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一、选择题
1. 有下列方程：$x^2 - 2x -1=0$；$\frac{1}{x^2} + 3x -5=0$；$-x^2=0$；$(x-1)^2 + y^2=2$；$(x-1)(x-3)=x^2$。其中一元二次方程的个数是（
A.1
B.2
C.3
D.4
1. 有下列方程：$x^2 - 2x -1=0$；$\frac{1}{x^2} + 3x -5=0$；$-x^2=0$；$(x-1)^2 + y^2=2$；$(x-1)(x-3)=x^2$。其中一元二次方程的个数是（
B
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
1.B
解析
【分析】
解决本题的核心是先明确一元二次方程的判定标准：①必须是整式方程；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0。解题时我们依次对给出的5个方程对照上述标准逐一判断，统计符合要求的方程个数即可选出正确答案。
【解析】
我们逐个判断每个方程是否为一元二次方程：
1. 方程$x^2 - 2x -1=0$：是整式方程，只含未知数$x$，$x$的最高次数为2，二次项系数$1≠0$，属于一元二次方程；
2. 方程$\frac{1}{x^2} + 3x -5=0$：分母中含有未知数，属于分式方程，不是整式方程，不属于一元二次方程；
3. 方程$-x^2=0$：是整式方程，只含未知数$x$，$x$的最高次数为2，二次项系数$-1≠0$，属于一元二次方程；
4. 方程$(x-1)^2 + y^2=2$：含有$x$、$y$两个未知数，属于二元方程，不属于一元二次方程；
5. 方程$(x-1)(x-3)=x^2$：先展开整理左边得$x^2-4x+3=x^2$，移项合并同类项后为$-4x+3=0$，未知数最高次数为1，属于一元一次方程，不属于一元二次方程。
综上，符合要求的一元二次方程共有2个，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的判定；整式方程识别；方程化简
【点评】
本题是基础概念考查题，易错点有两个：一是忽略一元二次方程必须是整式方程的要求，误判分式方程；二是对最后一个方程未化简就直接根据原式判断为二次方程，解题时要注意先整理方程再判断次数。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是先明确一元二次方程的判定标准：①必须是整式方程；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0。解题时我们依次对给出的5个方程对照上述标准逐一判断，统计符合要求的方程个数即可选出正确答案。
【解析】
我们逐个判断每个方程是否为一元二次方程：
1. 方程$x^2 - 2x -1=0$：是整式方程，只含未知数$x$，$x$的最高次数为2，二次项系数$1≠0$，属于一元二次方程；
2. 方程$\frac{1}{x^2} + 3x -5=0$：分母中含有未知数，属于分式方程，不是整式方程，不属于一元二次方程；
3. 方程$-x^2=0$：是整式方程，只含未知数$x$，$x$的最高次数为2，二次项系数$-1≠0$，属于一元二次方程；
4. 方程$(x-1)^2 + y^2=2$：含有$x$、$y$两个未知数，属于二元方程，不属于一元二次方程；
5. 方程$(x-1)(x-3)=x^2$：先展开整理左边得$x^2-4x+3=x^2$，移项合并同类项后为$-4x+3=0$，未知数最高次数为1，属于一元一次方程，不属于一元二次方程。
综上，符合要求的一元二次方程共有2个，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的判定；整式方程识别；方程化简
【点评】
本题是基础概念考查题，易错点有两个：一是忽略一元二次方程必须是整式方程的要求，误判分式方程；二是对最后一个方程未化简就直接根据原式判断为二次方程，解题时要注意先整理方程再判断次数。
【难度系数】
0.8
2.一元二次方程$3x(x-2)=-4$的一般形式是 （
A.$3x^2 -6x=-4$
B.$3x^2 -6x -4=0$
C.$3x^2 -6x +4=0$
D.$3x^2 -6x=0$
C
）A.$3x^2 -6x=-4$
B.$3x^2 -6x -4=0$
C.$3x^2 -6x +4=0$
D.$3x^2 -6x=0$
答案
2.C
解析
【分析】
要得到一元二次方程的一般形式，首先需明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$，$a$、$b$、$c$为常数），特征是等号右侧为0，左侧是按未知数降幂排列的整式。解题时先对原方程左侧去括号，再将右侧的常数项移到等号左侧，合并同类项后即可得到一般形式，再匹配对应选项。
【解析】
第一步：对原方程左侧去括号，根据单项式乘多项式的法则：
$3x(x-2)=3x· x - 3x·2 = 3x^2 -6x$，此时方程变为$3x^2 -6x=-4$。
第二步：移项，将等号右侧的$-4$移到左侧，移项要变号，得到：
$3x^2 -6x +4=0$，这就是该一元二次方程的一般形式，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1.一元二次方程的一般形式 2.单项式乘多项式 3.移项法则
【点评】
本题属于基础概念类题目，核心是掌握一元二次方程一般形式的特征，易错点是移项时容易忘记改变符号，做题时注意这一点即可轻松得分。
【难度系数】
0.9
要得到一元二次方程的一般形式，首先需明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$，$a$、$b$、$c$为常数），特征是等号右侧为0，左侧是按未知数降幂排列的整式。解题时先对原方程左侧去括号，再将右侧的常数项移到等号左侧，合并同类项后即可得到一般形式，再匹配对应选项。
【解析】
第一步：对原方程左侧去括号，根据单项式乘多项式的法则：
$3x(x-2)=3x· x - 3x·2 = 3x^2 -6x$，此时方程变为$3x^2 -6x=-4$。
第二步：移项，将等号右侧的$-4$移到左侧，移项要变号，得到：
$3x^2 -6x +4=0$，这就是该一元二次方程的一般形式，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1.一元二次方程的一般形式 2.单项式乘多项式 3.移项法则
【点评】
本题属于基础概念类题目，核心是掌握一元二次方程一般形式的特征，易错点是移项时容易忘记改变符号，做题时注意这一点即可轻松得分。
【难度系数】
0.9
3.已知$x=1$是一元二次方程$x^2+ax-2=0$的一个根，则$a$的值为（
A.$-3$
B.$3$
C.$-1$
D.$1$
D
）A.$-3$
B.$3$
C.$-1$
D.$1$
答案
3.D
解析
【分析】
解题的核心是明确一元二次方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。思考路径如下：第一步，将已知的根x=1代入原一元二次方程，此时原方程会转化为仅含有未知数a的一元一次方程；第二步，解这个一元一次方程求出a的取值，再对应选项选择即可。
【解析】
已知$x=1$是一元二次方程$x^2+ax-2=0$的一个根，根据方程根的定义，将$x=1$代入原方程可得：
$1^2 + a×1 - 2 = 0$
化简计算：
$1 + a - 2 = 0$
$a - 1 = 0$
解得$a=1$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的定义、解一元一次方程
【点评】
本题属于基础类题目，核心考查方程根的定义的应用，只需将已知根代入原方程转化为一元一次方程求解即可，计算量小，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.9
解题的核心是明确一元二次方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。思考路径如下：第一步，将已知的根x=1代入原一元二次方程，此时原方程会转化为仅含有未知数a的一元一次方程；第二步，解这个一元一次方程求出a的取值，再对应选项选择即可。
【解析】
已知$x=1$是一元二次方程$x^2+ax-2=0$的一个根，根据方程根的定义，将$x=1$代入原方程可得：
$1^2 + a×1 - 2 = 0$
化简计算：
$1 + a - 2 = 0$
$a - 1 = 0$
解得$a=1$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的定义、解一元一次方程
【点评】
本题属于基础类题目，核心考查方程根的定义的应用，只需将已知根代入原方程转化为一元一次方程求解即可，计算量小，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.9
4.将一元二次方程$x^2 -8x +1=0$化成$(x+a)^2 = b$（$a,b$为常数）的形式，则$a,b$的值分别是（
A.$-4,15$
B.$-4,-15$
C.$4,15$
D.$4,-15$
A
）A.$-4,15$
B.$-4,-15$
C.$4,15$
D.$4,-15$
答案
4.A
解析
【分析】
本题需要将一元二次方程的一般式转化为完全平方的指定形式，核心解题方法是配方法。解题思路如下：首先把原方程的常数项移到等号右侧，再给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将等号左侧凑成完全平方式，最后把得到的式子和目标形式$(x+a)^2 = b$做对比，就能求出$a$、$b$的值。
【解析】
解：已知原方程为$x^2 -8x +1=0$
第一步：移项，将常数项移到等号右边，得
$x^2 -8x = -1$
第二步：配方，一次项系数为$-8$，它的一半是$-4$，平方为$16$，给等式两边同时加$16$，得
$x^2 -8x +16 = -1 +16$
第三步：将左边写成完全平方式，右边计算结果，得
$(x-4)^2 = 15$
将该式与$(x+a)^2 = b$对比，可得$a=-4$，$b=15$。
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
配方法，完全平方公式
【点评】
本题是一元二次方程变形的基础题型，重点考查配方法的操作步骤，只要熟练掌握移项、配方的规则，就能快速得出结果，是对基础知识点掌握程度的常规考查。
【难度系数】
0.8
本题需要将一元二次方程的一般式转化为完全平方的指定形式，核心解题方法是配方法。解题思路如下：首先把原方程的常数项移到等号右侧，再给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将等号左侧凑成完全平方式，最后把得到的式子和目标形式$(x+a)^2 = b$做对比，就能求出$a$、$b$的值。
【解析】
解：已知原方程为$x^2 -8x +1=0$
第一步：移项，将常数项移到等号右边，得
$x^2 -8x = -1$
第二步：配方，一次项系数为$-8$，它的一半是$-4$，平方为$16$，给等式两边同时加$16$，得
$x^2 -8x +16 = -1 +16$
第三步：将左边写成完全平方式，右边计算结果，得
$(x-4)^2 = 15$
将该式与$(x+a)^2 = b$对比，可得$a=-4$，$b=15$。
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
配方法，完全平方公式
【点评】
本题是一元二次方程变形的基础题型，重点考查配方法的操作步骤，只要熟练掌握移项、配方的规则，就能快速得出结果，是对基础知识点掌握程度的常规考查。
【难度系数】
0.8
5.方程$x^2 + 4x - 8 = 0$的解是 （
A.$x_1=2+2\sqrt{3},x_2=2-2\sqrt{3}$
B.$x_1=2+2\sqrt{2},x_2=2-2\sqrt{2}$
C.$x_1=-2+2\sqrt{2},x_2=-2-2\sqrt{2}$
D.$x_1=-2+2\sqrt{3},x_2=-2-2\sqrt{3}$
D
）A.$x_1=2+2\sqrt{3},x_2=2-2\sqrt{3}$
B.$x_1=2+2\sqrt{2},x_2=2-2\sqrt{2}$
C.$x_1=-2+2\sqrt{2},x_2=-2-2\sqrt{2}$
D.$x_1=-2+2\sqrt{3},x_2=-2-2\sqrt{3}$
答案
5.D
解析
【分析】
这是一道一元二次方程求解的基础题，可采用求根公式法或配方法求解。若用求根公式法，先明确一元二次方程一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，第一步先确定$a、b、c$的取值，第二步计算判别式$\Delta=b^2-4ac$判断根的情况，第三步代入求根公式计算即可；若用配方法，先移项把常数项放到等号右侧，再给等式两边加一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式后开方求解即可。
【解析】
方法一：求根公式法
方程$x^2 + 4x - 8 = 0$符合一元二次方程一般形式，得$a=1$，$b=4$，$c=-8$。
1. 计算判别式：$\Delta = b^2-4ac = 4^2 - 4×1×(-8) = 16+32=48＞0$，方程有两个不相等的实数根。
2. 代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$：
$x=\frac{-4\pm\sqrt{48}}{2×1}=\frac{-4\pm4\sqrt{3}}{2}=-2\pm2\sqrt{3}$
即$x_1=-2+2\sqrt{3}$，$x_2=-2-2\sqrt{3}$，对应选项D。
方法二：配方法
1. 移项得：$x^2 + 4x = 8$
2. 配方：等式两边同时加$(\frac{4}{2})^2=4$，得$x^2 +4x +4 = 8+4$，即$(x+2)^2=12$
3. 开方得：$x+2=\pm2\sqrt{3}$，解得$x=-2\pm2\sqrt{3}$
即$x_1=-2+2\sqrt{3}$，$x_2=-2-2\sqrt{3}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程求解、求根公式应用、配方法解方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程的常用解法，熟练掌握配方法或求根公式即可快速解题，运算时要注意符号和根式化简不要出错。
【难度系数】
0.8
这是一道一元二次方程求解的基础题，可采用求根公式法或配方法求解。若用求根公式法，先明确一元二次方程一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，第一步先确定$a、b、c$的取值，第二步计算判别式$\Delta=b^2-4ac$判断根的情况，第三步代入求根公式计算即可；若用配方法，先移项把常数项放到等号右侧，再给等式两边加一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式后开方求解即可。
【解析】
方法一：求根公式法
方程$x^2 + 4x - 8 = 0$符合一元二次方程一般形式，得$a=1$，$b=4$，$c=-8$。
1. 计算判别式：$\Delta = b^2-4ac = 4^2 - 4×1×(-8) = 16+32=48＞0$，方程有两个不相等的实数根。
2. 代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$：
$x=\frac{-4\pm\sqrt{48}}{2×1}=\frac{-4\pm4\sqrt{3}}{2}=-2\pm2\sqrt{3}$
即$x_1=-2+2\sqrt{3}$，$x_2=-2-2\sqrt{3}$，对应选项D。
方法二：配方法
1. 移项得：$x^2 + 4x = 8$
2. 配方：等式两边同时加$(\frac{4}{2})^2=4$，得$x^2 +4x +4 = 8+4$，即$(x+2)^2=12$
3. 开方得：$x+2=\pm2\sqrt{3}$，解得$x=-2\pm2\sqrt{3}$
即$x_1=-2+2\sqrt{3}$，$x_2=-2-2\sqrt{3}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程求解、求根公式应用、配方法解方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程的常用解法，熟练掌握配方法或求根公式即可快速解题，运算时要注意符号和根式化简不要出错。
【难度系数】
0.8
6.若关于x的一元二次方程$x^2 - x + k = 0$有两个不相等的实数根，则k的值可以是（
A.2
B.1
C.-2
D.3
C
）A.2
B.1
C.-2
D.3
答案
6.C
解析
【分析】
看到一元二次方程有两个不相等的实数根的问题，优先考虑用根的判别式解题：①先回忆一元二次方程根的判别式与根的个数的对应关系：有两个不相等的实数根则判别式Δ＞0；②找到给定方程中二次项系数a、一次项系数b、常数项c的取值；③代入判别式列出关于k的不等式，解不等式得到k的取值范围；④对照选项选出符合范围的答案即可。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta=b^2-4ac$：
当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；当$\Delta＜0$时，方程没有实数根。
在方程$x^2 - x + k = 0$中，$a=1$，$b=-1$，$c=k$，代入判别式得：
$\Delta=(-1)^2 - 4×1× k = 1 - 4k$
∵方程有两个不相等的实数根
∴$\Delta＞0$，即$1-4k＞0$
解不等式：
$-4k ＞ -1$
两边同时除以$-4$，不等号方向改变，得$k ＜ \frac{1}{4}$
对照选项，只有$-2 ＜ \frac{1}{4}$，符合条件。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的判别式；解一元一次不等式
【点评】
本题是基础题型，核心考查根的判别式的应用，解题的关键是牢记判别式与根的个数的对应关系，正确列出不等式求解参数范围，再结合选项判断即可。
【难度系数】
0.8
看到一元二次方程有两个不相等的实数根的问题，优先考虑用根的判别式解题：①先回忆一元二次方程根的判别式与根的个数的对应关系：有两个不相等的实数根则判别式Δ＞0；②找到给定方程中二次项系数a、一次项系数b、常数项c的取值；③代入判别式列出关于k的不等式，解不等式得到k的取值范围；④对照选项选出符合范围的答案即可。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta=b^2-4ac$：
当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；当$\Delta＜0$时，方程没有实数根。
在方程$x^2 - x + k = 0$中，$a=1$，$b=-1$，$c=k$，代入判别式得：
$\Delta=(-1)^2 - 4×1× k = 1 - 4k$
∵方程有两个不相等的实数根
∴$\Delta＞0$，即$1-4k＞0$
解不等式：
$-4k ＞ -1$
两边同时除以$-4$，不等号方向改变，得$k ＜ \frac{1}{4}$
对照选项，只有$-2 ＜ \frac{1}{4}$，符合条件。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的判别式；解一元一次不等式
【点评】
本题是基础题型，核心考查根的判别式的应用，解题的关键是牢记判别式与根的个数的对应关系，正确列出不等式求解参数范围，再结合选项判断即可。
【难度系数】
0.8
7. 甲、乙、丙三人对关于$x$的方程$kx^2 - (k+2)x + \frac{1}{4}k = 0$进行讨论：
甲:这一定是关于$x$的一元二次方程；
乙:这有可能是关于$x$的一元一次方程；
丙:当$k=1$时，该方程有实数根.
下列判断正确的是 （
A.乙和丙的说法对
B.甲和乙的说法对
C.甲和丙的说法对
D.三人的说法都对
甲:这一定是关于$x$的一元二次方程；
乙:这有可能是关于$x$的一元一次方程；
丙:当$k=1$时，该方程有实数根.
下列判断正确的是 （
A
）A.乙和丙的说法对
B.甲和乙的说法对
C.甲和丙的说法对
D.三人的说法都对
答案
7.A
解析
【分析】
解题时可分两步逐一判断三人说法的对错：第一步判断甲、乙的说法，结合一元一次方程、一元二次方程的定义，观察方程二次项系数为k，需分k=0和k≠0两种情况讨论方程类型；第二步判断丙的说法，将k=1代入方程，通过计算根的判别式的正负，判断方程是否有实数根，最终结合判断结果选出正确选项。
【解析】
1. 判断甲、乙的说法：
一元二次方程要求二次项系数不为0，若k=0，原方程可化简为$-2x=0$，是关于x的一元一次方程；若k≠0，原方程才是关于x的一元二次方程。因此甲的说法错误，乙的说法正确。
2. 判断丙的说法：
当k=1时，原方程为$x^2 - 3x + \frac{1}{4}=0$，其中$a=1$，$b=-3$，$c=\frac{1}{4}$，
根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4×1×\frac{1}{4}=9-1=8＞0$，因此该方程有两个不相等的实数根，丙的说法正确。
综上，乙和丙的说法正确，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程的定义；一元二次方程的定义；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题易错点是容易忽略二次项系数k可以取0的情况，解决这类问题需要注意对参数的取值分类讨论，同时要熟练掌握用判别式判断一元二次方程根的情况的方法。
【难度系数】
0.7
解题时可分两步逐一判断三人说法的对错：第一步判断甲、乙的说法，结合一元一次方程、一元二次方程的定义，观察方程二次项系数为k，需分k=0和k≠0两种情况讨论方程类型；第二步判断丙的说法，将k=1代入方程，通过计算根的判别式的正负，判断方程是否有实数根，最终结合判断结果选出正确选项。
【解析】
1. 判断甲、乙的说法：
一元二次方程要求二次项系数不为0，若k=0，原方程可化简为$-2x=0$，是关于x的一元一次方程；若k≠0，原方程才是关于x的一元二次方程。因此甲的说法错误，乙的说法正确。
2. 判断丙的说法：
当k=1时，原方程为$x^2 - 3x + \frac{1}{4}=0$，其中$a=1$，$b=-3$，$c=\frac{1}{4}$，
根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4×1×\frac{1}{4}=9-1=8＞0$，因此该方程有两个不相等的实数根，丙的说法正确。
综上，乙和丙的说法正确，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程的定义；一元二次方程的定义；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题易错点是容易忽略二次项系数k可以取0的情况，解决这类问题需要注意对参数的取值分类讨论，同时要熟练掌握用判别式判断一元二次方程根的情况的方法。
【难度系数】
0.7
8.若关于x的方程$(m-2)x^2 + x = 0$是一元二次方程，则m的取值范围为
$m≠2$
。答案
8.$m≠2$
解析
【分析】
解题时首先回忆一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程为一元二次方程，其核心判定条件之一是二次项系数不能为0。本题中方程的二次项为$(m-2)x^2$，因此只需令二次项系数不等于0，解简单的不等式即可得到m的取值范围。
【解析】
根据一元二次方程的定义，要使$(m-2)x^2 + x = 0$是一元二次方程，需满足二次项系数不为0：
$m-2 ≠ 0$
解得：$m ≠ 2$
【答案】
$m≠2$
【知识点】
一元二次方程的定义、一元一次不等式的解法
【点评】
本题是基础概念类考题，主要考查对一元二次方程判定条件的掌握，易错点是容易忽略二次项系数不能为0的限制，只要牢记相关定义就能快速求解。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程为一元二次方程，其核心判定条件之一是二次项系数不能为0。本题中方程的二次项为$(m-2)x^2$，因此只需令二次项系数不等于0，解简单的不等式即可得到m的取值范围。
【解析】
根据一元二次方程的定义，要使$(m-2)x^2 + x = 0$是一元二次方程，需满足二次项系数不为0：
$m-2 ≠ 0$
解得：$m ≠ 2$
【答案】
$m≠2$
【知识点】
一元二次方程的定义、一元一次不等式的解法
【点评】
本题是基础概念类考题，主要考查对一元二次方程判定条件的掌握，易错点是容易忽略二次项系数不能为0的限制，只要牢记相关定义就能快速求解。
【难度系数】
0.9
9. 方程$(x-5)^2=16$的解是
$x_1=9,x_2=1$
。答案
9.$x_1=9,x_2=1$
解析
【分析】
观察方程特征，左边是关于x的完全平方式，右边是正数，符合直接开平方法解一元二次方程的适用条件。我们可以根据平方根的定义，对等式两边同时开平方，将二次方程降次为两个一元一次方程，再分别求解这两个一次方程，就能得到原方程的解。
【解析】
对等式$(x-5)^2=16$两边同时开平方，可得：
$x-5=\pm\sqrt{16}$，即$x-5=4$或$x-5=-4$
当$x-5=4$时，移项计算得$x=4+5=9$；
当$x-5=-4$时，移项计算得$x=-4+5=1$。
【答案】
$x_1=9,x_2=1$
【知识点】
1.直接开平方法解一元二次方程
2.平方根的定义
【点评】
本题属于一元二次方程求解的基础题，核心考查直接开平方法的应用，只要掌握该方法的适用场景（方程可化为$(ax+b)^2=c,c\ge0$的形式），就能快速降次求解，计算量很小。
【难度系数】
0.9
观察方程特征，左边是关于x的完全平方式，右边是正数，符合直接开平方法解一元二次方程的适用条件。我们可以根据平方根的定义，对等式两边同时开平方，将二次方程降次为两个一元一次方程，再分别求解这两个一次方程，就能得到原方程的解。
【解析】
对等式$(x-5)^2=16$两边同时开平方，可得：
$x-5=\pm\sqrt{16}$，即$x-5=4$或$x-5=-4$
当$x-5=4$时，移项计算得$x=4+5=9$；
当$x-5=-4$时，移项计算得$x=-4+5=1$。
【答案】
$x_1=9,x_2=1$
【知识点】
1.直接开平方法解一元二次方程
2.平方根的定义
【点评】
本题属于一元二次方程求解的基础题，核心考查直接开平方法的应用，只要掌握该方法的适用场景（方程可化为$(ax+b)^2=c,c\ge0$的形式），就能快速降次求解，计算量很小。
【难度系数】
0.9
10.已知关于$x$的一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$的一个根为$x = $
，则$\frac{4ac - b^2}{4a} =$
，则$\frac{4ac - b^2}{4a} =$$-5$
.答案
10.$-5$
解析
【分析】
首先观察给出的方程根的表达式，它符合一元二次方程的求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$的结构，我们可以通过对比两个式子，直接确定参数$a$、$b$、$c$的值，再将参数代入待求的代数式$\frac{4ac-b^2}{4a}$计算即可得到结果。
【解析】
1. 对比求根公式与已知根：
已知方程的一个根为$x=\frac{-2+\sqrt{2^2-4×1×(-4)}}{2×1}$，和一元二次方程求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$一一对应，可得：$a=1$，$b=2$，$c=-4$。
2. 代入待求式计算：
将$a=1$，$b=2$，$c=-4$代入$\frac{4ac-b^2}{4a}$：
$\begin{aligned}\frac{4ac-b^2}{4a}&=\frac{4×1×(-4)-2^2}{4×1}\\&=\frac{-16-4}{4}\\&=\frac{-20}{4}\\&=-5\end{aligned}$
【答案】
$-5$
【知识点】
一元二次方程求根公式，代数式求值，一元二次方程判别式
【点评】
本题核心是考查对一元二次方程求根公式结构的熟悉程度，只需准确对应公式中的$a$、$b$、$c$，代入计算时注意符号不要出错，就能快速得到正确结果。
【难度系数】
0.7
首先观察给出的方程根的表达式，它符合一元二次方程的求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$的结构，我们可以通过对比两个式子，直接确定参数$a$、$b$、$c$的值，再将参数代入待求的代数式$\frac{4ac-b^2}{4a}$计算即可得到结果。
【解析】
1. 对比求根公式与已知根：
已知方程的一个根为$x=\frac{-2+\sqrt{2^2-4×1×(-4)}}{2×1}$，和一元二次方程求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$一一对应，可得：$a=1$，$b=2$，$c=-4$。
2. 代入待求式计算：
将$a=1$，$b=2$，$c=-4$代入$\frac{4ac-b^2}{4a}$：
$\begin{aligned}\frac{4ac-b^2}{4a}&=\frac{4×1×(-4)-2^2}{4×1}\\&=\frac{-16-4}{4}\\&=\frac{-20}{4}\\&=-5\end{aligned}$
【答案】
$-5$
【知识点】
一元二次方程求根公式，代数式求值，一元二次方程判别式
【点评】
本题核心是考查对一元二次方程求根公式结构的熟悉程度，只需准确对应公式中的$a$、$b$、$c$，代入计算时注意符号不要出错，就能快速得到正确结果。
【难度系数】
0.7
11.若关于x的一元二次方程$kx^2 - 2\sqrt{3}x + 1 = 0$有两个实数根，则k的取值范围为
$k≤3,且k≠0$
。答案
11.$k≤3,且k≠0$
解析
【分析】
要确定k的取值范围，需结合题目给出的两个关键条件分析：①方程是一元二次方程，因此二次项系数不能为0；②方程有两个实数根，根据一元二次方程根的判别式的性质，判别式Δ需大于等于0。我们先分别列出两个条件对应的不等式，再联立求解即可得到k的取值范围。
【解析】
解：
∵ 方程$kx^2 - 2\sqrt{3}x + 1 = 0$是一元二次方程
∴ 二次项系数$k ≠ 0$
又
∵ 方程有两个实数根
∴ 判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$
其中$a = k$，$b = -2\sqrt{3}$，$c = 1$，代入得：
$\Delta = (-2\sqrt{3})^2 - 4 × k × 1 = 12 - 4k ≥ 0$
解不等式$12 - 4k ≥ 0$：
移项得$4k ≤ 12$，解得$k ≤ 3$
结合$k ≠ 0$的条件，最终k的取值范围是$k ≤ 3$且$k ≠ 0$
【答案】
$k≤3,且k≠0$
【知识点】
1.一元二次方程的定义 2.根的判别式的应用
【点评】
本题考查一元二次方程相关性质的基础应用，解题的易错点是容易遗漏一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，审题时要抓住关键限定条件，分步推导避免漏解。
【难度系数】
0.7
要确定k的取值范围，需结合题目给出的两个关键条件分析：①方程是一元二次方程，因此二次项系数不能为0；②方程有两个实数根，根据一元二次方程根的判别式的性质，判别式Δ需大于等于0。我们先分别列出两个条件对应的不等式，再联立求解即可得到k的取值范围。
【解析】
解：
∵ 方程$kx^2 - 2\sqrt{3}x + 1 = 0$是一元二次方程
∴ 二次项系数$k ≠ 0$
又
∵ 方程有两个实数根
∴ 判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$
其中$a = k$，$b = -2\sqrt{3}$，$c = 1$，代入得：
$\Delta = (-2\sqrt{3})^2 - 4 × k × 1 = 12 - 4k ≥ 0$
解不等式$12 - 4k ≥ 0$：
移项得$4k ≤ 12$，解得$k ≤ 3$
结合$k ≠ 0$的条件，最终k的取值范围是$k ≤ 3$且$k ≠ 0$
【答案】
$k≤3,且k≠0$
【知识点】
1.一元二次方程的定义 2.根的判别式的应用
【点评】
本题考查一元二次方程相关性质的基础应用，解题的易错点是容易遗漏一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，审题时要抓住关键限定条件，分步推导避免漏解。
【难度系数】
0.7
三、解答题
12.解方程：
(1)$x^2 +4x -2=0$；
(2)$2x^2 +8x -1=0$；
(3)$x^2 +3x +1=0$。
12.解方程：
(1)$x^2 +4x -2=0$；
(2)$2x^2 +8x -1=0$；
(3)$x^2 +3x +1=0$。
答案
12.(1)$x_1=\sqrt{6}-2,x_2=-\sqrt{6}-2$
(2)$x_1=-2-\frac{3\sqrt{2}}{2},x_2=-2+\frac{3\sqrt{2}}{2}$
(3)$x_1=\frac{-3+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}$
(2)$x_1=-2-\frac{3\sqrt{2}}{2},x_2=-2+\frac{3\sqrt{2}}{2}$
(3)$x_1=\frac{-3+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}$
解析
【分析】
本题是一元二次方程求解类基础题，八年级阶段可使用配方法或公式法解题。解题思路如下：首先观察方程形式，若二次项系数为1，可优先选择配方法：先将常数项移到等号右侧，再在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式，最后开平方即可得到解；若二次项系数不为1，可先将二次项系数化为1再用配方法计算，也可直接用公式法：先确定方程中a、b、c的取值，计算判别式Δ=b²-4ac，当Δ≥0时，代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$即可得到结果。
【解析】
(1) 解方程$x^2 +4x -2=0$
移项得：$x^2+4x=2$
配方，两边同时加一次项系数一半的平方$2^2=4$，得：
$x^2+4x+4=2+4$
整理为完全平方式：$(x+2)^2=6$
开平方得：$x+2=\pm\sqrt{6}$
解得：$x_1=\sqrt{6}-2$，$x_2=-\sqrt{6}-2$
(2) 解方程$2x^2 +8x -1=0$
先将二次项系数化为1，两边同时除以2得：
$x^2+4x-\frac{1}{2}=0$
移项得：$x^2+4x=\frac{1}{2}$
配方，两边同时加$2^2=4$，得：
$x^2+4x+4=\frac{1}{2}+4$
整理为完全平方式：$(x+2)^2=\frac{9}{2}$
开平方得：$x+2=\pm\frac{3\sqrt{2}}{2}$
解得：$x_1=-2-\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$x_2=-2+\frac{3\sqrt{2}}{2}$
(3) 解方程$x^2 +3x +1=0$
用公式法求解，对比一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0$，得$a=1,b=3,c=1$
计算判别式：$\Delta=b^2-4ac=3^2-4×1×1=5＞0$，方程有两个不相等的实数根
代入求根公式得：
$x=\frac{-3\pm\sqrt{5}}{2×1}$
解得：$x_1=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$，$x_2=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}$
【答案】
(1)$x_1=\sqrt{6}-2,x_2=-\sqrt{6}-2$
(2)$x_1=-2-\frac{3\sqrt{2}}{2},x_2=-2+\frac{3\sqrt{2}}{2}$
(3)$x_1=\frac{-3+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}$
【知识点】
配方法解一元二次方程，公式法解一元二次方程，一元二次方程求根公式
【点评】
本题属于一元二次方程的基础计算题型，重点考察配方法和公式法的规范使用，解题时要注意配方步骤的正确性、开平方时正负号的取舍，以及判别式的计算，熟练掌握基础解法即可快速准确作答。
【难度系数】
0.85
本题是一元二次方程求解类基础题，八年级阶段可使用配方法或公式法解题。解题思路如下：首先观察方程形式，若二次项系数为1，可优先选择配方法：先将常数项移到等号右侧，再在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式，最后开平方即可得到解；若二次项系数不为1，可先将二次项系数化为1再用配方法计算，也可直接用公式法：先确定方程中a、b、c的取值，计算判别式Δ=b²-4ac，当Δ≥0时，代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$即可得到结果。
【解析】
(1) 解方程$x^2 +4x -2=0$
移项得：$x^2+4x=2$
配方，两边同时加一次项系数一半的平方$2^2=4$，得：
$x^2+4x+4=2+4$
整理为完全平方式：$(x+2)^2=6$
开平方得：$x+2=\pm\sqrt{6}$
解得：$x_1=\sqrt{6}-2$，$x_2=-\sqrt{6}-2$
(2) 解方程$2x^2 +8x -1=0$
先将二次项系数化为1，两边同时除以2得：
$x^2+4x-\frac{1}{2}=0$
移项得：$x^2+4x=\frac{1}{2}$
配方，两边同时加$2^2=4$，得：
$x^2+4x+4=\frac{1}{2}+4$
整理为完全平方式：$(x+2)^2=\frac{9}{2}$
开平方得：$x+2=\pm\frac{3\sqrt{2}}{2}$
解得：$x_1=-2-\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$x_2=-2+\frac{3\sqrt{2}}{2}$
(3) 解方程$x^2 +3x +1=0$
用公式法求解，对比一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0$，得$a=1,b=3,c=1$
计算判别式：$\Delta=b^2-4ac=3^2-4×1×1=5＞0$，方程有两个不相等的实数根
代入求根公式得：
$x=\frac{-3\pm\sqrt{5}}{2×1}$
解得：$x_1=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$，$x_2=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}$
【答案】
(1)$x_1=\sqrt{6}-2,x_2=-\sqrt{6}-2$
(2)$x_1=-2-\frac{3\sqrt{2}}{2},x_2=-2+\frac{3\sqrt{2}}{2}$
(3)$x_1=\frac{-3+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}$
【知识点】
配方法解一元二次方程，公式法解一元二次方程，一元二次方程求根公式
【点评】
本题属于一元二次方程的基础计算题型，重点考察配方法和公式法的规范使用，解题时要注意配方步骤的正确性、开平方时正负号的取舍，以及判别式的计算，熟练掌握基础解法即可快速准确作答。
【难度系数】
0.85
