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4.根据一元二次方程的根与系数的关系，求出下列方程的两个根$x_1,x_2$的和与积.
(1)$2x^2+8x-1=0$；
(2)$x^2-4x+1=0$；
(3)$2x^2+6=7x$；
(4)$2x^2-3x+1=0$.
(1)$2x^2+8x-1=0$；
(2)$x^2-4x+1=0$；
(3)$2x^2+6=7x$；
(4)$2x^2-3x+1=0$.
答案
4.(1)$-4,-\frac{1}{2}$ (2)$4,1$ (3)$\frac{7}{2},3$ (4)$\frac{3}{2},\frac{1}{2}$
解析
【分析】
解题前先明确一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：若一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）有两个实数根$x_1$、$x_2$，则两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$。解题步骤为：①先把每个方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$；②对应找出每个方程的二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$；③将$a、b、c$代入韦达定理的公式，计算得到两根的和与积即可，计算时要特别注意系数的符号。
【解析】
首先明确一元二次方程根与系数的关系：对于$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$，方程有两个实根），$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
(1) 方程$2x^2+8x-1=0$为一般形式，其中$a=2$，$b=8$，$c=-1$：
$x_1+x_2=-\frac{8}{2}=-4$，$x_1x_2=\frac{-1}{2}=-\frac{1}{2}$；
(2) 方程$x^2-4x+1=0$为一般形式，其中$a=1$，$b=-4$，$c=1$：
$x_1+x_2=-\frac{-4}{1}=4$，$x_1x_2=\frac{1}{1}=1$；
(3) 先将方程移项整理为一般形式：$2x^2-7x+6=0$，其中$a=2$，$b=-7$，$c=6$：
$x_1+x_2=-\frac{-7}{2}=\frac{7}{2}$，$x_1x_2=\frac{6}{2}=3$；
(4) 方程$2x^2-3x+1=0$为一般形式，其中$a=2$，$b=-3$，$c=1$：
$x_1+x_2=-\frac{-3}{2}=\frac{3}{2}$，$x_1x_2=\frac{1}{2}$。
【答案】
(1)$-4,-\frac{1}{2}$ (2)$4,1$ (3)$\frac{7}{2},3$ (4)$\frac{3}{2},\frac{1}{2}$
【知识点】
1.一元二次方程根与系数的关系 2.一元二次方程的一般形式
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，解题核心是先将方程化为标准一般形式，准确识别对应系数及符号，直接代入公式计算即可，需注意避免因符号判断错误、未化简方程导致的计算失误。
【难度系数】
0.85
解题前先明确一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：若一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）有两个实数根$x_1$、$x_2$，则两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$。解题步骤为：①先把每个方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$；②对应找出每个方程的二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$；③将$a、b、c$代入韦达定理的公式，计算得到两根的和与积即可，计算时要特别注意系数的符号。
【解析】
首先明确一元二次方程根与系数的关系：对于$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$，方程有两个实根），$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
(1) 方程$2x^2+8x-1=0$为一般形式，其中$a=2$，$b=8$，$c=-1$：
$x_1+x_2=-\frac{8}{2}=-4$，$x_1x_2=\frac{-1}{2}=-\frac{1}{2}$；
(2) 方程$x^2-4x+1=0$为一般形式，其中$a=1$，$b=-4$，$c=1$：
$x_1+x_2=-\frac{-4}{1}=4$，$x_1x_2=\frac{1}{1}=1$；
(3) 先将方程移项整理为一般形式：$2x^2-7x+6=0$，其中$a=2$，$b=-7$，$c=6$：
$x_1+x_2=-\frac{-7}{2}=\frac{7}{2}$，$x_1x_2=\frac{6}{2}=3$；
(4) 方程$2x^2-3x+1=0$为一般形式，其中$a=2$，$b=-3$，$c=1$：
$x_1+x_2=-\frac{-3}{2}=\frac{3}{2}$，$x_1x_2=\frac{1}{2}$。
【答案】
(1)$-4,-\frac{1}{2}$ (2)$4,1$ (3)$\frac{7}{2},3$ (4)$\frac{3}{2},\frac{1}{2}$
【知识点】
1.一元二次方程根与系数的关系 2.一元二次方程的一般形式
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，解题核心是先将方程化为标准一般形式，准确识别对应系数及符号，直接代入公式计算即可，需注意避免因符号判断错误、未化简方程导致的计算失误。
【难度系数】
0.85
1.某水果店今年的营业额是45万元，已知该水果店前年的营业额是20万元，则该水果店营业额的年平均增长率是（
A.20%
B.25%
C.50%
D.62.5%
C
）A.20%
B.25%
C.50%
D.62.5%
答案
1.C
解析
【分析】
这是一道平均增长率的实际应用题，解题核心是掌握平均增长率的计算公式。首先明确时间跨度：前年到今年间隔2年，设年平均增长率为x，根据“初始量×(1+增长率)^增长年数=最终量”的等量关系列一元二次方程，解方程后结合增长率为正数的实际意义舍去负根，即可得到结果。
【解析】
设该水果店营业额的年平均增长率为$x$。
已知前年营业额为20万元，经过2年增长到今年的45万元，可列方程：
$20(1+x)^2=45$
方程两边同时除以20，得：
$(1+x)^2=\frac{45}{20}=2.25$
开平方得：
$1+x=\pm1.5$
因为增长率为正数，所以舍去$1+x=-1.5$的情况，仅取$1+x=1.5$，解得：
$x=1.5-1=0.5=50\%$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 平均增长率计算
【点评】
本题是平均增长率类的基础常考题，解题关键是找准初始量、最终量和增长年数，列方程求解时要注意结合实际意义舍去不符合要求的根。
【难度系数】
0.7
这是一道平均增长率的实际应用题，解题核心是掌握平均增长率的计算公式。首先明确时间跨度：前年到今年间隔2年，设年平均增长率为x，根据“初始量×(1+增长率)^增长年数=最终量”的等量关系列一元二次方程，解方程后结合增长率为正数的实际意义舍去负根，即可得到结果。
【解析】
设该水果店营业额的年平均增长率为$x$。
已知前年营业额为20万元，经过2年增长到今年的45万元，可列方程：
$20(1+x)^2=45$
方程两边同时除以20，得：
$(1+x)^2=\frac{45}{20}=2.25$
开平方得：
$1+x=\pm1.5$
因为增长率为正数，所以舍去$1+x=-1.5$的情况，仅取$1+x=1.5$，解得：
$x=1.5-1=0.5=50\%$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 平均增长率计算
【点评】
本题是平均增长率类的基础常考题，解题关键是找准初始量、最终量和增长年数，列方程求解时要注意结合实际意义舍去不符合要求的根。
【难度系数】
0.7
2.如图,将一块正方形空地划出部分区域进行绿化,绿化后一边减少了3 m,另一边减少了2 m,剩余的矩形空地的面积为30 m²,则原正方形空地的边长为 (
A.6 m
B.7 m
C.8 m
D.9 m
C
)A.6 m
B.7 m
C.8 m
D.9 m
答案
2.C
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以先设原正方形的边长为未知数，再结合剩余矩形的边长和原正方形边长的关系，利用矩形面积公式列出方程求解。首先，若原正方形边长为$x$ m，剩余矩形的两条邻边长度分别是原边长减去对应减少的长度，即$(x-3)$ m和$(x-2)$ m，再根据“矩形面积=长×宽”，结合已知剩余面积为$30\ \mathrm{m}^2$即可列方程求解，最后要注意边长为正数，需要舍去不符合实际意义的根。
【解析】
设原正方形空地的边长为$ x $ m，根据题意可知：
剩余矩形空地的两条邻边长分别为$ (x-2) $ m、$ (x-3) $ m，
由矩形面积公式列方程得：
$(x-2)(x-3)=30$
展开并整理方程：
$x^2 -5x +6 = 30$
$x^2 -5x -24 = 0$
因式分解得：
$(x-8)(x+3)=0$
解得：$ x_1=8 $，$ x_2=-3 $
因为正方形边长不能为负数，故舍去$ x=-3 $，即原正方形空地的边长为8m。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的应用；矩形面积计算；正方形的性质
【点评】
本题是几何与方程结合的基础应用题，解题核心是找准剩余矩形边长和原正方形边长的数量关系，结合面积公式列方程求解，注意最后要结合实际意义对根进行取舍。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们可以先设原正方形的边长为未知数，再结合剩余矩形的边长和原正方形边长的关系，利用矩形面积公式列出方程求解。首先，若原正方形边长为$x$ m，剩余矩形的两条邻边长度分别是原边长减去对应减少的长度，即$(x-3)$ m和$(x-2)$ m，再根据“矩形面积=长×宽”，结合已知剩余面积为$30\ \mathrm{m}^2$即可列方程求解，最后要注意边长为正数，需要舍去不符合实际意义的根。
【解析】
设原正方形空地的边长为$ x $ m，根据题意可知：
剩余矩形空地的两条邻边长分别为$ (x-2) $ m、$ (x-3) $ m，
由矩形面积公式列方程得：
$(x-2)(x-3)=30$
展开并整理方程：
$x^2 -5x +6 = 30$
$x^2 -5x -24 = 0$
因式分解得：
$(x-8)(x+3)=0$
解得：$ x_1=8 $，$ x_2=-3 $
因为正方形边长不能为负数，故舍去$ x=-3 $，即原正方形空地的边长为8m。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的应用；矩形面积计算；正方形的性质
【点评】
本题是几何与方程结合的基础应用题，解题核心是找准剩余矩形边长和原正方形边长的数量关系，结合面积公式列方程求解，注意最后要结合实际意义对根进行取舍。
【难度系数】
0.7
3.某市准备举行足球邀请赛，规定参赛的每两个队之间比赛一场，共安排了66场比赛，设比赛组织者邀请了x个队参赛，则列方程为
$\frac{1}{2}x(x-1)=66$
.答案
3.$\frac{1}{2}x(x-1)=66$
解析
【分析】
要列出正确的方程，首先需理清单循环比赛的场次计算逻辑：①每个参赛队都要和除自身外的其余队伍各赛1场；②每两个队之间的比赛只会举办1次，直接按每个队的场次求和会出现重复计数，需要去重。我们先算所有队不考虑重复时的总场次，再去掉重复的部分，结合已知总场次数即可列出方程。
【解析】
已知邀请了x个队参赛：
1. 每个队需要和除自己之外的$(x-1)$个队各比赛1场，若不考虑重复，总场次为$x(x-1)$场；
2. 由于每两个队之间的同一场比赛被分别从两个队的角度各计算了1次，实际比赛场次应为不重复计数的$\frac{1}{2}$；
3. 已知共安排了66场比赛，因此可列方程：$\frac{1}{2}x(x-1)=66$。
【答案】
$\frac{1}{2}x(x-1)=66$
【知识点】
一元二次方程应用；单循环场次计算
【点评】
本题是比赛场次类列方程的基础题型，解题核心是注意单循环规则下两队仅赛1场，避免重复计数，理解去重的逻辑就能快速准确列出方程。
【难度系数】
0.7
要列出正确的方程，首先需理清单循环比赛的场次计算逻辑：①每个参赛队都要和除自身外的其余队伍各赛1场；②每两个队之间的比赛只会举办1次，直接按每个队的场次求和会出现重复计数，需要去重。我们先算所有队不考虑重复时的总场次，再去掉重复的部分，结合已知总场次数即可列出方程。
【解析】
已知邀请了x个队参赛：
1. 每个队需要和除自己之外的$(x-1)$个队各比赛1场，若不考虑重复，总场次为$x(x-1)$场；
2. 由于每两个队之间的同一场比赛被分别从两个队的角度各计算了1次，实际比赛场次应为不重复计数的$\frac{1}{2}$；
3. 已知共安排了66场比赛，因此可列方程：$\frac{1}{2}x(x-1)=66$。
【答案】
$\frac{1}{2}x(x-1)=66$
【知识点】
一元二次方程应用；单循环场次计算
【点评】
本题是比赛场次类列方程的基础题型，解题核心是注意单循环规则下两队仅赛1场，避免重复计数，理解去重的逻辑就能快速准确列出方程。
【难度系数】
0.7
4.某超市将进价为每千克5元的酥梨按每千克8元卖出，平均一天能卖出50千克.为了尽快减少库存并且让利顾客，该超市决定降价销售，超市发现当售价每千克下降1元时，其日销售量就增加10千克.若超市每天销售酥梨的利润为120元，则应降价多少元？
答案
4.1元
解析
【分析】
本题属于销售利润类应用题，解题核心是抓住“总利润=单件利润×销售数量”的等量关系。首先设降价金额为未知数x，第一步推导降价后的单千克利润：原本每千克酥梨利润为售价8元减进价5元即3元，降价x元后，单千克利润变为(3-x)元；第二步推导降价后的日销售量：原本日销50千克，每降1元销量增加10千克，降价x元后日销量增加10x千克，总销量为(50+10x)千克；最后根据总利润为120元列方程求解，舍去不符合实际的解即可得到答案。
【解析】
解：设应降价x元，根据题意可得：
单千克酥梨的利润为：$8-5-x=(3-x)$元
降价后的日销售量为：$(50+10x)$千克
根据总利润计算公式列方程：
$(3-x)(50+10x)=120$
展开并整理方程：
$150+30x-50x-10x^2=120$
$x^2+2x-3=0$
因式分解得：
$(x+3)(x-1)=0$
解得$x_1=1$，$x_2=-3$
$x=-3$代表售价上涨，不符合降价的题意，故舍去。
【答案】
1元
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 销售利润计算
【点评】
本题是销售类应用题的常规题型，解题关键是牢记总利润的计算公式，准确用未知数表示出单件利润和销售总量，求解后要注意结合实际情境检验解的合理性。
【难度系数】
0.7
本题属于销售利润类应用题，解题核心是抓住“总利润=单件利润×销售数量”的等量关系。首先设降价金额为未知数x，第一步推导降价后的单千克利润：原本每千克酥梨利润为售价8元减进价5元即3元，降价x元后，单千克利润变为(3-x)元；第二步推导降价后的日销售量：原本日销50千克，每降1元销量增加10千克，降价x元后日销量增加10x千克，总销量为(50+10x)千克；最后根据总利润为120元列方程求解，舍去不符合实际的解即可得到答案。
【解析】
解：设应降价x元，根据题意可得：
单千克酥梨的利润为：$8-5-x=(3-x)$元
降价后的日销售量为：$(50+10x)$千克
根据总利润计算公式列方程：
$(3-x)(50+10x)=120$
展开并整理方程：
$150+30x-50x-10x^2=120$
$x^2+2x-3=0$
因式分解得：
$(x+3)(x-1)=0$
解得$x_1=1$，$x_2=-3$
$x=-3$代表售价上涨，不符合降价的题意，故舍去。
【答案】
1元
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 销售利润计算
【点评】
本题是销售类应用题的常规题型，解题关键是牢记总利润的计算公式，准确用未知数表示出单件利润和销售总量，求解后要注意结合实际情境检验解的合理性。
【难度系数】
0.7
