴ BD=CE。又
∵ AD=AE，
∴ AD=AE=CD=CE。
∴ 四边形ADCE为菱形。
解析
【分析】
（1）求解∠CAD的度数，首先利用等腰△ABC的顶角可计算出底角∠ACB的度数；再结合AE//BC的条件，由平行线内错角相等得到∠CAE的度数；最后用∠CAE减去已知的∠DAE即可求出∠CAD。
（2）判断四边形ADCE的形状，首先根据三角形外心的性质可得AD=BD=CD；再通过角的和差推导得到∠BAD=∠CAE，结合已知的等边条件用SAS证明△BAD≌△CAE，得到BD=CE；结合AD=AE的条件可推导出四边形ADCE四条边都相等，即可判定其形状。
【解析】
(1) 解：
∵ $AB=AC$，$∠BAC=50°$，
∴ $∠ABC=∠ACB=\frac{1}{2}×(180°-50°)=65°$，
∵ $AE// BC$，
∴ $∠CAE=∠ACB=65°$（两直线平行，内错角相等），
又
∵ $∠DAE=50°$，
∴ $∠CAD=∠CAE-∠DAE=65°-50°=15°$。
(2) 四边形$ADCE$为菱形，理由如下：
∵ 点$D$是$△ABC$的外心，
∴ $AD=BD=CD$（三角形外心到三个顶点的距离相等），
∵ $∠BAC=∠DAE$，
∴ $∠BAC - ∠CAD = ∠DAE - ∠CAD$，即$∠BAD=∠CAE$，
在$△BAD$和$△CAE$中：
$\begin{cases} BA=CA \\ ∠BAD=∠CAE \\ AD=AE \end{cases}$
∴ $△BAD ≌ △CAE$（SAS），
∴ $BD=CE$，
又
∵ $AD=AE$，$AD=BD=CD$，
∴ $AD=AE=CD=CE$，
∴ 四边形$ADCE$是菱形（四条边相等的四边形是菱形）。
【答案】
（1）$\boldsymbol{15°}$；（2）四边形$\boldsymbol{ADCE}$为菱形
【知识点】
等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定
【点评】
本题属于几何综合题，融合了等腰三角形、平行线性质、三角形外心性质、全等证明、特殊四边形判定多个考点，解题的关键是熟练掌握基础定理，通过角的和差关系、全等转化边的等量关系完成推导。
【难度系数】
0.7
（1）求解∠CAD的度数，首先利用等腰△ABC的顶角可计算出底角∠ACB的度数；再结合AE//BC的条件，由平行线内错角相等得到∠CAE的度数；最后用∠CAE减去已知的∠DAE即可求出∠CAD。
（2）判断四边形ADCE的形状，首先根据三角形外心的性质可得AD=BD=CD；再通过角的和差推导得到∠BAD=∠CAE，结合已知的等边条件用SAS证明△BAD≌△CAE，得到BD=CE；结合AD=AE的条件可推导出四边形ADCE四条边都相等，即可判定其形状。
【解析】
(1) 解：
∵ $AB=AC$，$∠BAC=50°$，
∴ $∠ABC=∠ACB=\frac{1}{2}×(180°-50°)=65°$，
∵ $AE// BC$，
∴ $∠CAE=∠ACB=65°$（两直线平行，内错角相等），
又
∵ $∠DAE=50°$，
∴ $∠CAD=∠CAE-∠DAE=65°-50°=15°$。
(2) 四边形$ADCE$为菱形，理由如下：
∵ 点$D$是$△ABC$的外心，
∴ $AD=BD=CD$（三角形外心到三个顶点的距离相等），
∵ $∠BAC=∠DAE$，
∴ $∠BAC - ∠CAD = ∠DAE - ∠CAD$，即$∠BAD=∠CAE$，
在$△BAD$和$△CAE$中：
$\begin{cases} BA=CA \\ ∠BAD=∠CAE \\ AD=AE \end{cases}$
∴ $△BAD ≌ △CAE$（SAS），
∴ $BD=CE$，
又
∵ $AD=AE$，$AD=BD=CD$，
∴ $AD=AE=CD=CE$，
∴ 四边形$ADCE$是菱形（四条边相等的四边形是菱形）。
【答案】
（1）$\boldsymbol{15°}$；（2）四边形$\boldsymbol{ADCE}$为菱形
【知识点】
等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定
【点评】
本题属于几何综合题，融合了等腰三角形、平行线性质、三角形外心性质、全等证明、特殊四边形判定多个考点，解题的关键是熟练掌握基础定理，通过角的和差关系、全等转化边的等量关系完成推导。
【难度系数】
0.7
