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1. 一题多解法 已知二次函数$y=-x^2+bx+c$的图象的顶点坐标为$(1,5)$，那么关于$x$的一元二次方程$-x^2+bx+c-4=0$的根的情况是（
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定
A
）A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定
答案
【解析】由题意,知二次函数的解析式为 $y=-(x-1)^2+5=-x^2+2x+4$,则 $-x^2+bx+c-4=0$,即$-x^2+2x=0$,解得 $x_1=0,x_2=2$. 故该方程有两个不相等的实数根.
一题多解法
∵抛物线 $y=-x^2+bx+c$ 开口向下,顶点坐标为(1,5),
∴画出抛物线 $y=-x^2+bx+c$ 与直线 $y=4$ 如图所示
. 由图可知,抛物线 $y=-x^2+bx+c$ 与直线 $y=4$ 有两个交点. 故方程 $-x^2+bx+c-4=0$ 有两个不相等的实数根.解析
【分析】
解题可从两种思路入手：①代数法：先利用顶点坐标求出二次函数的解析式，再代入一元二次方程，通过求解或计算判别式判断根的情况；②数形结合法：将方程$-x^2+bx+c-4=0$转化为$-x^2+bx+c=4$，方程的根对应抛物线$y=-x^2+bx+c$与直线$y=4$交点的横坐标，结合抛物线开口方向、顶点位置判断交点个数，即可得到根的情况。
【解析】
方法一（代数法）：
已知二次函数$y=-x^2+bx+c$的顶点为$(1,5)$，代入顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a=-1$，$h=1$，$k=5$），得：
$y=-(x-1)^2+5=-x^2+2x+4$
将$b=2$、$c=4$代入方程$-x^2+bx+c-4=0$，得：
$-x^2+2x+4-4=0$，化简为$-x^2+2x=0$
因式分解得$x(-x+2)=0$，解得$x_1=0$，$x_2=2$，因此方程有两个不相等的实数根。
方法二（数形结合法）：
方程$-x^2+bx+c-4=0$可变形为$-x^2+bx+c=4$，其根为抛物线$y=-x^2+bx+c$与直线$y=4$交点的横坐标。
已知抛物线开口向下，顶点坐标为$(1,5)$，顶点纵坐标$5＞4$，说明顶点在直线$y=4$上方，因此抛物线与直线$y=4$有2个交点，对应方程有两个不相等的实数根。
【答案】A
【知识点】
二次函数的性质；二次函数与一元二次方程的关系；一元二次方程根的判定
【点评】
本题既可以通过代数运算求解，也可以利用数形结合思想快速判断，其中数形结合法更直观简便，熟练掌握函数与方程的对应关系，能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.7
解题可从两种思路入手：①代数法：先利用顶点坐标求出二次函数的解析式，再代入一元二次方程，通过求解或计算判别式判断根的情况；②数形结合法：将方程$-x^2+bx+c-4=0$转化为$-x^2+bx+c=4$，方程的根对应抛物线$y=-x^2+bx+c$与直线$y=4$交点的横坐标，结合抛物线开口方向、顶点位置判断交点个数，即可得到根的情况。
【解析】
方法一（代数法）：
已知二次函数$y=-x^2+bx+c$的顶点为$(1,5)$，代入顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a=-1$，$h=1$，$k=5$），得：
$y=-(x-1)^2+5=-x^2+2x+4$
将$b=2$、$c=4$代入方程$-x^2+bx+c-4=0$，得：
$-x^2+2x+4-4=0$，化简为$-x^2+2x=0$
因式分解得$x(-x+2)=0$，解得$x_1=0$，$x_2=2$，因此方程有两个不相等的实数根。
方法二（数形结合法）：
方程$-x^2+bx+c-4=0$可变形为$-x^2+bx+c=4$，其根为抛物线$y=-x^2+bx+c$与直线$y=4$交点的横坐标。
已知抛物线开口向下，顶点坐标为$(1,5)$，顶点纵坐标$5＞4$，说明顶点在直线$y=4$上方，因此抛物线与直线$y=4$有2个交点
，对应方程有两个不相等的实数根。【答案】A
【知识点】
二次函数的性质；二次函数与一元二次方程的关系；一元二次方程根的判定
【点评】
本题既可以通过代数运算求解，也可以利用数形结合思想快速判断，其中数形结合法更直观简便，熟练掌握函数与方程的对应关系，能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.7
2.(2025—2026新余期中)已知二次函数$y=ax^2+bx+c$的变量$x,y$的部分对应值如下表：
根据表中信息，可得一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的一个近似解$x_1$的范围是 （
A.$-3＜x_1＜-2$
B.$-2＜x_1＜-1$
C.$-1＜x_1＜0$
D.$0＜x_1＜1$
根据表中信息，可得一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的一个近似解$x_1$的范围是 （
C
）A.$-3＜x_1＜-2$
B.$-2＜x_1＜-1$
C.$-1＜x_1＜0$
D.$0＜x_1＜1$
答案
2.C
解析
【分析】
要确定一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的近似解范围，首先明确二者的对应关系：方程的解就是二次函数$y=ax^2+bx+c$中函数值$y=0$时对应的$x$值。二次函数的图象是连续的曲线，若在某个$x$区间内$y$值从负变为正（或从正变为负），则这个区间内必然存在一个$x$使得$y=0$，也就是方程的解。接下来只需观察表格中$y$值的正负变化区间即可求解。
【解析】
观察表格中的函数值：
当$x=-1$时，$y=-1＜0$；当$x=0$时，$y=1＞0$。
由于二次函数图象是连续的，因此在$-1＜x＜0$这个区间内，必然存在某个$x$的值使得$y=0$，即一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的一个近似解$x_1$的范围是$-1＜x_1＜0$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系，二次函数图象性质
【点评】
本题核心是利用二次函数与对应一元二次方程的联系解题，只要掌握方程的解对应函数值为0的横坐标这一规律，通过观察函数值的正负变化就能快速确定解的范围，是对基础知识点的常规考查。
【难度系数】
0.8
要确定一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的近似解范围，首先明确二者的对应关系：方程的解就是二次函数$y=ax^2+bx+c$中函数值$y=0$时对应的$x$值。二次函数的图象是连续的曲线，若在某个$x$区间内$y$值从负变为正（或从正变为负），则这个区间内必然存在一个$x$使得$y=0$，也就是方程的解。接下来只需观察表格中$y$值的正负变化区间即可求解。
【解析】
观察表格中的函数值：
当$x=-1$时，$y=-1＜0$；当$x=0$时，$y=1＞0$。
由于二次函数图象是连续的，因此在$-1＜x＜0$这个区间内，必然存在某个$x$的值使得$y=0$，即一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的一个近似解$x_1$的范围是$-1＜x_1＜0$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系，二次函数图象性质
【点评】
本题核心是利用二次函数与对应一元二次方程的联系解题，只要掌握方程的解对应函数值为0的横坐标这一规律，通过观察函数值的正负变化就能快速确定解的范围，是对基础知识点的常规考查。
【难度系数】
0.8
3. 如下图，直线 $ y = x + m $ 和抛物线 $ y = x^2 + bx + c $ 都经过点 $ A(1,0) $，$ B(3,2) $。
(1) 求 $ m $ 的值和抛物线的解析式。
(2) 根据图象直接写出不等式 $ x^2 + bx + c ＞ x + m $ 的解集。
(1) 求 $ m $ 的值和抛物线的解析式。
(2) 根据图象直接写出不等式 $ x^2 + bx + c ＞ x + m $ 的解集。
答案
解:(1)把 $ A(1,0) $ 代入直线 $ y = x + m $,得 $ 0=1+m $,解得 $ m=-1 $.
把 $ A(1,0),B(3,2) $ 代入抛物线 $ y = x^2 + bx + c $,得
$\begin{cases}0=1+b+c,\\2=9+3b+c,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}b=-3,\\c=2,\end{cases}$
∴抛物线的解析式为 $ y=x^2-3x+2 $.
(2)$x＜1$ 或 $x＞3$.
把 $ A(1,0),B(3,2) $ 代入抛物线 $ y = x^2 + bx + c $,得
$\begin{cases}0=1+b+c,\\2=9+3b+c,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}b=-3,\\c=2,\end{cases}$
∴抛物线的解析式为 $ y=x^2-3x+2 $.
(2)$x＜1$ 或 $x＞3$.
解析
【分析】
(1) 求m的值时，已知直线$y=x+m$过点$A(1,0)$，将点A坐标代入直线解析式即可求出m；求抛物线解析式时，抛物线$y=x^2+bx+c$经过$A(1,0)$、$B(3,2)$两点，将两点坐标分别代入抛物线解析式，得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组求出b、c的值，即可确定抛物线的解析式。
(2) 不等式$x^2+bx+c＞x+m$的几何意义是抛物线的图像在直线图像上方时对应的x的取值范围，观察图像可知两个函数的交点横坐标为1和3，结合图像走势即可直接写出不等式的解集。
【解析】
(1) 把点$A(1,0)$代入直线$y = x + m$，得：
$0 = 1 + m$
解得$m = -1$
把$A(1,0)$、$B(3,2)$代入抛物线$y = x^2 + bx + c$，得方程组：
$\begin{cases}0=1+b+c\\2=9+3b+c\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$2 = 8 + 2b$，解得$b = -3$
将$b=-3$代入$0=1+b+c$，得$0=1-3+c$，解得$c=2$
∴抛物线的解析式为$y = x^2 - 3x + 2$
(2) 观察图像可知，当$x＜1$或$x＞3$时，抛物线位于直线的上方，即此时$x^2 + bx + c ＞ x + m$
∴不等式的解集为$x＜1$或$x＞3$
【答案】
(1) $m=-1$，抛物线的解析式为$y=x^2-3x+2$；
(2) $x＜1$或$x＞3$
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 二次函数与不等式的关系
【点评】
本题属于基础题型，第一问考查待定系数法的常规应用，计算难度较低；第二问考查数形结合思想，将不等式的求解转化为函数图像位置关系的判断，理解函数值大小与图像上下位置的对应关系是解题的关键。
【难度系数】
0.8
(1) 求m的值时，已知直线$y=x+m$过点$A(1,0)$，将点A坐标代入直线解析式即可求出m；求抛物线解析式时，抛物线$y=x^2+bx+c$经过$A(1,0)$、$B(3,2)$两点，将两点坐标分别代入抛物线解析式，得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组求出b、c的值，即可确定抛物线的解析式。
(2) 不等式$x^2+bx+c＞x+m$的几何意义是抛物线的图像在直线图像上方时对应的x的取值范围，观察图像可知两个函数的交点横坐标为1和3，结合图像走势即可直接写出不等式的解集。
【解析】
(1) 把点$A(1,0)$代入直线$y = x + m$，得：
$0 = 1 + m$
解得$m = -1$
把$A(1,0)$、$B(3,2)$代入抛物线$y = x^2 + bx + c$，得方程组：
$\begin{cases}0=1+b+c\\2=9+3b+c\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$2 = 8 + 2b$，解得$b = -3$
将$b=-3$代入$0=1+b+c$，得$0=1-3+c$，解得$c=2$
∴抛物线的解析式为$y = x^2 - 3x + 2$
(2) 观察图像可知，当$x＜1$或$x＞3$时，抛物线位于直线的上方，即此时$x^2 + bx + c ＞ x + m$
∴不等式的解集为$x＜1$或$x＞3$
【答案】
(1) $m=-1$，抛物线的解析式为$y=x^2-3x+2$；
(2) $x＜1$或$x＞3$
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 二次函数与不等式的关系
【点评】
本题属于基础题型，第一问考查待定系数法的常规应用，计算难度较低；第二问考查数形结合思想，将不等式的求解转化为函数图像位置关系的判断，理解函数值大小与图像上下位置的对应关系是解题的关键。
【难度系数】
0.8
