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6.如图,在平面直角坐标系中,已知点$A(-2,0),B(0,3)$,以点A为圆心,AB的长为半径作弧,交x轴的正半轴于点C,则点C的横坐标为 (
A.$\sqrt{13}-2$
B.$\sqrt{13}$
C.$\sqrt{13}+2$
D.$-\sqrt{13}+2$
A
)A.$\sqrt{13}-2$
B.$\sqrt{13}$
C.$\sqrt{13}+2$
D.$-\sqrt{13}+2$
答案
6.A
解析
【分析】
解题时首先根据A、B的坐标得到Rt△AOB的两条直角边OA、OB的长度，再用勾股定理求出AB的长；根据同圆的半径相等可知AC=AB，最后结合点A在x轴上的坐标，计算得到点C的横坐标即可。
【解析】
已知点$A(-2,0)$，$B(0,3)$，则$OA=2$，$OB=3$。
在$Rt△ AOB$中，由勾股定理可得：
$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$
因为弧以点A为圆心，AB长为半径，所以$AC=AB=\sqrt{13}$。
设点C的横坐标为$x$，点C在x轴正半轴，x轴上两点的距离等于横坐标之差，因此$AC=x - (-2)=x+2$，则：
$x+2=\sqrt{13}$
解得$x=\sqrt{13}-2$。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理，圆的基本性质，坐标轴上两点距离计算
【点评】
本题属于基础题，解题的核心是利用同圆半径相等建立AB和AC的等量关系，再结合勾股定理和坐标轴上点的坐标特征求解，是平面直角坐标系和几何结合的常见题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据A、B的坐标得到Rt△AOB的两条直角边OA、OB的长度，再用勾股定理求出AB的长；根据同圆的半径相等可知AC=AB，最后结合点A在x轴上的坐标，计算得到点C的横坐标即可。
【解析】
已知点$A(-2,0)$，$B(0,3)$，则$OA=2$，$OB=3$。
在$Rt△ AOB$中，由勾股定理可得：
$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$
因为弧以点A为圆心，AB长为半径，所以$AC=AB=\sqrt{13}$。
设点C的横坐标为$x$，点C在x轴正半轴，x轴上两点的距离等于横坐标之差，因此$AC=x - (-2)=x+2$，则：
$x+2=\sqrt{13}$
解得$x=\sqrt{13}-2$。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理，圆的基本性质，坐标轴上两点距离计算
【点评】
本题属于基础题，解题的核心是利用同圆半径相等建立AB和AC的等量关系，再结合勾股定理和坐标轴上点的坐标特征求解，是平面直角坐标系和几何结合的常见题型。
【难度系数】
0.7
7.如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以点A为圆心，AB的长为半径作弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为
3−√5
。答案
7.$3-\sqrt{5}$
解析
【分析】
要求CD的长，首先结合圆的性质可知半径AD=AB，先求出AB的长度得到AD的长度；再构造以AD为斜边的直角三角形，利用勾股定理求出D点的水平位移，最后结合C点的水平位置即可求出CD的长度。
【解析】
解：连接AD，由圆的性质可得AD=AB。
∵网格中每个小正方形的边长为1，
∴AB=3，即AD=3；点D到AB的垂直距离为2，点C到点A正上方网格顶点的水平距离为3。
过点D作DE⊥AB于点E，在Rt△ADE中，∠AED=90°，根据勾股定理得：
$AE=\sqrt{AD^2-DE^2}=\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt{5}$
由于点A、E和点A正上方的网格顶点、D可构成矩形，因此D点的水平位移等于AE的长度，即$\sqrt{5}$。
∴$CD=3-\sqrt{5}$
【答案】
$3-\sqrt{5}$
【知识点】
勾股定理；圆的基本性质；矩形的性质
【点评】
本题是网格背景下的线段长度计算问题，解题的核心是结合圆的半径相等得到等线段，通过构造直角三角形利用勾股定理求出未知线段长，解题时要注意结合网格的边长特征找已知线段的长度。
【难度系数】
0.7
要求CD的长，首先结合圆的性质可知半径AD=AB，先求出AB的长度得到AD的长度；再构造以AD为斜边的直角三角形，利用勾股定理求出D点的水平位移，最后结合C点的水平位置即可求出CD的长度。
【解析】
解：连接AD，由圆的性质可得AD=AB。
∵网格中每个小正方形的边长为1，
∴AB=3，即AD=3；点D到AB的垂直距离为2，点C到点A正上方网格顶点的水平距离为3。
过点D作DE⊥AB于点E，在Rt△ADE中，∠AED=90°，根据勾股定理得：
$AE=\sqrt{AD^2-DE^2}=\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt{5}$
由于点A、E和点A正上方的网格顶点、D可构成矩形，因此D点的水平位移等于AE的长度，即$\sqrt{5}$。
∴$CD=3-\sqrt{5}$
【答案】
$3-\sqrt{5}$
【知识点】
勾股定理；圆的基本性质；矩形的性质
【点评】
本题是网格背景下的线段长度计算问题，解题的核心是结合圆的半径相等得到等线段，通过构造直角三角形利用勾股定理求出未知线段长，解题时要注意结合网格的边长特征找已知线段的长度。
【难度系数】
0.7
8.如图,已知等边三角形ABC的两个顶点的坐标分别为A(-4,0),B(2,0),CH⊥AB于点H,求点C的坐标和△ABC的面积.
答案
8.解:$\because A(-4,0),B(2,0)$,
$\therefore OA=4,OB=2,\therefore AB=6$.
$\because △ ABC$ 是等边三角形,$CH ⊥ AB$,
$\therefore AC=AB=6,AH=BH=\frac{1}{2}AB=3$.
$\therefore OH=BH-OB=1$.
在$\mathrm{Rt}△ ACH$ 中,根据勾股定理,$CH=\sqrt{AC^2-AH^2}=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}$.
$\therefore C(-1,3\sqrt{3}),S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB · CH=\frac{1}{2} × 6 × 3\sqrt{3}=9\sqrt{3}$.
$\therefore OA=4,OB=2,\therefore AB=6$.
$\because △ ABC$ 是等边三角形,$CH ⊥ AB$,
$\therefore AC=AB=6,AH=BH=\frac{1}{2}AB=3$.
$\therefore OH=BH-OB=1$.
在$\mathrm{Rt}△ ACH$ 中,根据勾股定理,$CH=\sqrt{AC^2-AH^2}=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}$.
$\therefore C(-1,3\sqrt{3}),S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB · CH=\frac{1}{2} × 6 × 3\sqrt{3}=9\sqrt{3}$.
解析
【分析】
解题时先从已知的A、B两点在x轴上的坐标入手，第一步先计算AB的长度，它就是等边△ABC的边长；再利用等边三角形“三线合一”的性质，可知CH是AB的中线，即H为AB中点，由此可求出H点的横坐标，也就是点C的横坐标；接着在Rt△ACH中用勾股定理求出高CH的长度，也就是点C的纵坐标，即可得到点C的坐标；最后用三角形面积公式计算△ABC的面积即可。
【解析】
解：$\because A(-4,0),B(2,0)$，且两点都在x轴上，
$\therefore AB=2 - (-4)=6$。
$\because △ ABC$是等边三角形，$CH ⊥ AB$，
$\therefore AC=AB=6$，$AH=\frac{1}{2}AB=3$（等边三角形三线合一）。
$\therefore$ 点H的横坐标为$-4 + 3 = -1$，即H点坐标为$(-1,0)$。
在$\mathrm{Rt}△ ACH$中，根据勾股定理：
$CH=\sqrt{AC^2 - AH^2}=\sqrt{6^2 - 3^2}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$。
$\because$ 点C在第二象限，横坐标和H相同，纵坐标为CH的长度，
$\therefore$ 点C的坐标为$(-1,3\sqrt{3})$。
$△ ABC$的面积：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AB × CH=\frac{1}{2} × 6 × 3\sqrt{3}=9\sqrt{3}$。
【答案】
点C的坐标为$\boldsymbol{(-1,3\sqrt{3})}$，$△ ABC$的面积为$\boldsymbol{9\sqrt{3}}$
【知识点】
等边三角形的性质，勾股定理，三角形面积计算
【点评】
本题是平面直角坐标系与几何计算的结合题，解题的核心是利用等边三角形三线合一的性质确定高的位置，再结合勾股定理求出高的长度，整体解题思路清晰，侧重基础性质的应用。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知的A、B两点在x轴上的坐标入手，第一步先计算AB的长度，它就是等边△ABC的边长；再利用等边三角形“三线合一”的性质，可知CH是AB的中线，即H为AB中点，由此可求出H点的横坐标，也就是点C的横坐标；接着在Rt△ACH中用勾股定理求出高CH的长度，也就是点C的纵坐标，即可得到点C的坐标；最后用三角形面积公式计算△ABC的面积即可。
【解析】
解：$\because A(-4,0),B(2,0)$，且两点都在x轴上，
$\therefore AB=2 - (-4)=6$。
$\because △ ABC$是等边三角形，$CH ⊥ AB$，
$\therefore AC=AB=6$，$AH=\frac{1}{2}AB=3$（等边三角形三线合一）。
$\therefore$ 点H的横坐标为$-4 + 3 = -1$，即H点坐标为$(-1,0)$。
在$\mathrm{Rt}△ ACH$中，根据勾股定理：
$CH=\sqrt{AC^2 - AH^2}=\sqrt{6^2 - 3^2}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$。
$\because$ 点C在第二象限，横坐标和H相同，纵坐标为CH的长度，
$\therefore$ 点C的坐标为$(-1,3\sqrt{3})$。
$△ ABC$的面积：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AB × CH=\frac{1}{2} × 6 × 3\sqrt{3}=9\sqrt{3}$。
【答案】
点C的坐标为$\boldsymbol{(-1,3\sqrt{3})}$，$△ ABC$的面积为$\boldsymbol{9\sqrt{3}}$
【知识点】
等边三角形的性质，勾股定理，三角形面积计算
【点评】
本题是平面直角坐标系与几何计算的结合题，解题的核心是利用等边三角形三线合一的性质确定高的位置，再结合勾股定理求出高的长度，整体解题思路清晰，侧重基础性质的应用。
【难度系数】
0.8
