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【典例1】如图1，△ADE为⊙O内接三角形，∠DAE=30°，DE=1，则⊙O的直径为
2
。答案
2
变式.如图2,在$\odot O$中,弦$BC=4\sqrt{3}$,点A在$\overset{\frown}{BC}$上,$∠ BAC=120°$,求$\odot O$的半径.
答案
解:作直径CD,连接BD，
则∠D=60°，
∴CD=8，
∴⊙O的半径为4.
【典例2】如图3，$\odot O$的内接$△ ABC$中，$∠ BAC=45°$，$\odot O$直径为8，则弦BC的长为
变式.如图4，已知$\odot O$的半径为5，弦AB、CD所对的圆心角分别为$∠ AOB$，$∠ COD$，若$∠ AOB$与$∠ COD$互补，$CD=6$，求弦AB的长。
$4\sqrt{2}$
。变式.如图4，已知$\odot O$的半径为5，弦AB、CD所对的圆心角分别为$∠ AOB$，$∠ COD$，若$∠ AOB$与$∠ COD$互补，$CD=6$，求弦AB的长。
答案
$4\sqrt{2}$
变式.解:延长AO交$\odot O$于点E,连接BE，
则$∠AOB+∠BOE=180°$，
又$∠AOB+∠COD=180°$，
∴$∠BOE=∠COD$，
∴$BE=CD=6$，
∵AE为$\odot O$的直径，
∴$∠ABE=90°$，
∴$AB=\sqrt{AE^2-BE^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$.
【典例3】如图5，弦$AB=2$，弦$CD=\sqrt{2}$，$∠ AOB+∠ COD=90°$，求$\odot O$半径.
答案
解:作$\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{CD}$,连接BE,AE,OE,作EF垂直AB延长线于点F，
∴$∠AOE=90°$,仿上题方法,易知$R=\sqrt{5}$.
变式.如图6,AB为$\odot O$的直径,C、D、E在$\odot O$上,$AC=CD=1,BE=DE=\sqrt{2}$,求AB的长.
答案
解:连接CE,CO,OE,DO，
易知$∠COE=90°,∠CDE=135°$，
过E点作$EM ⊥ CD$交CD的延长线于M点,
$(\sqrt{2} R)^2=2^2+1^2 ,\therefore AB=\sqrt{10}$.
