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【例1】用一根长为20 m的绳子围成一个矩形，设矩形一边长x m，求面积y的最大值。
答案
解:另一边长为 10−x，
则 $y=-x^{2}+10x=-(x-5)^{2}+25$，
$\therefore$ 当 $x=5$ 时, $y_{\max }=25$。
答:面积 $y$ 的最大值为 25。
则 $y=-x^{2}+10x=-(x-5)^{2}+25$，
$\therefore$ 当 $x=5$ 时, $y_{\max }=25$。
答:面积 $y$ 的最大值为 25。
练习1.如图，用12米长的铝合金做一个有横档的矩形窗子，设横档长为x m，面积S(单位:m²)=
$-1.5x^{2}+6x$
，为使透进的光线最多，当x=$2$
时，S有最大值。答案
1. $S=-1.5x^{2}+6x$，当$x=2$时，S取得最大值。
练习2.如图，四边形的两条对角线AC、BD互相垂直，AC+BD=10，当AC、BD分别为多少时，四边形ABCD的面积最大？
答案
解:设 $AC=x,BD=10-x$，
$S=\frac{1}{2} x(10-x)=-\frac{1}{2} x^{2}+5x$，
当 $x=5$ 时, $S_{\max }=\frac{25}{2}$。
答:当 $AC=BD=5$ 时,四边形 $ABCD$ 的面积最大。
$S=\frac{1}{2} x(10-x)=-\frac{1}{2} x^{2}+5x$，
当 $x=5$ 时, $S_{\max }=\frac{25}{2}$。
答:当 $AC=BD=5$ 时,四边形 $ABCD$ 的面积最大。
练习3.(教材P62T9)如图，点E，F，G，H分别位于正方形ABCD的四条边上，四边形EFGH也是正方形，当点E位于何处时，正方形EFGH的面积最小？
答案
解:设大正方形边长为 1,正方形 $EFGH$ 面积为 $S$,$BF=x$，
$\therefore CF=1-x$，
$\because △ EBF ≌ △ FCG$，
$BE=CF=1-x$，
$S_{△ EBF}=\frac{1}{2} x(1-x)$，
$S=1-4 × \frac{1}{2} x(1-x)=1+2x^{2}-2x$，
当 $x=\frac{1}{2}$ 时(即中点时),四边形 $EFGH$ 面积最小。
$\therefore CF=1-x$，
$\because △ EBF ≌ △ FCG$，
$BE=CF=1-x$，
$S_{△ EBF}=\frac{1}{2} x(1-x)$，
$S=1-4 × \frac{1}{2} x(1-x)=1+2x^{2}-2x$，
当 $x=\frac{1}{2}$ 时(即中点时),四边形 $EFGH$ 面积最小。
【例2】(教材P62T10变式)某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙(墙足够长)，中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1 m宽的门.已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为27 m.
(1)设垂直于墙的材料长为x m，总面积为y m²，写出y与x的函数关系式(不要求写出x的取值范围)；
(2)求饲养室面积的最大值.
(1)设垂直于墙的材料长为x m，总面积为y m²，写出y与x的函数关系式(不要求写出x的取值范围)；
(2)求饲养室面积的最大值.
答案
(1)平行于墙的材料长为
$27+3-3x=30-3x$，
则总面积 $S=x(30-3x)=-3x^{2}+30x=-3(x-5)^{2}+75$；
(2)当 $x=5$ 时, $y_{\max }=75$。
答:饲养室的最大面积为 75 平方米。
$27+3-3x=30-3x$，
则总面积 $S=x(30-3x)=-3x^{2}+30x=-3(x-5)^{2}+75$；
(2)当 $x=5$ 时, $y_{\max }=75$。
答:饲养室的最大面积为 75 平方米。
