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综合与实践
答案 P80
[2025厦门海沧区期末]【项目提出】“秤砣虽小压千斤”，某兴趣小组尝试制作一把简易杆秤.
【项目分析】杆秤由带有秤星（即刻度线）的秤杆、秤砣、秤盘和秤纽等组成，如图，称量时将重物放在秤盘中，移动系秤砣的挂绳使秤杆平衡，根据挂绳所处的位置就可以读出重物的质量.要制作杆秤，需要选择合适的秤杆，在上面确定秤盘槽A，秤纽槽B的位置以及其他各刻度线的位置.
【项目实施】
1. 准备材料.（略）
2. 制作杆秤：
第一步：确定秤盘和秤纽位置，在秤杆靠左端的刻槽A挂一个秤盘，在槽A的右端稍近处再刻槽B，系上秤纽，假设槽A与槽B的距离为$ l $.
第二步：确定零刻度线，将秤砣套在槽B右端，调节秤砣的位置使秤杆平衡，这时细线在秤杆上的位置为秤的定盘星$ O $（即零刻度线），标记此位置，假设零刻度线与槽B的距离为$ a $.
第三步：画刻度线，在秤盘中放100克砝码，手提秤纽，并调节秤砣的位置使秤杆平衡，此时，标记秤砣细线在秤杆上的位置$ C $，并记为100克，在定盘星$ O $到位置$ C $之间均匀地画上49条刻度线，零刻度线右侧第1条刻度线表示2克，第2条刻度线表示4克，以此类推（如图）.（杆秤的刻度是均匀的，即秤砣与零刻度线的距离是重物质量的一次函数）
3. 展示交流.
根据以上信息完成下列问题：
（1）若秤盘质量为10克，秤砣质量为20克，请写出$ l $与$ a $的数量关系.
（2）兴趣小组通过实验得到以下数据（如表）：
根据表格数据，求$ y $关于$ x $的函数表达式.
（3）当所挂重物是58.5克时，求秤砣与零刻度线的距离及挂秤砣的细线更靠近第几条刻度线？
答案 P80
[2025厦门海沧区期末]【项目提出】“秤砣虽小压千斤”，某兴趣小组尝试制作一把简易杆秤.
【项目分析】杆秤由带有秤星（即刻度线）的秤杆、秤砣、秤盘和秤纽等组成，如图，称量时将重物放在秤盘中，移动系秤砣的挂绳使秤杆平衡，根据挂绳所处的位置就可以读出重物的质量.要制作杆秤，需要选择合适的秤杆，在上面确定秤盘槽A，秤纽槽B的位置以及其他各刻度线的位置.
【项目实施】
1. 准备材料.（略）
2. 制作杆秤：
第一步：确定秤盘和秤纽位置，在秤杆靠左端的刻槽A挂一个秤盘，在槽A的右端稍近处再刻槽B，系上秤纽，假设槽A与槽B的距离为$ l $.
第二步：确定零刻度线，将秤砣套在槽B右端，调节秤砣的位置使秤杆平衡，这时细线在秤杆上的位置为秤的定盘星$ O $（即零刻度线），标记此位置，假设零刻度线与槽B的距离为$ a $.
第三步：画刻度线，在秤盘中放100克砝码，手提秤纽，并调节秤砣的位置使秤杆平衡，此时，标记秤砣细线在秤杆上的位置$ C $，并记为100克，在定盘星$ O $到位置$ C $之间均匀地画上49条刻度线，零刻度线右侧第1条刻度线表示2克，第2条刻度线表示4克，以此类推（如图）.（杆秤的刻度是均匀的，即秤砣与零刻度线的距离是重物质量的一次函数）
3. 展示交流.
根据以上信息完成下列问题：
（1）若秤盘质量为10克，秤砣质量为20克，请写出$ l $与$ a $的数量关系.
（2）兴趣小组通过实验得到以下数据（如表）：
根据表格数据，求$ y $关于$ x $的函数表达式.
（3）当所挂重物是58.5克时，求秤砣与零刻度线的距离及挂秤砣的细线更靠近第几条刻度线？
答案
(1) $\because$ 秤盘质量为 10 克, 秤砣质量为 20 克,
$\therefore 10l=20a, \therefore l=2a$.
(2) 观察表格可得, 重物质量增加 2 克, 秤砣与零刻度线的距离就增加 0.4 厘米,
$\therefore y$ 是 $x$ 的一次函数.
设该一次函数的表达式为 $y=kx+b$.
把 $(2,0.5),(4,0.9)$ 分别代入,
得 $\begin{cases} 2k +b=0.5, \\4k +b=0.9,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k=0.2, \\b=0.1,\end{cases}$
$\therefore y$ 关于 $x$ 的函数表达式为 $y=0.2x+0.1(0＜x ≤ 100)$.
(3) 在 $y=0.2x+0.1$ 中, 令 $x=58.5$, 得 $y=0.2 × 58.5 +0.1=11.8$,
$\therefore$ 秤砣与零刻度线的距离为 11.8 厘米.
$\because$ 零刻度线右侧第 1 条刻度线表示 2 克, 第 2 条刻度线表示 4 克,
$\therefore$ 零刻度线右侧第 29 条刻度线表示 58 克, 第 30 条刻度线表示 60 克,
$\because 58.5-58 ＜60-58.5$,
$\therefore$ 挂秤砣的细线更靠近第 29 条刻度线.
$\therefore 10l=20a, \therefore l=2a$.
(2) 观察表格可得, 重物质量增加 2 克, 秤砣与零刻度线的距离就增加 0.4 厘米,
$\therefore y$ 是 $x$ 的一次函数.
设该一次函数的表达式为 $y=kx+b$.
把 $(2,0.5),(4,0.9)$ 分别代入,
得 $\begin{cases} 2k +b=0.5, \\4k +b=0.9,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k=0.2, \\b=0.1,\end{cases}$
$\therefore y$ 关于 $x$ 的函数表达式为 $y=0.2x+0.1(0＜x ≤ 100)$.
(3) 在 $y=0.2x+0.1$ 中, 令 $x=58.5$, 得 $y=0.2 × 58.5 +0.1=11.8$,
$\therefore$ 秤砣与零刻度线的距离为 11.8 厘米.
$\because$ 零刻度线右侧第 1 条刻度线表示 2 克, 第 2 条刻度线表示 4 克,
$\therefore$ 零刻度线右侧第 29 条刻度线表示 58 克, 第 30 条刻度线表示 60 克,
$\because 58.5-58 ＜60-58.5$,
$\therefore$ 挂秤砣的细线更靠近第 29 条刻度线.
解析
【分析】
（1）第一问对应定盘星的平衡状态，此时秤杆水平平衡，根据杠杆平衡条件，动力×动力臂=阻力×阻力臂，这里秤盘的重力为动力，力臂是AB的长度$l$，秤砣的重力为阻力，力臂是BO的长度$a$，重力和质量成正比，因此可列质量与力臂乘积相等的等式，代入已知质量即可求出$l$与$a$的数量关系。
（2）题目明确说明$y$是$x$的一次函数，因此采用待定系数法求解：先设一次函数解析式为$y=kx+b$，从表格中选取两组对应的$x$、$y$值代入，得到关于$k$、$b$的二元一次方程组，解方程组求出$k$、$b$的值，即可得到$y$关于$x$的函数表达式。
（3）求重物为58.5克时的距离，直接将$x=58.5$代入第二问求出的函数解析式，计算得到的$y$值即为所求距离；再根据刻度规则，每一条刻度线对应重物质量增加2克，分别算出58克对应第29条刻度线、60克对应第30条刻度线，比较58.5与58、60的差值大小，即可判断细线更靠近的刻度线条数。
【解析】
(1) 当秤杆在定盘星位置平衡时，根据杠杆平衡条件，秤盘的力矩等于秤砣的力矩，重力与质量成正比，因此可得：
$m_{\mathrm{盘}} · g · l = m_{\mathrm{砣}} · g · a$，约去$g$后代入已知质量：
$\because$ 秤盘质量为10克，秤砣质量为20克，
$\therefore 10l=20a$，
$\therefore l=2a$。
(2) 由题意可知$y$是$x$的一次函数，设该一次函数的表达式为$y=kx+b$。
选取两组数据$(2,0.5)$、$(4,0.9)$分别代入表达式，得：
$\begin{cases} 2k +b=0.5 \\4k +b=0.9 \end{cases}$
用第二个方程减第一个方程消去$b$，得$2k=0.4$，解得$k=0.2$，
将$k=0.2$代入$2k +b=0.5$，得$0.4 + b=0.5$，解得$b=0.1$，
$\therefore y$关于$x$的函数表达式为$y=0.2x+0.1(0＜x ≤ 100)$。
(3) 将$x=58.5$代入$y=0.2x+0.1$，得：
$y=0.2 × 58.5 +0.1=11.8$，
$\therefore$ 秤砣与零刻度线的距离为11.8厘米。
由刻度规则可知，零刻度线右侧第$n$条刻度线表示的质量为$2n$克：
当$n=29$时，对应质量为$2×29=58$克，当$n=30$时，对应质量为$2×30=60$克，
$\because 58.5-58=0.5$，$60-58.5=1.5$，$0.5＜1.5$，
$\therefore$ 挂秤砣的细线更靠近第29条刻度线。
【答案】
(1) $\boldsymbol{l=2a}$
(2) $\boldsymbol{y=0.2x+0.1(0＜x ≤ 100)}$
(3) 秤砣与零刻度线的距离为$\boldsymbol{11.8}$厘米，挂秤砣的细线更靠近第$\boldsymbol{29}$条刻度线。
【知识点】
杠杆平衡原理，待定系数法求一次函数解析式，一次函数实际应用
【点评】
本题结合生活中杆秤的制作实践，跨学科融合物理杠杆知识与数学一次函数知识，考查学生信息提取能力、建模能力和运用知识解决实际问题的能力，情境新颖，贴合生活实际。
【难度系数】
0.7
（1）第一问对应定盘星的平衡状态，此时秤杆水平平衡，根据杠杆平衡条件，动力×动力臂=阻力×阻力臂，这里秤盘的重力为动力，力臂是AB的长度$l$，秤砣的重力为阻力，力臂是BO的长度$a$，重力和质量成正比，因此可列质量与力臂乘积相等的等式，代入已知质量即可求出$l$与$a$的数量关系。
（2）题目明确说明$y$是$x$的一次函数，因此采用待定系数法求解：先设一次函数解析式为$y=kx+b$，从表格中选取两组对应的$x$、$y$值代入，得到关于$k$、$b$的二元一次方程组，解方程组求出$k$、$b$的值，即可得到$y$关于$x$的函数表达式。
（3）求重物为58.5克时的距离，直接将$x=58.5$代入第二问求出的函数解析式，计算得到的$y$值即为所求距离；再根据刻度规则，每一条刻度线对应重物质量增加2克，分别算出58克对应第29条刻度线、60克对应第30条刻度线，比较58.5与58、60的差值大小，即可判断细线更靠近的刻度线条数。
【解析】
(1) 当秤杆在定盘星位置平衡时，根据杠杆平衡条件，秤盘的力矩等于秤砣的力矩，重力与质量成正比，因此可得：
$m_{\mathrm{盘}} · g · l = m_{\mathrm{砣}} · g · a$，约去$g$后代入已知质量：
$\because$ 秤盘质量为10克，秤砣质量为20克，
$\therefore 10l=20a$，
$\therefore l=2a$。
(2) 由题意可知$y$是$x$的一次函数，设该一次函数的表达式为$y=kx+b$。
选取两组数据$(2,0.5)$、$(4,0.9)$分别代入表达式，得：
$\begin{cases} 2k +b=0.5 \\4k +b=0.9 \end{cases}$
用第二个方程减第一个方程消去$b$，得$2k=0.4$，解得$k=0.2$，
将$k=0.2$代入$2k +b=0.5$，得$0.4 + b=0.5$，解得$b=0.1$，
$\therefore y$关于$x$的函数表达式为$y=0.2x+0.1(0＜x ≤ 100)$。
(3) 将$x=58.5$代入$y=0.2x+0.1$，得：
$y=0.2 × 58.5 +0.1=11.8$，
$\therefore$ 秤砣与零刻度线的距离为11.8厘米。
由刻度规则可知，零刻度线右侧第$n$条刻度线表示的质量为$2n$克：
当$n=29$时，对应质量为$2×29=58$克，当$n=30$时，对应质量为$2×30=60$克，
$\because 58.5-58=0.5$，$60-58.5=1.5$，$0.5＜1.5$，
$\therefore$ 挂秤砣的细线更靠近第29条刻度线。
【答案】
(1) $\boldsymbol{l=2a}$
(2) $\boldsymbol{y=0.2x+0.1(0＜x ≤ 100)}$
(3) 秤砣与零刻度线的距离为$\boldsymbol{11.8}$厘米，挂秤砣的细线更靠近第$\boldsymbol{29}$条刻度线。
【知识点】
杠杆平衡原理，待定系数法求一次函数解析式，一次函数实际应用
【点评】
本题结合生活中杆秤的制作实践，跨学科融合物理杠杆知识与数学一次函数知识，考查学生信息提取能力、建模能力和运用知识解决实际问题的能力，情境新颖，贴合生活实际。
【难度系数】
0.7
