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8 利用某型号的计算器计算$\sqrt{5}$，显示结果为2.236 067 977.借助显示结果，可以将方程$x^2 + x - 1 = 0$的正数解近似表示为
0.618
（结果精确到0.001）。答案
8. 0.618
解析
【分析】
要解决本题，可按以下思路推导：①先利用公式法求解一元二次方程$x^2 + x - 1 = 0$的两个实数根；②结合“正数解”的要求筛选出符合条件的根，得到含$\sqrt{5}$的根的表达式；③将题目给出的$\sqrt{5}$近似值代入表达式计算，最后按精确到0.001的要求对结果取近似值即可。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 + x - 1 = 0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=1$，常数项$c=-1$。
1. 计算判别式：$\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4×1×(-1) = 5 ＞ 0$，因此方程有两个不相等的实数根。
2. 代入求根公式得：$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$。
3. 筛选正数解：$\frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$为负数，不符合要求，因此正数解为$x = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
4. 代入$\sqrt{5}\approx2.236067977$计算：
$x = \frac{2.236067977 - 1}{2} = \frac{1.236067977}{2} \approx 0.61803$，精确到0.001得$x\approx0.618$。
【答案】
0.618
【知识点】
公式法解一元二次方程；近似数；二次根式运算
【点评】
本题侧重基础应用，解题关键是熟练掌握一元二次方程求根公式，筛选出符合要求的正根，计算时严格按照题目要求的精确度取近似值即可。
【难度系数】
0.8
要解决本题，可按以下思路推导：①先利用公式法求解一元二次方程$x^2 + x - 1 = 0$的两个实数根；②结合“正数解”的要求筛选出符合条件的根，得到含$\sqrt{5}$的根的表达式；③将题目给出的$\sqrt{5}$近似值代入表达式计算，最后按精确到0.001的要求对结果取近似值即可。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 + x - 1 = 0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=1$，常数项$c=-1$。
1. 计算判别式：$\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4×1×(-1) = 5 ＞ 0$，因此方程有两个不相等的实数根。
2. 代入求根公式得：$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$。
3. 筛选正数解：$\frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$为负数，不符合要求，因此正数解为$x = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
4. 代入$\sqrt{5}\approx2.236067977$计算：
$x = \frac{2.236067977 - 1}{2} = \frac{1.236067977}{2} \approx 0.61803$，精确到0.001得$x\approx0.618$。
【答案】
0.618
【知识点】
公式法解一元二次方程；近似数；二次根式运算
【点评】
本题侧重基础应用，解题关键是熟练掌握一元二次方程求根公式，筛选出符合要求的正根，计算时严格按照题目要求的精确度取近似值即可。
【难度系数】
0.8
9 若关于x的一元二次方程$3x^2 + (m - 1)x - 4 = 0$中的$b^2 - 4ac = 73$，则m的值为
6或-4
。答案
9. 6或-4
【解析】由题意，得$(m-1)^2 -4×3×(-4)=73$，$\therefore (m-1)^2=25,\therefore m-1=\pm5,$解得$m_1=6,m_2=-4.$
【解析】由题意，得$(m-1)^2 -4×3×(-4)=73$，$\therefore (m-1)^2=25,\therefore m-1=\pm5,$解得$m_1=6,m_2=-4.$
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，回忆一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$及根的判别式公式$\Delta=b^2-4ac$，从题目给出的方程中找准对应系数$a、b、c$，注意$c$的符号为负；第二步，将系数和已知的$\Delta=73$代入判别式公式，得到关于$m$的方程；第三步，求解该方程，注意正数开平方有正负两个结果，不要漏解。
【解析】
在一元二次方程$3x^2 + (m - 1)x - 4 = 0$中，$a=3$，$b=m-1$，$c=-4$，
由题意得$b^2-4ac=73$，代入系数得：
$(m-1)^2 - 4×3×(-4) = 73$
整理得：
$(m-1)^2 + 48 = 73$
即：
$(m-1)^2 = 25$
开平方得：
$m-1 = \pm5$
当$m-1=5$时，解得$m=6$；当$m-1=-5$时，解得$m=-4$。
【答案】
6或-4
【知识点】
一元二次方程根的判别式，直接开平方法解方程
【点评】
本题是基础类题型，重点考查判别式公式的应用，解题关键是准确识别方程各项的系数、尤其是带符号的常数项，开平方时注意不要遗漏负根，熟练掌握判别式公式即可快速解答。
【难度系数】
0.8
解题思路可分为三步：第一步，回忆一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$及根的判别式公式$\Delta=b^2-4ac$，从题目给出的方程中找准对应系数$a、b、c$，注意$c$的符号为负；第二步，将系数和已知的$\Delta=73$代入判别式公式，得到关于$m$的方程；第三步，求解该方程，注意正数开平方有正负两个结果，不要漏解。
【解析】
在一元二次方程$3x^2 + (m - 1)x - 4 = 0$中，$a=3$，$b=m-1$，$c=-4$，
由题意得$b^2-4ac=73$，代入系数得：
$(m-1)^2 - 4×3×(-4) = 73$
整理得：
$(m-1)^2 + 48 = 73$
即：
$(m-1)^2 = 25$
开平方得：
$m-1 = \pm5$
当$m-1=5$时，解得$m=6$；当$m-1=-5$时，解得$m=-4$。
【答案】
6或-4
【知识点】
一元二次方程根的判别式，直接开平方法解方程
【点评】
本题是基础类题型，重点考查判别式公式的应用，解题关键是准确识别方程各项的系数、尤其是带符号的常数项，开平方时注意不要遗漏负根，熟练掌握判别式公式即可快速解答。
【难度系数】
0.8
10 点M在数轴的负半轴上，点N在该数轴的正半轴上，且点M，N对应的数分别为$2x-2$，$x^2+x$。
当线段MN的长为5时，x的值为
当线段MN的长为5时，x的值为
$\frac{1-\sqrt{13}}{2}$
。答案
10. $\frac{1-\sqrt{13}}{2}$
【解析】根据题意，得$(x^2 + x)-(2x - 2)=5,$整理，得$x^2 -x -3=0. \because a=1,b=-1,c=-3,\therefore b^2-4ac=(-1)^2-4×1×(-3)=13. \because 13＞0,\therefore x=\frac{-(-1)\pm\sqrt{13}}{2×1}=\frac{1\pm\sqrt{13}}{2}. \because$点M在数轴的负半轴上，$\therefore 2x-2＜0,$即$x＜1,\therefore x=\frac{1-\sqrt{13}}{2},$此时$x^2+x＞0,$符合题意。
【解析】根据题意，得$(x^2 + x)-(2x - 2)=5,$整理，得$x^2 -x -3=0. \because a=1,b=-1,c=-3,\therefore b^2-4ac=(-1)^2-4×1×(-3)=13. \because 13＞0,\therefore x=\frac{-(-1)\pm\sqrt{13}}{2×1}=\frac{1\pm\sqrt{13}}{2}. \because$点M在数轴的负半轴上，$\therefore 2x-2＜0,$即$x＜1,\therefore x=\frac{1-\sqrt{13}}{2},$此时$x^2+x＞0,$符合题意。
解析
【分析】
解题时首先明确数轴上两点的距离计算规则：右侧点对应的数减去左侧点对应的数等于两点间线段长度。已知点N在正半轴、点M在负半轴，因此N对应的数大于M对应的数，据此可列出关于x的方程；接下来将方程整理为一元二次方程的一般形式，用公式法求解；最后根据点M在负半轴（对应数＜0）、点N在正半轴（对应数＞0）的约束条件，对求出的根进行检验，舍去不符合题意的根即可得到正确结果。
【解析】
根据题意，点N在数轴正半轴，点M在负半轴，因此N对应的数大于M对应的数，线段MN的长为N的数减M的数，列方程得：
$(x^2 + x)-(2x - 2)=5$
整理方程得：$x^2 -x -3=0$
这里$a=1,b=-1,c=-3$，先计算判别式：
$b^2-4ac=(-1)^2-4×1×(-3)=1+12=13＞0$
由求根公式得：
$x=\frac{-(-1)\pm\sqrt{13}}{2×1}=\frac{1\pm\sqrt{13}}{2}$
∵点M在数轴负半轴，
∴M对应的数$2x-2＜0$，解得$x＜1$
∵$\frac{1+\sqrt{13}}{2}≈2.3＞1$，不符合$x＜1$的要求，舍去；
$\frac{1-\sqrt{13}}{2}≈-1.3＜1$，代入验证得$x^2+x＞0$，符合N在正半轴的要求。
【答案】
$\frac{1-\sqrt{13}}{2}$
【知识点】
1.数轴两点距离计算
2.公式法解一元二次方程
3.方程根的取舍
【点评】
本题将数轴的性质与一元二次方程的求解结合考查，解题时需要注意题目给出的点的位置限制条件，求出方程的根后要验证是否符合所有约束条件，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.6
解题时首先明确数轴上两点的距离计算规则：右侧点对应的数减去左侧点对应的数等于两点间线段长度。已知点N在正半轴、点M在负半轴，因此N对应的数大于M对应的数，据此可列出关于x的方程；接下来将方程整理为一元二次方程的一般形式，用公式法求解；最后根据点M在负半轴（对应数＜0）、点N在正半轴（对应数＞0）的约束条件，对求出的根进行检验，舍去不符合题意的根即可得到正确结果。
【解析】
根据题意，点N在数轴正半轴，点M在负半轴，因此N对应的数大于M对应的数，线段MN的长为N的数减M的数，列方程得：
$(x^2 + x)-(2x - 2)=5$
整理方程得：$x^2 -x -3=0$
这里$a=1,b=-1,c=-3$，先计算判别式：
$b^2-4ac=(-1)^2-4×1×(-3)=1+12=13＞0$
由求根公式得：
$x=\frac{-(-1)\pm\sqrt{13}}{2×1}=\frac{1\pm\sqrt{13}}{2}$
∵点M在数轴负半轴，
∴M对应的数$2x-2＜0$，解得$x＜1$
∵$\frac{1+\sqrt{13}}{2}≈2.3＞1$，不符合$x＜1$的要求，舍去；
$\frac{1-\sqrt{13}}{2}≈-1.3＜1$，代入验证得$x^2+x＞0$，符合N在正半轴的要求。
【答案】
$\frac{1-\sqrt{13}}{2}$
【知识点】
1.数轴两点距离计算
2.公式法解一元二次方程
3.方程根的取舍
【点评】
本题将数轴的性质与一元二次方程的求解结合考查，解题时需要注意题目给出的点的位置限制条件，求出方程的根后要验证是否符合所有约束条件，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.6
11 用公式法解下列方程：
(1) $y^2 + 2\sqrt{2}y = 6$；
(2) $(2x + 1)(x - 1) = 8(9 - x) - 1$；
(3) $(x + 1)^2 - 2(x - 1)^2 = 7$；
(4) $1 - t^2 = 2t(2t - 1)$。
(1) $y^2 + 2\sqrt{2}y = 6$；
(2) $(2x + 1)(x - 1) = 8(9 - x) - 1$；
(3) $(x + 1)^2 - 2(x - 1)^2 = 7$；
(4) $1 - t^2 = 2t(2t - 1)$。
答案
11. (1) $y_1=\sqrt{2},y_2=-3\sqrt{2}$ (2) $x_1=-8,x_2=\frac{9}{2}$ (3) $x_1=4,x_2=2$ (4) $t_1=\frac{1+\sqrt{6}}{5},t_2=\frac{1-\sqrt{6}}{5}$
解析
【分析】
用公式法解一元二次方程遵循固定思路：第一步先将原方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，准确确定$a$、$b$、$c$的取值；第二步计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，若$\Delta＜0$则方程无实根，若$\Delta≥0$则代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$计算根，最后化简结果即可。
【解析】
(1) $y^2 + 2\sqrt{2}y = 6$
移项整理为一般形式：$y^2+2\sqrt{2}y-6=0$
得$a=1$，$b=2\sqrt{2}$，$c=-6$
计算判别式：$\Delta=(2\sqrt{2})^2-4×1×(-6)=8+24=32＞0$
代入求根公式：$y=\frac{-2\sqrt{2}\pm\sqrt{32}}{2×1}=\frac{-2\sqrt{2}\pm4\sqrt{2}}{2}$
解得：$y_1=\frac{-2\sqrt{2}+4\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$，$y_2=\frac{-2\sqrt{2}-4\sqrt{2}}{2}=-3\sqrt{2}$
(2) $(2x + 1)(x - 1) = 8(9 - x) - 1$
左右两边展开：$2x^2-x-1=72-8x-1$
移项合并同类项整理为一般形式：$2x^2+7x-72=0$
得$a=2$，$b=7$，$c=-72$
计算判别式：$\Delta=7^2-4×2×(-72)=49+576=625＞0$
代入求根公式：$x=\frac{-7\pm\sqrt{625}}{2×2}=\frac{-7\pm25}{4}$
解得：$x_1=\frac{-7-25}{4}=-8$，$x_2=\frac{-7+25}{4}=\frac{9}{2}$
(3) $(x + 1)^2 - 2(x - 1)^2 = 7$
展开并整理：$x^2+2x+1-2(x^2-2x+1)=7$
$x^2+2x+1-2x^2+4x-2-7=0$
化简为一般形式：$x^2-6x+8=0$
得$a=1$，$b=-6$，$c=8$
计算判别式：$\Delta=(-6)^2-4×1×8=36-32=4＞0$
代入求根公式：$x=\frac{6\pm\sqrt{4}}{2×1}=\frac{6\pm2}{2}$
解得：$x_1=\frac{6+2}{2}=4$，$x_2=\frac{6-2}{2}=2$
(4) $1 - t^2 = 2t(2t - 1)$
展开右边并整理：$1-t^2=4t^2-2t$
移项合并同类项为一般形式：$5t^2-2t-1=0$
得$a=5$，$b=-2$，$c=-1$
计算判别式：$\Delta=(-2)^2-4×5×(-1)=4+20=24＞0$
代入求根公式：$t=\frac{2\pm\sqrt{24}}{2×5}=\frac{2\pm2\sqrt{6}}{10}=\frac{1\pm\sqrt{6}}{5}$
解得：$t_1=\frac{1+\sqrt{6}}{5}$，$t_2=\frac{1-\sqrt{6}}{5}$
【答案】
(1) $y_1=\sqrt{2},y_2=-3\sqrt{2}$ (2) $x_1=-8,x_2=\frac{9}{2}$ (3) $x_1=4,x_2=2$ (4) $t_1=\frac{1+\sqrt{6}}{5},t_2=\frac{1-\sqrt{6}}{5}$
【知识点】
公式法解一元二次方程、一元二次方程一般形式、根的判别式
【点评】
本题是公式法解方程的基础训练题，核心是熟练掌握公式法的解题步骤，易错点在于整理方程时符号出错、$a,b,c$取值带错符号、二次根式化简失误，计算时细心即可得分。
【难度系数】
0.8
用公式法解一元二次方程遵循固定思路：第一步先将原方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，准确确定$a$、$b$、$c$的取值；第二步计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，若$\Delta＜0$则方程无实根，若$\Delta≥0$则代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$计算根，最后化简结果即可。
【解析】
(1) $y^2 + 2\sqrt{2}y = 6$
移项整理为一般形式：$y^2+2\sqrt{2}y-6=0$
得$a=1$，$b=2\sqrt{2}$，$c=-6$
计算判别式：$\Delta=(2\sqrt{2})^2-4×1×(-6)=8+24=32＞0$
代入求根公式：$y=\frac{-2\sqrt{2}\pm\sqrt{32}}{2×1}=\frac{-2\sqrt{2}\pm4\sqrt{2}}{2}$
解得：$y_1=\frac{-2\sqrt{2}+4\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$，$y_2=\frac{-2\sqrt{2}-4\sqrt{2}}{2}=-3\sqrt{2}$
(2) $(2x + 1)(x - 1) = 8(9 - x) - 1$
左右两边展开：$2x^2-x-1=72-8x-1$
移项合并同类项整理为一般形式：$2x^2+7x-72=0$
得$a=2$，$b=7$，$c=-72$
计算判别式：$\Delta=7^2-4×2×(-72)=49+576=625＞0$
代入求根公式：$x=\frac{-7\pm\sqrt{625}}{2×2}=\frac{-7\pm25}{4}$
解得：$x_1=\frac{-7-25}{4}=-8$，$x_2=\frac{-7+25}{4}=\frac{9}{2}$
(3) $(x + 1)^2 - 2(x - 1)^2 = 7$
展开并整理：$x^2+2x+1-2(x^2-2x+1)=7$
$x^2+2x+1-2x^2+4x-2-7=0$
化简为一般形式：$x^2-6x+8=0$
得$a=1$，$b=-6$，$c=8$
计算判别式：$\Delta=(-6)^2-4×1×8=36-32=4＞0$
代入求根公式：$x=\frac{6\pm\sqrt{4}}{2×1}=\frac{6\pm2}{2}$
解得：$x_1=\frac{6+2}{2}=4$，$x_2=\frac{6-2}{2}=2$
(4) $1 - t^2 = 2t(2t - 1)$
展开右边并整理：$1-t^2=4t^2-2t$
移项合并同类项为一般形式：$5t^2-2t-1=0$
得$a=5$，$b=-2$，$c=-1$
计算判别式：$\Delta=(-2)^2-4×5×(-1)=4+20=24＞0$
代入求根公式：$t=\frac{2\pm\sqrt{24}}{2×5}=\frac{2\pm2\sqrt{6}}{10}=\frac{1\pm\sqrt{6}}{5}$
解得：$t_1=\frac{1+\sqrt{6}}{5}$，$t_2=\frac{1-\sqrt{6}}{5}$
【答案】
(1) $y_1=\sqrt{2},y_2=-3\sqrt{2}$ (2) $x_1=-8,x_2=\frac{9}{2}$ (3) $x_1=4,x_2=2$ (4) $t_1=\frac{1+\sqrt{6}}{5},t_2=\frac{1-\sqrt{6}}{5}$
【知识点】
公式法解一元二次方程、一元二次方程一般形式、根的判别式
【点评】
本题是公式法解方程的基础训练题，核心是熟练掌握公式法的解题步骤，易错点在于整理方程时符号出错、$a,b,c$取值带错符号、二次根式化简失误，计算时细心即可得分。
【难度系数】
0.8
12 新考向 新定义题 [2025 沭阳段考]规定一种新运算：
$=ad-bc$，例如：
$=1×4-2×(-3)=10$.若
$=0$，求$x$的值.
$=ad-bc$，例如：$=1×4-2×(-3)=10$.若$=0$，求$x$的值.答案
12. 根据题意，得$(2x^2-3)×1-6x=0,$即$2x^2-6x-3=0,$解得$x_1=\frac{3+\sqrt{15}}{2},x_2=\frac{3-\sqrt{15}}{2}$
解析
【分析】
首先需要准确理解题目给出的新运算规则：二阶行列式的运算结果为左上角元素与右下角元素的乘积减去右上角元素与左下角元素的乘积，即对应$ad-bc$。接下来将题目中给出的行列式的各元素对应代入规则，转化为常规的一元二次方程，再将方程整理为一般形式，最后用公式法求解一元二次方程即可得到$x$的值。
【解析】
根据新运算规则列方程：
$(2x^2-3) × 1 - 6x = 0$
整理为一元二次方程的一般形式：
$2x^2 -6x -3 = 0$
其中$a=2$，$b=-6$，$c=-3$，先计算判别式：
$\Delta = b^2 -4ac = (-6)^2 -4×2×(-3) = 36 + 24 = 60 ＞ 0$
代入一元二次方程求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$得：
$x = \frac{6\pm\sqrt{60}}{2×2} = \frac{6\pm2\sqrt{15}}{4} = \frac{3\pm\sqrt{15}}{2}$
即$x_1=\frac{3+\sqrt{15}}{2}$，$x_2=\frac{3-\sqrt{15}}{2}$
【答案】
$x_1=\frac{3+\sqrt{15}}{2}$，$x_2=\frac{3-\sqrt{15}}{2}$
【知识点】
新定义运算；公式法解一元二次方程
【点评】
本题结合新定义运算考查方程求解能力，解题关键是正确理解新运算规则，将新运算转化为熟悉的一元二次方程后按规范步骤求解，侧重考查阅读理解能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
首先需要准确理解题目给出的新运算规则：二阶行列式的运算结果为左上角元素与右下角元素的乘积减去右上角元素与左下角元素的乘积，即对应$ad-bc$。接下来将题目中给出的行列式的各元素对应代入规则，转化为常规的一元二次方程，再将方程整理为一般形式，最后用公式法求解一元二次方程即可得到$x$的值。
【解析】
根据新运算规则列方程：
$(2x^2-3) × 1 - 6x = 0$
整理为一元二次方程的一般形式：
$2x^2 -6x -3 = 0$
其中$a=2$，$b=-6$，$c=-3$，先计算判别式：
$\Delta = b^2 -4ac = (-6)^2 -4×2×(-3) = 36 + 24 = 60 ＞ 0$
代入一元二次方程求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$得：
$x = \frac{6\pm\sqrt{60}}{2×2} = \frac{6\pm2\sqrt{15}}{4} = \frac{3\pm\sqrt{15}}{2}$
即$x_1=\frac{3+\sqrt{15}}{2}$，$x_2=\frac{3-\sqrt{15}}{2}$
【答案】
$x_1=\frac{3+\sqrt{15}}{2}$，$x_2=\frac{3-\sqrt{15}}{2}$
【知识点】
新定义运算；公式法解一元二次方程
【点评】
本题结合新定义运算考查方程求解能力，解题关键是正确理解新运算规则，将新运算转化为熟悉的一元二次方程后按规范步骤求解，侧重考查阅读理解能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
13 分类讨论思想 已知一元二次方程$x^2 -11x +30=0$的两个根恰好分别是等腰三角形ABC的底边长和腰长，求$△ ABC$的面积.
答案
13. 解$x^2-11x+30=0,$得$x_1=5,x_2=6.$当等腰三角形ABC的底边长为5、腰长为6时，易得$△ ABC$的面积为$\frac{5\sqrt{119}}{4}$；当等腰三角形ABC的底边长为6、腰长为5时，易得$△ ABC$的面积为12.综上所述，$△ ABC$的面积为$\frac{5\sqrt{119}}{4}$或12
解析
【分析】
解题时首先需要求出一元二次方程的两个根，再结合等腰三角形底和腰未明确的特点进行分类讨论。首先验证两种情况下的三条边长是否满足三角形三边关系，再通过等腰三角形三线合一的性质求出底边上的高，最后用三角形面积公式计算对应面积即可。
【解析】
1. 求解一元二次方程：
对$x^2 -11x +30=0$因式分解，得$(x-5)(x-6)=0$，
解得$x_1=5$，$x_2=6$。
2. 分类讨论计算面积：
情况1：等腰$△ ABC$的底边长为5，腰长为6
此时三边长为5、6、6，满足三角形三边关系。
根据等腰三角形三线合一，底边上的高平分底边，因此底边一半长为$\frac{5}{2}$，
由勾股定理得底边上的高$h=\sqrt{6^2 - (\frac{5}{2})^2}=\sqrt{36-\frac{25}{4}}=\frac{\sqrt{119}}{2}$，
三角形面积$S=\frac{1}{2}×5×\frac{\sqrt{119}}{2}=\frac{5\sqrt{119}}{4}$。
情况2：等腰$△ ABC$的底边长为6，腰长为5
此时三边长为6、5、5，满足三角形三边关系。
底边上的高平分底边，底边一半长为3，
由勾股定理得底边上的高$h=\sqrt{5^2 - 3^2}=\sqrt{25-9}=4$，
三角形面积$S=\frac{1}{2}×6×4=12$。
【答案】
$\frac{5\sqrt{119}}{4}$或$12$
【知识点】
一元二次方程求解；等腰三角形性质；分类讨论思想
【点评】
本题是代数与几何的综合题，解题核心是明确等腰三角形底和腰不确定时要分类讨论，注意每一种情况都要先验证是否满足三角形三边关系，避免出现不符合实际的结果，计算高时要结合勾股定理和等腰三角形三线合一的性质求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先需要求出一元二次方程的两个根，再结合等腰三角形底和腰未明确的特点进行分类讨论。首先验证两种情况下的三条边长是否满足三角形三边关系，再通过等腰三角形三线合一的性质求出底边上的高，最后用三角形面积公式计算对应面积即可。
【解析】
1. 求解一元二次方程：
对$x^2 -11x +30=0$因式分解，得$(x-5)(x-6)=0$，
解得$x_1=5$，$x_2=6$。
2. 分类讨论计算面积：
情况1：等腰$△ ABC$的底边长为5，腰长为6
此时三边长为5、6、6，满足三角形三边关系。
根据等腰三角形三线合一，底边上的高平分底边，因此底边一半长为$\frac{5}{2}$，
由勾股定理得底边上的高$h=\sqrt{6^2 - (\frac{5}{2})^2}=\sqrt{36-\frac{25}{4}}=\frac{\sqrt{119}}{2}$，
三角形面积$S=\frac{1}{2}×5×\frac{\sqrt{119}}{2}=\frac{5\sqrt{119}}{4}$。
情况2：等腰$△ ABC$的底边长为6，腰长为5
此时三边长为6、5、5，满足三角形三边关系。
底边上的高平分底边，底边一半长为3，
由勾股定理得底边上的高$h=\sqrt{5^2 - 3^2}=\sqrt{25-9}=4$，
三角形面积$S=\frac{1}{2}×6×4=12$。
【答案】
$\frac{5\sqrt{119}}{4}$或$12$
【知识点】
一元二次方程求解；等腰三角形性质；分类讨论思想
【点评】
本题是代数与几何的综合题，解题核心是明确等腰三角形底和腰不确定时要分类讨论，注意每一种情况都要先验证是否满足三角形三边关系，避免出现不符合实际的结果，计算高时要结合勾股定理和等腰三角形三线合一的性质求解。
【难度系数】
0.7
