1 [2024泰安]如图，直线$l // m$，等边三角形$ABC$的两个顶点$B$，$C$分别落在直线$l$，$m$上.若$∠ ABE=21°$，则$∠ ACD$的度数是（）

A.$45°$
B.$39°$
C.$29°$
D.$21°$
（第1题）

1. B

【分析】
解题时首先抓住题目两个核心条件：直线$l// m$、$△ ABC$是等边三角形。首先根据平行线的性质，可得两直线被第三条直线所截形成的同旁内角$∠ EBC$与$∠ BCD$之和为$180°$；再结合等边三角形每个内角均为$60°$的性质，可先计算出$∠ EBC$的度数，进而求出$∠ BCD$的度数，最后用$∠ BCD$减去等边三角形的内角$∠ ACB$，即可得到$∠ ACD$的度数。
【解析】
解：$\because l// m$
$\therefore ∠ EBC + ∠ BCD = 180°$（两直线平行，同旁内角互补）
$\because △ ABC$是等边三角形
$\therefore ∠ ABC = ∠ ACB = 60°$
已知$∠ ABE=21°$，则：
$∠ EBC = ∠ ABE + ∠ ABC = 21° + 60° = 81°$
代入得$∠ BCD = 180° - ∠ EBC = 180° - 81° = 99°$
$\therefore ∠ ACD = ∠ BCD - ∠ ACB = 99° - 60° = 39°$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质；等边三角形的性质；角度计算
【点评】
本题是基础的角度计算题，将平行线性质与等边三角形的内角性质结合考查，解题的关键是梳理清楚各角之间的数量关系，熟练掌握基础几何性质即可轻松解答。
【难度系数】
0.8

2 如图,在等边三角形ABC中,BD平分∠ABC交AC于点D,点F在BC上,连接DF,BD=BF,则∠BFD的度数是
()

A.$60°$
B.$65°$
C.$75°$
D.$80°$

2. C

【分析】
解题思路可分三步推进：第一步，先利用等边三角形的内角性质得到∠ABC的度数；第二步，结合角平分线的定义，算出∠DBC的度数；第三步，根据已知BD=BF可知△BDF是等腰三角形，再结合三角形内角和定理即可求出∠BFD的度数。
【解析】
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$×60°=30°，
又
∵BD=BF，
∴△BDF为等腰三角形，∠BDF=∠BFD，
根据三角形内角和为180°，可得：
∠BFD=$\frac{180°-∠DBC}{2}$=$\frac{180°-30°}{2}$=75°。
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的性质；角平分线的定义；等腰三角形的性质
【点评】
本题是基础几何计算题，核心是将等边三角形、角平分线、等腰三角形的性质结合运用，解题时注意逐步推导角度关系即可。
【难度系数】
0.8

3 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,点$D$在线段$BC$上,且$∠ B=30°$,$∠ ADC=60°$,$DC=3$,则$BD$的长度为.

3. 6

【分析】
解题时先利用三角形外角的性质求出∠BAD的度数，发现∠BAD=∠B，根据等角对等边可得BD=AD；再在Rt△ADC中，利用直角三角形两个锐角互余得到∠DAC=30°，结合含30°角的直角三角形中30°角所对直角边是斜边的一半，求出AD的长度，即可得到BD的长度。
【解析】
1. 推导BD与AD的等量关系：
∵ ∠ADC是△ABD的外角，
∴ ∠ADC = ∠B + ∠BAD，
已知∠B=30°，∠ADC=60°，
∴ ∠BAD = ∠ADC - ∠B = 60° - 30° = 30°，
∴ ∠B = ∠BAD，
根据等角对等边，可得BD = AD。
2. 计算AD的长度：
在Rt△ADC中，∠C=90°，∠ADC=60°，
∴ ∠DAC = 90° - ∠ADC = 30°，
根据含30°角的直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，已知DC=3，
∴ AD = 2DC = 2×3 = 6，
结合BD=AD，可得BD=6。
【答案】
6
【知识点】
三角形外角性质，含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的核心是通过角度推导得到边的等量关系，再结合特殊直角三角形的性质求解，要求熟练掌握相关几何性质，能快速找到角度和边的对应关系。
【难度系数】
0.8

4 [2025资阳]如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B,点E在线段AB上,CE//DA.若使△BCE成为等边三角形,可增加的一个条件是.

4. $∠ BCE=∠ B$(答案不唯一)

【分析】
解题时先从已知条件入手推导现有结论：首先由CE//AD，结合平行线的同位角相等可得∠BEC=∠A，再结合已知∠A=∠B，可推出∠BEC=∠B，即△BCE已经是等腰三角形。接下来回忆等边三角形的判定规则：等腰三角形只要满足“有一个角为60°”“三边相等”“三个角都相等”其中任意一个条件，即可判定为等边三角形，据此添加符合要求的条件即可。
【解析】
∵ CE//DA，
∴ ∠BEC = ∠A（两直线平行，同位角相等），
又
∵ ∠A = ∠B，
∴ ∠BEC = ∠B，
∴ CE = CB，即△BCE为等腰三角形。
若添加条件∠BCE=∠B，则∠BEC = ∠B = ∠BCE，△BCE三个内角都相等，因此△BCE是等边三角形。
（也可添加∠B=60°、CE=BE、∠A=60°等合理条件，答案不唯一）
【答案】
∠BCE=∠B（答案不唯一）
【知识点】
平行线的性质；等腰三角形的判定；等边三角形的判定
【点评】
本题是条件开放类题目，解题核心是先利用已知条件确定△BCE的等腰属性，再结合等边三角形的判定规则补充合适的条件，考查对基础几何定理的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7

5 如图，$△ ABC$是等边三角形，点$B$，$C$，$D$，$E$在同一条直线上，且$CG=CD$，$DF=DE$，则$∠ E$的度数为。

5. $15°$

【分析】
解题时首先利用等边三角形的内角为60°的性质，求出∠ACB的度数，进而得到其邻补角∠ACD的度数；再结合CG=CD可知△CGD为等腰三角形，利用等腰三角形等边对等角及内角和定理可求出底角∠CDG的度数；最后结合DF=DE可知△DEF为等腰三角形，利用三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，即可推导出∠E的度数。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠ACD=180°-∠ACB=180°-60°=120°，
∵CG=CD，
∴△CGD是等腰三角形，∠CDG=∠CGD，
∴$∠ CDG=(180°-∠ ACD)÷2=(180°-120°)÷2=30°$，
∵DF=DE，
∴△DEF是等腰三角形，∠E=∠DFE，
又
∵∠CDG是△DEF的外角，
∴$∠ CDG=∠ E+∠ DFE=2∠ E$，
∴$∠ E=∠ CDG÷2=30°÷2=15°$。
【答案】
$15°$
【知识点】
等边三角形的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是角度计算的基础综合题，解题的关键是熟练掌握特殊三角形的角度性质，逐步推导相邻三角形的角度关系，计算过程简单，思路清晰即可顺利求解。
【难度系数】
0.7

6 如图，BD是等边三角形ABC的中线，以点D为圆心，DB长为半径画弧，交BC的延长线于点E，连接DE。求证：$CD=CE$。

6. $\because △ ABC$ 是等边三角形, $\therefore AB=CB, ∠ ACB=60°. \because BD$是$△ ABC$ 的中线, $\therefore BD ⊥ AC, \therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ BDC$ 中, $∠ DBC=30°$. 根据画图痕迹, 得 $BD=DE, \therefore ∠ E = ∠ DBC = 30°$.
$\because ∠ ACB$ 是 $△ DCE$ 的外角, $\therefore ∠ ACB = ∠ CDE + ∠ E$,
$\therefore ∠ CDE=30°, \therefore ∠ E=∠ CDE, \therefore CD=CE$

【分析】
要证明$CD=CE$，可利用等腰三角形“等角对等边”的判定思路，只需证明$∠ CDE=∠ E$即可。首先结合等边三角形的性质可得$∠ ACB=60°$，再根据等边三角形中线的性质求出$∠ DBC$的度数；由作图条件可知$BD=DE$，利用等边对等角可推出$∠ E$的度数；最后借助三角形外角的性质求出$∠ CDE$的度数，对比$∠ E$即可完成证明。
【解析】
证明：$\because △ ABC$是等边三角形，
$\therefore AB=CB$，$∠ ACB=60°$。
$\because BD$是$△ ABC$的中线，
$\therefore BD⊥ AC$，
$\therefore$在$\mathrm{Rt}△ BDC$中，$∠ DBC=30°$。
根据画图痕迹，得$BD=DE$，
$\therefore ∠ E = ∠ DBC = 30°$。
$\because ∠ ACB$是$△ DCE$的外角，
$\therefore ∠ ACB = ∠ CDE + ∠ E$，
$\therefore ∠ CDE=60°-30°=30°$，
$\therefore ∠ E=∠ CDE$，
$\therefore CD=CE$。
【答案】
$CD=CE$
【知识点】
等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，综合考查了特殊三角形的性质和三角形外角定理，解题核心是通过角度转化得到相等的角，进而利用等角对等边证明边相等，需要熟练掌握等边三角形、等腰三角形的相关性质。
【难度系数】
0.7

7 如图，P是等边三角形ABC的边AB上的一点(点P不与点A，B重合)，则在以线段CP，BP，AP长为边长的三角形中，最大的内角的度数为 ()

A.$90°$
B.$100°$
C.$110°$
D.$120°$

7. D 【解析】过点 P 作 $PE// BC$ 交 AC 于点 E,可证$△ AEP$是等边三角形,则$△ CEP$ 就是以线段 $CP,BP,AP$ 长为边长的三角形,其中最大的内角$∠ CEP$ 的度数为 $120°$.

【分析】
要确定以AP、BP、CP为边长的三角形的最大内角，首先需要将分散的三条线段转化到同一个三角形中。我们可以利用等边三角形的性质，通过作平行线构造等边三角形实现边的等量转化：首先过P作PE平行于BC，利用平行线的性质可证△AEP是等边三角形，得到AP=PE，再通过等边△ABC的边相等推导出CE=BP，这样△CEP的三边就恰好对应AP、BP、CP，再计算该三角形的最大内角即可。
【解析】
过点P作$PE// BC$，交AC于点E。
∵$△ ABC$是等边三角形，
∴$∠ A=∠ ACB=∠ B=60°$，$AC=AB$。
∵$PE// BC$，
∴$∠ AEP=∠ ACB=60°$，$∠ APE=∠ B=60°$，
∴$△ AEP$是等边三角形，
∴$AE=AP=PE$。
∴$AC-AE=AB-AP$，即$CE=BP$。
因此$△ CEP$的三边长分别为$PE=AP$，$CE=BP$，$CP=CP$，即$△ CEP$就是以线段$CP$、$BP$、$AP$为边长的三角形。
∵$∠ AEP=60°$，
∴$∠ CEP=180°-∠ AEP=180°-60°=120°$，
三角形内角和为$180°$，因此$120°$是该三角形的最大内角。
【答案】
D
【知识点】
等边三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题核心考查线段的转化思想，通过作平行线构造等边三角形，将原本分散在原三角形中的三条线段整合到同一个三角形中，是等边三角形性质应用的典型题型，解题的关键是合理选择辅助线的作法。
【难度系数】
0.6