2026年通城学典课时作业本八年级数学上册苏科版苏州专版第44页答案
1 [2025 德州]下列各数中,属于无理数的是(
B
)

A.$-3$
B.$\sqrt{5}$
C.$\dfrac{1}{2}$
D.$0.\dot{3}$

答案

1. B

解析

【分析】
要判断哪个数是无理数,首先需要明确有理数和无理数的定义:有理数是整数(正整数、0、负整数)和分数的统称,本质是有限小数或无限循环小数;无理数是无限不循环小数,常见的类型有开方开不尽的数、含π的数、有规律但不循环的无限小数。解题时我们只需要逐个分析每个选项所属的类别,排除有理数即可得到答案。
【解析】
我们逐个判断各选项:
A. $-3$是负整数,属于有理数,不符合要求;
B. $\sqrt{5}$是开方开不尽的数,是无限不循环小数,属于无理数,符合要求;
C. $\dfrac{1}{2}$是分数,属于有理数,不符合要求;
D. $0.\dot{3}$是无限循环小数,属于有理数,不符合要求。
综上,答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 无理数的定义
2. 有理数的分类
【点评】
本题属于基础概念考查题,解题关键是区分有理数和无理数的概念,熟记常见的无理数类型即可快速作答。
【难度系数】
0.9
2 [2025 虎丘区段考]有下列各数:$\frac{22}{7}$,0,$\frac{π}{3}$,$\sqrt{8}$,$\sqrt[3]{-27}$,$\frac{\sqrt{3}}{4}$,0.101001。其中,无理数有 (
B
)

A.2个
B.3个
C.4个
D.5个

答案

2. B

解析

【分析】
要解决这道题,首先要明确无理数的定义:无限不循环小数叫做无理数,常见的无理数有三类:①含π的数;②开方开不尽的数;③无限不循环小数。解题时先把题目中能化简的数先化简,再逐个判断每个数是否属于无理数,最后统计无理数的个数即可。
【解析】
我们逐个分析题中给出的数:
1. $\frac{22}{7}$是分数,属于有理数;
2. 0是整数,属于有理数;
3. $\frac{π}{3}$:π是无限不循环小数,因此$\frac{π}{3}$也是无限不循环小数,属于无理数;
4. $\sqrt{8}$:化简得$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$,$\sqrt{2}$是开方开不尽的数,因此$\sqrt{8}$属于无理数;
5. $\sqrt[3]{-27}$:开立方得$\sqrt[3]{-27}=-3$,是整数,属于有理数;
6. $\frac{\sqrt{3}}{4}$:$\sqrt{3}$是开方开不尽的数,因此$\frac{\sqrt{3}}{4}$属于无理数;
7. 0.101001是有限小数,可转化为分数,属于有理数。
综上,无理数共有3个,答案选B。
【答案】
B
【知识点】
无理数的定义;实数的分类;根式化简
【点评】
本题是无理数识别的基础题型,解题的关键是牢记无理数的定义及常见类型,注意不要误将带根号的数都判定为无理数,只有开方开不尽的根式才是无理数,同时有限小数属于有理数。
【难度系数】
0.75
3 若$x^2=65$,则估计正数$x$的值 (
D
)

A.在5和6之间
B.在6和7之间
C.在7和8之间
D.在8和9之间

答案

3. D

解析

【分析】
要估计正数x的取值范围,首先根据x²=65且x为正数,可得x=√65,本题本质是估算√65的大小。解题思路是找到两个相邻的正整数,使得它们的平方分别小于和大于65,再根据算术平方根的性质(被开方数越大,对应的算术平方根越大),即可得到x的取值范围。
【解析】
解:
∵x是正数,且x²=65,
∴x=√65,
∵8²=64,9²=81,且64<65<81,
∴√64<√65<√81,
即8<√65<9,
∴正数x的值在8和9之间。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
算术平方根估算;完全平方数
【点评】
本题属于基础题型,核心考查无理数的估算能力,解题的关键是牢记常见整数的平方值,快速找到与被开方数相邻的两个完全平方数,即可确定无理数的整数范围。
【难度系数】
0.8
4 新情境 数学文化 [2025广安改编]公元前5世纪,毕达哥拉斯学派的一个成员发现了一个新数——无理数$\sqrt{2}$。他的发现,在当时的数学界掀起了一场巨大风暴,引发了西方数学史上“第一次数学危机”。估计$\sqrt{2}-1$的值在 (
A
)

A.0和1之间
B.1和2之间
C.2和3之间
D.3和4之间

答案

4. A

解析

【分析】
要估算$\sqrt{2}-1$的取值范围,首先需要确定$\sqrt{2}$的范围。我们可以先找到和被开方数2相邻的两个正整数的完全平方数,根据“被开方数越大,对应的算术平方根也越大”的规律,就能得到$\sqrt{2}$的取值范围,再将不等式三边同时减去1,即可推出$\sqrt{2}-1$的范围,对应选项判断即可。
【解析】
解:$\because 1^2=1$,$2^2=4$,且$1<2<4$
$\therefore \sqrt{1}<\sqrt{2}<\sqrt{4}$,即$1<\sqrt{2}<2$
对不等式三边同时减1,得:
$1-1<\sqrt{2}-1<2-1$
化简得$0<\sqrt{2}-1<1$
因此$\sqrt{2}-1$的值在0和1之间,故选A。
【答案】
A
【知识点】
无理数的估算;不等式的基本性质
【点评】
本题结合数学文化背景考查无理数的估算,解题的关键是先确定与被开方数相邻的两个完全平方数,再利用算术平方根的大小规律推导目标式子的范围,是基础类题型。
【难度系数】
0.9
5 [2024赤峰]写出一个比$\sqrt{5}$小的整数:
2
.

答案

5. 答案不唯一,如 2

解析

【分析】
要找到比$\sqrt{5}$小的整数,首先需要估算$\sqrt{5}$的取值范围:我们可以先找和5相邻的两个完全平方数,根据算术平方根的性质就能确定$\sqrt{5}$在哪两个相邻整数之间,再从小于这个范围的整数中任选一个即可。
【解析】
解:
∵$2^2=4$,$3^2=9$,且$4<5<9$
∴根据算术平方根的性质可得$2<\sqrt{5}<3$
所有小于等于2的整数都满足比$\sqrt{5}$小的要求,例如2就是符合条件的数(答案不唯一)。
【答案】
答案不唯一,如 2
【知识点】
无理数的估算,实数大小比较
【点评】
本题属于基础开放题,解题关键是通过相邻的完全平方数确定无理数的大致范围,再筛选符合要求的整数,解题思路灵活,难度较低。
【难度系数】
0.9
6 将下列各数的序号填入相应的括号内:
① $\frac{91}{2}$;② $-\frac{π}{5}$;③ $0$;④ $3.14$;⑤ $-4.73$;⑥ $-0.6\dot{7}$;⑦ $100$;⑧ $-8\frac{1}{23}$;⑨ $7.151\ 551\ 555\ 1···$(相邻的两个1之间依次多一个5);⑩ $\sqrt[3]{9}$。
(1)整数集合:$\{$ $···\}$; (2)有理数集合:$\{$ $···\}$;
(3)正数集合:$\{$ $···\}$; (4)无理数集合:$\{$ $···\}$。

答案

6. (1) ③⑦ (2) ①③④⑤⑥⑦⑧ (3) ①④⑦⑨⑩ (4) ②⑨⑩

解析

【分析】
解本题的核心是先明确整数、有理数、正数、无理数的定义,再逐一判断所给10个数的属性,最后按要求归类填入对应集合即可。首先回忆相关概念:①整数包含正整数、0、负整数;②有理数是整数和分数的统称,有限小数、无限循环小数都可以化成分数,属于有理数;③正数是大于0的数;④无理数是无限不循环小数,常见类型有含π的代数式、开方开不尽的数、有规律但不循环的无限小数三类,掌握以上概念后逐个分析数的属性即可解题。
【解析】
我们先逐一判断各数的属性:
①$\frac{91}{2}$:是分数,属于有理数,且大于0,是正数;
②$-\frac{π}{5}$:π是无限不循环小数(无理数),因此该数也属于无理数,且小于0,是负数;
③$0$:是整数,属于有理数,既不是正数也不是负数;
④$3.14$:是有限小数,可化成分数,属于有理数,且大于0,是正数;
⑤$-4.73$:是有限小数,可化成分数,属于有理数,且小于0,是负数;
⑥$-0.6\dot{7}$:是无限循环小数,可化成分数,属于有理数,且小于0,是负数;
⑦$100$:是正整数,属于整数、有理数,且大于0,是正数;
⑧$-8\frac{1}{23}$:是分数,属于有理数,且小于0,是负数;
⑨$7.151\ 551\ 555\ 1···$(相邻的两个1之间依次多一个5):是无限不循环小数,属于无理数,且大于0,是正数;
⑩$\sqrt[3]{9}$:开立方运算开不尽,是无限不循环小数,属于无理数,且大于0,是正数。
据此分类得:
(1)整数集合:$\{$③⑦$\}$;
(2)有理数集合:$\{$①③④⑤⑥⑦⑧$\}$;
(3)正数集合:$\{$①④⑦⑨⑩$\}$;
(4)无理数集合:$\{$②⑨⑩$\}$。
【答案】
(1) ③⑦ (2) ①③④⑤⑥⑦⑧ (3) ①④⑦⑨⑩ (4) ②⑨⑩
【知识点】
实数的分类、有理数的判定、无理数的判定
【点评】
本题是实数分类的基础题,解题的关键是准确区分有理数和无理数,注意不要把有限小数3.14和无理数π混淆,同时注意有规律的无限不循环小数也属于无理数,避免误判为循环小数。
【难度系数】
0.8
7 教材P70例1变式 判断下面哪个无理数大于6,并且小于7:$\sqrt{34}$,$\sqrt{37}$,$\sqrt{53}$。请说明理由。

答案

7. 这三个数中,$\sqrt{37}$大于 6 且小于 7 理由:$\because (\sqrt{34})^2=34$,而 $34<36,\therefore \sqrt{34}<\sqrt{36}$,即 $\sqrt{34}<6. \because (\sqrt{37})^2=37$,而$36<37<49,\therefore \sqrt{36}<\sqrt{37}<\sqrt{49}$,即 $6<\sqrt{37}<7$.$\because (\sqrt{53})^2=53$,而 $53>49,\therefore \sqrt{53}>\sqrt{49}$,即 $\sqrt{53}>7$.

解析

【分析】
要判断哪个无理数大于6且小于7,我们可以利用平方法比较带根号正数的大小:对于正数a、b,若$a^2>b^2$,则$a>b$,反之也成立。首先将6和7转化为算术平方根形式:$6=\sqrt{36}$,$7=\sqrt{49}$,因此只需要找到被开方数介于36和49之间的算术平方根即可。接下来分别计算三个无理数的平方,和36、49比较大小就能得出结论。
【解析】
我们通过平方法分别比较三个数与6、7的大小:
1. 对于$\sqrt{34}$:$(\sqrt{34})^2=34$,因为$34<36$,所以$\sqrt{34}<\sqrt{36}$,即$\sqrt{34}<6$,不符合要求;
2. 对于$\sqrt{37}$:$(\sqrt{37})^2=37$,因为$36<37<49$,所以$\sqrt{36}<\sqrt{37}<\sqrt{49}$,即$6<\sqrt{37}<7$,符合要求;
3. 对于$\sqrt{53}$:$(\sqrt{53})^2=53$,因为$53>49$,所以$\sqrt{53}>\sqrt{49}$,即$\sqrt{53}>7$,不符合要求。
【答案】
$\sqrt{37}$
【知识点】
1. 算术平方根的性质
2. 实数大小比较
【点评】
本题考查带根号无理数的大小比较,解题核心是掌握平方法比较大小的思路,将整数转化为对应的算术平方根,通过比较被开方数的大小即可快速判断,属于基础的大小比较类题型。
【难度系数】
0.8
8 有下列各数:$1,\sqrt[3]{8},0,-π,\sqrt{9},-\dfrac{1}{3},\sqrt{11},0.313\ 113\ 111\ 3···$(相邻的两个3之间依次多一个1)。其中,无理数共有 (
D
)

A.4个
B.2个
C.1个
D.3个

答案

8. D

解析

【分析】
做这类无理数计数题,首先要明确无理数的核心定义:无限不循环小数,常见的无理数有三类:①含π的数;②开方开不尽的根式;③结构上无限不循环的特殊小数。解题第一步先把题目中带根号的可化简数先计算出结果,再逐个判断每个数属于有理数还是无理数,最后统计无理数的个数即可。
【解析】
先化简可计算的数,再逐个判断:
1. $1$是整数,属于有理数;
2. $\sqrt[3]{8}=2$,是整数,属于有理数;
3. $0$是整数,属于有理数;
4. $-π$:π本身是无限不循环小数,因此$-π$也是无限不循环小数,是无理数;
5. $\sqrt{9}=3$,是整数,属于有理数;
6. $-\dfrac{1}{3}$是分数,属于有理数;
7. $\sqrt{11}$:11开平方开不尽,是无限不循环小数,属于无理数;
8. $0.313\ 113\ 111\ 3···$(相邻的两个3之间依次多一个1):是无限不循环小数,属于无理数。
综上,无理数共有3个,故选D。
【答案】
D
【知识点】
无理数的识别、立方根化简、算术平方根化简
【点评】
本题是无理数识别的基础题,解题的易错点是直接将带根号的数判定为无理数,一定要先对根式化简后再判断,同时要熟练掌握无理数的三类常见形式,避免漏判、误判。
【难度系数】
0.7