1 利用公式法解一元二次方程$6x^2+\frac{1}{2}=5x$时，$a,b,c$的值分别是 （）

A.$6,\frac{1}{2},5$
B.$6,-5,\frac{1}{2}$
C.$6,5,\frac{1}{2}$
D.$6,-5,-\frac{1}{2}$

1. B

【分析】
要确定一元二次方程中a、b、c的值，首先需要将方程化为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，注意系数需要连同它前面的符号。解题时先对原方程移项整理成一般形式，再对应找出a、b、c的值即可。
【解析】
首先将原方程化为一元二次方程的一般形式：
原方程为$6x^2+\frac{1}{2}=5x$，将等号右侧的$5x$移到左侧，移项要变号，可得：
$6x^2 -5x +\frac{1}{2}=0$
对照一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0$，可得：
二次项系数$a=6$，一次项系数$b=-5$，常数项$c=\frac{1}{2}$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的一般形式；公式法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是先将方程整理为一般形式，识别系数时要注意带上项前面的符号，避免因忽略移项变号、漏看符号导致错误。
【难度系数】
0.8

2 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 的两个根分别为 $ x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 + 4}}{2} $，$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 + 4}}{2} $，则下列判断正确的是（）

A.$ a = -1 $
B.$ c = 1 $
C.$ ac = -1 $
D.$ \frac{c}{a} = 1 $

2. C

【分析】
解决本题可以从两个思路入手：一是对比一元二次方程的标准求根公式与题目给出的根的结构，通过对应分母、根号内判别式的部分推导a、c的关系；二是利用韦达定理（根与系数的关系）计算两根的和与积，再结合韦达定理的公式推导结论。解题时优先选择对比求根公式的方法，更直接高效。
【解析】
一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$）的求根公式为：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
已知方程的两根为$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2+4}}{2}$，$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2+4}}{2}$，将其与求根公式对比：
1. 对应分母部分：$2a=2$，解得$a=1$；
2. 对应根号内的判别式部分：$b^2-4ac = b^2+4$，两边同时消去$b^2$，可得$-4ac=4$，化简得$ac=-1$。
逐一判断选项：
A. $a=-1$，与推导得$a=1$不符，错误；
B. $c=1$，由$a=1$、$ac=-1$得$c=-1$，不符，错误；
C. $ac=-1$，与推导结论一致，正确；
D. $\frac{c}{a}=1$，代入得$\frac{c}{a}=\frac{-1}{1}=-1$，不符，错误。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程求根公式，韦达定理
【点评】
本题核心考查对一元二次方程求根公式结构的熟悉程度，也可通过韦达定理计算两根之积快速得到结论，解题时要注意对应公式各部分的位置，避免记错公式导致错误。
【难度系数】
0.7

3 把方程 $4 - x^2 = 3x$ 化成 $ax^2 + bx + c = 0(a＞0)$ 的形式为 ，其中 $b^2 - 4ac = $ 。

3. $x^2+3x-4=0$；25

【分析】
本题需要先将给定方程化为满足二次项系数大于0的一元二次方程一般形式，再计算判别式的值。解题思路为：第一步先通过移项把所有项移到等号同侧，若移项后二次项系数为负，可对等式两边同时乘-1，保证a＞0；第二步从整理好的一般形式中准确提取a、b、c的取值，注意要携带每一项的符号，最后代入判别式公式$b^2-4ac$计算即可。
【解析】
解：对原方程$4 - x^2 = 3x$移项，将所有项移至等号左侧，得：
$-x^2 - 3x + 4 = 0$
要求$a＞0$，给等式两边同时乘$-1$，化简得：
$x^2 + 3x - 4 = 0$
由此可得$a=1$，$b=3$，$c=-4$，代入判别式公式计算：
$b^2 - 4ac = 3^2 - 4×1×(-4) = 9 + 16 = 25$
【答案】
$x^2+3x-4=0$；$25$
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 根的判别式计算
【点评】
本题属于基础题，主要考查一元二次方程的规范化简和判别式的计算，解题时要注意移项时符号的变化，确定a、b、c取值时不要遗漏符号，避免判别式计算出错。
【难度系数】
0.9

4 用公式法解方程 $2x^2 -5x=7$，其中 $b^2 -4ac=$ ，方程的根为 。

4. 81；$x_1=-1,x_2=\frac{7}{2}$

【分析】
解这道题需按照公式法解一元二次方程的固定步骤思考：①先把原方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，准确确定$a、b、c$的取值，要特别注意各项系数的符号；②把$a、b、c$代入判别式公式$\Delta=b^2-4ac$，算出判别式的值；③因为判别式大于0，再将$a、b、\Delta$的值代入一元二次方程求根公式，计算得到方程的两个根。
【解析】
1. 将原方程移项，化为一元二次方程一般形式：
$2x^2 -5x -7 = 0$
可得二次项系数$a=2$，一次项系数$b=-5$，常数项$c=-7$。
2. 计算判别式$b^2-4ac$：
$b^2-4ac = (-5)^2 - 4 × 2 × (-7) = 25 + 56 = 81$
3. 代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$计算方程的根：
$x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{81}}{2 × 2} = \frac{5 \pm 9}{4}$
则$x_1=\frac{5-9}{4}=-1$，$x_2=\frac{5+9}{4}=\frac{7}{2}$
【答案】
81；$x_1=-1,x_2=\frac{7}{2}$
【知识点】
一元二次方程一般形式，根的判别式，公式法解方程
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的基础题型，解题核心是先将方程转化为标准一般形式，准确识别各项系数的符号，再依次计算判别式和方程的根，计算时注意符号运算，避免出现低级错误。
【难度系数】
0.8

5 教材变式题 用公式法解下列方程：
(1) $[2024\mathrm{齐齐哈尔}]x^2 -5x +6=0$；
(2) $x^2 -2x -5=0$；
(3) $[2024\mathrm{沭阳期末}]2x^2 -5x +2=0$；
(4) $x(x-4)=30 -x^2$。

5. (1) $x_1=2,x_2=3$ (2) $x_1=1+\sqrt{6},x_2=1-\sqrt{6}$ (3) $x_1=2,x_2=\frac{1}{2}$ (4) $x_1=5,x_2=-3$

【分析】
使用公式法解一元二次方程遵循固定解题思路：第一步先将方程整理为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一般形式，第二步准确识别系数$a$、$b$、$c$的值，第三步计算判别式$\Delta=b^2-4ac$判断根的情况，若$\Delta≥0$，直接代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算方程的根即可，若$\Delta＜0$则方程无实数根。
【解析】
(1) 解方程$x^2 -5x +6=0$
该方程已是一般形式，其中$a=1$，$b=-5$，$c=6$
计算判别式：$\Delta=(-5)^2-4×1×6=25-24=1＞0$，方程有两个不相等的实数根
代入求根公式：$x=\frac{5\pm\sqrt{1}}{2×1}=\frac{5\pm1}{2}$
即$x_1=\frac{5-1}{2}=2$，$x_2=\frac{5+1}{2}=3$
(2) 解方程$x^2 -2x -5=0$
该方程已是一般形式，其中$a=1$，$b=-2$，$c=-5$
计算判别式：$\Delta=(-2)^2-4×1×(-5)=4+20=24＞0$，方程有两个不相等的实数根
代入求根公式：$x=\frac{2\pm\sqrt{24}}{2×1}=\frac{2\pm2\sqrt{6}}{2}=1\pm\sqrt{6}$
即$x_1=1+\sqrt{6}$，$x_2=1-\sqrt{6}$
(3) 解方程$2x^2 -5x +2=0$
该方程已是一般形式，其中$a=2$，$b=-5$，$c=2$
计算判别式：$\Delta=(-5)^2-4×2×2=25-16=9＞0$，方程有两个不相等的实数根
代入求根公式：$x=\frac{5\pm\sqrt{9}}{2×2}=\frac{5\pm3}{4}$
即$x_1=\frac{5-3}{4}=\frac{1}{2}$，$x_2=\frac{5+3}{4}=2$
(4) 解方程$x(x-4)=30 -x^2$
先整理为一般形式：展开左边得$x^2-4x=30-x^2$，移项合并同类项得$2x^2-4x-30=0$，化简为$x^2-2x-15=0$
其中$a=1$，$b=-2$，$c=-15$
计算判别式：$\Delta=(-2)^2-4×1×(-15)=4+60=64＞0$，方程有两个不相等的实数根
代入求根公式：$x=\frac{2\pm\sqrt{64}}{2×1}=\frac{2\pm8}{2}$
即$x_1=\frac{2+8}{2}=5$，$x_2=\frac{2-8}{2}=-3$
【答案】
(1) $x_1=2,x_2=3$
(2) $x_1=1+\sqrt{6},x_2=1-\sqrt{6}$
(3) $x_1=2,x_2=\frac{1}{2}$
(4) $x_1=5,x_2=-3$
【知识点】
公式法解一元二次方程、一元二次方程一般式、根的判别式
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的基础训练题，解题核心是严格遵循公式法的固定步骤，需要注意整理方程为一般式时移项要变号，计算判别式和求根时要注意系数的符号，避免因运算粗心出错。
【难度系数】
0.8

6 若$x=-2$是关于$x$的一元二次方程$x^2 + \frac{3}{2}ax -a^2=0$的一个根，则$a$的值为（）

A.$-1$或$4$
B.$-1$或$-4$
C.$1$或$-4$
D.$1$或$4$

6. C

【分析】
解题的核心是利用一元二次方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。因此我们只需将已知的根x=-2代入原方程，即可得到一个关于参数a的一元二次方程，求解该方程就能得到a的取值，再对应选项选择即可。
【解析】
∵x=-2是一元二次方程$x^2 + \frac{3}{2}ax -a^2=0$的根
∴将x=-2代入方程，等式成立，即：
$(-2)^2 + \frac{3}{2}a×(-2) - a^2 = 0$
计算化简得：
$4 - 3a - a^2 = 0$
整理为一元二次方程的标准形式：
$a^2 + 3a - 4 = 0$
对左边因式分解得：
$(a-1)(a+4) = 0$
∴$a-1=0$或$a+4=0$
解得$a=1$或$a=-4$
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的定义；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题型，考查对一元二次方程根的定义的理解与应用，解题的关键是掌握“方程的根代入原方程等式成立”这一性质，将含参数的一元二次方程问题转化为解关于参数的方程问题，计算时注意符号的处理即可。
【难度系数】
0.8

7（易错题）若式子$\frac{1}{2}\sqrt{x^2 -4x}$与$3\sqrt{10 -x}$中的二次根式为最简二次根式，且被开方数相同，则$x$的值是（）

A.$-2$
B.$5$
C.$-2$或$5$
D.$2$或$-5$

7. B
易错分析：解答本题时容易忽视“最简二次根式的被开方数不含开得尽方的数或式”而错选C选项。

【分析】
要解决这道题可按三步思考：第一步，明确核心性质：若两个最简二次根式的被开方数相同，那么它们的被开方数相等，据此列方程求解x的可能值；第二步，牢记二次根式的隐含条件：被开方数必须是非负数，初步筛选解；第三步，结合题目“最简二次根式”的限定，验证剩余的解是否满足被开方数不含能开得尽方的因数或因式，排除不符合的解，最终得到正确结果。
【解析】
解：
∵ 两个式子都是最简二次根式，且被开方数相同
∴ 被开方数相等，可得方程：
$x^2 - 4x = 10 - x$
整理得：$x^2 - 3x - 10 = 0$
因式分解得：$(x - 5)(x + 2) = 0$
解得：$x_1 = 5$，$x_2 = -2$
接下来验证是否符合题意：
① 当$x = -2$时，代入第一个被开方数：$x^2 - 4x = (-2)^2 - 4×(-2) = 12$
$\sqrt{12}$不是最简二次根式（12含开得尽方的因数4），不符合题意，舍去；
② 当$x = 5$时，第一个被开方数：$x^2 - 4x = 5^2 - 4×5 = 5$，第二个被开方数：$10 - x = 10 - 5 = 5$
两个被开方数都是5，对应二次根式均为最简二次根式，符合题意。
综上，$x$的值为5。
【答案】
B
【知识点】
最简二次根式定义；一元二次方程的解法；二次根式有意义的条件
【点评】
本题是常见易错题，解题时容易忽略“最简二次根式”的限定条件，仅通过被开方数相等列方程求解后直接选答案，导致错选。因此求解带限定条件的方程类题目时，一定要将解代回原题目验证所有条件是否都满足，再确定最终结果。
【难度系数】
0.6