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1.先分解因式，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于，从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法.
答案
解：根据因式分解法解一元二次方程的原理，若两个一次式的乘积为0，则这两个一次式分别等于0，即可将二次方程降为两个一元一次方程求解。
横线处答案为：0
横线处答案为：0
解析
【分析】
这道题考查因式分解法解一元二次方程的基本原理，我们可以结合乘积为0的数的性质思考：如果两个因式的乘积等于0，那么这两个因式中至少有一个等于0。我们把一元二次方程分解为两个一次式相乘等于0的形式后，只要让这两个一次式取对应值，就能把二次方程转化为更简单的一次方程求解，结合因式分解法的定义就能确定要填的内容。
【解析】
因式分解法解一元二次方程的依据是“若两个数的乘积为0，则至少其中一个数为0”，即若$ab=0$，则$a=0$或$b=0$。因此我们先把一元二次方程整理为两个一次式的乘积等于0的形式，再令这两个一次式分别等于0，就可以把二次方程降次为两个一元一次方程，进而求解。所以横线处应填0。
【答案】
0
【知识点】
1.因式分解法解一元二次方程 2.降次思想
【点评】
本题是对一元二次方程因式分解法基本概念的考查，属于基础题型，熟练掌握相关概念即可快速解答。
【难度系数】
0.9
这道题考查因式分解法解一元二次方程的基本原理，我们可以结合乘积为0的数的性质思考：如果两个因式的乘积等于0，那么这两个因式中至少有一个等于0。我们把一元二次方程分解为两个一次式相乘等于0的形式后，只要让这两个一次式取对应值，就能把二次方程转化为更简单的一次方程求解，结合因式分解法的定义就能确定要填的内容。
【解析】
因式分解法解一元二次方程的依据是“若两个数的乘积为0，则至少其中一个数为0”，即若$ab=0$，则$a=0$或$b=0$。因此我们先把一元二次方程整理为两个一次式的乘积等于0的形式，再令这两个一次式分别等于0，就可以把二次方程降次为两个一元一次方程，进而求解。所以横线处应填0。
【答案】
0
【知识点】
1.因式分解法解一元二次方程 2.降次思想
【点评】
本题是对一元二次方程因式分解法基本概念的考查，属于基础题型，熟练掌握相关概念即可快速解答。
【难度系数】
0.9
2.用因式分解法解一元二次方程的步骤：
(1)将方程的右边化为；
(2)将方程的左边分解为两个一次因式的的形式；
(3)令每个因式分别等于，得到两个一元一次方程；
(4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。
(1)将方程的右边化为；
(2)将方程的左边分解为两个一次因式的的形式；
(3)令每个因式分别等于，得到两个一元一次方程；
(4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。
答案
解：
(1) 0
(2) 乘积
(3) 0
(1) 0
(2) 乘积
(3) 0
解析
【分析】
因式分解法解一元二次方程的核心依据是“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，基于这个原理推导解题步骤：首先要把方程整理为右边为0的形式，才能套用乘积为0的性质；接着把左侧的二次多项式拆成两个一次因式相乘的形式，实现二次方程降次；最后令每个一次因式分别为0，转化为一元一次方程求解，按照这个逻辑就能对应填出空缺内容。
【解析】
(1) 只有当方程右边为0时，才能使用“乘积为0则至少一个因式为0”的性质，因此第一步需将方程右边化为0；
(2) 因式分解的本质是把多项式转化为几个整式乘积的形式，因此要把方程左边分解为两个一次因式的乘积，才能实现降次求解；
(3) 根据乘积为0的性质，令两个一次因式分别等于0，即可将一元二次方程转化为两个一元一次方程，进而求解得到原方程的解。
【答案】
(1) 0；(2) 乘积；(3) 0
【知识点】
因式分解法解方程、因式分解、零乘积性质
【点评】
本题属于基础概念识记题，考查因式分解法解一元二次方程的核心步骤，熟练掌握这些步骤是使用因式分解法快速求解一元二次方程的前提。
【难度系数】
0.9
因式分解法解一元二次方程的核心依据是“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，基于这个原理推导解题步骤：首先要把方程整理为右边为0的形式，才能套用乘积为0的性质；接着把左侧的二次多项式拆成两个一次因式相乘的形式，实现二次方程降次；最后令每个一次因式分别为0，转化为一元一次方程求解，按照这个逻辑就能对应填出空缺内容。
【解析】
(1) 只有当方程右边为0时，才能使用“乘积为0则至少一个因式为0”的性质，因此第一步需将方程右边化为0；
(2) 因式分解的本质是把多项式转化为几个整式乘积的形式，因此要把方程左边分解为两个一次因式的乘积，才能实现降次求解；
(3) 根据乘积为0的性质，令两个一次因式分别等于0，即可将一元二次方程转化为两个一元一次方程，进而求解得到原方程的解。
【答案】
(1) 0；(2) 乘积；(3) 0
【知识点】
因式分解法解方程、因式分解、零乘积性质
【点评】
本题属于基础概念识记题，考查因式分解法解一元二次方程的核心步骤，熟练掌握这些步骤是使用因式分解法快速求解一元二次方程的前提。
【难度系数】
0.9
1. 解方程$x(x-2)+3(x-2)=0$，最简便的解法是 （
A.直接开平方法
B.因式分解法
C.配方法
D.公式法
B
）A.直接开平方法
B.因式分解法
C.配方法
D.公式法
答案
1.B
解析
【分析】
解题时先观察方程的结构特征，再结合四种一元二次方程解法的适用场景判断：直接开平方法适用于形如$(ax+b)^2=c(c≥0)$的方程；配方法适合二次项系数为1、一次项系数为偶数的方程；公式法是通用解法但计算量较大；因式分解法适用于方程左边易分解为两个一次因式乘积、右边为0的情况。本题方程左边两项都含有公因式$(x-2)$，很容易提取公因式变形，因此优先考虑因式分解法。
【解析】
观察原方程$x(x-2)+3(x-2)=0$，左边两项存在公因式$(x-2)$，提取公因式可得：
$(x-2)(x+3)=0$
令两个一次因式分别为0，即可快速求出方程的解，整个过程计算量极小，是最简便的解法，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1.一元二次方程解法选择
2.提公因式法因式分解
【点评】
本题考查一元二次方程解法的灵活选用，解题时优先观察方程结构，选择匹配的简便解法，可减少计算量、提高解题准确率。
【难度系数】
0.9
解题时先观察方程的结构特征，再结合四种一元二次方程解法的适用场景判断：直接开平方法适用于形如$(ax+b)^2=c(c≥0)$的方程；配方法适合二次项系数为1、一次项系数为偶数的方程；公式法是通用解法但计算量较大；因式分解法适用于方程左边易分解为两个一次因式乘积、右边为0的情况。本题方程左边两项都含有公因式$(x-2)$，很容易提取公因式变形，因此优先考虑因式分解法。
【解析】
观察原方程$x(x-2)+3(x-2)=0$，左边两项存在公因式$(x-2)$，提取公因式可得：
$(x-2)(x+3)=0$
令两个一次因式分别为0，即可快速求出方程的解，整个过程计算量极小，是最简便的解法，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1.一元二次方程解法选择
2.提公因式法因式分解
【点评】
本题考查一元二次方程解法的灵活选用，解题时优先观察方程结构，选择匹配的简便解法，可减少计算量、提高解题准确率。
【难度系数】
0.9
2.用因式分解法解下列方程，变形正确的是（
A.$(x+3)(x-1)=1$，可得$x+3=1$或$x-1=1$
B.$(x-3)(x-4)=0$，可得$x-3=0$或$x-4=0$
C.$(x-2)(x-3)=6$，可得$x-2=2$或$x-3=3$
D.$x(x+2)=0$，得$x+2=0$
B
）A.$(x+3)(x-1)=1$，可得$x+3=1$或$x-1=1$
B.$(x-3)(x-4)=0$，可得$x-3=0$或$x-4=0$
C.$(x-2)(x-3)=6$，可得$x-2=2$或$x-3=3$
D.$x(x+2)=0$，得$x+2=0$
答案
2.B
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确因式分解法解一元二次方程的核心依据：如果两个整式的乘积为0，那么至少其中一个整式的值为0，即若$ab=0$，则$a=0$或$b=0$。使用该方法的前提是方程必须满足“等号右侧为0，左侧是若干个整式的乘积”的形式，我们按照这个规则逐一判断选项即可。
【解析】
根据因式分解法解方程的规则逐个分析选项：
A选项：方程$(x+3)(x-1)=1$的等号右侧是1，不是0，不满足因式分解法的使用条件，不能直接拆分得到$x+3=1$或$x-1=1$，该选项错误。
B选项：方程$(x-3)(x-4)=0$等号右侧为0，符合因式分解法的要求，根据零乘积性质可得$x-3=0$或$x-4=0$，该选项正确。
C选项：方程$(x-2)(x-3)=6$的等号右侧是6，不是0，不能直接拆分得到$x-2=2$或$x-3=3$，该选项错误。
D选项：方程$x(x+2)=0$，根据零乘积性质应该是$x=0$或$x+2=0$，选项遗漏了$x=0$的解，该选项错误。
【答案】
B
【知识点】
1.零乘积原理 2.因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题考查因式分解法解方程的基本规则，解题时要注意两个易错点：一是必须先把方程整理为右侧为0、左侧是整式乘积的形式，才能拆分因式；二是拆分时不要遗漏任何一个因式为0的情况，避免出现漏解的问题。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先要明确因式分解法解一元二次方程的核心依据：如果两个整式的乘积为0，那么至少其中一个整式的值为0，即若$ab=0$，则$a=0$或$b=0$。使用该方法的前提是方程必须满足“等号右侧为0，左侧是若干个整式的乘积”的形式，我们按照这个规则逐一判断选项即可。
【解析】
根据因式分解法解方程的规则逐个分析选项：
A选项：方程$(x+3)(x-1)=1$的等号右侧是1，不是0，不满足因式分解法的使用条件，不能直接拆分得到$x+3=1$或$x-1=1$，该选项错误。
B选项：方程$(x-3)(x-4)=0$等号右侧为0，符合因式分解法的要求，根据零乘积性质可得$x-3=0$或$x-4=0$，该选项正确。
C选项：方程$(x-2)(x-3)=6$的等号右侧是6，不是0，不能直接拆分得到$x-2=2$或$x-3=3$，该选项错误。
D选项：方程$x(x+2)=0$，根据零乘积性质应该是$x=0$或$x+2=0$，选项遗漏了$x=0$的解，该选项错误。
【答案】
B
【知识点】
1.零乘积原理 2.因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题考查因式分解法解方程的基本规则，解题时要注意两个易错点：一是必须先把方程整理为右侧为0、左侧是整式乘积的形式，才能拆分因式；二是拆分时不要遗漏任何一个因式为0的情况，避免出现漏解的问题。
【难度系数】
0.8
3.方程$(x-3)(x+2)=0$的根是
知识点二:一元二次方程的根与系数的关系
由因式分解法可知,方程$(x-x_1)(x-x_2)=0(x_1,x_2为已知数)$的两个根为$x_1$和$x_2$,将方程化为$x^2+px+q=0$的形式如下:
$(x-x_1)(x-x_2)=x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2=0.$
显然,这个方程的二次项系数为1,一次项系数$p=$,常数项$q=$.
于是,上述方程两个根的和、积与系数分别有如下关系:
$x_1+x_2=$,$x_1x_2=$.
思考:一般的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$中,二次项系数$a$未必是1,它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢?请你试着根据求根公式验证一下吧!
归纳:若$x_1,x_2$是一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两个根,则有$x_1+x_2=$,$x_1x_2=$.
即任何一个一元二次方程的根与系数的关系为:两个根的和等于,两个根的积等于.
$x_1=3$
$x_2=-2$
.知识点二:一元二次方程的根与系数的关系
由因式分解法可知,方程$(x-x_1)(x-x_2)=0(x_1,x_2为已知数)$的两个根为$x_1$和$x_2$,将方程化为$x^2+px+q=0$的形式如下:
$(x-x_1)(x-x_2)=x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2=0.$
显然,这个方程的二次项系数为1,一次项系数$p=$,常数项$q=$.
于是,上述方程两个根的和、积与系数分别有如下关系:
$x_1+x_2=$,$x_1x_2=$.
思考:一般的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$中,二次项系数$a$未必是1,它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢?请你试着根据求根公式验证一下吧!
归纳:若$x_1,x_2$是一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两个根,则有$x_1+x_2=$,$x_1x_2=$.
即任何一个一元二次方程的根与系数的关系为:两个根的和等于,两个根的积等于.
答案
3.$x_1=3,x_2=-2$
解析
【分析】
本题考查用因式分解法解一元二次方程。解题时首先回忆因式分解法解方程的依据：若两个因式的乘积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0。据此我们可以将原二次方程拆分为两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的根。
【解析】
已知方程$(x-3)(x+2)=0$，根据“若$ab=0$，则$a=0$或$b=0$”的性质，可得：
$x-3=0$ 或 $x+2=0$
解$x-3=0$，得$x=3$；
解$x+2=0$，得$x=-2$。
因此原方程的根为$x_1=3$，$x_2=-2$。
【答案】
$x_1=3,x_2=-2$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于一元二次方程求解的基础题，核心是掌握因式分解法解方程的原理，不需要复杂计算，只要熟练掌握相关性质就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
本题考查用因式分解法解一元二次方程。解题时首先回忆因式分解法解方程的依据：若两个因式的乘积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0。据此我们可以将原二次方程拆分为两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的根。
【解析】
已知方程$(x-3)(x+2)=0$，根据“若$ab=0$，则$a=0$或$b=0$”的性质，可得：
$x-3=0$ 或 $x+2=0$
解$x-3=0$，得$x=3$；
解$x+2=0$，得$x=-2$。
因此原方程的根为$x_1=3$，$x_2=-2$。
【答案】
$x_1=3,x_2=-2$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于一元二次方程求解的基础题，核心是掌握因式分解法解方程的原理，不需要复杂计算，只要熟练掌握相关性质就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
1.若方程$x^2 -3x +1=0$的两个实数根为α，β，则α+β的值为 （
A.12
B.3
C.7
D.4
B
）A.12
B.3
C.7
D.4
答案
1.B
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数关系的应用，解题时首先回忆一元二次方程两根之和与方程系数的对应规律：对于有两个实数根的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和等于$-\frac{b}{a}$。我们只需要找出题干方程中对应的二次项系数a、一次项系数b，代入公式计算即可得到结果，题目已经明确给出方程有两个实根，无需额外验证判别式。
【解析】
对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若方程存在两个实数根$x_1、x_2$，根据根与系数的关系可得：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。
题干中方程为$x^2-3x+1=0$，对比一般形式可知：$a=1$，$b=-3$。
已知该方程的两个实数根为$α、β$，因此$α+β=-\frac{b}{a}=-\frac{(-3)}{1}=3$。
【答案】
B
【知识点】
根与系数的关系
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对根与系数关系的记忆与应用，解题时要注意一次项系数的符号，避免因符号计算错误失分。
【难度系数】
0.9
本题考查一元二次方程根与系数关系的应用，解题时首先回忆一元二次方程两根之和与方程系数的对应规律：对于有两个实数根的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和等于$-\frac{b}{a}$。我们只需要找出题干方程中对应的二次项系数a、一次项系数b，代入公式计算即可得到结果，题目已经明确给出方程有两个实根，无需额外验证判别式。
【解析】
对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若方程存在两个实数根$x_1、x_2$，根据根与系数的关系可得：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。
题干中方程为$x^2-3x+1=0$，对比一般形式可知：$a=1$，$b=-3$。
已知该方程的两个实数根为$α、β$，因此$α+β=-\frac{b}{a}=-\frac{(-3)}{1}=3$。
【答案】
B
【知识点】
根与系数的关系
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对根与系数关系的记忆与应用，解题时要注意一次项系数的符号，避免因符号计算错误失分。
【难度系数】
0.9
2.已知一元二次方程$x^2 - 3x = 1$的两个根分别为$a,b$,那么$ab - 2a - 2b + 1$的值为
-6
.答案
2.-6
解析
【分析】
本题不需要求解一元二次方程的具体根，可利用根与系数的关系简化计算：首先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，根据根与系数的关系得出两根之和与两根之积，再将所求代数式变形为含有两根之和、两根之积的形式，最后整体代入计算即可得到结果。
【解析】
第一步：将原方程化为一元二次方程一般形式
$x^2 - 3x = 1$移项得：$x^2 - 3x - 1 = 0$
第二步：根据根与系数的关系求两根之和、两根之积
已知方程的两个根为$a,b$，对于一元二次方程$Ax^2+Bx+C=0$（$A≠0$），两根之和$a+b=-\frac{B}{A}$，两根之积$ab=\frac{C}{A}$。
本题中$A=1,B=-3,C=-1$，因此：
$a+b=3$，$ab=-1$
第三步：变形所求代数式并代入计算
对$ab - 2a - 2b + 1$提取公因式变形得：
$ab - 2(a + b) + 1$
将$a+b=3$，$ab=-1$代入得：
原式$=-1 - 2×3 + 1 = -1 - 6 + 1 = -6$
【答案】
$-6$
【知识点】
根与系数的关系，代数式化简，整体代入求值
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的基础应用题，重点考查整体代入思想的运用，避免了直接求解根的繁琐计算，熟练掌握根与系数的关系和代数式变形技巧是解题的核心。
【难度系数】
0.7
本题不需要求解一元二次方程的具体根，可利用根与系数的关系简化计算：首先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，根据根与系数的关系得出两根之和与两根之积，再将所求代数式变形为含有两根之和、两根之积的形式，最后整体代入计算即可得到结果。
【解析】
第一步：将原方程化为一元二次方程一般形式
$x^2 - 3x = 1$移项得：$x^2 - 3x - 1 = 0$
第二步：根据根与系数的关系求两根之和、两根之积
已知方程的两个根为$a,b$，对于一元二次方程$Ax^2+Bx+C=0$（$A≠0$），两根之和$a+b=-\frac{B}{A}$，两根之积$ab=\frac{C}{A}$。
本题中$A=1,B=-3,C=-1$，因此：
$a+b=3$，$ab=-1$
第三步：变形所求代数式并代入计算
对$ab - 2a - 2b + 1$提取公因式变形得：
$ab - 2(a + b) + 1$
将$a+b=3$，$ab=-1$代入得：
原式$=-1 - 2×3 + 1 = -1 - 6 + 1 = -6$
【答案】
$-6$
【知识点】
根与系数的关系，代数式化简，整体代入求值
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的基础应用题，重点考查整体代入思想的运用，避免了直接求解根的繁琐计算，熟练掌握根与系数的关系和代数式变形技巧是解题的核心。
【难度系数】
0.7
3.若一元二次方程$x^2 - 3x + 2 = 0$的两个根为$x_1,x_2$，则$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$的值为
$\frac{3}{2}$
。答案
3.$\frac{3}{2}$
解析
【分析】
遇到求一元二次方程两根的分式类代数式的值时，优先考虑利用根与系数的关系求解，无需先算出方程的两个根。第一步先将所求代数式$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$通分化简，得到只含有$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式；第二步根据一元二次方程的一般式$ax^2+bx+c=0$，确定题目中方程的$a、b、c$的值，代入根与系数的公式求出$x_1+x_2$和$x_1x_2$；第三步将求出的值代入化简后的代数式计算即可得到结果。
【解析】
解：对于一元二次方程$x^2 - 3x + 2 = 0$，其中$a=1$，$b=-3$，$c=2$。
根据一元二次方程根与系数的关系，可得：
两根之和$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-3}{1}=3$，
两根之积$x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{2}{1}=2$。
将所求代数式通分化简：
$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2} = \frac{x_2 + x_1}{x_1x_2}$
把$x_1+x_2=3$，$x_1x_2=2$代入上式，得：
$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2} = \frac{3}{2}$。
（也可通过解方程验证：因式分解得$(x-1)(x-2)=0$，解得$x_1=1,x_2=2$，代入得$\frac{1}{1}+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$，结果一致。）
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 分式化简运算
【点评】
本题是一元二次方程的基础常考题，核心考查根与系数关系的灵活运用，将所求代数式转化为含两根和、两根积的形式求解，比直接解方程再代入计算更高效，也能减少计算失误。
【难度系数】
0.8
遇到求一元二次方程两根的分式类代数式的值时，优先考虑利用根与系数的关系求解，无需先算出方程的两个根。第一步先将所求代数式$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$通分化简，得到只含有$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式；第二步根据一元二次方程的一般式$ax^2+bx+c=0$，确定题目中方程的$a、b、c$的值，代入根与系数的公式求出$x_1+x_2$和$x_1x_2$；第三步将求出的值代入化简后的代数式计算即可得到结果。
【解析】
解：对于一元二次方程$x^2 - 3x + 2 = 0$，其中$a=1$，$b=-3$，$c=2$。
根据一元二次方程根与系数的关系，可得：
两根之和$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-3}{1}=3$，
两根之积$x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{2}{1}=2$。
将所求代数式通分化简：
$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2} = \frac{x_2 + x_1}{x_1x_2}$
把$x_1+x_2=3$，$x_1x_2=2$代入上式，得：
$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2} = \frac{3}{2}$。
（也可通过解方程验证：因式分解得$(x-1)(x-2)=0$，解得$x_1=1,x_2=2$，代入得$\frac{1}{1}+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$，结果一致。）
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 分式化简运算
【点评】
本题是一元二次方程的基础常考题，核心考查根与系数关系的灵活运用，将所求代数式转化为含两根和、两根积的形式求解，比直接解方程再代入计算更高效，也能减少计算失误。
【难度系数】
0.8
