登录
2.方程$(9x-1)^2=1$的解是
$x_1=0,x_2=\frac{2}{9}$
.答案
2.$x_1=0,x_2=\frac{2}{9}$
解析
【分析】
观察方程形式，等号左边是完全平方式，右边是正数，适合用直接开平方法求解。解题时先将括号内的9x-1看作一个整体，根据平方根的性质：若a²=b（b≥0），则a=±√b，将原方程转化为两个一元一次方程，再分别求解即可得到方程的解。
【解析】
对等式$(9x-1)^2=1$两边直接开平方，得：
$9x-1=\pm1$
分两种情况求解：
① 当$9x-1=1$时，
移项得$9x=1+1=2$，
系数化为1得$x=\frac{2}{9}$；
② 当$9x-1=-1$时，
移项得$9x=-1+1=0$，
系数化为1得$x=0$。
综上，方程的解为$x_1=0$，$x_2=\frac{2}{9}$。
【答案】
$x_1=0,x_2=\frac{2}{9}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、平方根的性质
【点评】
本题是解一元二次方程的基础题型，解题核心是将含未知数的完全平方式看作整体，利用平方根的性质降次为一元一次方程求解，计算难度低，掌握直接开平方法的适用条件即可快速解答。
【难度系数】
0.8
观察方程形式，等号左边是完全平方式，右边是正数，适合用直接开平方法求解。解题时先将括号内的9x-1看作一个整体，根据平方根的性质：若a²=b（b≥0），则a=±√b，将原方程转化为两个一元一次方程，再分别求解即可得到方程的解。
【解析】
对等式$(9x-1)^2=1$两边直接开平方，得：
$9x-1=\pm1$
分两种情况求解：
① 当$9x-1=1$时，
移项得$9x=1+1=2$，
系数化为1得$x=\frac{2}{9}$；
② 当$9x-1=-1$时，
移项得$9x=-1+1=0$，
系数化为1得$x=0$。
综上，方程的解为$x_1=0$，$x_2=\frac{2}{9}$。
【答案】
$x_1=0,x_2=\frac{2}{9}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、平方根的性质
【点评】
本题是解一元二次方程的基础题型，解题核心是将含未知数的完全平方式看作整体，利用平方根的性质降次为一元一次方程求解，计算难度低，掌握直接开平方法的适用条件即可快速解答。
【难度系数】
0.8
3.用配方法解方程$x^2 -6x -5=0$，配方后的方程是
$(x-3)^2=14$
。答案
3.$(x-3)^2=14$
解析
【分析】
用配方法解一元二次方程的核心是把方程左边转化为完全平方式，右边整理为常数。解题时先把常数项移到等号右侧，再在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，就能把左侧整理成完全平方形式，得到配方后的方程。
【解析】
解：1. 移项，将常数项移到等号右侧，得：
$x^2 - 6x = 5$
2. 配方，一次项系数为$-6$，它的一半的平方为$(\frac{-6}{2})^2=9$，在等式两边同时加9，得：
$x^2 -6x +9 = 5 +9$
3. 左边写成完全平方形式，合并右侧常数，得：
$(x-3)^2=14$
【答案】
$(x-3)^2=14$
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础应用，熟练掌握配方法的操作步骤是解题的关键，属于一元二次方程解法的基础考点。
【难度系数】
0.8
用配方法解一元二次方程的核心是把方程左边转化为完全平方式，右边整理为常数。解题时先把常数项移到等号右侧，再在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，就能把左侧整理成完全平方形式，得到配方后的方程。
【解析】
解：1. 移项，将常数项移到等号右侧，得：
$x^2 - 6x = 5$
2. 配方，一次项系数为$-6$，它的一半的平方为$(\frac{-6}{2})^2=9$，在等式两边同时加9，得：
$x^2 -6x +9 = 5 +9$
3. 左边写成完全平方形式，合并右侧常数，得：
$(x-3)^2=14$
【答案】
$(x-3)^2=14$
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础应用，熟练掌握配方法的操作步骤是解题的关键，属于一元二次方程解法的基础考点。
【难度系数】
0.8
4. 用配方法解方程：
(1)$x^2 -2x +1=25$；
(2)$2x^2 +4x +1=0$。
(1)$x^2 -2x +1=25$；
(2)$2x^2 +4x +1=0$。
答案
4.(1)$x_1=6,x_2=-4$
(2)$x_1=-1+\frac{\sqrt{2}}{2},x_2=-1-\frac{\sqrt{2}}{2}$
(2)$x_1=-1+\frac{\sqrt{2}}{2},x_2=-1-\frac{\sqrt{2}}{2}$
解析
【分析】
配方法解一元二次方程的核心是将方程转化为$(x+m)^2=n(n≥0)$的形式，再通过直接开平方求根。(1)中方程左侧已经是完全平方形式，可直接开平方计算；(2)中二次项系数不为1，需先将二次项系数化为1，再移项、配方，最后开平方求解即可。
【解析】
(1) 原方程：$x^2 -2x +1=25$
将左侧整理为完全平方式，得：$(x-1)^2=25$
两边直接开平方，得：$x-1=\pm5$
即$x-1=5$或$x-1=-5$
解得：$x_1=6$，$x_2=-4$
(2) 原方程：$2x^2 +4x +1=0$
① 二次项系数化为1：两边同时除以2，得$x^2 +2x +\frac{1}{2}=0$
② 移项：将常数项移到等号右侧，得$x^2 +2x=-\frac{1}{2}$
③ 配方：两边同时加一次项系数一半的平方$1^2$，得$x^2 +2x +1=-\frac{1}{2}+1$，整理得$(x+1)^2=\frac{1}{2}$
④ 开平方：两边直接开平方，得$x+1=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$
解得：$x_1=-1+\frac{\sqrt{2}}{2}$，$x_2=-1-\frac{\sqrt{2}}{2}$
【答案】
(1)$x_1=6,x_2=-4$；(2)$x_1=-1+\frac{\sqrt{2}}{2},x_2=-1-\frac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式，直接开平方法
【点评】
本题属于配方法解方程的基础题型，解题时要严格遵循配方法的步骤，注意二次项系数不为1时要先化系数为1再配方，开平方时不要漏掉负根，避免出现漏解的错误。
【难度系数】
0.8
配方法解一元二次方程的核心是将方程转化为$(x+m)^2=n(n≥0)$的形式，再通过直接开平方求根。(1)中方程左侧已经是完全平方形式，可直接开平方计算；(2)中二次项系数不为1，需先将二次项系数化为1，再移项、配方，最后开平方求解即可。
【解析】
(1) 原方程：$x^2 -2x +1=25$
将左侧整理为完全平方式，得：$(x-1)^2=25$
两边直接开平方，得：$x-1=\pm5$
即$x-1=5$或$x-1=-5$
解得：$x_1=6$，$x_2=-4$
(2) 原方程：$2x^2 +4x +1=0$
① 二次项系数化为1：两边同时除以2，得$x^2 +2x +\frac{1}{2}=0$
② 移项：将常数项移到等号右侧，得$x^2 +2x=-\frac{1}{2}$
③ 配方：两边同时加一次项系数一半的平方$1^2$，得$x^2 +2x +1=-\frac{1}{2}+1$，整理得$(x+1)^2=\frac{1}{2}$
④ 开平方：两边直接开平方，得$x+1=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$
解得：$x_1=-1+\frac{\sqrt{2}}{2}$，$x_2=-1-\frac{\sqrt{2}}{2}$
【答案】
(1)$x_1=6,x_2=-4$；(2)$x_1=-1+\frac{\sqrt{2}}{2},x_2=-1-\frac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式，直接开平方法
【点评】
本题属于配方法解方程的基础题型，解题时要严格遵循配方法的步骤，注意二次项系数不为1时要先化系数为1再配方，开平方时不要漏掉负根，避免出现漏解的错误。
【难度系数】
0.8
1. 用配方法解 $ ax^2 + bx + c = 0(a ≠ 0) $.
解:移项,得 $ ax^2 + bx = -c $,
二次项系数化为1,得
$ x^2 + \_\_\_\_\_\_x = -\frac{c}{a} $,
配方,得
$ x^2 + \_\_\_\_\_\_x + (\quad)^2 = (\quad)^2 - \frac{c}{a} $,
即 $ (x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} $. ①
思考:对于方程①,能直接开平方求解吗?
(提示:分 $ b^2 - 4ac ＞ 0, b^2 - 4ac ＜ 0, b^2 - 4ac = 0 $ 三种情况讨论.)
归纳:一般地,式子 $ b^2 - 4ac $ 叫作一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0(a ≠ 0) $ 根的 ______,通常用希腊字母“Δ”表示它,即 $ \Delta = b^2 - 4ac $.
当 $ \Delta ≥ 0 $ 时,方程 $ ax^2 + bx + c = 0(a ≠ 0) $ 的实数根可写为 ______ 的形式,这个式子叫作一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 的求根公式.
解:移项,得 $ ax^2 + bx = -c $,
二次项系数化为1,得
$ x^2 + \_\_\_\_\_\_x = -\frac{c}{a} $,
配方,得
$ x^2 + \_\_\_\_\_\_x + (\quad)^2 = (\quad)^2 - \frac{c}{a} $,
即 $ (x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} $. ①
思考:对于方程①,能直接开平方求解吗?
(提示:分 $ b^2 - 4ac ＞ 0, b^2 - 4ac ＜ 0, b^2 - 4ac = 0 $ 三种情况讨论.)
归纳:一般地,式子 $ b^2 - 4ac $ 叫作一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0(a ≠ 0) $ 根的 ______,通常用希腊字母“Δ”表示它,即 $ \Delta = b^2 - 4ac $.
当 $ \Delta ≥ 0 $ 时,方程 $ ax^2 + bx + c = 0(a ≠ 0) $ 的实数根可写为 ______ 的形式,这个式子叫作一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 的求根公式.
答案
解:移项,得 $ax^2 + bx = -c$,
二次项系数化为1,得
$x^2 + \boldsymbol{\frac{b}{a}}x = -\frac{c}{a}$,
配方,得
$x^2 + \boldsymbol{\frac{b}{a}}x + ( \boldsymbol{\frac{b}{2a}} )^2 = ( \boldsymbol{\frac{b}{2a}} )^2 - \frac{c}{a}$,
即 $(x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$. ①
思考：
由$a≠0$可知$4a^2＞0$，分三种情况讨论：
1. 当$b^2-4ac＞0$时，$\frac{b^2-4ac}{4a^2}＞0$，可以直接开平方，得$x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，方程有两个不相等的实数根；
2. 当$b^2-4ac=0$时，$\frac{b^2-4ac}{4a^2}=0$，可以直接开平方，得$x+\frac{b}{2a}=0$，方程有两个相等的实数根；
3. 当$b^2-4ac＜0$时，$\frac{b^2-4ac}{4a^2}＜0$，完全平方数不可能为负数，不能直接开平方，方程无实数根。
归纳:一般地,式子 $b^2 - 4ac$ 叫作一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0(a ≠ 0)$ 根的判别式,通常用希腊字母“$\Delta$”表示它,即 $\Delta = b^2 - 4ac$.
当 $\Delta ≥ 0$ 时,方程 $ax^2 + bx + c = 0(a ≠ 0)$ 的实数根可写为 $\boldsymbol{x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$ 的形式,这个式子叫作一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 的求根公式。
二次项系数化为1,得
$x^2 + \boldsymbol{\frac{b}{a}}x = -\frac{c}{a}$,
配方,得
$x^2 + \boldsymbol{\frac{b}{a}}x + ( \boldsymbol{\frac{b}{2a}} )^2 = ( \boldsymbol{\frac{b}{2a}} )^2 - \frac{c}{a}$,
即 $(x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$. ①
思考：
由$a≠0$可知$4a^2＞0$，分三种情况讨论：
1. 当$b^2-4ac＞0$时，$\frac{b^2-4ac}{4a^2}＞0$，可以直接开平方，得$x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，方程有两个不相等的实数根；
2. 当$b^2-4ac=0$时，$\frac{b^2-4ac}{4a^2}=0$，可以直接开平方，得$x+\frac{b}{2a}=0$，方程有两个相等的实数根；
3. 当$b^2-4ac＜0$时，$\frac{b^2-4ac}{4a^2}＜0$，完全平方数不可能为负数，不能直接开平方，方程无实数根。
归纳:一般地,式子 $b^2 - 4ac$ 叫作一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0(a ≠ 0)$ 根的判别式,通常用希腊字母“$\Delta$”表示它,即 $\Delta = b^2 - 4ac$.
当 $\Delta ≥ 0$ 时,方程 $ax^2 + bx + c = 0(a ≠ 0)$ 的实数根可写为 $\boldsymbol{x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$ 的形式,这个式子叫作一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 的求根公式。
解析
【分析】
本题考查用配方法推导一元二次方程求根公式，解题思路严格遵循配方法解方程的步骤：首先将常数项移到等号右侧，再把二次项系数化为1，之后给等式两边同时加一次项系数一半的平方，将左侧整理为完全平方式；再结合平方的非负性，分三种情况讨论等号右侧代数式的正负，判断是否能开平方求解，最终归纳出根的判别式定义和求根公式。
【解析】
1. 填空推导：
移项得$ax^2 + bx = -c$，给等式两边同时除以非零的$a$，将二次项系数化为1，得$x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}$；
此时一次项系数为$\frac{b}{a}$，它的一半为$\frac{b}{2a}$，给等式两边同时加$(\frac{b}{2a})^2$完成配方，得$x^2 + \frac{b}{a}x + (\frac{b}{2a})^2 = (\frac{b}{2a})^2 - \frac{c}{a}$，整理后左侧为完全平方式，即$(x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$。
2. 分情况讨论开平方的可行性：
由$a≠0$可知$4a^2＞0$，因此右侧代数式的符号由分子$b^2-4ac$决定：
① 当$b^2-4ac＞0$时，$\frac{b^2-4ac}{4a^2}＞0$，正数有两个互为相反数的平方根，可直接开平方得$x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，方程有两个不相等的实数根；
② 当$b^2-4ac=0$时，$\frac{b^2-4ac}{4a^2}=0$，0的平方根为0，可直接开平方得$x+\frac{b}{2a}=0$，方程有两个相等的实数根；
③ 当$b^2-4ac＜0$时，$\frac{b^2-4ac}{4a^2}＜0$，完全平方式的值不可能为负数，因此无法直接开平方，方程无实数根。
3. 归纳结论：
式子$b^2-4ac$是判断一元二次方程实数根情况的依据，叫作根的判别式，记为$\Delta=b^2-4ac$；当$\Delta≥0$时，将开平方后的式子移项整理，可得方程的实数根为$x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，即求根公式。
【答案】
填空依次为：$\frac{b}{a}$；$\frac{b}{a}$；$\frac{b}{2a}$；$\frac{b}{2a}$；判别式；$x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$；
思考结论：当$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程无实数根。
【知识点】
配方法解方程；根的判别式；求根公式推导
【点评】
本题是一元二次方程的核心基础推导题，既巩固了配方法的操作步骤，也明确了判别式对实数根个数的影响，是后续使用公式法解方程的前提，推导过程和结论都需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
本题考查用配方法推导一元二次方程求根公式，解题思路严格遵循配方法解方程的步骤：首先将常数项移到等号右侧，再把二次项系数化为1，之后给等式两边同时加一次项系数一半的平方，将左侧整理为完全平方式；再结合平方的非负性，分三种情况讨论等号右侧代数式的正负，判断是否能开平方求解，最终归纳出根的判别式定义和求根公式。
【解析】
1. 填空推导：
移项得$ax^2 + bx = -c$，给等式两边同时除以非零的$a$，将二次项系数化为1，得$x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}$；
此时一次项系数为$\frac{b}{a}$，它的一半为$\frac{b}{2a}$，给等式两边同时加$(\frac{b}{2a})^2$完成配方，得$x^2 + \frac{b}{a}x + (\frac{b}{2a})^2 = (\frac{b}{2a})^2 - \frac{c}{a}$，整理后左侧为完全平方式，即$(x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$。
2. 分情况讨论开平方的可行性：
由$a≠0$可知$4a^2＞0$，因此右侧代数式的符号由分子$b^2-4ac$决定：
① 当$b^2-4ac＞0$时，$\frac{b^2-4ac}{4a^2}＞0$，正数有两个互为相反数的平方根，可直接开平方得$x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，方程有两个不相等的实数根；
② 当$b^2-4ac=0$时，$\frac{b^2-4ac}{4a^2}=0$，0的平方根为0，可直接开平方得$x+\frac{b}{2a}=0$，方程有两个相等的实数根；
③ 当$b^2-4ac＜0$时，$\frac{b^2-4ac}{4a^2}＜0$，完全平方式的值不可能为负数，因此无法直接开平方，方程无实数根。
3. 归纳结论：
式子$b^2-4ac$是判断一元二次方程实数根情况的依据，叫作根的判别式，记为$\Delta=b^2-4ac$；当$\Delta≥0$时，将开平方后的式子移项整理，可得方程的实数根为$x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，即求根公式。
【答案】
填空依次为：$\frac{b}{a}$；$\frac{b}{a}$；$\frac{b}{2a}$；$\frac{b}{2a}$；判别式；$x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$；
思考结论：当$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程无实数根。
【知识点】
配方法解方程；根的判别式；求根公式推导
【点评】
本题是一元二次方程的核心基础推导题，既巩固了配方法的操作步骤，也明确了判别式对实数根个数的影响，是后续使用公式法解方程的前提，推导过程和结论都需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
2. 一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$与判别式$\Delta =b^2-4ac$的关系如下：
①当$\Delta＞0$时，方程有个不相等的实数根；
②当$\Delta=0$时，方程有个相等的实数根；
③当$\Delta＜0$时，方程实数根。
①当$\Delta＞0$时，方程有个不相等的实数根；
②当$\Delta=0$时，方程有个相等的实数根；
③当$\Delta＜0$时，方程实数根。
答案
解：
① 两
② 两
③ 没有
① 两
② 两
③ 没有
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根的判别式和根的个数的对应关系，属于基础概念类题目。解题时只需回忆判别式的三类取值对应的根的情况即可：首先明确判别式Δ是求根公式中根号下的部分，结合实数范围内开平方的要求，就能对应推出不同Δ取值下根的数量特征。
【解析】
根据一元二次方程根的判别式的相关结论：
①当Δ＞0时，求根公式中$\sqrt{\Delta}$是正实数，代入后可得两个不同的计算结果，因此方程有两个不相等的实数根；
②当Δ=0时，$\sqrt{\Delta}=0$，求根公式的计算结果唯一，对应两个相等的实数根（即重根）；
③当Δ＜0时，$\sqrt{\Delta}$在实数范围内没有意义，因此方程没有实数根。
【答案】
①两；②两；③没有
【知识点】
一元二次方程判别式、判别式与根的关系
【点评】
本题是基础概念识记题，核心考查对根的判别式相关结论的掌握程度，相关结论是求解一元二次方程、分析二次函数与x轴交点问题的重要基础，需要熟练记忆并灵活运用。
【难度系数】
0.9
本题考查一元二次方程根的判别式和根的个数的对应关系，属于基础概念类题目。解题时只需回忆判别式的三类取值对应的根的情况即可：首先明确判别式Δ是求根公式中根号下的部分，结合实数范围内开平方的要求，就能对应推出不同Δ取值下根的数量特征。
【解析】
根据一元二次方程根的判别式的相关结论：
①当Δ＞0时，求根公式中$\sqrt{\Delta}$是正实数，代入后可得两个不同的计算结果，因此方程有两个不相等的实数根；
②当Δ=0时，$\sqrt{\Delta}=0$，求根公式的计算结果唯一，对应两个相等的实数根（即重根）；
③当Δ＜0时，$\sqrt{\Delta}$在实数范围内没有意义，因此方程没有实数根。
【答案】
①两；②两；③没有
【知识点】
一元二次方程判别式、判别式与根的关系
【点评】
本题是基础概念识记题，核心考查对根的判别式相关结论的掌握程度，相关结论是求解一元二次方程、分析二次函数与x轴交点问题的重要基础，需要熟练记忆并灵活运用。
【难度系数】
0.9
1. 下列方程中，以$x=\frac{-5\pm\sqrt{25+4c}}{2}$为根的是（
A.$x^2 -5x -c=0$
B.$x^2 +5x -c=0$
C.$x^2 -5x +4c=0$
D.$x^2 +5x +c=0$
B
）A.$x^2 -5x -c=0$
B.$x^2 +5x -c=0$
C.$x^2 -5x +4c=0$
D.$x^2 +5x +c=0$
答案
1.B
解析
【分析】
本题可利用一元二次方程求根公式的结构，将题目给出的根的表达式与求根公式逐项对应，反推方程的各项系数即可得到答案。解题时注意：求根公式中的常数项符号易和题目中给出的字母c混淆，可先将求根公式中的常数项替换为其他字母避免混淆，再分别对应分母、分子的一次项部分、根号内的判别式部分，依次求出二次项系数、一次项系数、常数项。
【解析】
对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+k=0$（$a\ne0$），其求根公式为：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ak}}{2a}$
将题目给出的根$x=\frac{-5\pm\sqrt{25+4c}}{2}$与上述求根公式逐项对比：
1. 对比分母：$2a=2$，解得$a=1$；
2. 对比分子的一次项部分：$-b=-5$，解得$b=5$；
3. 对比根号内的判别式部分：$b^2-4ak=25+4c$，将$a=1$、$b=5$代入得：
$25-4×1× k=25+4c$，移项化简得$k=-c$。
将$a=1$、$b=5$、$k=-c$代入一般形式，得方程为$x^2+5x-c=0$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程求根公式
2. 一元二次方程的一般形式
【点评】
本题属于一元二次方程求根公式的逆向应用题型，解题核心是熟练掌握求根公式的结构，通过逐项对应系数反推方程，解题时要注意符号的匹配，避免因字母重名导致的混淆错误。
【难度系数】
0.7
本题可利用一元二次方程求根公式的结构，将题目给出的根的表达式与求根公式逐项对应，反推方程的各项系数即可得到答案。解题时注意：求根公式中的常数项符号易和题目中给出的字母c混淆，可先将求根公式中的常数项替换为其他字母避免混淆，再分别对应分母、分子的一次项部分、根号内的判别式部分，依次求出二次项系数、一次项系数、常数项。
【解析】
对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+k=0$（$a\ne0$），其求根公式为：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ak}}{2a}$
将题目给出的根$x=\frac{-5\pm\sqrt{25+4c}}{2}$与上述求根公式逐项对比：
1. 对比分母：$2a=2$，解得$a=1$；
2. 对比分子的一次项部分：$-b=-5$，解得$b=5$；
3. 对比根号内的判别式部分：$b^2-4ak=25+4c$，将$a=1$、$b=5$代入得：
$25-4×1× k=25+4c$，移项化简得$k=-c$。
将$a=1$、$b=5$、$k=-c$代入一般形式，得方程为$x^2+5x-c=0$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程求根公式
2. 一元二次方程的一般形式
【点评】
本题属于一元二次方程求根公式的逆向应用题型，解题核心是熟练掌握求根公式的结构，通过逐项对应系数反推方程，解题时要注意符号的匹配，避免因字母重名导致的混淆错误。
【难度系数】
0.7
2. 不解方程，判断方程$2x^2 -6x=7$的根的情况：
有两个不相等的实数根
.答案
2.有两个不相等的实数根
解析
【分析】
不解方程判断一元二次方程根的情况，需使用根的判别式$\Delta=b^2-4ac$求解。解题思路为：①先将原方程整理为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一般形式，准确找出$a、b、c$的取值；②代入判别式公式计算$\Delta$的值；③根据$\Delta$的符号判断根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程没有实数根。
【解析】
解：先将原方程化为一元二次方程的一般形式：
移项得 $2x^2 - 6x - 7 = 0$
可得$a=2$，$b=-6$，$c=-7$
计算根的判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4×2×(-7) = 36 + 56 = 92$
因为$\Delta = 92 ＞ 0$，所以该方程有两个不相等的实数根。
【答案】
有两个不相等的实数根
【知识点】
一元二次方程根的判别式；一元二次方程的一般形式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程根的判别式的应用，解题时需注意先将方程化为一般形式，避免因符号错误算错判别式，掌握判别式与根的对应关系即可快速解答。
【难度系数】
0.8
不解方程判断一元二次方程根的情况，需使用根的判别式$\Delta=b^2-4ac$求解。解题思路为：①先将原方程整理为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一般形式，准确找出$a、b、c$的取值；②代入判别式公式计算$\Delta$的值；③根据$\Delta$的符号判断根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程没有实数根。
【解析】
解：先将原方程化为一元二次方程的一般形式：
移项得 $2x^2 - 6x - 7 = 0$
可得$a=2$，$b=-6$，$c=-7$
计算根的判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4×2×(-7) = 36 + 56 = 92$
因为$\Delta = 92 ＞ 0$，所以该方程有两个不相等的实数根。
【答案】
有两个不相等的实数根
【知识点】
一元二次方程根的判别式；一元二次方程的一般形式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程根的判别式的应用，解题时需注意先将方程化为一般形式，避免因符号错误算错判别式，掌握判别式与根的对应关系即可快速解答。
【难度系数】
0.8
3. 用公式法解方程：
(1)$x^2 -7x +5=0$；
(2)$2x^2 -4x -1=0$。
(1)$x^2 -7x +5=0$；
(2)$2x^2 -4x -1=0$。
答案
3.(1)$x_1=\frac{7}{2}+\frac{\sqrt{29}}{2},x_2=\frac{7}{2}-\frac{\sqrt{29}}{2}$
(2)$x_1=1+\frac{\sqrt{6}}{2},x_2=1-\frac{\sqrt{6}}{2}$
(2)$x_1=1+\frac{\sqrt{6}}{2},x_2=1-\frac{\sqrt{6}}{2}$
解析
【分析】
使用公式法解一元二次方程的核心思路是遵循固定步骤求解：①先将方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，准确确定$a$、$b$、$c$的取值，注意符号不要出错；②计算根的判别式$\Delta=b^2-4ac$，若$\Delta≥0$，方程有实数根，若$\Delta＜0$则无实数根；③若有实根，将$a$、$b$、$\Delta$代入求根公式$x=\frac{-b±\sqrt{\Delta}}{2a}$计算，最后将结果化为最简形式。本题两个方程均已是一般形式，直接按步骤计算即可。
【解析】
(1) 对于方程$x^2 -7x +5=0$：
这里$a=1$，$b=-7$，$c=5$，
先计算判别式：$\Delta = b^2-4ac = (-7)^2 - 4×1×5 = 49-20=29＞0$，方程有两个不相等的实数根，
代入求根公式得：$x=\frac{-(-7)±\sqrt{29}}{2×1}=\frac{7±\sqrt{29}}{2}$，
即$x_1=\frac{7}{2}+\frac{\sqrt{29}}{2}$，$x_2=\frac{7}{2}-\frac{\sqrt{29}}{2}$。
(2) 对于方程$2x^2 -4x -1=0$：
这里$a=2$，$b=-4$，$c=-1$，
先计算判别式：$\Delta = b^2-4ac = (-4)^2 - 4×2×(-1) = 16+8=24＞0$，方程有两个不相等的实数根，
代入求根公式得：$x=\frac{-(-4)±\sqrt{24}}{2×2}=\frac{4±2\sqrt{6}}{4}=\frac{2±\sqrt{6}}{2}$，
即$x_1=1+\frac{\sqrt{6}}{2}$，$x_2=1-\frac{\sqrt{6}}{2}$。
【答案】
(1)$x_1=\frac{7}{2}+\frac{\sqrt{29}}{2},x_2=\frac{7}{2}-\frac{\sqrt{29}}{2}$
(2)$x_1=1+\frac{\sqrt{6}}{2},x_2=1-\frac{\sqrt{6}}{2}$
【知识点】
公式法解一元二次方程；根的判别式；二次根式化简
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，主要考查对公式法解题步骤的掌握程度，解题时需注意准确识别$a$、$b$、$c$的符号，判别式计算要正确，最后结果要化简为最简形式。
【难度系数】
0.8
使用公式法解一元二次方程的核心思路是遵循固定步骤求解：①先将方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，准确确定$a$、$b$、$c$的取值，注意符号不要出错；②计算根的判别式$\Delta=b^2-4ac$，若$\Delta≥0$，方程有实数根，若$\Delta＜0$则无实数根；③若有实根，将$a$、$b$、$\Delta$代入求根公式$x=\frac{-b±\sqrt{\Delta}}{2a}$计算，最后将结果化为最简形式。本题两个方程均已是一般形式，直接按步骤计算即可。
【解析】
(1) 对于方程$x^2 -7x +5=0$：
这里$a=1$，$b=-7$，$c=5$，
先计算判别式：$\Delta = b^2-4ac = (-7)^2 - 4×1×5 = 49-20=29＞0$，方程有两个不相等的实数根，
代入求根公式得：$x=\frac{-(-7)±\sqrt{29}}{2×1}=\frac{7±\sqrt{29}}{2}$，
即$x_1=\frac{7}{2}+\frac{\sqrt{29}}{2}$，$x_2=\frac{7}{2}-\frac{\sqrt{29}}{2}$。
(2) 对于方程$2x^2 -4x -1=0$：
这里$a=2$，$b=-4$，$c=-1$，
先计算判别式：$\Delta = b^2-4ac = (-4)^2 - 4×2×(-1) = 16+8=24＞0$，方程有两个不相等的实数根，
代入求根公式得：$x=\frac{-(-4)±\sqrt{24}}{2×2}=\frac{4±2\sqrt{6}}{4}=\frac{2±\sqrt{6}}{2}$，
即$x_1=1+\frac{\sqrt{6}}{2}$，$x_2=1-\frac{\sqrt{6}}{2}$。
【答案】
(1)$x_1=\frac{7}{2}+\frac{\sqrt{29}}{2},x_2=\frac{7}{2}-\frac{\sqrt{29}}{2}$
(2)$x_1=1+\frac{\sqrt{6}}{2},x_2=1-\frac{\sqrt{6}}{2}$
【知识点】
公式法解一元二次方程；根的判别式；二次根式化简
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，主要考查对公式法解题步骤的掌握程度，解题时需注意准确识别$a$、$b$、$c$的符号，判别式计算要正确，最后结果要化简为最简形式。
【难度系数】
0.8
