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13.小明在用公式法解方程$x^2 -5x=1$时,解答过程如下:
∵$a=1,b=-5,c=1$,①
∴$b^2 -4ac=(-5)^2 -4×1×1=21$.②
(1)小明解答过程是从第
(2)请你求出此方程的解.
∵$a=1,b=-5,c=1$,①
∴$b^2 -4ac=(-5)^2 -4×1×1=21$.②
(1)小明解答过程是从第
①
步开始出错的,其错误原因是方程没有化成一般形式
;(2)请你求出此方程的解.
答案
13.(1)① 方程没有化成一般形式
(2)$x_1=\frac{5+\sqrt{29}}{2},x_2=\frac{5-\sqrt{29}}{2}$
(2)$x_1=\frac{5+\sqrt{29}}{2},x_2=\frac{5-\sqrt{29}}{2}$
解析
【分析】
（1）判断错误步骤需结合公式法解方程的要求：使用求根公式前必须先把方程整理为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一般形式，再确定$a、b、c$的值。原方程右侧的常数项没有移到左侧，小明直接确定$c=1$，因此第一步就出错了。
（2）求解方程时，先将原方程移项化为一般形式，准确写出$a、b、c$的取值，计算判别式验证根存在后，代入求根公式计算即可得到正确解。
【解析】
(1) 公式法解一元二次方程的前提是将方程化为一般形式，原方程$x^2-5x=1$移项后应为$x^2-5x-1=0$，小明未进行移项就确定$c=1$，因此从第①步开始出错，错误原因是方程没有化成一般形式。
(2) 先将原方程整理为一般形式：
$x^2 - 5x - 1 = 0$
可得$a=1$，$b=-5$，$c=-1$，
计算判别式：$b^2-4ac=(-5)^2 - 4×1×(-1)=25+4=29＞0$，
代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$得：
$x=\frac{5\pm\sqrt{29}}{2}$
即方程的两个解为$x_1=\frac{5+\sqrt{29}}{2}$，$x_2=\frac{5-\sqrt{29}}{2}$。
【答案】
(1) ①，方程没有化成一般形式
(2) $x_1=\frac{5+\sqrt{29}}{2},x_2=\frac{5-\sqrt{29}}{2}$
【知识点】
一元二次方程一般形式，公式法解方程，根的判别式
【点评】
本题考查公式法解一元二次方程的步骤，易错点是使用求根公式前忽略将方程转化为一般形式，导致系数符号取值错误，解题时要严格遵循步骤，先整理方程再确认各项系数，降低粗心错误的概率。
【难度系数】
0.7
（1）判断错误步骤需结合公式法解方程的要求：使用求根公式前必须先把方程整理为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一般形式，再确定$a、b、c$的值。原方程右侧的常数项没有移到左侧，小明直接确定$c=1$，因此第一步就出错了。
（2）求解方程时，先将原方程移项化为一般形式，准确写出$a、b、c$的取值，计算判别式验证根存在后，代入求根公式计算即可得到正确解。
【解析】
(1) 公式法解一元二次方程的前提是将方程化为一般形式，原方程$x^2-5x=1$移项后应为$x^2-5x-1=0$，小明未进行移项就确定$c=1$，因此从第①步开始出错，错误原因是方程没有化成一般形式。
(2) 先将原方程整理为一般形式：
$x^2 - 5x - 1 = 0$
可得$a=1$，$b=-5$，$c=-1$，
计算判别式：$b^2-4ac=(-5)^2 - 4×1×(-1)=25+4=29＞0$，
代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$得：
$x=\frac{5\pm\sqrt{29}}{2}$
即方程的两个解为$x_1=\frac{5+\sqrt{29}}{2}$，$x_2=\frac{5-\sqrt{29}}{2}$。
【答案】
(1) ①，方程没有化成一般形式
(2) $x_1=\frac{5+\sqrt{29}}{2},x_2=\frac{5-\sqrt{29}}{2}$
【知识点】
一元二次方程一般形式，公式法解方程，根的判别式
【点评】
本题考查公式法解一元二次方程的步骤，易错点是使用求根公式前忽略将方程转化为一般形式，导致系数符号取值错误，解题时要严格遵循步骤，先整理方程再确认各项系数，降低粗心错误的概率。
【难度系数】
0.7
14.已知关于$x$的方程$(k^2 -4)x^2 + (k+2)x -5=0$.
(1)当$k$为何值时,此方程为一元一次方程?求出此方程的解.
(2)当$k$为何值时,此方程为一元二次方程?
(1)当$k$为何值时,此方程为一元一次方程?求出此方程的解.
(2)当$k$为何值时,此方程为一元二次方程?
答案
14.(1)$k=2$ 方程的解是$x=\frac{5}{4}$
(2)$k≠±2$
(2)$k≠±2$
解析
【分析】
本题需要根据一元一次方程和一元二次方程的定义分别求解k的取值。（1）要使方程为一元一次方程，需满足方程没有二次项，且一次项系数不为0，据此列等式和不等式求出k，再代入方程求解即可；（2）要使方程为一元二次方程，需满足二次项系数不为0，据此列不等式求解即可。
【解析】
(1) 根据一元一次方程的定义：只含一个未知数，未知数最高次数为1，且一次项系数不为0，可得：
二次项系数为0：$k^2 - 4 = 0$，解得$k = \pm 2$
一次项系数不为0：$k + 2 ≠ 0$，解得$k ≠ -2$
综上可得$k = 2$
将$k=2$代入原方程，得：
$4x - 5 = 0$
移项得$4x=5$，解得$x = \frac{5}{4}$
(2) 根据一元二次方程的定义：只含一个未知数，未知数最高次数为2，且二次项系数不为0，可得：
$k^2 - 4 ≠ 0$
解得$k ≠ \pm 2$
【答案】
(1)$k=2$，方程的解是$x=\frac{5}{4}$；(2)$k≠±2$
【知识点】
一元一次方程的判定、一元二次方程的判定、解一元一次方程
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题的关键是准确把握不同类型整式方程对最高次项系数的限制，求解时注意不要遗漏一次项系数不为0的条件，避免出现错解。
【难度系数】
0.8
本题需要根据一元一次方程和一元二次方程的定义分别求解k的取值。（1）要使方程为一元一次方程，需满足方程没有二次项，且一次项系数不为0，据此列等式和不等式求出k，再代入方程求解即可；（2）要使方程为一元二次方程，需满足二次项系数不为0，据此列不等式求解即可。
【解析】
(1) 根据一元一次方程的定义：只含一个未知数，未知数最高次数为1，且一次项系数不为0，可得：
二次项系数为0：$k^2 - 4 = 0$，解得$k = \pm 2$
一次项系数不为0：$k + 2 ≠ 0$，解得$k ≠ -2$
综上可得$k = 2$
将$k=2$代入原方程，得：
$4x - 5 = 0$
移项得$4x=5$，解得$x = \frac{5}{4}$
(2) 根据一元二次方程的定义：只含一个未知数，未知数最高次数为2，且二次项系数不为0，可得：
$k^2 - 4 ≠ 0$
解得$k ≠ \pm 2$
【答案】
(1)$k=2$，方程的解是$x=\frac{5}{4}$；(2)$k≠±2$
【知识点】
一元一次方程的判定、一元二次方程的判定、解一元一次方程
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题的关键是准确把握不同类型整式方程对最高次项系数的限制，求解时注意不要遗漏一次项系数不为0的条件，避免出现错解。
【难度系数】
0.8
15.已知关于$x$的方程$x^2 -kx +k -1=0$.
(1)求证:不论$k$为何值,方程总有两个实数根;
(2)若等腰三角形$ABC$的一边长为2,另两边长为这个方程的两个根,求$k$的值.
(1)求证:不论$k$为何值,方程总有两个实数根;
(2)若等腰三角形$ABC$的一边长为2,另两边长为这个方程的两个根,求$k$的值.
答案
15.(1)略
(2)$k=3$
(2)$k=3$
解析
【分析】
(1)要证明不论k为何值方程总有两个实数根，需用到一元二次方程根的判别式，计算判别式Δ并证明其恒大于等于0即可。(2)结合等腰三角形性质，需分两种情况讨论：①边长为2的边是腰，此时x=2是方程的根，代入求k后验证三边关系；②边长为2的边是底边，此时方程两根相等（即Δ=0），求k后验证三边关系，最终确定符合条件的k值。
【解析】
(1) 证明：在方程$x^2 -kx +k -1=0$中，$a=1$，$b=-k$，$c=k-1$，
则根的判别式$\Delta = b^2-4ac = (-k)^2 - 4×1×(k-1) = k^2-4k+4 = (k-2)^2$。
∵ 无论$k$取何值，$(k-2)^2≥0$恒成立，即$\Delta≥0$，
∴ 不论$k$为何值，方程总有两个实数根。
(2) 解：分两种情况讨论：
① 当长为2的边是等腰三角形的腰时，$x=2$是方程的一个根，
将$x=2$代入方程得：$2^2 - 2k + k -1 = 0$，
解得$k=3$。
此时方程为$x^2-3x+2=0$，解得两根为$x_1=1$，$x_2=2$，
三角形三边长为2、2、1，满足$1+2＞2$，符合三角形三边关系，该情况成立。
② 当长为2的边是等腰三角形的底边时，方程的两个根相等（两腰长相等），
则$\Delta=0$，即$(k-2)^2=0$，解得$k=2$。
此时方程为$x^2-2x+1=0$，解得两根为$x_1=x_2=1$，
三角形三边长为2、1、1，
∵$1+1=2$，不满足三角形两边之和大于第三边，该情况舍去。
综上，$k$的值为3。
【答案】
(1) 略；(2) $k=3$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，等腰三角形的性质，三角形三边关系
【点评】
本题是方程与几何的综合题型，既考查了一元二次方程根的判定与求解，又需要结合等腰三角形的性质分类讨论，解题时注意要验证三角形三边关系，排除不符合题意的解。
【难度系数】
0.65
(1)要证明不论k为何值方程总有两个实数根，需用到一元二次方程根的判别式，计算判别式Δ并证明其恒大于等于0即可。(2)结合等腰三角形性质，需分两种情况讨论：①边长为2的边是腰，此时x=2是方程的根，代入求k后验证三边关系；②边长为2的边是底边，此时方程两根相等（即Δ=0），求k后验证三边关系，最终确定符合条件的k值。
【解析】
(1) 证明：在方程$x^2 -kx +k -1=0$中，$a=1$，$b=-k$，$c=k-1$，
则根的判别式$\Delta = b^2-4ac = (-k)^2 - 4×1×(k-1) = k^2-4k+4 = (k-2)^2$。
∵ 无论$k$取何值，$(k-2)^2≥0$恒成立，即$\Delta≥0$，
∴ 不论$k$为何值，方程总有两个实数根。
(2) 解：分两种情况讨论：
① 当长为2的边是等腰三角形的腰时，$x=2$是方程的一个根，
将$x=2$代入方程得：$2^2 - 2k + k -1 = 0$，
解得$k=3$。
此时方程为$x^2-3x+2=0$，解得两根为$x_1=1$，$x_2=2$，
三角形三边长为2、2、1，满足$1+2＞2$，符合三角形三边关系，该情况成立。
② 当长为2的边是等腰三角形的底边时，方程的两个根相等（两腰长相等），
则$\Delta=0$，即$(k-2)^2=0$，解得$k=2$。
此时方程为$x^2-2x+1=0$，解得两根为$x_1=x_2=1$，
三角形三边长为2、1、1，
∵$1+1=2$，不满足三角形两边之和大于第三边，该情况舍去。
综上，$k$的值为3。
【答案】
(1) 略；(2) $k=3$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，等腰三角形的性质，三角形三边关系
【点评】
本题是方程与几何的综合题型，既考查了一元二次方程根的判定与求解，又需要结合等腰三角形的性质分类讨论，解题时注意要验证三角形三边关系，排除不符合题意的解。
【难度系数】
0.65
