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1.下列各组数是三角形的三边,能组成直角三角形的一组数是 （
A.2,3,4
B.3,4,5
C.6,8,12
D.$\sqrt{3}$,$\sqrt{4}$,$\sqrt{5}$
B
）A.2,3,4
B.3,4,5
C.6,8,12
D.$\sqrt{3}$,$\sqrt{4}$,$\sqrt{5}$
答案
1.B
解析
【分析】
要判断给定的三边长能否组成直角三角形，需运用勾股定理的逆定理：若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则这个三角形是直角三角形。解题时先找出每组数中的最长边，再分别计算两条短边的平方和与最长边的平方，比较二者是否相等即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 三边长为2，3，4，最长边为4。
计算得：$2^2+3^2=4+9=13$，$4^2=16$，$13≠16$，不能组成直角三角形。
B. 三边长为3，4，5，最长边为5。
计算得：$3^2+4^2=9+16=25$，$5^2=25$，$25=25$，可以组成直角三角形。
C. 三边长为6，8，12，最长边为12。
计算得：$6^2+8^2=36+64=100$，$12^2=144$，$100≠144$，不能组成直角三角形。
D. 三边长为$\sqrt{3}$，$\sqrt{4}$，$\sqrt{5}$，最长边为$\sqrt{5}$。
计算得：$(\sqrt{3})^2+(\sqrt{4})^2=3+4=7$，$(\sqrt{5})^2=5$，$7≠5$，不能组成直角三角形。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的逆定理
【点评】
本题是勾股定理逆定理的基础应用题型，解题核心是牢记逆定理的判定规则，准确计算各边的平方后进行比对，熟练掌握该知识点可快速解决此类题型。
【难度系数】
0.8
要判断给定的三边长能否组成直角三角形，需运用勾股定理的逆定理：若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则这个三角形是直角三角形。解题时先找出每组数中的最长边，再分别计算两条短边的平方和与最长边的平方，比较二者是否相等即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 三边长为2，3，4，最长边为4。
计算得：$2^2+3^2=4+9=13$，$4^2=16$，$13≠16$，不能组成直角三角形。
B. 三边长为3，4，5，最长边为5。
计算得：$3^2+4^2=9+16=25$，$5^2=25$，$25=25$，可以组成直角三角形。
C. 三边长为6，8，12，最长边为12。
计算得：$6^2+8^2=36+64=100$，$12^2=144$，$100≠144$，不能组成直角三角形。
D. 三边长为$\sqrt{3}$，$\sqrt{4}$，$\sqrt{5}$，最长边为$\sqrt{5}$。
计算得：$(\sqrt{3})^2+(\sqrt{4})^2=3+4=7$，$(\sqrt{5})^2=5$，$7≠5$，不能组成直角三角形。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的逆定理
【点评】
本题是勾股定理逆定理的基础应用题型，解题核心是牢记逆定理的判定规则，准确计算各边的平方后进行比对，熟练掌握该知识点可快速解决此类题型。
【难度系数】
0.8
2.如图,小红家的木门左下角有一点受潮,她想检测门是否变形,准备采用如下方法:先测量门的边AB和BC的长,再测量点A和点C间的距离,由此可推断∠B是否为直角,这样做的依据是 （
A.勾股定理
B.勾股定理的逆定理
C.三角形内角和定理
D.直角三角形的两锐角互余
B
）A.勾股定理
B.勾股定理的逆定理
C.三角形内角和定理
D.直角三角形的两锐角互余
答案
2.B
解析
【分析】
要判断∠B是否为直角，本质是判断△ABC是否为直角三角形且∠B为直角。我们可以通过三角形三边的数量关系判定直角三角形：若两条较短边的平方和等于最长边的平方，对应的三角形就是直角三角形，最长边所对的角就是直角。测量得到AB、BC、AC的长度后，只需验证$AB^2+BC^2$是否等于$AC^2$，就能判断∠B是不是直角，这一判断逻辑对应的就是勾股定理的逆定理。同时要注意区分勾股定理和逆定理的适用场景：勾股定理是已知直角三角形推三边关系，逆定理是已知三边关系推直角三角形，结合本题的判断逻辑就能选出正确选项。
【解析】
在△ABC中，若∠B是直角，则需满足三边关系：$AB^2 + BC^2 = AC^2$。
小红通过测量AB、BC、AC的长度，验证上述等式是否成立，从而判断∠B是不是直角，这一方法的依据是勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长$a,b,c$满足$a^2 + b^2 = c^2$，那么这个三角形是直角三角形。
对选项逐一分析：
A. 勾股定理是直角三角形的性质，即已知直角三角形得到三边关系，和本题由三边推直角的逻辑相反，不符合；
C. 三角形内角和定理描述三角形三个内角和为180°，与通过三边长度判断直角无关，不符合；
D. 直角三角形的两锐角互余是直角三角形角的性质，无法通过三边长度判断直角，不符合。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的逆定理；直角三角形的判定
【点评】
本题重点考查勾股定理与勾股定理逆定理的区别，同学们需要清晰区分两者的适用场景：勾股定理是直角三角形的性质，用于已知直角求边长；勾股定理的逆定理是直角三角形的判定方法，用于已知三边关系判断是否为直角三角形，结合实际场景准确选择即可。
【难度系数】
0.8
要判断∠B是否为直角，本质是判断△ABC是否为直角三角形且∠B为直角。我们可以通过三角形三边的数量关系判定直角三角形：若两条较短边的平方和等于最长边的平方，对应的三角形就是直角三角形，最长边所对的角就是直角。测量得到AB、BC、AC的长度后，只需验证$AB^2+BC^2$是否等于$AC^2$，就能判断∠B是不是直角，这一判断逻辑对应的就是勾股定理的逆定理。同时要注意区分勾股定理和逆定理的适用场景：勾股定理是已知直角三角形推三边关系，逆定理是已知三边关系推直角三角形，结合本题的判断逻辑就能选出正确选项。
【解析】
在△ABC中，若∠B是直角，则需满足三边关系：$AB^2 + BC^2 = AC^2$。
小红通过测量AB、BC、AC的长度，验证上述等式是否成立，从而判断∠B是不是直角，这一方法的依据是勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长$a,b,c$满足$a^2 + b^2 = c^2$，那么这个三角形是直角三角形。
对选项逐一分析：
A. 勾股定理是直角三角形的性质，即已知直角三角形得到三边关系，和本题由三边推直角的逻辑相反，不符合；
C. 三角形内角和定理描述三角形三个内角和为180°，与通过三边长度判断直角无关，不符合；
D. 直角三角形的两锐角互余是直角三角形角的性质，无法通过三边长度判断直角，不符合。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的逆定理；直角三角形的判定
【点评】
本题重点考查勾股定理与勾股定理逆定理的区别，同学们需要清晰区分两者的适用场景：勾股定理是直角三角形的性质，用于已知直角求边长；勾股定理的逆定理是直角三角形的判定方法，用于已知三边关系判断是否为直角三角形，结合实际场景准确选择即可。
【难度系数】
0.8
3.若7,x,25是一组勾股数,则x的值为
一练一得
1.基础勾股数(互质,核心组合):
(3,4,5)、(5,12,13)、(7,24,25)、(8,15,17)、(9,40,41)
2.高级衍生勾股数(基础数的倍数):
(3,4,5) 衍生:(6,8,10)、(9,12,15)、(12,16,20)
(5,12,13) 衍生:(10,24,26)、(15,36,39)
24
。一练一得
1.基础勾股数(互质,核心组合):
(3,4,5)、(5,12,13)、(7,24,25)、(8,15,17)、(9,40,41)
2.高级衍生勾股数(基础数的倍数):
(3,4,5) 衍生:(6,8,10)、(9,12,15)、(12,16,20)
(5,12,13) 衍生:(10,24,26)、(15,36,39)
答案
3.24
解析
【分析】
解决本题首先要明确勾股数的定义：满足勾股定理的三个正整数称为勾股数，即三个数中两个较小数的平方和等于最大数的平方。已知三个数为7、x、25，需分两种情况讨论最长边：第一种是x为最长边，第二种是25为最长边，结合x是正整数的要求筛选出符合条件的结果即可，也可结合给出的常见基础勾股数直接得出答案。
【解析】
勾股数是满足勾股定理的三个正整数，分两种情况讨论：
① 若x是最长边（斜边），根据勾股定理可得：
$x^2 = 7^2 + 25^2 = 49 + 625 = 674$
674不是完全平方数，此时x不是正整数，不符合勾股数的定义，舍去该情况；
② 若25是最长边（斜边），根据勾股定理可得：
$x^2 + 7^2 = 25^2$
移项计算得：
$x^2 = 25^2 - 7^2 = 625 - 49 = 576$
因为x是正整数，所以$x = \sqrt{576} = 24$，符合勾股数要求。
【答案】
24
【知识点】
1. 勾股数的定义
2. 勾股定理的应用
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是明确勾股数需同时满足勾股定理和正整数两个条件，讨论最长边时不要漏情况，熟记常见的基础勾股数可以提升解题效率。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要明确勾股数的定义：满足勾股定理的三个正整数称为勾股数，即三个数中两个较小数的平方和等于最大数的平方。已知三个数为7、x、25，需分两种情况讨论最长边：第一种是x为最长边，第二种是25为最长边，结合x是正整数的要求筛选出符合条件的结果即可，也可结合给出的常见基础勾股数直接得出答案。
【解析】
勾股数是满足勾股定理的三个正整数，分两种情况讨论：
① 若x是最长边（斜边），根据勾股定理可得：
$x^2 = 7^2 + 25^2 = 49 + 625 = 674$
674不是完全平方数，此时x不是正整数，不符合勾股数的定义，舍去该情况；
② 若25是最长边（斜边），根据勾股定理可得：
$x^2 + 7^2 = 25^2$
移项计算得：
$x^2 = 25^2 - 7^2 = 625 - 49 = 576$
因为x是正整数，所以$x = \sqrt{576} = 24$，符合勾股数要求。
【答案】
24
【知识点】
1. 勾股数的定义
2. 勾股定理的应用
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是明确勾股数需同时满足勾股定理和正整数两个条件，讨论最长边时不要漏情况，熟记常见的基础勾股数可以提升解题效率。
【难度系数】
0.8
4.在$△ ABC$中，$BC=\sqrt{2}$，$AC=\sqrt{6}$，$AB=2$，则$△ ABC$的面积是
$\sqrt{2}$
.答案
4.$\sqrt{2}$
解析
【分析】
已知三角形三边长度求面积，首先可借助勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形，若为直角三角形，可直接用直角边乘积的一半计算面积。解题第一步先确定三边中的最长边，再验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，若相等则为直角三角形，再代入面积公式计算即可。
【解析】
第一步：确定△ABC的最长边
已知三边长度：$BC=\sqrt{2}$，$AB=2$，$AC=\sqrt{6}$，对比得最长边为$AC=\sqrt{6}$。
第二步：用勾股定理的逆定理判断三角形形状
计算两条短边的平方和：$BC^2 + AB^2 = (\sqrt{2})^2 + 2^2 = 2 + 4 = 6$
计算最长边的平方：$AC^2 = (\sqrt{6})^2 = 6$
因此$BC^2 + AB^2 = AC^2$，可判定$△ ABC$是直角三角形，且直角为$∠ B$。
第三步：计算三角形面积
直角三角形面积等于两直角边乘积的一半，代入得：
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × AB × BC = \frac{1}{2} × 2 × \sqrt{2} = \sqrt{2}$
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
勾股定理的逆定理、直角三角形面积计算
【点评】
本题是勾股定理逆定理的基础应用题型，解题核心是先通过三边关系判断三角形为直角三角形，再直接计算面积，熟练掌握逆定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
已知三角形三边长度求面积，首先可借助勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形，若为直角三角形，可直接用直角边乘积的一半计算面积。解题第一步先确定三边中的最长边，再验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，若相等则为直角三角形，再代入面积公式计算即可。
【解析】
第一步：确定△ABC的最长边
已知三边长度：$BC=\sqrt{2}$，$AB=2$，$AC=\sqrt{6}$，对比得最长边为$AC=\sqrt{6}$。
第二步：用勾股定理的逆定理判断三角形形状
计算两条短边的平方和：$BC^2 + AB^2 = (\sqrt{2})^2 + 2^2 = 2 + 4 = 6$
计算最长边的平方：$AC^2 = (\sqrt{6})^2 = 6$
因此$BC^2 + AB^2 = AC^2$，可判定$△ ABC$是直角三角形，且直角为$∠ B$。
第三步：计算三角形面积
直角三角形面积等于两直角边乘积的一半，代入得：
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × AB × BC = \frac{1}{2} × 2 × \sqrt{2} = \sqrt{2}$
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
勾股定理的逆定理、直角三角形面积计算
【点评】
本题是勾股定理逆定理的基础应用题型，解题核心是先通过三边关系判断三角形为直角三角形，再直接计算面积，熟练掌握逆定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
5.如图,某港口P位于东西方向的海岸线上,甲、乙两船同时离开港口,各自沿一固定方向航行,甲、乙两船每小时分别航行15 n mile和20 n mile,1 h后两船分别位于点A,B处,且相距25 n mile.如果知道甲船沿北偏西40°方向航行,求乙船航行的方向.
数学
数学
答案
5.解：如图.由题意可知，
$AP = 15\ \mathrm{n\ mile}, BP = 20\ \mathrm{n\ mile}, AB = 25\ \mathrm{n\ mile},$
$∠ 1=40°.$
$\because 15^2+20^2=25^2,即AP^2+BP^2=AB^2,$
$\therefore △ APB$ 是直角三角形,且$∠ APB=90°.$
$\therefore ∠ 2=∠ APB-∠ 1=90°-40°=50°.$
$\therefore$ 乙船航行的方向为北偏东 $50°$方向.
解析
【分析】
解题时首先根据路程=速度×时间求出PA、PB的长度，结合已知的AB长度，利用勾股定理的逆定理判断△APB是否为直角三角形：若两边平方和等于第三边的平方，则该三角形为直角三角形，对应夹角为直角。确定∠APB=90°后，结合甲船北偏西40°的航行方向得到∠1的度数，用直角减去∠1的度数即可得到∠2的度数，最后结合方向标即可确定乙船的航行方向。
【解析】
解：由题意可知，
$AP = 15×1 = 15\ \mathrm{n\ mile}$，$BP = 20×1 = 20\ \mathrm{n\ mile}$，$AB = 25\ \mathrm{n\ mile}$，$∠ 1=40°$。
$\because 15^2+20^2=225+400=625=25^2$，即$AP^2+BP^2=AB^2$，
$\therefore △ APB$是直角三角形，且$∠ APB=90°$。
$\therefore ∠ 2=∠ APB-∠ 1=90°-40°=50°$。
结合方向标规则（上北下南，左西右东），可知乙船沿北偏东50°方向航行。
【答案】
乙船航行的方向为北偏东$50°$方向。
【知识点】
勾股定理的逆定理，方位角应用
【点评】
本题是勾股定理逆定理在实际航行问题中的应用，解题关键是先通过三边的数量关系判断三角形为直角三角形，再结合方位角的概念确定航行方向，考查了学生将数学知识运用于实际场景的能力。
【难度系数】
0.75
解题时首先根据路程=速度×时间求出PA、PB的长度，结合已知的AB长度，利用勾股定理的逆定理判断△APB是否为直角三角形：若两边平方和等于第三边的平方，则该三角形为直角三角形，对应夹角为直角。确定∠APB=90°后，结合甲船北偏西40°的航行方向得到∠1的度数，用直角减去∠1的度数即可得到∠2的度数，最后结合方向标即可确定乙船的航行方向。
【解析】
解：由题意可知，
$AP = 15×1 = 15\ \mathrm{n\ mile}$，$BP = 20×1 = 20\ \mathrm{n\ mile}$，$AB = 25\ \mathrm{n\ mile}$，$∠ 1=40°$。
$\because 15^2+20^2=225+400=625=25^2$，即$AP^2+BP^2=AB^2$，
$\therefore △ APB$是直角三角形，且$∠ APB=90°$。
$\therefore ∠ 2=∠ APB-∠ 1=90°-40°=50°$。
结合方向标规则（上北下南，左西右东），可知乙船沿北偏东50°方向航行。
【答案】
乙船航行的方向为北偏东$50°$方向。
【知识点】
勾股定理的逆定理，方位角应用
【点评】
本题是勾股定理逆定理在实际航行问题中的应用，解题关键是先通过三边的数量关系判断三角形为直角三角形，再结合方位角的概念确定航行方向，考查了学生将数学知识运用于实际场景的能力。
【难度系数】
0.75
