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7 如图，O为直线AB上一点，将三角尺MON的直角顶点放在点O处.若OC是∠MOB的平分线，则下列结论正确的是 （
A.∠AOM=3∠NOC
B.∠AOM=2∠NOC
C.2∠AOM=3∠NOC
D.3∠AOM=5∠NOC
B
）A.∠AOM=3∠NOC
B.∠AOM=2∠NOC
C.2∠AOM=3∠NOC
D.3∠AOM=5∠NOC
答案
7. B 【解析】设$∠NOC = x$. 因为$∠MON = 90°$, 所以$∠MOC = ∠MON − ∠NOC = 90°−x$. 因为OC是$∠MOB$的平分线, 所以$∠MOB = 2∠MOC = 180°−2x$. 又$∠AOM + ∠MOB = 180°$, 所以$∠AOM = 180°−∠MOB = 180°−(180°−2x) = 2x = 2∠NOC$.
解析
【分析】
解题时可先通过设未知数表示未知角，结合已知条件逐步推导两个角的数量关系：首先利用直角三角尺的直角为90°，表示出∠MOC的度数；再根据角平分线的定义得到∠MOB与∠MOC的关系；最后结合平角为180°，推导∠AOM和∠NOC的数量关系即可。
【解析】
设$∠ NOC = x$，
因为$∠ MON = 90°$，所以$∠ MOC = ∠ MON - ∠ NOC = 90° - x$，
因为OC是$∠ MOB$的平分线，所以$∠ MOB = 2∠ MOC = 2(90° - x) = 180° - 2x$，
又因为O在直线AB上，$∠ AOM + ∠ MOB = 180°$，
所以$∠ AOM = 180° - ∠ MOB = 180° - (180° - 2x) = 2x$，
即$∠ AOM = 2∠ NOC$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的定义，平角的性质，角的和差计算
【点评】
本题是角的计算类基础题，通过设参数表示角的度数，结合角平分线、平角的性质推导角的数量关系，能有效简化推导过程，解题时要注意梳理清楚图中各个角的和差、倍分关系。
【难度系数】
0.7
解题时可先通过设未知数表示未知角，结合已知条件逐步推导两个角的数量关系：首先利用直角三角尺的直角为90°，表示出∠MOC的度数；再根据角平分线的定义得到∠MOB与∠MOC的关系；最后结合平角为180°，推导∠AOM和∠NOC的数量关系即可。
【解析】
设$∠ NOC = x$，
因为$∠ MON = 90°$，所以$∠ MOC = ∠ MON - ∠ NOC = 90° - x$，
因为OC是$∠ MOB$的平分线，所以$∠ MOB = 2∠ MOC = 2(90° - x) = 180° - 2x$，
又因为O在直线AB上，$∠ AOM + ∠ MOB = 180°$，
所以$∠ AOM = 180° - ∠ MOB = 180° - (180° - 2x) = 2x$，
即$∠ AOM = 2∠ NOC$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的定义，平角的性质，角的和差计算
【点评】
本题是角的计算类基础题，通过设参数表示角的度数，结合角平分线、平角的性质推导角的数量关系，能有效简化推导过程，解题时要注意梳理清楚图中各个角的和差、倍分关系。
【难度系数】
0.7
8 如图，∠1=∠2=∠3=∠4，则图中与∠AOD相等的角是
∠BOD,∠COE
.若∠AOB=60°,则∠1=15
°,∠BOC=45
°.答案
8. $∠BOD,∠COE$ 15 45
解析
【分析】
解题时可按以下思路推导：第一步，先明确图中∠1、∠2、∠3、∠4大小相等，先拆分∠AOD的组成：∠AOD由∠3和∠4两个相等的小角相加得到，接下来找所有由2个相等小角组成的角即可；第二步求角度：∠AOB是4个小角的总和，用总度数除以4就能得到单个小角∠1的度数，∠BOC由3个小角组成，用单个小角的度数乘3即可求出∠BOC的度数。
【解析】
解：已知∠1=∠2=∠3=∠4，
1. 找与∠AOD相等的角：
∠AOD = ∠3 + ∠4，
∠BOD = ∠1 + ∠2，∠COE = ∠2 + ∠3，
因为∠1=∠2=∠3=∠4，所以∠3+∠4=∠1+∠2=∠2+∠3，
即∠AOD=∠BOD=∠COE。
2. 计算角度：
∠AOB = ∠1+∠2+∠3+∠4 = 4∠1 = 60°，
解得∠1 = 60°÷4 = 15°；
∠BOC = ∠1+∠2+∠3 = 3∠1 = 3×15° = 45°。
【答案】
∠BOD，∠COE；15；45
【知识点】
角的和差计算，等角的性质，角度运算
【点评】
本题是角的运算基础题，解题核心是理清图中各角的组成结构，结合已知的等角条件，利用角的和差关系推导、计算即可。
【难度系数】
0.8
解题时可按以下思路推导：第一步，先明确图中∠1、∠2、∠3、∠4大小相等，先拆分∠AOD的组成：∠AOD由∠3和∠4两个相等的小角相加得到，接下来找所有由2个相等小角组成的角即可；第二步求角度：∠AOB是4个小角的总和，用总度数除以4就能得到单个小角∠1的度数，∠BOC由3个小角组成，用单个小角的度数乘3即可求出∠BOC的度数。
【解析】
解：已知∠1=∠2=∠3=∠4，
1. 找与∠AOD相等的角：
∠AOD = ∠3 + ∠4，
∠BOD = ∠1 + ∠2，∠COE = ∠2 + ∠3，
因为∠1=∠2=∠3=∠4，所以∠3+∠4=∠1+∠2=∠2+∠3，
即∠AOD=∠BOD=∠COE。
2. 计算角度：
∠AOB = ∠1+∠2+∠3+∠4 = 4∠1 = 60°，
解得∠1 = 60°÷4 = 15°；
∠BOC = ∠1+∠2+∠3 = 3∠1 = 3×15° = 45°。
【答案】
∠BOD，∠COE；15；45
【知识点】
角的和差计算，等角的性质，角度运算
【点评】
本题是角的运算基础题，解题核心是理清图中各角的组成结构，结合已知的等角条件，利用角的和差关系推导、计算即可。
【难度系数】
0.8
9 [2024南京]如图,点A,O,B在同一条直线上,OD是∠AOC的平分线,OE是∠BOC的平分线.
若∠AOE=162°,则∠BOD=
若∠AOE=162°,则∠BOD=
108
°.答案
9. 108 【解析】因为OD是$∠AOC$的平分线,OE是$∠BOC$的平分线, 所以$∠DOC = \frac{1}{2}∠AOC, ∠EOC = \frac{1}{2}∠BOC$. 所以$∠DOE = ∠DOC + ∠EOC = \frac{1}{2}∠AOC + \frac{1}{2}∠BOC = \frac{1}{2}∠AOB = 90°$. 因为$∠AOE = 162°$, 所以$∠AOD = ∠AOE − ∠DOE = 72°$. 因为$∠AOD + ∠BOD = 180°$, 所以$∠BOD = 180°−72° = 108°$.
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：点A、O、B共线可得∠AOB为180°平角，OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的角平分线。首先利用角平分线的性质，推导∠DOE的度数：∠DOE是∠DOC与∠EOC的和，二者分别是∠AOC、∠BOC的一半，因此∠DOE等于平角∠AOB的一半，即90°。再结合已知∠AOE=162°，通过角度和差关系求出∠AOD的度数，最后利用∠AOD与∠BOD互补（和为180°），即可算出∠BOD的度数。
【解析】
因为OD是∠AOC的平分线，OE是∠BOC的平分线，
所以$∠ DOC = \frac{1}{2}∠ AOC$，$∠ EOC = \frac{1}{2}∠ BOC$。
所以$∠ DOE = ∠ DOC + ∠ EOC = \frac{1}{2}∠ AOC + \frac{1}{2}∠ BOC = \frac{1}{2}(∠ AOC + ∠ BOC) = \frac{1}{2}∠ AOB$，
又因为点A、O、B在同一条直线上，$∠ AOB=180°$，所以$∠ DOE=\frac{1}{2}×180°=90°$。
已知$∠ AOE=162°$，所以$∠ AOD = ∠ AOE - ∠ DOE = 162° - 90° =72°$。
因为$∠ AOD + ∠ BOD = ∠ AOB = 180°$，
所以$∠ BOD = 180° - ∠ AOD =180° -72° =108°$。
【答案】
108
【知识点】
角平分线的定义，平角的定义，角度的和差计算
【点评】
本题是角度计算的典型题型，核心是利用角平分线的性质先推出特殊角∠DOE=90°，再结合角度的和差、互补关系逐步推导所求角度，解题时要注意梳理图中角与角的位置和数量关系。
【难度系数】
0.7
解题时先梳理已知条件：点A、O、B共线可得∠AOB为180°平角，OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的角平分线。首先利用角平分线的性质，推导∠DOE的度数：∠DOE是∠DOC与∠EOC的和，二者分别是∠AOC、∠BOC的一半，因此∠DOE等于平角∠AOB的一半，即90°。再结合已知∠AOE=162°，通过角度和差关系求出∠AOD的度数，最后利用∠AOD与∠BOD互补（和为180°），即可算出∠BOD的度数。
【解析】
因为OD是∠AOC的平分线，OE是∠BOC的平分线，
所以$∠ DOC = \frac{1}{2}∠ AOC$，$∠ EOC = \frac{1}{2}∠ BOC$。
所以$∠ DOE = ∠ DOC + ∠ EOC = \frac{1}{2}∠ AOC + \frac{1}{2}∠ BOC = \frac{1}{2}(∠ AOC + ∠ BOC) = \frac{1}{2}∠ AOB$，
又因为点A、O、B在同一条直线上，$∠ AOB=180°$，所以$∠ DOE=\frac{1}{2}×180°=90°$。
已知$∠ AOE=162°$，所以$∠ AOD = ∠ AOE - ∠ DOE = 162° - 90° =72°$。
因为$∠ AOD + ∠ BOD = ∠ AOB = 180°$，
所以$∠ BOD = 180° - ∠ AOD =180° -72° =108°$。
【答案】
108
【知识点】
角平分线的定义，平角的定义，角度的和差计算
【点评】
本题是角度计算的典型题型，核心是利用角平分线的性质先推出特殊角∠DOE=90°，再结合角度的和差、互补关系逐步推导所求角度，解题时要注意梳理图中角与角的位置和数量关系。
【难度系数】
0.7
10 如图，∠AOB在∠MON内部转动，射线OC和射线OD分别平分∠AOM和∠BON.
（1）若∠MON=150°,∠AOB=30°,则∠COD=
（2）请你猜想∠AOB,∠COD和∠MON三个角之间的数量关系,并说明理由.
（1）若∠MON=150°,∠AOB=30°,则∠COD=
90
°;（2）请你猜想∠AOB,∠COD和∠MON三个角之间的数量关系,并说明理由.
答案
10. （1）90 （2）$2∠COD − ∠AOB = ∠MON$ 理由: 设$∠AOB=θ,∠MOC=α,∠NOD=β$. 因为射线OC和射线OD分别平分$∠AOM$和$∠BON$, 所以$∠AOC = ∠MOC = α, ∠AOM = 2∠MOC = 2α, ∠BOD = ∠NOD = β, ∠BON = 2∠NOD = 2β$. 所以$∠COD = ∠AOC + ∠AOB + ∠BOD = α + θ + β, ∠MON = ∠AOM + ∠AOB + ∠BON = 2α + θ + 2β$. 所以$2∠COD − ∠AOB = 2(α + θ + β) − θ = 2α + θ + 2β$. 所以$2∠COD − ∠AOB = ∠MON$.
解析
【分析】
（1）解题时先根据已知的∠MON和∠AOB求出∠AOM与∠BON的和，再利用角平分线的性质求出∠AOC与∠BOD的和，最后结合角的和差关系计算∠COD的度数即可。
（2）猜想数量关系时，可以先设出各个小角的度数，利用角平分线的性质将∠COD和∠MON都用所设参数表示，再消去中间参数即可得到三个角的数量关系。
【解析】
（1）已知∠MON=150°，∠AOB=30°，则$∠ AOM + ∠ BON = ∠ MON - ∠ AOB = 150° - 30° = 120°$。
因为射线OC平分∠AOM，射线OD平分∠BON，所以$∠ AOC = \frac{1}{2}∠ AOM$，$∠ BOD = \frac{1}{2}∠ BON$，
因此$∠ AOC + ∠ BOD = \frac{1}{2}(∠ AOM + ∠ BON) = \frac{1}{2} × 120° = 60°$，
所以$∠ COD = ∠ AOC + ∠ AOB + ∠ BOD = 60° + 30° = 90°$。
（2）猜想：$2∠COD − ∠AOB = ∠MON$，理由如下：
设$∠AOB=θ,∠MOC=α,∠NOD=β$，
因为射线OC和射线OD分别平分$∠AOM$和$∠BON$，
所以$∠AOC = ∠MOC = α$，$∠AOM = 2∠MOC = 2α$，$∠BOD = ∠NOD = β$，$∠BON = 2∠NOD = 2β$，
因此$∠COD = ∠AOC + ∠AOB + ∠BOD = α + θ + β$，
$∠MON = ∠AOM + ∠AOB + ∠BON = 2α + θ + 2β$，
则$2∠COD − ∠AOB = 2(α + θ + β) − θ = 2α + 2θ + 2β - θ = 2α + θ + 2β$，
所以$2∠COD − ∠AOB = ∠MON$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{90}$；（2）$\boldsymbol{2∠COD − ∠AOB = ∠MON}$，理由见解析
【知识点】
角平分线的定义；角的和差计算
【点评】
本题是角的运算的典型题型，核心考查角平分线的性质和角的和差关系的应用，通过设参数表示角度的方法可以更清晰地梳理多个角之间的联系，避免直接推导时混淆角的对应关系。
【难度系数】
0.7
（1）解题时先根据已知的∠MON和∠AOB求出∠AOM与∠BON的和，再利用角平分线的性质求出∠AOC与∠BOD的和，最后结合角的和差关系计算∠COD的度数即可。
（2）猜想数量关系时，可以先设出各个小角的度数，利用角平分线的性质将∠COD和∠MON都用所设参数表示，再消去中间参数即可得到三个角的数量关系。
【解析】
（1）已知∠MON=150°，∠AOB=30°，则$∠ AOM + ∠ BON = ∠ MON - ∠ AOB = 150° - 30° = 120°$。
因为射线OC平分∠AOM，射线OD平分∠BON，所以$∠ AOC = \frac{1}{2}∠ AOM$，$∠ BOD = \frac{1}{2}∠ BON$，
因此$∠ AOC + ∠ BOD = \frac{1}{2}(∠ AOM + ∠ BON) = \frac{1}{2} × 120° = 60°$，
所以$∠ COD = ∠ AOC + ∠ AOB + ∠ BOD = 60° + 30° = 90°$。
（2）猜想：$2∠COD − ∠AOB = ∠MON$，理由如下：
设$∠AOB=θ,∠MOC=α,∠NOD=β$，
因为射线OC和射线OD分别平分$∠AOM$和$∠BON$，
所以$∠AOC = ∠MOC = α$，$∠AOM = 2∠MOC = 2α$，$∠BOD = ∠NOD = β$，$∠BON = 2∠NOD = 2β$，
因此$∠COD = ∠AOC + ∠AOB + ∠BOD = α + θ + β$，
$∠MON = ∠AOM + ∠AOB + ∠BON = 2α + θ + 2β$，
则$2∠COD − ∠AOB = 2(α + θ + β) − θ = 2α + 2θ + 2β - θ = 2α + θ + 2β$，
所以$2∠COD − ∠AOB = ∠MON$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{90}$；（2）$\boldsymbol{2∠COD − ∠AOB = ∠MON}$，理由见解析
【知识点】
角平分线的定义；角的和差计算
【点评】
本题是角的运算的典型题型，核心考查角平分线的性质和角的和差关系的应用，通过设参数表示角度的方法可以更清晰地梳理多个角之间的联系，避免直接推导时混淆角的对应关系。
【难度系数】
0.7
11 教材P167例3变式 如图,已知$∠α$,$∠β$,请用直尺和圆规作一个角,使其大小等于$2∠α - ∠β$(不写作法,保留作图痕迹).
答案
11. 如图,$∠AOF$即为所求
解析
【分析】
要构造大小为$2∠α - ∠β$的角，可利用“作一个角等于已知角”的尺规作图方法分步完成：第一步先构造出$2∠α$，即先作一个等于$∠α$的角，再在这个角的外侧以它的一边为公共边，再作一个等于$∠α$的角，两个角相加即可得到$2∠α$；第二步在得到的$2∠α$的内部，以$2∠α$的非公共边为边作一个等于$∠β$的角，剩下的角就是所求的$2∠α - ∠β$。
【解析】
1. 先作射线$OA$；
2. 以$O$为顶点，$OA$为一边，作$∠AOB=∠α$；
3. 在$∠AOB$的外侧，以$OB$为一边，作$∠BOE=∠α$，此时$∠AOE=∠AOB+∠BOE=2∠α$；
4. 在$∠AOE$的内部，以$OE$为一边，作$∠EOF=∠β$，则$∠AOF=∠AOE-∠EOF=2∠α - ∠β$，即为所求作的角。
【答案】
11. 如图,$∠AOF$即为所求
【知识点】
作一个角等于已知角，角的和差计算，尺规作图
【点评】
本题是尺规作图的基础应用题，核心是利用作等角的方法实现角的倍、差运算，作图时要注意作差角时需在已作出的大角内部作图，避免方向错误导致结果不符合要求。
【难度系数】
0.7
要构造大小为$2∠α - ∠β$的角，可利用“作一个角等于已知角”的尺规作图方法分步完成：第一步先构造出$2∠α$，即先作一个等于$∠α$的角，再在这个角的外侧以它的一边为公共边，再作一个等于$∠α$的角，两个角相加即可得到$2∠α$；第二步在得到的$2∠α$的内部，以$2∠α$的非公共边为边作一个等于$∠β$的角，剩下的角就是所求的$2∠α - ∠β$。
【解析】
1. 先作射线$OA$；
2. 以$O$为顶点，$OA$为一边，作$∠AOB=∠α$；
3. 在$∠AOB$的外侧，以$OB$为一边，作$∠BOE=∠α$，此时$∠AOE=∠AOB+∠BOE=2∠α$；
4. 在$∠AOE$的内部，以$OE$为一边，作$∠EOF=∠β$，则$∠AOF=∠AOE-∠EOF=2∠α - ∠β$，即为所求作的角。
【答案】
11. 如图,$∠AOF$即为所求
【知识点】
作一个角等于已知角，角的和差计算，尺规作图
【点评】
本题是尺规作图的基础应用题，核心是利用作等角的方法实现角的倍、差运算，作图时要注意作差角时需在已作出的大角内部作图，避免方向错误导致结果不符合要求。
【难度系数】
0.7
12 如图，直线AB，CD相交于点O，$∠ 2 - ∠ 1 = 15°$，$∠ 3 = 130°$。
（1）求$∠ 2$的度数；
（2）试说明OE是$∠ COB$的平分线。
（1）求$∠ 2$的度数；
（2）试说明OE是$∠ COB$的平分线。
答案
12. （1）因为$∠3=130°,∠COD=180°$,即$∠1+∠3=180°$,所以$∠1=180°−∠3=180°−130°=50°$. 因为$∠2−∠1=15°$,所以$∠2=15°+∠1=15°+50°=65°$
（2）因为$∠1=50°,∠2=65°$,$∠AOB=180°$,即$∠1+∠COE+∠2=180°$,所以$∠COE=180°−∠1−∠2=65°$. 所以$∠COE=∠2$. 所以OE是$∠COB$的平分线
（2）因为$∠1=50°,∠2=65°$,$∠AOB=180°$,即$∠1+∠COE+∠2=180°$,所以$∠COE=180°−∠1−∠2=65°$. 所以$∠COE=∠2$. 所以OE是$∠COB$的平分线
解析
【分析】
（1）要求∠2的度数，已知∠2与∠1的差，因此需要先求∠1的度数。观察图形可得∠1和∠3互为邻补角，二者之和为180°，结合已知∠3的度数即可求出∠1，再代入∠2与∠1的差的关系就能算出∠2。
（2）要说明OE是∠COB的平分线，根据角平分线的定义，需证明∠COE=∠2。利用平角∠AOB度数为180°的性质，减去已经求出的∠1和∠2的度数，得到∠COE的度数，比较∠COE和∠2的大小即可完成证明。
【解析】
（1）
∵ CD为直线，∠COD是平角，即∠1+∠3=180°，已知∠3=130°，
∴ ∠1=180°−∠3=180°−130°=50°，
又
∵ ∠2−∠1=15°，
∴ ∠2=15°+∠1=15°+50°=65°。
（2）
∵ AB为直线，∠AOB是平角，即∠1+∠COE+∠2=180°，已求得∠1=50°，∠2=65°，
∴ ∠COE=180°−∠1−∠2=180°−50°−65°=65°，
∴ ∠COE=∠2，
∴ OE是∠COB的平分线。
【答案】
（1）$\boldsymbol{∠2=65°}$；
（2）OE是∠COB的平分线，证明如上。
【知识点】
1. 邻补角的性质
2. 角的和差计算
3. 角平分线的判定
【点评】
本题属于角度计算与角平分线判定的基础题，解题关键是结合图形挖掘隐含的平角、邻补角等角度关系，再结合已知条件逐步推导即可，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.85
（1）要求∠2的度数，已知∠2与∠1的差，因此需要先求∠1的度数。观察图形可得∠1和∠3互为邻补角，二者之和为180°，结合已知∠3的度数即可求出∠1，再代入∠2与∠1的差的关系就能算出∠2。
（2）要说明OE是∠COB的平分线，根据角平分线的定义，需证明∠COE=∠2。利用平角∠AOB度数为180°的性质，减去已经求出的∠1和∠2的度数，得到∠COE的度数，比较∠COE和∠2的大小即可完成证明。
【解析】
（1）
∵ CD为直线，∠COD是平角，即∠1+∠3=180°，已知∠3=130°，
∴ ∠1=180°−∠3=180°−130°=50°，
又
∵ ∠2−∠1=15°，
∴ ∠2=15°+∠1=15°+50°=65°。
（2）
∵ AB为直线，∠AOB是平角，即∠1+∠COE+∠2=180°，已求得∠1=50°，∠2=65°，
∴ ∠COE=180°−∠1−∠2=180°−50°−65°=65°，
∴ ∠COE=∠2，
∴ OE是∠COB的平分线。
【答案】
（1）$\boldsymbol{∠2=65°}$；
（2）OE是∠COB的平分线，证明如上。
【知识点】
1. 邻补角的性质
2. 角的和差计算
3. 角平分线的判定
【点评】
本题属于角度计算与角平分线判定的基础题，解题关键是结合图形挖掘隐含的平角、邻补角等角度关系，再结合已知条件逐步推导即可，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.85
