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6. (2025—2026 瑞金检测)已知二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的图象的顶点坐标为(-1, -2)，且经过点(1,2)。
(1)求此函数的解析式。
(2)试判断点(3,14)是否在此函数图象上。
(1)求此函数的解析式。
(2)试判断点(3,14)是否在此函数图象上。
答案
解:(1)设二次函数的解析式为$y=a(x-h)^2+k$.
∵顶点坐标为$(-1,-2)$,
∴二次函数的解析式为$y=a(x+1)^2-2$.
将点$(1,2)$代入$y=a(x+1)^2-2$,得$2=a(1+1)^2-2$,解得$a=1$,
∴二次函数的解析式为$y=(x+1)^2-2=x^2+2x-1$.
(2)当$x=3$时,$y=3^2+2×3-1=14$,
∴点$(3,14)$在此函数图象上.
∵顶点坐标为$(-1,-2)$,
∴二次函数的解析式为$y=a(x+1)^2-2$.
将点$(1,2)$代入$y=a(x+1)^2-2$,得$2=a(1+1)^2-2$,解得$a=1$,
∴二次函数的解析式为$y=(x+1)^2-2=x^2+2x-1$.
(2)当$x=3$时,$y=3^2+2×3-1=14$,
∴点$(3,14)$在此函数图象上.
解析
【分析】
(1) 求二次函数解析式时，已知顶点坐标可优先选用顶点式设解析式，减少未知量简化计算：先设顶点式$y=a(x-h)^2+k$，将顶点坐标代入即可确定h、k的值，仅剩参数a未知，再把函数经过的点代入即可求出a，最后整理为一般式即可。
(2) 判断点是否在函数图象上，只需将点的横坐标代入解析式，计算出对应的y值，与点的纵坐标对比，若二者相等则点在图象上，反之则不在。
【解析】
(1) 设二次函数的解析式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$）。
∵顶点坐标为$(-1,-2)$，
∴代入得二次函数的解析式为$y=a(x+1)^2-2$。
将点$(1,2)$代入$y=a(x+1)^2-2$，得$2=a(1+1)^2-2$，
解得$a=1$，
∴二次函数的解析式为$y=(x+1)^2-2=x^2+2x-1$。
(2) 把$x=3$代入解析式$y=x^2+2x-1$，
得$y=3^2+2×3-1=14$，计算结果和点的纵坐标一致。
【答案】
(1) $y=x^2+2x-1$
(2) 点$(3,14)$在此函数图象上
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数基础题，解题核心是根据已知条件选择合适的解析式形式，已知顶点时选顶点式可大幅降低计算量，代入验证法判断点与函数图象的位置关系是函数类问题的常用方法，需熟练掌握。
【难度系数】
0.85
(1) 求二次函数解析式时，已知顶点坐标可优先选用顶点式设解析式，减少未知量简化计算：先设顶点式$y=a(x-h)^2+k$，将顶点坐标代入即可确定h、k的值，仅剩参数a未知，再把函数经过的点代入即可求出a，最后整理为一般式即可。
(2) 判断点是否在函数图象上，只需将点的横坐标代入解析式，计算出对应的y值，与点的纵坐标对比，若二者相等则点在图象上，反之则不在。
【解析】
(1) 设二次函数的解析式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$）。
∵顶点坐标为$(-1,-2)$，
∴代入得二次函数的解析式为$y=a(x+1)^2-2$。
将点$(1,2)$代入$y=a(x+1)^2-2$，得$2=a(1+1)^2-2$，
解得$a=1$，
∴二次函数的解析式为$y=(x+1)^2-2=x^2+2x-1$。
(2) 把$x=3$代入解析式$y=x^2+2x-1$，
得$y=3^2+2×3-1=14$，计算结果和点的纵坐标一致。
【答案】
(1) $y=x^2+2x-1$
(2) 点$(3,14)$在此函数图象上
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数基础题，解题核心是根据已知条件选择合适的解析式形式，已知顶点时选顶点式可大幅降低计算量，代入验证法判断点与函数图象的位置关系是函数类问题的常用方法，需熟练掌握。
【难度系数】
0.85
7.一个二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线$x=-1$，则这个二次函数的解析式为（
A.$y=-x^2 + 2x + 3$
B.$y=x^2 + 2x + 3$
C.$y=-x^2 + 2x - 3$
D.$y=-x^2 - 2x + 3$
D
）A.$y=-x^2 + 2x + 3$
B.$y=x^2 + 2x + 3$
C.$y=-x^2 + 2x - 3$
D.$y=-x^2 - 2x + 3$
答案
D
【解析】由图象可知,这个二次函数的图象与$x$轴的一个交点坐标为$(-3,0)$,对称轴为直线$x=-1$,
∴函数图象与$x$轴的另一个交点坐标为$(1,0)$.
设这个二次函数的解析式为$y=a(x+3)(x-1)(a≠0)$.将$(0,3)$代入$y=a(x+3)(x-1)$,得$3=a(0+3)(0-1)$,解得$a=-1$.故这个二次函数的解析式为$y=-(x+3)(x-1)=-x^2-2x+3$.
【解析】由图象可知,这个二次函数的图象与$x$轴的一个交点坐标为$(-3,0)$,对称轴为直线$x=-1$,
∴函数图象与$x$轴的另一个交点坐标为$(1,0)$.
设这个二次函数的解析式为$y=a(x+3)(x-1)(a≠0)$.将$(0,3)$代入$y=a(x+3)(x-1)$,得$3=a(0+3)(0-1)$,解得$a=-1$.故这个二次函数的解析式为$y=-(x+3)(x-1)=-x^2-2x+3$.
解析
【分析】
解题可从已知条件入手：首先从图象和题干可知，二次函数开口向下，过点(-3,0)、(0,3)，对称轴为直线x=-1。方法一：利用二次函数对称性，x轴的两个交点关于对称轴对称，可先求出另一个x轴交点坐标，再选用交点式设解析式，代入已知点求解系数即可；方法二：可通过排除法，先根据开口方向排除a＞0的选项，再计算各选项对称轴，排除不符合对称轴为x=-1的选项，快速得到答案。
【解析】
解法1（待定系数法）：
∵二次函数对称轴为直线$x=-1$，与$x$轴的一个交点为$(-3,0)$，
根据二次函数对称性，设另一交点为$(x,0)$，则$\frac{-3+x}{2}=-1$，解得$x=1$，即另一交点为$(1,0)$。
设二次函数解析式为交点式：$y=a(x+3)(x-1) \ (a≠0)$，
将图象与$y$轴交点$(0,3)$代入解析式，得：
$3=a×(0+3)×(0-1)$，
即$3=-3a$，解得$a=-1$。
将$a=-1$代入并展开解析式：
$y=-(x+3)(x-1)=-(x^2+2x-3)=-x^2-2x+3$。
解法2（排除法）：
由图象开口向下，得二次项系数$a＜0$，选项B中$a=1＞0$，排除B；
二次函数对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}=-1$：
选项A：$x=-\frac{2}{2×(-1)}=1$，不符合，排除A；
选项C：$x=-\frac{2}{2×(-1)}=1$，不符合，排除C；
只有选项D符合要求。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的对称性；待定系数法求解析式；二次函数图象性质
【点评】
本题考查二次函数解析式的求解，既可以用待定系数法按步骤求解，也可以结合选项用排除法快速得出答案，解题时灵活选择方法可提升做题效率，核心是掌握二次函数的基本性质和不同解析式形式的适用场景。
【难度系数】
0.7
解题可从已知条件入手：首先从图象和题干可知，二次函数开口向下，过点(-3,0)、(0,3)，对称轴为直线x=-1。方法一：利用二次函数对称性，x轴的两个交点关于对称轴对称，可先求出另一个x轴交点坐标，再选用交点式设解析式，代入已知点求解系数即可；方法二：可通过排除法，先根据开口方向排除a＞0的选项，再计算各选项对称轴，排除不符合对称轴为x=-1的选项，快速得到答案。
【解析】
解法1（待定系数法）：
∵二次函数对称轴为直线$x=-1$，与$x$轴的一个交点为$(-3,0)$，
根据二次函数对称性，设另一交点为$(x,0)$，则$\frac{-3+x}{2}=-1$，解得$x=1$，即另一交点为$(1,0)$。
设二次函数解析式为交点式：$y=a(x+3)(x-1) \ (a≠0)$，
将图象与$y$轴交点$(0,3)$代入解析式，得：
$3=a×(0+3)×(0-1)$，
即$3=-3a$，解得$a=-1$。
将$a=-1$代入并展开解析式：
$y=-(x+3)(x-1)=-(x^2+2x-3)=-x^2-2x+3$。
解法2（排除法）：
由图象开口向下，得二次项系数$a＜0$，选项B中$a=1＞0$，排除B；
二次函数对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}=-1$：
选项A：$x=-\frac{2}{2×(-1)}=1$，不符合，排除A；
选项C：$x=-\frac{2}{2×(-1)}=1$，不符合，排除C；
只有选项D符合要求。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的对称性；待定系数法求解析式；二次函数图象性质
【点评】
本题考查二次函数解析式的求解，既可以用待定系数法按步骤求解，也可以结合选项用排除法快速得出答案，解题时灵活选择方法可提升做题效率，核心是掌握二次函数的基本性质和不同解析式形式的适用场景。
【难度系数】
0.7
8.二次函数$y=2x^2+bx+c$的图象交$x$轴于$(5,0),(1,0)$两点，则二次函数的解析式为
$y=2x^2-12x+10$
。答案
$y=2x^2-12x+10$
解析
【分析】
已知二次函数的二次项系数为2，且给出了图象与x轴的两个交点坐标，有两种解题思路：思路一：利用二次函数交点式，直接代入交点横坐标和a的值，再整理为一般式即可，这种方法更简便；思路二：用待定系数法，将两个交点坐标代入一般式，得到关于b、c的二元一次方程组，解出b、c的值即可得到解析式。
【解析】
方法一（交点式法）：
∵ 二次函数$y=2x^2+bx+c$的图象交$x$轴于$(5,0),(1,0)$两点，二次项系数$a=2$
∴ 代入交点式$y=a(x-x_1)(x-x_2)$（$x_1、x_2$为函数与x轴交点的横坐标）得：
$y=2(x-1)(x-5)$
展开整理得：
$y=2(x^2-6x+5)=2x^2-12x+10$
方法二（待定系数法）：
将$(1,0)$、$(5,0)$代入$y=2x^2+bx+c$，可得方程组：
$\begin{cases}2×1^2 + b + c = 0 \\2×5^2 + 5b + c = 0\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}b + c = -2 ①\\5b + c = -50 ②\end{cases}$
用②-①消去c得：$4b=-48$，解得$b=-12$
将$b=-12$代入①得：$-12 + c = -2$，解得$c=10$
∴ 二次函数解析式为$y=2x^2-12x+10$
【答案】
$y=2x^2-12x+10$
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数交点式，二次函数与x轴交点
【点评】
本题是求二次函数解析式的基础题型，既可以用更简便的交点式快速求解，也可以用通用的待定系数法计算，熟练掌握两种方法能有效提升同类题的解题效率。
【难度系数】
0.8
已知二次函数的二次项系数为2，且给出了图象与x轴的两个交点坐标，有两种解题思路：思路一：利用二次函数交点式，直接代入交点横坐标和a的值，再整理为一般式即可，这种方法更简便；思路二：用待定系数法，将两个交点坐标代入一般式，得到关于b、c的二元一次方程组，解出b、c的值即可得到解析式。
【解析】
方法一（交点式法）：
∵ 二次函数$y=2x^2+bx+c$的图象交$x$轴于$(5,0),(1,0)$两点，二次项系数$a=2$
∴ 代入交点式$y=a(x-x_1)(x-x_2)$（$x_1、x_2$为函数与x轴交点的横坐标）得：
$y=2(x-1)(x-5)$
展开整理得：
$y=2(x^2-6x+5)=2x^2-12x+10$
方法二（待定系数法）：
将$(1,0)$、$(5,0)$代入$y=2x^2+bx+c$，可得方程组：
$\begin{cases}2×1^2 + b + c = 0 \\2×5^2 + 5b + c = 0\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}b + c = -2 ①\\5b + c = -50 ②\end{cases}$
用②-①消去c得：$4b=-48$，解得$b=-12$
将$b=-12$代入①得：$-12 + c = -2$，解得$c=10$
∴ 二次函数解析式为$y=2x^2-12x+10$
【答案】
$y=2x^2-12x+10$
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数交点式，二次函数与x轴交点
【点评】
本题是求二次函数解析式的基础题型，既可以用更简便的交点式快速求解，也可以用通用的待定系数法计算，熟练掌握两种方法能有效提升同类题的解题效率。
【难度系数】
0.8
9.如下图，抛物线$y=x^2+bx+c$与x轴相交于A(-3,0)，B(1,0)两点，与y轴交于点C。
(1)求抛物线的解析式.
(2)若抛物线上存在一点P(不与点C重合)，使得$S_{△ ABP}=S_{△ ABC}$，请求出点P的坐标.
(1)求抛物线的解析式.
(2)若抛物线上存在一点P(不与点C重合)，使得$S_{△ ABP}=S_{△ ABC}$，请求出点P的坐标.
答案
解:(1)抛物线的解析式为$y=(x-1)(x+3)=x^2+2x-3$.
(2)令$x=0$,则$y=-3$,
∴$C(0,-3)$.
∵$S_{△ABP}=S_{△ABC}$,
∴点$P$的纵坐标为3或−3.
令$x^2+2x-3=3$,得$x_1=-1+\sqrt{7}$,$x_2=-1-\sqrt{7}$;
令$x^2+2x-3=-3$,得$x_3=0$(舍去),$x_4=-2$.
综上所述,点$P$的坐标为$(-2,-3)$或$(-1+\sqrt{7},3)$或$(-1-\sqrt{7},3)$.
(2)令$x=0$,则$y=-3$,
∴$C(0,-3)$.
∵$S_{△ABP}=S_{△ABC}$,
∴点$P$的纵坐标为3或−3.
令$x^2+2x-3=3$,得$x_1=-1+\sqrt{7}$,$x_2=-1-\sqrt{7}$;
令$x^2+2x-3=-3$,得$x_3=0$(舍去),$x_4=-2$.
综上所述,点$P$的坐标为$(-2,-3)$或$(-1+\sqrt{7},3)$或$(-1-\sqrt{7},3)$.
解析
【分析】
(1) 已知抛物线与x轴的两个交点A、B的坐标，可选用交点式快速求解析式，也可将两点坐标代入一般式列二元一次方程组求解，两种方法都符合当前学段知识要求。
(2) △ABP和△ABC有公共底AB，若面积相等，则两个三角形AB边上的高相等；由于AB在x轴上，高即为点的纵坐标的绝对值，因此先求点C的纵坐标，得到P点纵坐标的可能值，再分别代入抛物线解析式求解横坐标，最后排除与C重合的点即可。
【解析】
(1)
∵抛物线$y=x^2+bx+c$与x轴交于A(-3,0)、B(1,0)两点，
∴可设抛物线的交点式为$y=(x-1)(x+3)$，
展开化简得：$y=x^2+2x-3$，即为抛物线的解析式。
(2) 求点C坐标：令$x=0$，代入$y=x^2+2x-3$，得$y=-3$，
∴$C(0,-3)$。
∵△ABP和△ABC同底AB，且$S_{△ABP}=S_{△ABC}$，
∴点P到x轴（AB所在直线）的距离等于点C到x轴的距离，即$|y_P|=|-3|=3$，分两种情况讨论：
① 当$y_P=3$时，令$x^2+2x-3=3$，整理得$x^2+2x-6=0$，
解得$x_1=-1+\sqrt{7}$，$x_2=-1-\sqrt{7}$，对应点为$(-1+\sqrt{7},3)$、$(-1-\sqrt{7},3)$；
② 当$y_P=-3$时，令$x^2+2x-3=-3$，整理得$x^2+2x=0$，
解得$x_3=0$，$x_4=-2$，由于点P不与C重合，$x=0$对应点为C，故舍去，得点$(-2,-3)$。
【答案】
(1) $y=x^2+2x-3$
(2) $(-2,-3)$或$(-1+\sqrt{7},3)$或$(-1-\sqrt{7},3)$
【知识点】
二次函数解析式求解；三角形面积公式；二次函数点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数基础综合题，第一问选择交点式求解解析式可大幅简化计算；第二问的解题核心是利用“同底三角形面积相等则高相等”，将面积关系转化为点的纵坐标的数量关系，解题时注意分类讨论避免漏解，同时要排除不符合题意的重合点。
【难度系数】
0.7
(1) 已知抛物线与x轴的两个交点A、B的坐标，可选用交点式快速求解析式，也可将两点坐标代入一般式列二元一次方程组求解，两种方法都符合当前学段知识要求。
(2) △ABP和△ABC有公共底AB，若面积相等，则两个三角形AB边上的高相等；由于AB在x轴上，高即为点的纵坐标的绝对值，因此先求点C的纵坐标，得到P点纵坐标的可能值，再分别代入抛物线解析式求解横坐标，最后排除与C重合的点即可。
【解析】
(1)
∵抛物线$y=x^2+bx+c$与x轴交于A(-3,0)、B(1,0)两点，
∴可设抛物线的交点式为$y=(x-1)(x+3)$，
展开化简得：$y=x^2+2x-3$，即为抛物线的解析式。
(2) 求点C坐标：令$x=0$，代入$y=x^2+2x-3$，得$y=-3$，
∴$C(0,-3)$。
∵△ABP和△ABC同底AB，且$S_{△ABP}=S_{△ABC}$，
∴点P到x轴（AB所在直线）的距离等于点C到x轴的距离，即$|y_P|=|-3|=3$，分两种情况讨论：
① 当$y_P=3$时，令$x^2+2x-3=3$，整理得$x^2+2x-6=0$，
解得$x_1=-1+\sqrt{7}$，$x_2=-1-\sqrt{7}$，对应点为$(-1+\sqrt{7},3)$、$(-1-\sqrt{7},3)$；
② 当$y_P=-3$时，令$x^2+2x-3=-3$，整理得$x^2+2x=0$，
解得$x_3=0$，$x_4=-2$，由于点P不与C重合，$x=0$对应点为C，故舍去，得点$(-2,-3)$。
【答案】
(1) $y=x^2+2x-3$
(2) $(-2,-3)$或$(-1+\sqrt{7},3)$或$(-1-\sqrt{7},3)$
【知识点】
二次函数解析式求解；三角形面积公式；二次函数点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数基础综合题，第一问选择交点式求解解析式可大幅简化计算；第二问的解题核心是利用“同底三角形面积相等则高相等”，将面积关系转化为点的纵坐标的数量关系，解题时注意分类讨论避免漏解，同时要排除不符合题意的重合点。
【难度系数】
0.7
10. (2025—2026 高安检测)将抛物线 $y=6x^2$ 向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到的新抛物线是 (
A.$y=6(x+2)^2 -4$
B.$y=6(x-2)^2 -4$
C.$y=6(x+2)^2 +4$
D.$y=6(x-2)^2 +4$
A
)A.$y=6(x+2)^2 -4$
B.$y=6(x-2)^2 -4$
C.$y=6(x+2)^2 +4$
D.$y=6(x-2)^2 +4$
答案
A
解析
【分析】
解决这道题的核心是掌握二次函数图像平移的“左加右减，上加下减”规律。首先明确平移操作的对象：左右平移是针对自变量x进行变换，向左平移给x加平移的单位长度，向右平移给x减平移的单位长度；上下平移是针对函数整体进行变换，向上平移在整体后加平移的单位长度，向下平移在整体后减平移的单位长度。我们先处理向左平移的变换，再处理向下平移的变换，就能得到新抛物线的解析式。
【解析】
已知原抛物线解析式为$y=6x^2$。
第一步：将抛物线向左平移2个单位长度，根据“左加右减”的规律，将自变量$x$替换为$x+2$，得到平移后的解析式为$y=6(x+2)^2$；
第二步：再将得到的抛物线向下平移4个单位长度，根据“上加下减”的规律，在解析式整体后减去4，得到最终的新抛物线解析式为$y=6(x+2)^2 -4$。
因此符合要求的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
1.二次函数图象平移规律
2.二次函数解析式变换
【点评】
本题属于基础题型，重点考察二次函数平移规律的应用，解题时需要注意区分左右平移和上下平移的不同操作对象，避免混淆“左加右减”和“上加下减”的适用范围即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
解决这道题的核心是掌握二次函数图像平移的“左加右减，上加下减”规律。首先明确平移操作的对象：左右平移是针对自变量x进行变换，向左平移给x加平移的单位长度，向右平移给x减平移的单位长度；上下平移是针对函数整体进行变换，向上平移在整体后加平移的单位长度，向下平移在整体后减平移的单位长度。我们先处理向左平移的变换，再处理向下平移的变换，就能得到新抛物线的解析式。
【解析】
已知原抛物线解析式为$y=6x^2$。
第一步：将抛物线向左平移2个单位长度，根据“左加右减”的规律，将自变量$x$替换为$x+2$，得到平移后的解析式为$y=6(x+2)^2$；
第二步：再将得到的抛物线向下平移4个单位长度，根据“上加下减”的规律，在解析式整体后减去4，得到最终的新抛物线解析式为$y=6(x+2)^2 -4$。
因此符合要求的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
1.二次函数图象平移规律
2.二次函数解析式变换
【点评】
本题属于基础题型，重点考察二次函数平移规律的应用，解题时需要注意区分左右平移和上下平移的不同操作对象，避免混淆“左加右减”和“上加下减”的适用范围即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
11.将抛物线$y=(x+3)^2$向下平移1个单位长度，再向右平移
2或4
个单位长度后，得到的新抛物线经过原点。答案
2或4
解析
【分析】
解题时首先牢记二次函数图象平移的“左加右减，上加下减”规则，我们可以先设向右平移的单位长度为$h(h＞0)$，先写出向下平移1个单位后的抛物线解析式，再结合向右平移的规则得到最终平移后的解析式，已知新抛物线过原点$(0,0)$，将原点坐标代入解析式就能得到关于$h$的一元二次方程，解方程后得到的正数值就是符合要求的平移长度。
【解析】
解：设向右平移$h$个单位长度（$h＞0$）。
1. 根据“上加下减”的平移规则，将抛物线$y=(x+3)^2$向下平移1个单位长度后，解析式为：$y=(x+3)^2 -1$；
2. 根据“左加右减”的平移规则，将上述抛物线向右平移$h$个单位长度后，自变量$x$替换为$x-h$，得到新抛物线解析式：$y=(x+3-h)^2 -1$；
3. 已知新抛物线经过原点$(0,0)$，把$x=0,y=0$代入解析式得：
$0=(0+3-h)^2 -1$
整理得$(h-3)^2=1$
开平方得$h-3=\pm1$
解得$h_1=4$，$h_2=2$，两个解均为正数，符合向右平移的要求。
【答案】
2或4
【知识点】
1. 二次函数图象平移规律
2. 二次函数图象上点的坐标特征
3. 解一元二次方程
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，解题关键是准确运用平移规则写出平移后的函数解析式，代入已知点坐标解方程即可，注意不要漏解，两个正解都符合题意。
【难度系数】
0.7
解题时首先牢记二次函数图象平移的“左加右减，上加下减”规则，我们可以先设向右平移的单位长度为$h(h＞0)$，先写出向下平移1个单位后的抛物线解析式，再结合向右平移的规则得到最终平移后的解析式，已知新抛物线过原点$(0,0)$，将原点坐标代入解析式就能得到关于$h$的一元二次方程，解方程后得到的正数值就是符合要求的平移长度。
【解析】
解：设向右平移$h$个单位长度（$h＞0$）。
1. 根据“上加下减”的平移规则，将抛物线$y=(x+3)^2$向下平移1个单位长度后，解析式为：$y=(x+3)^2 -1$；
2. 根据“左加右减”的平移规则，将上述抛物线向右平移$h$个单位长度后，自变量$x$替换为$x-h$，得到新抛物线解析式：$y=(x+3-h)^2 -1$；
3. 已知新抛物线经过原点$(0,0)$，把$x=0,y=0$代入解析式得：
$0=(0+3-h)^2 -1$
整理得$(h-3)^2=1$
开平方得$h-3=\pm1$
解得$h_1=4$，$h_2=2$，两个解均为正数，符合向右平移的要求。
【答案】
2或4
【知识点】
1. 二次函数图象平移规律
2. 二次函数图象上点的坐标特征
3. 解一元二次方程
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，解题关键是准确运用平移规则写出平移后的函数解析式，代入已知点坐标解方程即可，注意不要漏解，两个正解都符合题意。
【难度系数】
0.7
12.已知抛物线$y=2x^2 -4x +1$，求：
(1)它关于x轴对称的抛物线对应的函数解析式.
(2)它关于y轴对称的抛物线对应的函数解析式.
(1)它关于x轴对称的抛物线对应的函数解析式.
(2)它关于y轴对称的抛物线对应的函数解析式.
答案
解:(1)$∵y=2x^2-4x+1=2(x-1)^2-1$,
∴抛物线的顶点坐标为$(1,-1)$.
∵点$(1,-1)$关于$x$轴对称的对应点的坐标为$(1,1)$,
∴原抛物线关于$x$轴对称的抛物线对应的函数解析式为$y=-2(x-1)^2+1$.
(2)
∵点$(1,-1)$关于$y$轴对称的对应点的坐标为$(-1,-1)$,
∴原抛物线关于$y$轴对称的抛物线对应的函数解析式为$y=2(x+1)^2-1$.
∴抛物线的顶点坐标为$(1,-1)$.
∵点$(1,-1)$关于$x$轴对称的对应点的坐标为$(1,1)$,
∴原抛物线关于$x$轴对称的抛物线对应的函数解析式为$y=-2(x-1)^2+1$.
(2)
∵点$(1,-1)$关于$y$轴对称的对应点的坐标为$(-1,-1)$,
∴原抛物线关于$y$轴对称的抛物线对应的函数解析式为$y=2(x+1)^2-1$.
解析
【分析】
要解决抛物线关于坐标轴对称的解析式问题，可按以下思路推导：①先将原二次函数配方为顶点式，确定原抛物线的顶点坐标与二次项系数（决定开口大小和方向）；②关于x轴对称时，抛物线开口大小不变、方向相反（二次项系数变为原数的相反数），顶点为原顶点关于x轴的对称点，代入顶点式即可得新解析式；③关于y轴对称时，抛物线开口大小和方向均不变（二次项系数不变），顶点为原顶点关于y轴的对称点，代入顶点式即可得新解析式。
【解析】
(1) 先将原抛物线解析式化为顶点式：
$y=2x^2-4x+1=2(x^2-2x)+1=2(x-1)^2-1$
可得原抛物线的顶点坐标为$(1,-1)$。
点$(1,-1)$关于x轴对称的对应点坐标为$(1,1)$，且关于x轴对称的抛物线开口方向与原抛物线相反，二次项系数为$-2$，因此所求解析式为：
$y=-2(x-1)^2+1$
(2) 点$(1,-1)$关于y轴对称的对应点坐标为$(-1,-1)$，且关于y轴对称的抛物线开口方向、大小均与原抛物线相同，二次项系数仍为2，因此所求解析式为：
$y=2(x+1)^2-1$
【答案】
(1) $y=-2(x-1)^2+1$
(2) $y=2(x+1)^2-1$
【知识点】
1. 二次函数的顶点式
2. 二次函数的轴对称变换
3. 关于坐标轴对称的点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数轴对称变换的常规题型，解题的核心是抓住轴对称前后顶点的坐标变化规律、二次项系数的变化规律，熟练掌握相关变换规则即可快速求解。
【难度系数】
0.7
要解决抛物线关于坐标轴对称的解析式问题，可按以下思路推导：①先将原二次函数配方为顶点式，确定原抛物线的顶点坐标与二次项系数（决定开口大小和方向）；②关于x轴对称时，抛物线开口大小不变、方向相反（二次项系数变为原数的相反数），顶点为原顶点关于x轴的对称点，代入顶点式即可得新解析式；③关于y轴对称时，抛物线开口大小和方向均不变（二次项系数不变），顶点为原顶点关于y轴的对称点，代入顶点式即可得新解析式。
【解析】
(1) 先将原抛物线解析式化为顶点式：
$y=2x^2-4x+1=2(x^2-2x)+1=2(x-1)^2-1$
可得原抛物线的顶点坐标为$(1,-1)$。
点$(1,-1)$关于x轴对称的对应点坐标为$(1,1)$，且关于x轴对称的抛物线开口方向与原抛物线相反，二次项系数为$-2$，因此所求解析式为：
$y=-2(x-1)^2+1$
(2) 点$(1,-1)$关于y轴对称的对应点坐标为$(-1,-1)$，且关于y轴对称的抛物线开口方向、大小均与原抛物线相同，二次项系数仍为2，因此所求解析式为：
$y=2(x+1)^2-1$
【答案】
(1) $y=-2(x-1)^2+1$
(2) $y=2(x+1)^2-1$
【知识点】
1. 二次函数的顶点式
2. 二次函数的轴对称变换
3. 关于坐标轴对称的点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数轴对称变换的常规题型，解题的核心是抓住轴对称前后顶点的坐标变化规律、二次项系数的变化规律，熟练掌握相关变换规则即可快速求解。
【难度系数】
0.7
