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1. [2025扬州中考]已知$m^{2025}+2025m=2025$，则一次函数$y=(1-m)x+m$的图象不经过（
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
D
）A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
D $\because m^{2025} +2025m =2025, \therefore m＞0$ 且 $2025m ＜2025$,
$\therefore 0 ＜ m ＜1, \therefore 1 -m ＞0, \therefore$ 一次函数 $y = (1 -m)x +m$ 的图象经过第一、二、三象限, 不经过第四象限.
$\therefore 0 ＜ m ＜1, \therefore 1 -m ＞0, \therefore$ 一次函数 $y = (1 -m)x +m$ 的图象经过第一、二、三象限, 不经过第四象限.
解析
【分析】
要判断一次函数图象不经过的象限，需先明确一次函数的斜率（x的系数）和常数项的正负，因此首先要根据已知方程$m^{2025}+2025m=2025$推导m的取值范围。第一步先判断m的正负：由于2025是奇数，若m≤0，$m^{2025}$和2025m均为非正数，和不可能等于2025，因此m＞0；第二步判断m与1的大小：若m≥1，2025m≥2025，加上非负的$m^{2025}$，总和会大于2025，与方程矛盾，因此m＜1，得到0＜m＜1后，再代入一次函数的系数判断正负，最后结合一次函数图象性质即可得出结论。
【解析】
已知$m^{2025}+2025m=2025$，推导m的取值范围：
1. 若$m≤0$：
∵2025是奇数，
∴$m^{2025}≤0$，$2025m≤0$，
则$m^{2025}+2025m≤0$，与等式结果为2025矛盾，故$m＞0$；
2. 若$m≥1$：
则$2025m≥2025×1=2025$，且$m^{2025}≥1^{2025}=1$，
则$m^{2025}+2025m≥2025+1=2026＞2025$，与等式矛盾，故$m＜1$；
综上可得$0＜m＜1$。
对于一次函数$y=(1-m)x+m$：
x的系数$k=1-m$，
∵$m＜1$，
∴$k=1-m＞0$；
常数项$b=m$，
∵$m＞0$，
∴$b＞0$。
根据一次函数图象性质：k＞0时直线呈上升趋势，b＞0时直线与y轴交于正半轴，因此该函数图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限。
【答案】
D
【知识点】
一次函数图象与系数的关系，奇次幂的符号特征
【点评】
本题将方程推导与一次函数性质相结合，解题核心是通过分类讨论求出参数m的取值范围，再结合一次函数系数与图象象限的对应关系求解，侧重考察逻辑推理能力和知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
要判断一次函数图象不经过的象限，需先明确一次函数的斜率（x的系数）和常数项的正负，因此首先要根据已知方程$m^{2025}+2025m=2025$推导m的取值范围。第一步先判断m的正负：由于2025是奇数，若m≤0，$m^{2025}$和2025m均为非正数，和不可能等于2025，因此m＞0；第二步判断m与1的大小：若m≥1，2025m≥2025，加上非负的$m^{2025}$，总和会大于2025，与方程矛盾，因此m＜1，得到0＜m＜1后，再代入一次函数的系数判断正负，最后结合一次函数图象性质即可得出结论。
【解析】
已知$m^{2025}+2025m=2025$，推导m的取值范围：
1. 若$m≤0$：
∵2025是奇数，
∴$m^{2025}≤0$，$2025m≤0$，
则$m^{2025}+2025m≤0$，与等式结果为2025矛盾，故$m＞0$；
2. 若$m≥1$：
则$2025m≥2025×1=2025$，且$m^{2025}≥1^{2025}=1$，
则$m^{2025}+2025m≥2025+1=2026＞2025$，与等式矛盾，故$m＜1$；
综上可得$0＜m＜1$。
对于一次函数$y=(1-m)x+m$：
x的系数$k=1-m$，
∵$m＜1$，
∴$k=1-m＞0$；
常数项$b=m$，
∵$m＞0$，
∴$b＞0$。
根据一次函数图象性质：k＞0时直线呈上升趋势，b＞0时直线与y轴交于正半轴，因此该函数图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限。
【答案】
D
【知识点】
一次函数图象与系数的关系，奇次幂的符号特征
【点评】
本题将方程推导与一次函数性质相结合，解题核心是通过分类讨论求出参数m的取值范围，再结合一次函数系数与图象象限的对应关系求解，侧重考察逻辑推理能力和知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
2. [2024内江中考]如图,在平面直角坐标系中,$AB⊥y$轴,垂足为点$B$,将$△ ABO$绕点$A$逆时针旋转到$△ AB_{1}O_{1}$的位置,使点$B$的对应点$B_{1}$落在直线$y = -\frac{3}{4}x$上,再将$△ AB_{1}O_{1}$绕点$B_{1}$逆时针旋转到$△ A_{1}B_{1}O_{2}$的位置,使点$O_{1}$的对应点$O_{2}$也落在直线$y = -\frac{3}{4}x$上,如此下去,…,若点$B$的坐标为$(0,3)$,则点$B_{37}$的坐标为 (
A.$(180,135)$
B.$(180,133)$
C.$(-180,135)$
D.$(-180,133)$
C
)A.$(180,135)$
B.$(180,133)$
C.$(-180,135)$
D.$(-180,133)$
答案
C 将 $y = 3$ 代入 $y = -\frac{3}{4}x$, 得 $x = -4, \therefore A(-4,3)$,
$\therefore OB =3, AB =4$. 在 $\mathrm{Rt}△ ABO$ 中, 由勾股定理, 得 $AO = \sqrt{OB^2 + AB^2} = \sqrt{3^2 +4^2} =5, \therefore C_{△ OAB} =3 +4 +5 =12$. 由旋转可知, 点 $B_{2n-1}(n$ 为正整数) 在直线 $y = -\frac{3}{4}x$ 上. $\because OB_1 =5 +4 =9, OB_3 =9 +12, OB_5 =9 +2 × 12, ···, \therefore OB_{2n-1} =9 +12(n-1) =12n -3$. 令 $2n -1 =37$, 解得 $n =19, \therefore 12n -3 =12 × 19 -3 =225$, 即 $OB_{37} =225$. 令点 $B_{37}$ 的坐标为 $(m, -\frac{3}{4}m)$,
$\therefore m^2 + (-\frac{3}{4}m)^2 =225^2$, 解得 $m = -180$(舍去 180),
$\therefore -\frac{3}{4}m =135, \therefore$ 点 $B_{37}$ 的坐标为 $(-180,135)$.
$\therefore OB =3, AB =4$. 在 $\mathrm{Rt}△ ABO$ 中, 由勾股定理, 得 $AO = \sqrt{OB^2 + AB^2} = \sqrt{3^2 +4^2} =5, \therefore C_{△ OAB} =3 +4 +5 =12$. 由旋转可知, 点 $B_{2n-1}(n$ 为正整数) 在直线 $y = -\frac{3}{4}x$ 上. $\because OB_1 =5 +4 =9, OB_3 =9 +12, OB_5 =9 +2 × 12, ···, \therefore OB_{2n-1} =9 +12(n-1) =12n -3$. 令 $2n -1 =37$, 解得 $n =19, \therefore 12n -3 =12 × 19 -3 =225$, 即 $OB_{37} =225$. 令点 $B_{37}$ 的坐标为 $(m, -\frac{3}{4}m)$,
$\therefore m^2 + (-\frac{3}{4}m)^2 =225^2$, 解得 $m = -180$(舍去 180),
$\therefore -\frac{3}{4}m =135, \therefore$ 点 $B_{37}$ 的坐标为 $(-180,135)$.
解析
【分析】
首先从已知条件入手：已知B点坐标为$(0,3)$且$AB⊥ y$轴，可得A点纵坐标为3，代入直线$y=-\frac{3}{4}x$即可求出A点坐标，进而得到$Rt△ ABO$的三条边长；再根据旋转的性质，旋转前后对应边长度不变，观察可知所有下标为奇数的$B$点都在直线$y=-\frac{3}{4}x$上，推导得出$OB$长度随奇数下标变化的规律；最后代入下标37求出$OB_{37}$的长度，结合一次函数解析式和勾股定理即可求出$B_{37}$的坐标。
【解析】
1. 求点A的坐标：
$\because AB⊥ y$轴，$B(0,3)$，$\therefore$点A的纵坐标为3，将$y=3$代入$y=-\frac{3}{4}x$，得$3=-\frac{3}{4}x$，解得$x=-4$，即$A(-4,3)$。
2. 计算$△ ABO$的边长和周长：
由坐标可得$OB=3$，$AB=4$，在$Rt△ ABO$中，由勾股定理得$OA=\sqrt{AB^2+OB^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$，因此$△ ABO$的周长为$3+4+5=12$。
3. 推导$OB$的长度规律：
由旋转性质可知，所有下标为奇数的点$B_{2n-1}$（$n$为正整数）都在直线$y=-\frac{3}{4}x$上，观察得：
$OB_1=OA+AB=5+4=9$，$OB_3=9+12$，$OB_5=9+2×12$，……
因此规律为$OB_{2n-1}=9+12(n-1)=12n-3$。
4. 计算$OB_{37}$的长度：
令$2n-1=37$，解得$n=19$，代入规律得$OB_{37}=12×19-3=225$。
5. 求$B_{37}$的坐标：
设$B_{37}$的坐标为$(m,-\frac{3}{4}m)$，由勾股定理得$\sqrt{m^2+(-\frac{3}{4}m)^2}=225$，解得$m=\pm180$。
$\because$点$B_{37}$在第二象限，$\therefore m=-180$，纵坐标为$-\frac{3}{4}×(-180)=135$，即$B_{37}(-180,135)$。
【答案】
C
【知识点】
1. 一次函数的图象与性质
2. 旋转的性质
3. 勾股定理
【点评】
本题是一次函数与图形旋转结合的规律探究题，解题核心是先确定三角形边长，再通过旋转性质总结奇数下标B点到原点的距离变化规律，最后结合一次函数解析式求坐标，对规律推导能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
首先从已知条件入手：已知B点坐标为$(0,3)$且$AB⊥ y$轴，可得A点纵坐标为3，代入直线$y=-\frac{3}{4}x$即可求出A点坐标，进而得到$Rt△ ABO$的三条边长；再根据旋转的性质，旋转前后对应边长度不变，观察可知所有下标为奇数的$B$点都在直线$y=-\frac{3}{4}x$上，推导得出$OB$长度随奇数下标变化的规律；最后代入下标37求出$OB_{37}$的长度，结合一次函数解析式和勾股定理即可求出$B_{37}$的坐标。
【解析】
1. 求点A的坐标：
$\because AB⊥ y$轴，$B(0,3)$，$\therefore$点A的纵坐标为3，将$y=3$代入$y=-\frac{3}{4}x$，得$3=-\frac{3}{4}x$，解得$x=-4$，即$A(-4,3)$。
2. 计算$△ ABO$的边长和周长：
由坐标可得$OB=3$，$AB=4$，在$Rt△ ABO$中，由勾股定理得$OA=\sqrt{AB^2+OB^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$，因此$△ ABO$的周长为$3+4+5=12$。
3. 推导$OB$的长度规律：
由旋转性质可知，所有下标为奇数的点$B_{2n-1}$（$n$为正整数）都在直线$y=-\frac{3}{4}x$上，观察得：
$OB_1=OA+AB=5+4=9$，$OB_3=9+12$，$OB_5=9+2×12$，……
因此规律为$OB_{2n-1}=9+12(n-1)=12n-3$。
4. 计算$OB_{37}$的长度：
令$2n-1=37$，解得$n=19$，代入规律得$OB_{37}=12×19-3=225$。
5. 求$B_{37}$的坐标：
设$B_{37}$的坐标为$(m,-\frac{3}{4}m)$，由勾股定理得$\sqrt{m^2+(-\frac{3}{4}m)^2}=225$，解得$m=\pm180$。
$\because$点$B_{37}$在第二象限，$\therefore m=-180$，纵坐标为$-\frac{3}{4}×(-180)=135$，即$B_{37}(-180,135)$。
【答案】
C
【知识点】
1. 一次函数的图象与性质
2. 旋转的性质
3. 勾股定理
【点评】
本题是一次函数与图形旋转结合的规律探究题，解题核心是先确定三角形边长，再通过旋转性质总结奇数下标B点到原点的距离变化规律，最后结合一次函数解析式求坐标，对规律推导能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
3. [2024广安中考]如图,直线$y=2x+2$与x轴、y轴分别相交于点A,B,将$△ AOB$绕点A逆时针旋转$90°$得到$△ ACD$,则点D的坐标为
$(-3,1)$
.答案
$(-3,1)$ 在 $y=2x+2$ 中, 当 $x=0$ 时, $y=2 × 0 +2 =2$; 当 $y=0$ 时, $2x+2=0$, 解得 $x=-1, \therefore B(0,2), A(-1,0)$,
$\therefore OB=2, OA=1$. 由旋转得 $CD=OB=2, AC=AO=1, AC ⊥ x$ 轴, $CD // x$ 轴, $\therefore$ 点 $D$ 的坐标为 $(-1-2,1)$, 即 $(-3,1)$.
$\therefore OB=2, OA=1$. 由旋转得 $CD=OB=2, AC=AO=1, AC ⊥ x$ 轴, $CD // x$ 轴, $\therefore$ 点 $D$ 的坐标为 $(-1-2,1)$, 即 $(-3,1)$.
解析
【分析】
要解决本题，首先需要求出直线与x轴、y轴的交点A、B的坐标，得到OA、OB的长度；再结合旋转的性质，明确旋转后对应边的长度关系和位置关系（旋转90°后对应边的垂直、平行关系），最后根据平面直角坐标系内点的位置规律计算出点D的坐标。
【解析】
1. 求点A、B的坐标：
在一次函数$y=2x+2$中，
令$x=0$，得$y=2×0+2=2$，因此点B坐标为$(0,2)$，可得$OB=2$；
令$y=0$，得$2x+2=0$，解得$x=-1$，因此点A坐标为$(-1,0)$，可得$OA=1$。
2. 结合旋转性质分析点D的位置：
$\because △ AOB$绕点A逆时针旋转$90°$得到$△ ACD$，
$\therefore$ 旋转前后对应边相等：$AC=OA=1$，$CD=OB=2$，且$∠ CAO=90°$，$∠ ACD=∠ AOB=90°$，
由此可得$AC⊥ x$轴，$CD// x$轴，点C坐标为$(-1,1)$，点D在点C左侧，纵坐标与点C相同，横坐标比点C小2。
3. 计算点D坐标：
点D横坐标为$-1-2=-3$，纵坐标为$1$，即$D(-3,1)$。
【答案】
$(-3,1)$
【知识点】
一次函数图象交点，旋转的性质，点的坐标计算
【点评】
本题是一次函数与图形旋转结合的基础题型，解题核心是先准确求出一次函数与坐标轴的交点坐标，再利用旋转前后图形对应边、对应角不变的性质确定所求点的位置，进而推导坐标，属于中考常考的基础类题型。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先需要求出直线与x轴、y轴的交点A、B的坐标，得到OA、OB的长度；再结合旋转的性质，明确旋转后对应边的长度关系和位置关系（旋转90°后对应边的垂直、平行关系），最后根据平面直角坐标系内点的位置规律计算出点D的坐标。
【解析】
1. 求点A、B的坐标：
在一次函数$y=2x+2$中，
令$x=0$，得$y=2×0+2=2$，因此点B坐标为$(0,2)$，可得$OB=2$；
令$y=0$，得$2x+2=0$，解得$x=-1$，因此点A坐标为$(-1,0)$，可得$OA=1$。
2. 结合旋转性质分析点D的位置：
$\because △ AOB$绕点A逆时针旋转$90°$得到$△ ACD$，
$\therefore$ 旋转前后对应边相等：$AC=OA=1$，$CD=OB=2$，且$∠ CAO=90°$，$∠ ACD=∠ AOB=90°$，
由此可得$AC⊥ x$轴，$CD// x$轴，点C坐标为$(-1,1)$，点D在点C左侧，纵坐标与点C相同，横坐标比点C小2。
3. 计算点D坐标：
点D横坐标为$-1-2=-3$，纵坐标为$1$，即$D(-3,1)$。
【答案】
$(-3,1)$
【知识点】
一次函数图象交点，旋转的性质，点的坐标计算
【点评】
本题是一次函数与图形旋转结合的基础题型，解题核心是先准确求出一次函数与坐标轴的交点坐标，再利用旋转前后图形对应边、对应角不变的性质确定所求点的位置，进而推导坐标，属于中考常考的基础类题型。
【难度系数】
0.7
4. 》一题多解 》新趋势·结论开放 [2025淮安中考]如图，直线$l_1:y = -x +6$经过点$A(1,a)$，将$l_1$绕$A$点顺时针旋转，旋转角为$α(45° ＜ α ＜ 135°)$，得到直线$l_2$，点$B(m,n)$在$l_2$上.若$m ＞ 1$，则$n$的值可以是
6(答案不唯一)
.(填写一个值即可)答案
6(答案不唯一) 通解 将点 $A(1,a)$ 代入 $y=-x+6$, 得 $a=-1+6=5, \therefore$ 点 $A$ 的坐标为 $(1,5)$. 设直线 $l_1$ 分别交 $x$ 轴和 $y$ 轴于点 $B,C$. 对于 $y=-x+6$, 当 $x=0$ 时, $y=6$; 当 $y=0$ 时, $-x+6=0$, 解得 $x=6, \therefore$ 点 $B$ 的坐标为 $(6,0)$, 点 $C$ 的坐标为 $(0,6), \therefore OB=OC=6, \therefore ∠ OBC=∠ OCB=45°$. 如图, 过点 $A$ 分别作直线 $EF ⊥ x$ 轴于点 $F$, 直线 $MN ⊥ y$ 轴于点 $M$, 则 $EF // y$ 轴, $∠ MAF=90°, \therefore ∠ BAF=∠ OCB=45°, \therefore ∠ MAB=∠ BAF+∠ MAF=135°$, 则当 $l_1$ 绕点 $A$ 顺时针旋转, 旋转角为 $α(45°＜α＜135°)$ 时, $l_2$ 在如图所示的位置. $\because$ 点 $B(m,n)$ 在 $l_2$ 上, $\therefore$ 当 $m＞1$ 时, 点 $B(m,n)$ 在点 $A(1,5)$ 的右上方, 此时 $n＞5, \therefore n$ 的值大于 5, 如 $n=6$.
另解 (特殊值法) 由题意求得点 $A$ 的坐标为 $(1,5)$. $\because 45°＜α＜135°, \therefore$ 可取特殊值 $α=90°$, 此时旋转前后的直线互相垂直. 设直线 $l_2$ 的函数表达式为 $y=x+b$. 将点 $A(1,5)$ 代入 $y=x+b$, 得 $5=1+b$, 解得 $b=4, \therefore$ 此时直线 $l_2$ 的函数表达式为 $y=x+4$. $\because$ 点 $B(m,n)$ 在直线 $l_2$ 上, 且 $m＞1$, 不妨取 $m=2$, 此时 $n=2+4=6, \therefore n$ 的值可以是 6.
解析
【分析】
解题时首先需要求出点A的坐标：已知点A在直线$l_1$上，将点A坐标代入$l_1$的解析式即可求出a的值。接下来分析旋转后的直线范围：直线$l_1$的倾斜角为135°（与x轴正方向夹角），绕A点顺时针旋转45°后得到水平线$y=5$，旋转135°后得到竖直线$x=1$，因此旋转角在45°~135°之间时，直线$l_2$位于这两条线围成的右上方区域。当点B的横坐标$m＞1$时，对应的纵坐标$n$一定大于A点的纵坐标5，任取一个大于5的数即可，也可通过取特殊旋转角（如90°）计算出$l_2$的解析式后代入求值。
【解析】
1. 求点A的坐标：
将$A(1,a)$代入直线$l_1$的解析式$y=-x+6$，得$a=-1+6=5$，因此点A的坐标为$(1,5)$。
2. 分析旋转后的直线范围：
直线$l_1:y=-x+6$与x轴交点为$(6,0)$，与y轴交点为$(0,6)$，可知$l_1$与x轴正方向的夹角为135°。将$l_1$绕A点顺时针旋转45°时，得到水平直线$y=5$；旋转135°时，得到竖直直线$x=1$。
由于旋转角$α$满足$45° ＜ α ＜ 135°$，因此旋转后得到的直线$l_2$位于水平线$y=5$和竖直线$x=1$围成的右上方区域。
3. 确定n的取值：
点$B(m,n)$在$l_2$上且$m＞1$，此时$n＞5$，因此任取一个大于5的数即可，例如取$n=6$。
（特殊值法验证：取$α=90°$，此时$l_2$与$l_1$垂直，$l_2$的斜率为1，设$l_2$解析式为$y=x+b$，代入$A(1,5)$得$5=1+b$，解得$b=4$，即$y=x+4$，取$m=2$，得$n=2+4=6$，符合要求。）
【答案】
6（答案不唯一，大于5即可）
【知识点】
一次函数的性质，图形的旋转，点的坐标特征
【点评】
本题为结论开放题，将一次函数图象性质与旋转的知识点相结合，解题思路灵活，既可以通过角度分析直接确定取值范围，也可以取特殊值计算验证，能够很好地考查学生的综合分析能力和发散思维。
【难度系数】
0.7
解题时首先需要求出点A的坐标：已知点A在直线$l_1$上，将点A坐标代入$l_1$的解析式即可求出a的值。接下来分析旋转后的直线范围：直线$l_1$的倾斜角为135°（与x轴正方向夹角），绕A点顺时针旋转45°后得到水平线$y=5$，旋转135°后得到竖直线$x=1$，因此旋转角在45°~135°之间时，直线$l_2$位于这两条线围成的右上方区域。当点B的横坐标$m＞1$时，对应的纵坐标$n$一定大于A点的纵坐标5，任取一个大于5的数即可，也可通过取特殊旋转角（如90°）计算出$l_2$的解析式后代入求值。
【解析】
1. 求点A的坐标：
将$A(1,a)$代入直线$l_1$的解析式$y=-x+6$，得$a=-1+6=5$，因此点A的坐标为$(1,5)$。
2. 分析旋转后的直线范围：
直线$l_1:y=-x+6$与x轴交点为$(6,0)$，与y轴交点为$(0,6)$，可知$l_1$与x轴正方向的夹角为135°。将$l_1$绕A点顺时针旋转45°时，得到水平直线$y=5$；旋转135°时，得到竖直直线$x=1$。
由于旋转角$α$满足$45° ＜ α ＜ 135°$，因此旋转后得到的直线$l_2$位于水平线$y=5$和竖直线$x=1$围成的右上方区域。
3. 确定n的取值：
点$B(m,n)$在$l_2$上且$m＞1$，此时$n＞5$，因此任取一个大于5的数即可，例如取$n=6$。
（特殊值法验证：取$α=90°$，此时$l_2$与$l_1$垂直，$l_2$的斜率为1，设$l_2$解析式为$y=x+b$，代入$A(1,5)$得$5=1+b$，解得$b=4$，即$y=x+4$，取$m=2$，得$n=2+4=6$，符合要求。）
【答案】
6（答案不唯一，大于5即可）
【知识点】
一次函数的性质，图形的旋转，点的坐标特征
【点评】
本题为结论开放题，将一次函数图象性质与旋转的知识点相结合，解题思路灵活，既可以通过角度分析直接确定取值范围，也可以取特殊值计算验证，能够很好地考查学生的综合分析能力和发散思维。
【难度系数】
0.7
5. [2024南通中考] 平面直角坐标系$xOy$中，已知$A(3,0),B(0,3)$.直线$y=kx+b(k,b$为常数，且$k＞0)$经过点$(1,0)$，并把$△ AOB$分成两部分，其中靠近原点部分的面积为$\frac{15}{4}$，则$k$的值为
$\frac{3}{5}$
.答案
$\frac{3}{5}$ 解题思路: 利用待定系数法求出 $AB$ 所在直线的函数表达式, 将点 $(1,0)$ 代入直线 $y=kx+b$, 将 $b$ 用 $k$ 表示出来. 根据三角形面积公式求出远离原点部分的面积, 从而求出 $k$ 的值.
如图, 设 $C(1,0)$, 易得 $S_{△ OBC}=\frac{3}{2}, \frac{3}{2}＜\frac{15}{4}, \therefore$ 直线 $y=kx+b$ 与线段 $AB$ 相交. 设 $AB$ 与直线 $y=kx+b$ 交于点 $P$. 设 $AB$ 所在直线的函数表达式为 $y=k_1x+b_1(k_1 ≠ 0)$, 将 $A(3,0)$ 和 $B(0,3)$ 分别代入 $y=k_1x+b_1$, 得 $\begin{cases} 3k_1 +b_1=0, \\b_1=3,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k_1=-1, \\b_1=3,\end{cases} \therefore AB$ 所在直线的函数表达式为 $y=-x+3$. 将点 $(1,0)$ 代入 $y=kx+b$, 得 $k+b=0$, 解得 $b=-k, \therefore$ 直线 $y=kx+b=kx-k$. $\because S_{△ AOB}=\frac{1}{2} × 3 × 3=\frac{9}{2}, \therefore$ 远离原点部分的面积为 $\frac{9}{2}-\frac{15}{4}=\frac{3}{4}$. 设点 $P$ 的纵坐标为 $t(t＞0)$, 则 $\frac{1}{2} × (3-1)t=\frac{3}{4}$, 解得 $t=\frac{3}{4}$. 在 $y=-x+3$ 中, 当 $y=\frac{3}{4}$ 时, $-x+3=\frac{3}{4}$, 解得 $x=\frac{9}{4}, \therefore P(\frac{9}{4},\frac{3}{4})$. 把 $P(\frac{9}{4},\frac{3}{4})$ 代入 $y=kx-k$, 得 $\frac{9}{4}k -k=\frac{3}{4}$, 解得 $k=\frac{3}{5}$.
解析
【分析】
解题思路如下：①先计算$△ AOB$和$△ OBC$（$C$为直线过x轴的定点$(1,0)$）的面积，对比靠近原点部分的面积大小，判断直线$y=kx+b$与线段$AB$相交；②用待定系数法求出线段$AB$的函数解析式，再将点$C(1,0)$代入$y=kx+b$，把$b$用含$k$的式子表示，得到直线的含参解析式；③计算远离原点部分的三角形面积，利用三角形面积公式求出两直线交点$P$的纵坐标，代入$AB$的解析式得到$P$点坐标；④将$P$点坐标代入含参直线解析式，即可求出$k$的值。
【解析】
设点$C(1,0)$，先求$AB$所在直线的解析式：
设$AB$的解析式为$y=k_1x+b_1(k_1≠0)$，将$A(3,0)$、$B(0,3)$分别代入解析式得：
$\begin{cases} 3k_1 +b_1=0 \\b_1=3 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k_1=-1 \\b_1=3 \end{cases}$，因此$AB$的解析式为$y=-x+3$。
将$C(1,0)$代入$y=kx+b$，得$k+b=0$，即$b=-k$，因此待求直线解析式为$y=kx-k$。
计算得$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}× OA× OB=\frac{1}{2}×3×3=\frac{9}{2}$，$S_{△ OBC}=\frac{1}{2}× OC× OB=\frac{1}{2}×1×3=\frac{3}{2}$，由于$\frac{3}{2}＜\frac{15}{4}$，说明直线$y=kx-k$与线段$AB$相交，设交点为$P$。
远离原点部分的面积为$S_{△ ACP}=\frac{9}{2}-\frac{15}{4}=\frac{3}{4}$，$AC$的长度为$3-1=2$，设$P$点纵坐标为$t(t＞0)$，由三角形面积公式得：
$\frac{1}{2}× AC× t=\frac{3}{4}$
即$\frac{1}{2}×2× t=\frac{3}{4}$，解得$t=\frac{3}{4}$。
将$y=\frac{3}{4}$代入$y=-x+3$，得$\frac{3}{4}=-x+3$，解得$x=\frac{9}{4}$，即$P$点坐标为$(\frac{9}{4},\frac{3}{4})$。
将$P$点坐标代入$y=kx-k$得：
$\frac{3}{4}=\frac{9}{4}k -k$
化简得$\frac{5k}{4}=\frac{3}{4}$，解得$k=\frac{3}{5}$。
【答案】
$\frac{3}{5}$
【知识点】
一次函数解析式求解，一次函数交点问题，三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与几何面积结合的综合题，解题的关键是先通过面积大小判断直线的交点位置，再结合面积关系求出交点坐标，最终求出参数值，较好地考查了数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.6
解题思路如下：①先计算$△ AOB$和$△ OBC$（$C$为直线过x轴的定点$(1,0)$）的面积，对比靠近原点部分的面积大小，判断直线$y=kx+b$与线段$AB$相交；②用待定系数法求出线段$AB$的函数解析式，再将点$C(1,0)$代入$y=kx+b$，把$b$用含$k$的式子表示，得到直线的含参解析式；③计算远离原点部分的三角形面积，利用三角形面积公式求出两直线交点$P$的纵坐标，代入$AB$的解析式得到$P$点坐标；④将$P$点坐标代入含参直线解析式，即可求出$k$的值。
【解析】
设点$C(1,0)$，先求$AB$所在直线的解析式：
设$AB$的解析式为$y=k_1x+b_1(k_1≠0)$，将$A(3,0)$、$B(0,3)$分别代入解析式得：
$\begin{cases} 3k_1 +b_1=0 \\b_1=3 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k_1=-1 \\b_1=3 \end{cases}$，因此$AB$的解析式为$y=-x+3$。
将$C(1,0)$代入$y=kx+b$，得$k+b=0$，即$b=-k$，因此待求直线解析式为$y=kx-k$。
计算得$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}× OA× OB=\frac{1}{2}×3×3=\frac{9}{2}$，$S_{△ OBC}=\frac{1}{2}× OC× OB=\frac{1}{2}×1×3=\frac{3}{2}$，由于$\frac{3}{2}＜\frac{15}{4}$，说明直线$y=kx-k$与线段$AB$相交，设交点为$P$。
远离原点部分的面积为$S_{△ ACP}=\frac{9}{2}-\frac{15}{4}=\frac{3}{4}$，$AC$的长度为$3-1=2$，设$P$点纵坐标为$t(t＞0)$，由三角形面积公式得：
$\frac{1}{2}× AC× t=\frac{3}{4}$
即$\frac{1}{2}×2× t=\frac{3}{4}$，解得$t=\frac{3}{4}$。
将$y=\frac{3}{4}$代入$y=-x+3$，得$\frac{3}{4}=-x+3$，解得$x=\frac{9}{4}$，即$P$点坐标为$(\frac{9}{4},\frac{3}{4})$。
将$P$点坐标代入$y=kx-k$得：
$\frac{3}{4}=\frac{9}{4}k -k$
化简得$\frac{5k}{4}=\frac{3}{4}$，解得$k=\frac{3}{5}$。
【答案】
$\frac{3}{5}$
【知识点】
一次函数解析式求解，一次函数交点问题，三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与几何面积结合的综合题，解题的关键是先通过面积大小判断直线的交点位置，再结合面积关系求出交点坐标，最终求出参数值，较好地考查了数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.6
6. [2025宿迁中考]甲、乙两人从同一地点M出发沿同一路线匀速步行前往N处参加活动.甲比乙早出发6 min,两人途中均未休息,先到达N处的人在原地休息等待,直到另一人到达N处.两人之间的距离y(m)与甲行走的时间t(min)的函数图象如图所示.
(1)乙步行的速度为
(2)当18≤t≤50时,求y关于t的函数表达式;
(3)甲出发多长时间时,两人之间的距离为450 m?
(1)乙步行的速度为
90
m/min,M,N之间的距离为3960
m;(2)当18≤t≤50时,求y关于t的函数表达式;
(3)甲出发多长时间时,两人之间的距离为450 m?
答案
(1) 90 3960
由题图, 知甲的速度为 $360 ÷ 6 =60(\mathrm{m/min})$. 设乙的速度为 $x \mathrm{ m/min}$. 由题意, 得 $60 × 18 =x · (18-6)$, 解得 $x=90, \therefore$ 乙的速度为 $90 \mathrm{ m/min}, \therefore M,N$ 之间的路程为 $90 × (50-6) =3960(\mathrm{m})$.
(2) 由题图可知, 点 $C$ 的纵坐标为 $3960 -60 × 50 =960$,
$\therefore$ 点 $C$ 的坐标为 $(50,960)$.
当 $18 ≤ t ≤ 50$ 时, 设 $y =kt +b$.
把 $B(18,0),C(50,960)$ 代入,
得 $\begin{cases} 18k +b =0, \\50k +b =960,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k=30, \\b=-540,\end{cases}$
$\therefore y =30t -540$,
即 $y$ 关于 $t$ 的函数表达式为 $y=30t-540(18 ≤ t ≤ 50)$.
(3) 由题意, 分以下两种情况:
① 当 $18 ≤ t ≤ 50$ 时, 令 $y=30t-540=450$, 即 $30t=990$, 解得 $t=33$;
② 当 $t＞50$ 时, $60t=3960-450$, 即 $60t=3510$, 解得 $t=58.5$;
综上所述, 当甲出发 $33 \mathrm{ min}$ 或 $58.5 \mathrm{ min}$ 时, 两人之间的路程为 450 m.
由题图, 知甲的速度为 $360 ÷ 6 =60(\mathrm{m/min})$. 设乙的速度为 $x \mathrm{ m/min}$. 由题意, 得 $60 × 18 =x · (18-6)$, 解得 $x=90, \therefore$ 乙的速度为 $90 \mathrm{ m/min}, \therefore M,N$ 之间的路程为 $90 × (50-6) =3960(\mathrm{m})$.
(2) 由题图可知, 点 $C$ 的纵坐标为 $3960 -60 × 50 =960$,
$\therefore$ 点 $C$ 的坐标为 $(50,960)$.
当 $18 ≤ t ≤ 50$ 时, 设 $y =kt +b$.
把 $B(18,0),C(50,960)$ 代入,
得 $\begin{cases} 18k +b =0, \\50k +b =960,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k=30, \\b=-540,\end{cases}$
$\therefore y =30t -540$,
即 $y$ 关于 $t$ 的函数表达式为 $y=30t-540(18 ≤ t ≤ 50)$.
(3) 由题意, 分以下两种情况:
① 当 $18 ≤ t ≤ 50$ 时, 令 $y=30t-540=450$, 即 $30t=990$, 解得 $t=33$;
② 当 $t＞50$ 时, $60t=3960-450$, 即 $60t=3510$, 解得 $t=58.5$;
综上所述, 当甲出发 $33 \mathrm{ min}$ 或 $58.5 \mathrm{ min}$ 时, 两人之间的路程为 450 m.
解析
【分析】
本题是一次函数与行程问题的结合题，解题思路如下：
(1) 先根据t=6min时两人距离360m求出甲的速度；再结合t=18min时乙追上甲，此时两人路程相等，列方程求出乙的速度；乙在t=50min时到达N地，乙实际行走时间为(50-6)min，乘速度即可得M、N两地距离。
(2) 先求出t=50min时两人的距离，得到点C坐标，再用待定系数法，将B、C两点坐标代入一次函数解析式，求解即可得到18≤t≤50时的函数表达式。
(3) 分两种情况讨论：①乙还未到达N地时，直接令(2)中的函数值等于450求解t；②乙到达N地后，此时乙不动，剩余距离为总路程减去甲行走的路程等于450，列方程求解t，最后汇总两种情况的结果即可。
【解析】
(1) 由图象可知，甲6min走了360m，因此甲的速度为 $360÷6=60(\mathrm{m/min})$。
设乙的速度为$x\ \mathrm{m/min}$，乙比甲晚出发6min，t=18min时乙追上甲，此时两人走的路程相等，可得：
$60×18 = x×(18-6)$
解得$x=90$，即乙步行的速度为90m/min。
乙到达N地时甲走了50min，乙实际行走时间为$50-6=44(\mathrm{min})$，因此M、N之间的距离为$90×44=3960(\mathrm{m})$。
(2) 当t=50时，乙已经到达N地，此时甲行走的路程为$60×50=3000(\mathrm{m})$，两人的距离为$3960-3000=960(\mathrm{m})$，即点C坐标为$(50,960)$。
已知点B坐标为$(18,0)$，设当$18≤ t≤50$时，$y=kt+b$，将B、C两点坐标代入得：
$\begin{cases}18k + b = 0 \\50k + b = 960\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得：$32k=960$，解得$k=30$，
将$k=30$代入$18k + b = 0$，得$18×30 + b=0$，解得$b=-540$，
因此$y$关于$t$的函数表达式为$y=30t-540(18≤ t≤50)$。
(3) 分两种情况讨论：
① 当$18≤ t≤50$时，令$y=450$，即$30t-540=450$，
移项得$30t=990$，解得$t=33$；
② 当$t＞50$时，乙已经在N地休息，此时两人的距离为总路程减去甲走的路程，可得：
$3960-60t=450$
移项得$60t=3960-450=3510$，解得$t=58.5$。
【答案】
(1) $\boxed{90}$；$\boxed{3960}$
(2) $\boxed{y=30t-540(18≤ t≤50)}$
(3) 甲出发$\boxed{33\mathrm{min}}$或$\boxed{58.5\mathrm{min}}$时，两人之间的距离为450m。
【知识点】
一次函数的实际应用；待定系数法求解析式；行程问题
【点评】
本题结合函数图象考查一次函数在行程问题中的应用，解题关键是读懂图象每个拐点对应的运动状态，注意两人出发时间的差异，第三问要注意分段讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.65
本题是一次函数与行程问题的结合题，解题思路如下：
(1) 先根据t=6min时两人距离360m求出甲的速度；再结合t=18min时乙追上甲，此时两人路程相等，列方程求出乙的速度；乙在t=50min时到达N地，乙实际行走时间为(50-6)min，乘速度即可得M、N两地距离。
(2) 先求出t=50min时两人的距离，得到点C坐标，再用待定系数法，将B、C两点坐标代入一次函数解析式，求解即可得到18≤t≤50时的函数表达式。
(3) 分两种情况讨论：①乙还未到达N地时，直接令(2)中的函数值等于450求解t；②乙到达N地后，此时乙不动，剩余距离为总路程减去甲行走的路程等于450，列方程求解t，最后汇总两种情况的结果即可。
【解析】
(1) 由图象可知，甲6min走了360m，因此甲的速度为 $360÷6=60(\mathrm{m/min})$。
设乙的速度为$x\ \mathrm{m/min}$，乙比甲晚出发6min，t=18min时乙追上甲，此时两人走的路程相等，可得：
$60×18 = x×(18-6)$
解得$x=90$，即乙步行的速度为90m/min。
乙到达N地时甲走了50min，乙实际行走时间为$50-6=44(\mathrm{min})$，因此M、N之间的距离为$90×44=3960(\mathrm{m})$。
(2) 当t=50时，乙已经到达N地，此时甲行走的路程为$60×50=3000(\mathrm{m})$，两人的距离为$3960-3000=960(\mathrm{m})$，即点C坐标为$(50,960)$。
已知点B坐标为$(18,0)$，设当$18≤ t≤50$时，$y=kt+b$，将B、C两点坐标代入得：
$\begin{cases}18k + b = 0 \\50k + b = 960\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得：$32k=960$，解得$k=30$，
将$k=30$代入$18k + b = 0$，得$18×30 + b=0$，解得$b=-540$，
因此$y$关于$t$的函数表达式为$y=30t-540(18≤ t≤50)$。
(3) 分两种情况讨论：
① 当$18≤ t≤50$时，令$y=450$，即$30t-540=450$，
移项得$30t=990$，解得$t=33$；
② 当$t＞50$时，乙已经在N地休息，此时两人的距离为总路程减去甲走的路程，可得：
$3960-60t=450$
移项得$60t=3960-450=3510$，解得$t=58.5$。
【答案】
(1) $\boxed{90}$；$\boxed{3960}$
(2) $\boxed{y=30t-540(18≤ t≤50)}$
(3) 甲出发$\boxed{33\mathrm{min}}$或$\boxed{58.5\mathrm{min}}$时，两人之间的距离为450m。
【知识点】
一次函数的实际应用；待定系数法求解析式；行程问题
【点评】
本题结合函数图象考查一次函数在行程问题中的应用，解题关键是读懂图象每个拐点对应的运动状态，注意两人出发时间的差异，第三问要注意分段讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.65
7. [2025德州中考]如图，$A(-6,0),B(0,8)$，点$M$在线段$OB$上，将$△ ABM$沿直线$AM$折叠，点$B$恰好落在点$B'(a,0)$处.
(1)求$a$的值；
(2)求直线$AM$的函数表达式；
(3)若直线$y = -x + t$与直线$AM$的交点在直线$x = a$的左侧，请直接写出$t$的取值范围.
(1)求$a$的值；
(2)求直线$AM$的函数表达式；
(3)若直线$y = -x + t$与直线$AM$的交点在直线$x = a$的左侧，请直接写出$t$的取值范围.
答案
(1) $\because A(-6,0),B(0,8)$,
$\therefore OA=6,OB=8$,
$\therefore AB=\sqrt{OA^2 + OB^2}=10$.
由题意, 得 $△ ABM ≌ △ AB'M$,
$\therefore AB=AB'=OA+OB'=10$,
$\therefore 6+a=10$, 解得 $a=4$.
(2) 设点 $M$ 的坐标为 $(0,m)$.
由题意, 得 $△ ABM ≌ △ AB'M$,
$\therefore BM=B'M=8-m$.
由(1), 得 $OB'=4$.
在 $\mathrm{Rt}△ OB'M$ 中, $MB'^2=OM^2+OB'^2$,
$\therefore (8-m)^2=m^2+16$, 解得 $m=3$,
$\therefore$ 点 $M$ 的坐标为 $(0,3)$.
设直线 $AM$ 的函数表达式为 $y=kx+b(k ≠ 0)$.
将 $A(-6,0),M(0,3)$ 代入,
得 $\begin{cases} -6k +b=0, \\b=3,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k=\frac{1}{2}, \\b=3,\end{cases}$
$\therefore$ 直线 $AM$ 的函数表达式为 $y=\frac{1}{2}x+3$.
(3) $t＜9$.
直线 $y=-x+t$ 与直线 $AM$ 相交, 当 $x=4$ 时, 交点坐标为 $(4,5)$, 此时 $-4+t=5$, 解得 $t=9$. 结合图象, 得当 $t＜9$ 时, 直线 $y=-x+t$ 与直线 $AM$ 的交点在直线 $x=4$ 的左侧.
$\therefore OA=6,OB=8$,
$\therefore AB=\sqrt{OA^2 + OB^2}=10$.
由题意, 得 $△ ABM ≌ △ AB'M$,
$\therefore AB=AB'=OA+OB'=10$,
$\therefore 6+a=10$, 解得 $a=4$.
(2) 设点 $M$ 的坐标为 $(0,m)$.
由题意, 得 $△ ABM ≌ △ AB'M$,
$\therefore BM=B'M=8-m$.
由(1), 得 $OB'=4$.
在 $\mathrm{Rt}△ OB'M$ 中, $MB'^2=OM^2+OB'^2$,
$\therefore (8-m)^2=m^2+16$, 解得 $m=3$,
$\therefore$ 点 $M$ 的坐标为 $(0,3)$.
设直线 $AM$ 的函数表达式为 $y=kx+b(k ≠ 0)$.
将 $A(-6,0),M(0,3)$ 代入,
得 $\begin{cases} -6k +b=0, \\b=3,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k=\frac{1}{2}, \\b=3,\end{cases}$
$\therefore$ 直线 $AM$ 的函数表达式为 $y=\frac{1}{2}x+3$.
(3) $t＜9$.
直线 $y=-x+t$ 与直线 $AM$ 相交, 当 $x=4$ 时, 交点坐标为 $(4,5)$, 此时 $-4+t=5$, 解得 $t=9$. 结合图象, 得当 $t＜9$ 时, 直线 $y=-x+t$ 与直线 $AM$ 的交点在直线 $x=4$ 的左侧.
解析
【分析】
(1) 解题思路：首先根据A、B两点坐标求出OA、OB的长度，用勾股定理算出AB的长度；由折叠的性质可知△ABM和△AB'M全等，对应边AB=AB'，再结合A点坐标和AB'的长度即可求出a的值。
(2) 解题思路：要求直线AM的解析式，需先求M点坐标。设M(0,m)，根据折叠性质得BM=B'M，在Rt△OB'M中利用勾股定理列方程求出m的值，得到M点坐标后，再用待定系数法代入A、M两点坐标即可求出直线AM的函数表达式。
(3) 解题思路：先找到直线y=-x+t与直线AM的交点在x=a（即x=4）上时的t值，结合一次函数图象的性质，当t减小时，直线y=-x+t向下平移，交点横坐标会变小，因此即可得到交点在x=4左侧时t的取值范围。
【解析】
(1) 已知$A(-6,0),B(0,8)$，因此$OA=6$，$OB=8$。
在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，由勾股定理得：$AB=\sqrt{OA^2 + OB^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$。
由折叠的性质可得$△ ABM ≌ △ AB'M$，因此$AB'=AB=10$。
又$AB'=OA+OB'=6+a$，则$6+a=10$，解得$a=4$。
(2) 设点$M$的坐标为$(0,m)$，则$OM=m$，$BM=OB-OM=8-m$。
由折叠性质得$B'M=BM=8-m$，由(1)可知$OB'=4$。
在$\mathrm{Rt}△ OB'M$中，由勾股定理得：$MB'^2=OM^2+OB'^2$，
代入得：$(8-m)^2=m^2+4^2$，
展开得$64-16m+m^2=m^2+16$，
化简得$16m=48$，解得$m=3$，即$M(0,3)$。
设直线$AM$的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$，将$A(-6,0)$、$M(0,3)$代入得：
$\begin{cases} -6k +b=0 \\b=3 \end{cases}$
将$b=3$代入第一个方程得$-6k+3=0$，解得$k=\frac{1}{2}$。
因此直线$AM$的函数表达式为$y=\frac{1}{2}x+3$。
(3) 当直线$y=-x+t$与直线$AM$的交点在直线$x=4$上时，将$x=4$代入$y=\frac{1}{2}x+3$得$y=\frac{1}{2}×4+3=5$，即交点坐标为$(4,5)$。
将$(4,5)$代入$y=-x+t$得$5=-4+t$，解得$t=9$。
结合一次函数图象性质可知，当$t＜9$时，直线$y=-x+t$与直线$AM$的交点在直线$x=4$的左侧。
【答案】
(1) $a=4$；
(2) $y=\frac{1}{2}x+3$；
(3) $t＜9$。
【知识点】
1. 轴对称的性质
2. 勾股定理
3. 待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题将几何折叠变换与一次函数知识相结合，既考查了全等三角形、勾股定理的几何应用，也考查了一次函数解析式求解及图象交点位置的分析，需要学生建立几何与代数之间的联系，掌握数形结合的解题方法。
【难度系数】
0.7
(1) 解题思路：首先根据A、B两点坐标求出OA、OB的长度，用勾股定理算出AB的长度；由折叠的性质可知△ABM和△AB'M全等，对应边AB=AB'，再结合A点坐标和AB'的长度即可求出a的值。
(2) 解题思路：要求直线AM的解析式，需先求M点坐标。设M(0,m)，根据折叠性质得BM=B'M，在Rt△OB'M中利用勾股定理列方程求出m的值，得到M点坐标后，再用待定系数法代入A、M两点坐标即可求出直线AM的函数表达式。
(3) 解题思路：先找到直线y=-x+t与直线AM的交点在x=a（即x=4）上时的t值，结合一次函数图象的性质，当t减小时，直线y=-x+t向下平移，交点横坐标会变小，因此即可得到交点在x=4左侧时t的取值范围。
【解析】
(1) 已知$A(-6,0),B(0,8)$，因此$OA=6$，$OB=8$。
在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，由勾股定理得：$AB=\sqrt{OA^2 + OB^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$。
由折叠的性质可得$△ ABM ≌ △ AB'M$，因此$AB'=AB=10$。
又$AB'=OA+OB'=6+a$，则$6+a=10$，解得$a=4$。
(2) 设点$M$的坐标为$(0,m)$，则$OM=m$，$BM=OB-OM=8-m$。
由折叠性质得$B'M=BM=8-m$，由(1)可知$OB'=4$。
在$\mathrm{Rt}△ OB'M$中，由勾股定理得：$MB'^2=OM^2+OB'^2$，
代入得：$(8-m)^2=m^2+4^2$，
展开得$64-16m+m^2=m^2+16$，
化简得$16m=48$，解得$m=3$，即$M(0,3)$。
设直线$AM$的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$，将$A(-6,0)$、$M(0,3)$代入得：
$\begin{cases} -6k +b=0 \\b=3 \end{cases}$
将$b=3$代入第一个方程得$-6k+3=0$，解得$k=\frac{1}{2}$。
因此直线$AM$的函数表达式为$y=\frac{1}{2}x+3$。
(3) 当直线$y=-x+t$与直线$AM$的交点在直线$x=4$上时，将$x=4$代入$y=\frac{1}{2}x+3$得$y=\frac{1}{2}×4+3=5$，即交点坐标为$(4,5)$。
将$(4,5)$代入$y=-x+t$得$5=-4+t$，解得$t=9$。
结合一次函数图象性质可知，当$t＜9$时，直线$y=-x+t$与直线$AM$的交点在直线$x=4$的左侧。
【答案】
(1) $a=4$；
(2) $y=\frac{1}{2}x+3$；
(3) $t＜9$。
【知识点】
1. 轴对称的性质
2. 勾股定理
3. 待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题将几何折叠变换与一次函数知识相结合，既考查了全等三角形、勾股定理的几何应用，也考查了一次函数解析式求解及图象交点位置的分析，需要学生建立几何与代数之间的联系，掌握数形结合的解题方法。
【难度系数】
0.7
