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【典例1】如图，在$\odot O$中，$△ ABD$为内接三角形，弦$CD⊥$弦$AB$，垂足为点$E$，连接$OD$，求证：$∠ ODA=∠ CDB$。
答案
证明:延长 DO 交$\odot O$于点 F,连接 AF,
$\therefore ∠ DAF=∠ DEB=90°$,
又$\because ∠ F=∠ ABD$,
$\therefore ∠ ADF=∠ CDB.$
变式.如图,在$\odot O$中,弦$CD⊥$弦$AB$,$AE⊥ BD$于点$F$交$CD$于点$E$,$OM⊥ AB$于点$M$,连接$BD$,求$\frac{OM}{ED}$的值.
答案
解:连接 BO 延长交$\odot O$于点 N,
$\therefore AN⊥ AB,ND⊥ BD$,
$\therefore AN// DE,DN// AE$,
$\therefore$ 四边形 ANDE 为平行四边形,
$\therefore DE=AN=2OM$,
$\therefore \frac{OM}{DE}=\frac{1}{2}.$
【典例2】如图，以$△ ABC$的一边$AB$为直径的$\odot O$与其他两边$AC$，$BC$分别交于点$D$，$E$，$AB=AC$，若$AD=4CD$，$BC=2\sqrt{10}$，求$CD$的长。
答案
解:连接 BD,设$CD=x$,
则$AD=4x,AB=5x$,
$\therefore BD=3x$,在$\mathrm{Rt}△ CDB$中,
$x^2+(3x)^2=(2\sqrt{10})^2$,
$\therefore x=2$($x=-2$ 已舍),$\therefore CD=2.$
变式1.如图,在△ABC中,AB=AC,以AC为直径的⊙O交AB于点D,交BC于点E.若BD=2,BE=3,求AC的长. 
答案
解:连接 CD,
则$CD=\sqrt{BC^2-BD^2}=4\sqrt{2}$,
设$AC=x$,则$AD=x-2$,
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中,$(x-2)^2+(4\sqrt{2})^2=x^2$,
$\therefore x=9,\therefore AC=9.$
变式2.已知，在△ABC中，AC＝4，BC＝3√2，以AB为直径的圆经过△ABC的外心，且外心点O在AB的同侧，则AB的长为
$\sqrt{10}$
。答案
$\sqrt{10}$
解:设以 AB 为直径的圆交 BC 于点 M,
$\because AB$ 为直径,$\therefore ∠ AMB=90°$,
$\therefore ∠ AOB=90°,\therefore ∠ C=45°$,
$\therefore AM=CM=2\sqrt{2},BM=\sqrt{2}$,
在$\mathrm{Rt}△ ABM$中,$AB=\sqrt{8+2}=\sqrt{10}.$
