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1.已知一个二次函数的图象经过$(-1,10)$，$(2,7)$和$(1,4)$三点，那么这个函数的解析式是________.
答案
$y=2x^{2}-3x+5$
解析
【分析】
已知二次函数图象上三个普通点的坐标，且未给出顶点、与x轴交点等特殊信息，优先选择二次函数的一般式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$求解。解题思路为：将三个点的坐标分别代入一般式，得到关于$a、b、c$的三元一次方程组，通过消元法解方程组求出三个系数的值，再代回一般式即可得到函数解析式。
【解析】
设该二次函数的解析式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，
将$(-1,10)$、$(2,7)$、$(1,4)$分别代入解析式，可得：
$\begin{cases}a×(-1)^2 + b×(-1) + c = 10 \\a×2^2 + b×2 + c = 7 \\a×1^2 + b×1 + c = 4\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}a - b + c = 10 ①\\4a + 2b + c = 7 ②\\a + b + c = 4 ③\end{cases}$
用③-①消去$a$和$c$：$(a+b+c)-(a-b+c)=4-10$，解得$2b=-6$，即$b=-3$。
将$b=-3$代入①和②，可得：
$\begin{cases}a + c =7 ④\\4a + c =13 ⑤\end{cases}$
用⑤-④消去$c$：$3a=6$，解得$a=2$。
将$a=2$代入④，得$2+c=7$，解得$c=5$。
把$a=2、b=-3、c=5$代回一般式，得函数解析式。
【答案】
$y=2x^2-3x+5$
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 三元一次方程组的解法
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础常规题型，核心考查待定系数法的应用，计算难度低，只要掌握代入消元解方程组的方法即可快速得分。
【难度系数】
0.8
已知二次函数图象上三个普通点的坐标，且未给出顶点、与x轴交点等特殊信息，优先选择二次函数的一般式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$求解。解题思路为：将三个点的坐标分别代入一般式，得到关于$a、b、c$的三元一次方程组，通过消元法解方程组求出三个系数的值，再代回一般式即可得到函数解析式。
【解析】
设该二次函数的解析式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，
将$(-1,10)$、$(2,7)$、$(1,4)$分别代入解析式，可得：
$\begin{cases}a×(-1)^2 + b×(-1) + c = 10 \\a×2^2 + b×2 + c = 7 \\a×1^2 + b×1 + c = 4\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}a - b + c = 10 ①\\4a + 2b + c = 7 ②\\a + b + c = 4 ③\end{cases}$
用③-①消去$a$和$c$：$(a+b+c)-(a-b+c)=4-10$，解得$2b=-6$，即$b=-3$。
将$b=-3$代入①和②，可得：
$\begin{cases}a + c =7 ④\\4a + c =13 ⑤\end{cases}$
用⑤-④消去$c$：$3a=6$，解得$a=2$。
将$a=2$代入④，得$2+c=7$，解得$c=5$。
把$a=2、b=-3、c=5$代回一般式，得函数解析式。
【答案】
$y=2x^2-3x+5$
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 三元一次方程组的解法
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础常规题型，核心考查待定系数法的应用，计算难度低，只要掌握代入消元解方程组的方法即可快速得分。
【难度系数】
0.8
2. 已知二次函数 $y=-x^2+bx+c$ 的图象经过 $(-1,0),(0,5)$ 两点，则这个二次函数的解析式为
$y=-x^2+4x+5$
。答案
$y=-x^{2}+4x+5$
解析
【分析】
本题已知二次函数的一般式且二次项系数已经给出，仅需求出一次项系数$b$和常数项$c$即可得到解析式，可采用待定系数法求解：因为函数图象上的点的坐标满足函数解析式，所以将已知的两个点的坐标分别代入解析式，即可得到关于$b$、$c$的二元一次方程组，解方程组求出$b$、$c$的值，再代回原一般式即可得到所求解析式。
【解析】
将点$(-1,0)$代入$y=-x^2+bx+c$，得：
$0=-(-1)^2 + b×(-1) + c$
整理得：$-b + c = 1$ ①
将点$(0,5)$代入$y=-x^2+bx+c$，得：
$5=-0^2 + b×0 + c$
解得：$c=5$ ②
把②代入①，得：$-b + 5 =1$，解得$b=4$
将$b=4$、$c=5$代入$y=-x^2+bx+c$，即可得到二次函数解析式。
【答案】
$y=-x^{2}+4x+5$
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是求二次函数解析式的基础题型，解题关键是掌握待定系数法的应用思路，明确函数图象上的点的坐标满足对应函数的解析式，计算难度低，细心求解即可得分。
【难度系数】
0.85
本题已知二次函数的一般式且二次项系数已经给出，仅需求出一次项系数$b$和常数项$c$即可得到解析式，可采用待定系数法求解：因为函数图象上的点的坐标满足函数解析式，所以将已知的两个点的坐标分别代入解析式，即可得到关于$b$、$c$的二元一次方程组，解方程组求出$b$、$c$的值，再代回原一般式即可得到所求解析式。
【解析】
将点$(-1,0)$代入$y=-x^2+bx+c$，得：
$0=-(-1)^2 + b×(-1) + c$
整理得：$-b + c = 1$ ①
将点$(0,5)$代入$y=-x^2+bx+c$，得：
$5=-0^2 + b×0 + c$
解得：$c=5$ ②
把②代入①，得：$-b + 5 =1$，解得$b=4$
将$b=4$、$c=5$代入$y=-x^2+bx+c$，即可得到二次函数解析式。
【答案】
$y=-x^{2}+4x+5$
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是求二次函数解析式的基础题型，解题关键是掌握待定系数法的应用思路，明确函数图象上的点的坐标满足对应函数的解析式，计算难度低，细心求解即可得分。
【难度系数】
0.85
3. (2025—2026 丰城检测)已知二次函数 $ y = x^2 + bx + c $ 的图象经过点 $ A(1, -2) $，$ B(0, -5) $。
(1)求该二次函数图象的顶点坐标。
(2)当 $ x = -4 $ 时，求 $ y $ 的值。
(1)求该二次函数图象的顶点坐标。
(2)当 $ x = -4 $ 时，求 $ y $ 的值。
答案
解:(1)
∵二次函数$y=x^2+bx+c$的图象经过点A(1,−2),B(0,−5),
∴$\begin{cases}1+b+c=-2,\\c=-5,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}b=2,\\c=-5,\end{cases}$
∴二次函数的解析式为$y=x^2+2x-5$.
∵$y=x^2+2x-5=(x+1)^2-6$,
∴二次函数图象的顶点坐标为$(-1,-6)$.
(2)将$x=-4$代入$y=x^2+2x-5$,得$y=16-8-5=3$.
∵二次函数$y=x^2+bx+c$的图象经过点A(1,−2),B(0,−5),
∴$\begin{cases}1+b+c=-2,\\c=-5,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}b=2,\\c=-5,\end{cases}$
∴二次函数的解析式为$y=x^2+2x-5$.
∵$y=x^2+2x-5=(x+1)^2-6$,
∴二次函数图象的顶点坐标为$(-1,-6)$.
(2)将$x=-4$代入$y=x^2+2x-5$,得$y=16-8-5=3$.
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要确定二次函数的完整解析式：题中给出的二次函数含有未知系数b、c，且已知函数图象经过两个点，我们可以利用待定系数法，将两个点的坐标分别代入函数解析式，得到关于b、c的二元一次方程组，求解即可得到b、c的值，确定解析式。
(1)求顶点坐标时，得到解析式后，可通过配方法将一般式转化为顶点式，直接读出顶点坐标，也可以用顶点坐标公式计算得到顶点坐标。
(2)求x=-4时的y值，只需将x=-4代入已求出的二次函数解析式中，计算即可得到对应y的值。
【解析】
(1)
∵二次函数$y = x^2 + bx + c$的图象经过点$A(1, -2)$，$B(0, -5)$，
∴将两点坐标代入解析式可得方程组：
$\begin{cases}1+b+c=-2\\c=-5\end{cases}$
把$c=-5$代入第一个方程，解得$b=2$，
即$\begin{cases}b=2\\c=-5\end{cases}$
∴二次函数的解析式为$y = x^2 + 2x - 5$。
将解析式配方得：$y = x^2 + 2x - 5 = (x+1)^2 - 6$，
∴二次函数图象的顶点坐标为$(-1, -6)$。
(2)把$x=-4$代入$y = x^2 + 2x - 5$，
得$y = (-4)^2 + 2×(-4) -5 = 16 - 8 -5 = 3$。
【答案】
(1)顶点坐标为$\boldsymbol{(-1,-6)}$；(2)$y$的值为$\boldsymbol{3}$
【知识点】
1.待定系数法求二次函数解析式
2.二次函数顶点坐标计算
3.二次函数代入求值
【点评】
本题是二次函数的基础常规题型，核心考查待定系数法的应用以及二次函数的基本运算，解题逻辑清晰，步骤固定，熟练掌握基础方法即可快速解答。
【难度系数】
0.85
要解决这道题，首先需要确定二次函数的完整解析式：题中给出的二次函数含有未知系数b、c，且已知函数图象经过两个点，我们可以利用待定系数法，将两个点的坐标分别代入函数解析式，得到关于b、c的二元一次方程组，求解即可得到b、c的值，确定解析式。
(1)求顶点坐标时，得到解析式后，可通过配方法将一般式转化为顶点式，直接读出顶点坐标，也可以用顶点坐标公式计算得到顶点坐标。
(2)求x=-4时的y值，只需将x=-4代入已求出的二次函数解析式中，计算即可得到对应y的值。
【解析】
(1)
∵二次函数$y = x^2 + bx + c$的图象经过点$A(1, -2)$，$B(0, -5)$，
∴将两点坐标代入解析式可得方程组：
$\begin{cases}1+b+c=-2\\c=-5\end{cases}$
把$c=-5$代入第一个方程，解得$b=2$，
即$\begin{cases}b=2\\c=-5\end{cases}$
∴二次函数的解析式为$y = x^2 + 2x - 5$。
将解析式配方得：$y = x^2 + 2x - 5 = (x+1)^2 - 6$，
∴二次函数图象的顶点坐标为$(-1, -6)$。
(2)把$x=-4$代入$y = x^2 + 2x - 5$，
得$y = (-4)^2 + 2×(-4) -5 = 16 - 8 -5 = 3$。
【答案】
(1)顶点坐标为$\boldsymbol{(-1,-6)}$；(2)$y$的值为$\boldsymbol{3}$
【知识点】
1.待定系数法求二次函数解析式
2.二次函数顶点坐标计算
3.二次函数代入求值
【点评】
本题是二次函数的基础常规题型，核心考查待定系数法的应用以及二次函数的基本运算，解题逻辑清晰，步骤固定，熟练掌握基础方法即可快速解答。
【难度系数】
0.85
4.已知二次函数的图象的顶点是$(1,-2)$，且经过点$(0,-5)$，则二次函数的解析式是（
A.$y=-3(x+1)^2 -2$
B.$y=3(x+1)^2 -2$
C.$y=-3(x-1)^2 -2$
D.$y=3(x-1)^2 -2$
C
）A.$y=-3(x+1)^2 -2$
B.$y=3(x+1)^2 -2$
C.$y=-3(x-1)^2 -2$
D.$y=3(x-1)^2 -2$
答案
C
解析
【分析】
已知二次函数的顶点坐标，优先选用顶点式来设解析式，可减少计算量。首先回忆二次函数顶点式的形式：$y=a(x-h)^2+k$（$a\ne0$），其中$(h,k)$为顶点坐标，先将已知顶点代入顶点式得到仅含参数$a$的解析式，再将函数经过的点代入求出参数$a$的值，即可得到完整的解析式，最后匹配选项即可。
【解析】
解：
∵二次函数图象的顶点为$(1,-2)$
∴设该二次函数的解析式为$y=a(x-1)^2-2$（$a\ne0$，顶点式中$h$对应顶点横坐标$1$，$k$对应顶点纵坐标$-2$）
将点$(0,-5)$代入解析式得：
$-5 = a·(0-1)^2 - 2$
计算得：$-5 = a - 2$
移项求解得：$a = -5 + 2 = -3$
将$a=-3$代入所设解析式，得二次函数解析式为：$y=-3(x-1)^2 -2$
对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式；待定系数法求二次函数解析式
【点评】
本题是求二次函数解析式的基础题型，解题的关键是根据给出的已知条件选择最优的解析式形式，当已知顶点坐标时选择顶点式可大幅简化计算，需注意顶点式中横坐标$h$的符号避免出错。
【难度系数】
0.7
已知二次函数的顶点坐标，优先选用顶点式来设解析式，可减少计算量。首先回忆二次函数顶点式的形式：$y=a(x-h)^2+k$（$a\ne0$），其中$(h,k)$为顶点坐标，先将已知顶点代入顶点式得到仅含参数$a$的解析式，再将函数经过的点代入求出参数$a$的值，即可得到完整的解析式，最后匹配选项即可。
【解析】
解：
∵二次函数图象的顶点为$(1,-2)$
∴设该二次函数的解析式为$y=a(x-1)^2-2$（$a\ne0$，顶点式中$h$对应顶点横坐标$1$，$k$对应顶点纵坐标$-2$）
将点$(0,-5)$代入解析式得：
$-5 = a·(0-1)^2 - 2$
计算得：$-5 = a - 2$
移项求解得：$a = -5 + 2 = -3$
将$a=-3$代入所设解析式，得二次函数解析式为：$y=-3(x-1)^2 -2$
对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式；待定系数法求二次函数解析式
【点评】
本题是求二次函数解析式的基础题型，解题的关键是根据给出的已知条件选择最优的解析式形式，当已知顶点坐标时选择顶点式可大幅简化计算，需注意顶点式中横坐标$h$的符号避免出错。
【难度系数】
0.7
5.有一条抛物线，三位学生分别说出了它的一些性质.甲:对称轴是直线$x=2$;乙:与$x$轴的两个交点的距离为6;丙:以抛物线顶点，抛物线与$x$轴的两交点为顶点的三角形面积等于9.这条抛物线解析式的顶点式是
.
$y=\frac{1}{3}(x-2)^2 -3$
.
$y=-\frac{1}{3}(x-2)^2 +3$
答案
$y=\frac{1}{3}(x-2)^2 -3$ 或 $y=-\frac{1}{3}(x-2)^2 +3$
【解析】
∵对称轴是直线$x=2$,与$x$轴的两个交点距离为6,
∴抛物线与$x$轴的两个交点的坐标为$(-1,0),(5,0)$.
设顶点坐标为$(2,y)$.
∵以抛物线顶点,抛物线与$x$轴的两交点为顶点的三角形面积等于9,
∴$\frac{1}{2}×6·|y|=9$,
∴$y=3$或$y=-3$,
∴顶点坐标为$(2,3)$或$(2,-3)$.设函数的解析式为$y=a(x-2)^2+3$或$y=a(x-2)^2-3$.把点$(5,0)$代入$y=a(x-2)^2+3$,得$a=-\frac{1}{3}$;把点$(5,0)$代入$y=a(x-2)^2-3$,得$a=\frac{1}{3}$,
∴满足上述全部条件的一条抛物线的解析式为$y=\frac{1}{3}(x-2)^2-3$或$y=-\frac{1}{3}(x-2)^2+3$.
【解析】
∵对称轴是直线$x=2$,与$x$轴的两个交点距离为6,
∴抛物线与$x$轴的两个交点的坐标为$(-1,0),(5,0)$.
设顶点坐标为$(2,y)$.
∵以抛物线顶点,抛物线与$x$轴的两交点为顶点的三角形面积等于9,
∴$\frac{1}{2}×6·|y|=9$,
∴$y=3$或$y=-3$,
∴顶点坐标为$(2,3)$或$(2,-3)$.设函数的解析式为$y=a(x-2)^2+3$或$y=a(x-2)^2-3$.把点$(5,0)$代入$y=a(x-2)^2+3$,得$a=-\frac{1}{3}$;把点$(5,0)$代入$y=a(x-2)^2-3$,得$a=\frac{1}{3}$,
∴满足上述全部条件的一条抛物线的解析式为$y=\frac{1}{3}(x-2)^2-3$或$y=-\frac{1}{3}(x-2)^2+3$.
解析
【分析】
要推导抛物线的顶点式，我们可以结合已知条件逐步拆解求解：①顶点式需要确定顶点坐标和二次项系数$a$两个核心量，因此先优先求顶点坐标；②已知对称轴为直线$x=2$，且与$x$轴两交点距离为6，根据抛物线的对称性，两个交点到对称轴的距离相等，均为$6÷2=3$，由此可直接算出两个交点的坐标；③已知顶点与两个x轴交点围成的三角形面积为9，该三角形的底为两交点的距离6，高为顶点到x轴的距离（即顶点纵坐标的绝对值），代入面积公式即可求出顶点的纵坐标，注意纵坐标有正负两种可能，不能漏解；④最后将x轴上的交点坐标代入顶点式，即可求出$a$的值，得到最终解析式。
【解析】
∵对称轴是直线$x=2$，与$x$轴的两个交点的距离为6，
∴两个交点到对称轴的距离为$6÷2=3$，可得抛物线与$x$轴的两个交点坐标为$(-1,0)$、$(5,0)$。
设抛物线顶点坐标为$(2,y)$，
∵以顶点、抛物线与x轴两交点为顶点的三角形面积等于9，三角形底为6，高为顶点到x轴的距离$|y|$，
∴$\frac{1}{2}×6×|y|=9$，解得$y=3$或$y=-3$，即顶点坐标为$(2,3)$或$(2,-3)$。
分两种情况设顶点式：
1. 当顶点为$(2,3)$时，设解析式为$y=a(x-2)^2+3$，将$(5,0)$代入得：
$0=a(5-2)^2+3$，解得$a=-\frac{1}{3}$，此时解析式为$y=-\frac{1}{3}(x-2)^2+3$；
2. 当顶点为$(2,-3)$时，设解析式为$y=a(x-2)^2-3$，将$(5,0)$代入得：
$0=a(5-2)^2-3$，解得$a=\frac{1}{3}$，此时解析式为$y=\frac{1}{3}(x-2)^2-3$。
【答案】
$y=\frac{1}{3}(x-2)^2 -3$ 或 $y=-\frac{1}{3}(x-2)^2 +3$
【知识点】
二次函数的图象与性质；待定系数法求二次函数解析式；三角形面积计算
【点评】
本题是二次函数解析式求解的典型题型，解题核心是利用抛物线的对称性确定交点坐标，再结合三角形面积公式推导顶点坐标，需注意顶点纵坐标的正负两种情况，避免漏解，能较好地考查对二次函数顶点式的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.6
要推导抛物线的顶点式，我们可以结合已知条件逐步拆解求解：①顶点式需要确定顶点坐标和二次项系数$a$两个核心量，因此先优先求顶点坐标；②已知对称轴为直线$x=2$，且与$x$轴两交点距离为6，根据抛物线的对称性，两个交点到对称轴的距离相等，均为$6÷2=3$，由此可直接算出两个交点的坐标；③已知顶点与两个x轴交点围成的三角形面积为9，该三角形的底为两交点的距离6，高为顶点到x轴的距离（即顶点纵坐标的绝对值），代入面积公式即可求出顶点的纵坐标，注意纵坐标有正负两种可能，不能漏解；④最后将x轴上的交点坐标代入顶点式，即可求出$a$的值，得到最终解析式。
【解析】
∵对称轴是直线$x=2$，与$x$轴的两个交点的距离为6，
∴两个交点到对称轴的距离为$6÷2=3$，可得抛物线与$x$轴的两个交点坐标为$(-1,0)$、$(5,0)$。
设抛物线顶点坐标为$(2,y)$，
∵以顶点、抛物线与x轴两交点为顶点的三角形面积等于9，三角形底为6，高为顶点到x轴的距离$|y|$，
∴$\frac{1}{2}×6×|y|=9$，解得$y=3$或$y=-3$，即顶点坐标为$(2,3)$或$(2,-3)$。
分两种情况设顶点式：
1. 当顶点为$(2,3)$时，设解析式为$y=a(x-2)^2+3$，将$(5,0)$代入得：
$0=a(5-2)^2+3$，解得$a=-\frac{1}{3}$，此时解析式为$y=-\frac{1}{3}(x-2)^2+3$；
2. 当顶点为$(2,-3)$时，设解析式为$y=a(x-2)^2-3$，将$(5,0)$代入得：
$0=a(5-2)^2-3$，解得$a=\frac{1}{3}$，此时解析式为$y=\frac{1}{3}(x-2)^2-3$。
【答案】
$y=\frac{1}{3}(x-2)^2 -3$ 或 $y=-\frac{1}{3}(x-2)^2 +3$
【知识点】
二次函数的图象与性质；待定系数法求二次函数解析式；三角形面积计算
【点评】
本题是二次函数解析式求解的典型题型，解题核心是利用抛物线的对称性确定交点坐标，再结合三角形面积公式推导顶点坐标，需注意顶点纵坐标的正负两种情况，避免漏解，能较好地考查对二次函数顶点式的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.6
