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9 若一个数的立方根等于它本身，则这个数是
0或±1
。答案
9. 0 或$\pm 1$
解析
【分析】
我们可以先设这个数为x，根据题目的描述“立方根等于它本身”，可得到等式$\sqrt[3]{x}=x$。接下来利用立方和开立方是互逆运算的性质，将等式两边同时立方，转化为整式方程求解；也可以结合立方根的性质（正数的立方根为正，负数的立方根为负，0的立方根是0），枚举特殊值验证是否符合要求，注意不要遗漏负数的情况。
【解析】
解：设这个数为x，由题意得：
$\sqrt[3]{x}=x$
将等式两边同时立方，得：
$x = x^3$
移项整理得：
$x^3 - x = 0$
利用平方差公式因式分解：
$x(x^2 - 1) = x(x+1)(x-1) = 0$
解得$x=0$、$x=1$或$x=-1$
【答案】
0或$\pm 1$
【知识点】
立方根的性质；因式分解
【点评】
本题是基础概念考查题，重点需要注意不要漏解，很多同学容易只想到0和1，忽略-1的立方根也等于它本身，解题时可以结合分类讨论的思路，分别验证正数、0、负数三类情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
我们可以先设这个数为x，根据题目的描述“立方根等于它本身”，可得到等式$\sqrt[3]{x}=x$。接下来利用立方和开立方是互逆运算的性质，将等式两边同时立方，转化为整式方程求解；也可以结合立方根的性质（正数的立方根为正，负数的立方根为负，0的立方根是0），枚举特殊值验证是否符合要求，注意不要遗漏负数的情况。
【解析】
解：设这个数为x，由题意得：
$\sqrt[3]{x}=x$
将等式两边同时立方，得：
$x = x^3$
移项整理得：
$x^3 - x = 0$
利用平方差公式因式分解：
$x(x^2 - 1) = x(x+1)(x-1) = 0$
解得$x=0$、$x=1$或$x=-1$
【答案】
0或$\pm 1$
【知识点】
立方根的性质；因式分解
【点评】
本题是基础概念考查题，重点需要注意不要漏解，很多同学容易只想到0和1，忽略-1的立方根也等于它本身，解题时可以结合分类讨论的思路，分别验证正数、0、负数三类情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
若$\sqrt{x}$的立方根是3，则x的值为
729
。答案
10. 729
解析
【分析】
拿到本题首先明确已知条件为$\sqrt{x}$的立方根是3，所求为x的值。解题时采用逆推的思路：第一步根据立方根的定义，若一个数的立方根是3，那么这个数等于3的立方，据此先算出$\sqrt{x}$的取值；第二步再根据算术平方根的定义，x是$\sqrt{x}$的平方，代入计算即可得到x的值。
【解析】
解：
∵$\sqrt{x}$的立方根是3，根据立方根的定义，得
$\sqrt{x}=3^3=27$
再根据算术平方根的定义，对等式两边同时平方，得
$x=27^2=729$
【答案】
729
【知识点】
立方根的定义；算术平方根的定义
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查对立方根、算术平方根概念的理解，解题时按照从已知到所求的顺序逆推即可，计算过程中注意不要混淆立方和平方的运算，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.9
拿到本题首先明确已知条件为$\sqrt{x}$的立方根是3，所求为x的值。解题时采用逆推的思路：第一步根据立方根的定义，若一个数的立方根是3，那么这个数等于3的立方，据此先算出$\sqrt{x}$的取值；第二步再根据算术平方根的定义，x是$\sqrt{x}$的平方，代入计算即可得到x的值。
【解析】
解：
∵$\sqrt{x}$的立方根是3，根据立方根的定义，得
$\sqrt{x}=3^3=27$
再根据算术平方根的定义，对等式两边同时平方，得
$x=27^2=729$
【答案】
729
【知识点】
立方根的定义；算术平方根的定义
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查对立方根、算术平方根概念的理解，解题时按照从已知到所求的顺序逆推即可，计算过程中注意不要混淆立方和平方的运算，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.9
11 教材 P68 习题 T2 变式 计算：
(1) $\sqrt[3]{-2\dfrac{10}{27}}$；
(2) $(\sqrt[3]{-100})^3$；
(3) $\sqrt[3]{3\dfrac{3}{8}} × \sqrt[3]{-\dfrac{1}{64}}$。
(1) $\sqrt[3]{-2\dfrac{10}{27}}$；
(2) $(\sqrt[3]{-100})^3$；
(3) $\sqrt[3]{3\dfrac{3}{8}} × \sqrt[3]{-\dfrac{1}{64}}$。
答案
11. (1) $-\frac{4}{3}$ (2) $-100$ (3) $-\frac{3}{8}$
解析
【分析】
本题是立方根的基础运算题，解题思路如下：
(1) 计算带分数的立方根时，首先要把带分数化为假分数，再结合立方根的性质“$\sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]{a}$”以及“$\sqrt[3]{a^3}=a$”求解；
(2) 直接利用立方根的核心性质：对任意实数$a$，都有$(\sqrt[3]{a})^3=a$，代入即可快速得出结果；
(3) 立方根的乘法运算可选用两种思路：一是分别计算两个立方根的值再相乘，二是利用性质“$\sqrt[3]{a}·\sqrt[3]{b}=\sqrt[3]{ab}$”，先将被开方数相乘再开立方，计算前同样要先把带分数化为假分数，注意符号的处理。
【解析】
(1) 先将带分数化为假分数：$-2\dfrac{10}{27}=-\dfrac{2×27+10}{27}=-\dfrac{64}{27}$
则$\sqrt[3]{-2\dfrac{10}{27}}=\sqrt[3]{-\dfrac{64}{27}}=\sqrt[3]{(-\dfrac{4}{3})^3}=-\dfrac{4}{3}$
(2) 根据立方根性质$(\sqrt[3]{a})^3=a$，代入$a=-100$得：
$(\sqrt[3]{-100})^3=-100$
(3) 先将带分数化为假分数：$3\dfrac{3}{8}=\dfrac{3×8+3}{8}=\dfrac{27}{8}$
分别计算两个立方根再相乘：
$\sqrt[3]{\dfrac{27}{8}}=\dfrac{3}{2}$，$\sqrt[3]{-\dfrac{1}{64}}=-\dfrac{1}{4}$
则原式$=\dfrac{3}{2}×(-\dfrac{1}{4})=-\dfrac{3}{8}$
【答案】
(1) $-\dfrac{4}{3}$；(2) $-100$；(3) $-\dfrac{3}{8}$
【知识点】
1. 立方根的性质
2. 立方根的运算
3. 带分数与假分数的互化
【点评】
本题属于立方根运算的常规基础题，重点考查对立方根基本性质的掌握程度和运算细心度，计算带分数相关的开方运算时，需先将带分数转化为假分数再计算，同时要注意符号处理，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.8
本题是立方根的基础运算题，解题思路如下：
(1) 计算带分数的立方根时，首先要把带分数化为假分数，再结合立方根的性质“$\sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]{a}$”以及“$\sqrt[3]{a^3}=a$”求解；
(2) 直接利用立方根的核心性质：对任意实数$a$，都有$(\sqrt[3]{a})^3=a$，代入即可快速得出结果；
(3) 立方根的乘法运算可选用两种思路：一是分别计算两个立方根的值再相乘，二是利用性质“$\sqrt[3]{a}·\sqrt[3]{b}=\sqrt[3]{ab}$”，先将被开方数相乘再开立方，计算前同样要先把带分数化为假分数，注意符号的处理。
【解析】
(1) 先将带分数化为假分数：$-2\dfrac{10}{27}=-\dfrac{2×27+10}{27}=-\dfrac{64}{27}$
则$\sqrt[3]{-2\dfrac{10}{27}}=\sqrt[3]{-\dfrac{64}{27}}=\sqrt[3]{(-\dfrac{4}{3})^3}=-\dfrac{4}{3}$
(2) 根据立方根性质$(\sqrt[3]{a})^3=a$，代入$a=-100$得：
$(\sqrt[3]{-100})^3=-100$
(3) 先将带分数化为假分数：$3\dfrac{3}{8}=\dfrac{3×8+3}{8}=\dfrac{27}{8}$
分别计算两个立方根再相乘：
$\sqrt[3]{\dfrac{27}{8}}=\dfrac{3}{2}$，$\sqrt[3]{-\dfrac{1}{64}}=-\dfrac{1}{4}$
则原式$=\dfrac{3}{2}×(-\dfrac{1}{4})=-\dfrac{3}{8}$
【答案】
(1) $-\dfrac{4}{3}$；(2) $-100$；(3) $-\dfrac{3}{8}$
【知识点】
1. 立方根的性质
2. 立方根的运算
3. 带分数与假分数的互化
【点评】
本题属于立方根运算的常规基础题，重点考查对立方根基本性质的掌握程度和运算细心度，计算带分数相关的开方运算时，需先将带分数转化为假分数再计算，同时要注意符号处理，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.8
12 求下列各式中 $x$ 的值：
(1) $x^3 - 0.343 = 0$；
(2) $8x^3 + 1 = 0$；
(3) $(x + 1)^3 = -8$。
(1) $x^3 - 0.343 = 0$；
(2) $8x^3 + 1 = 0$；
(3) $(x + 1)^3 = -8$。
答案
12. (1) $x=0.7$ (2) $x=-\frac{1}{2}$ (3) $x=-3$
解析
【分析】
这三道题均是利用立方根的定义求解未知数x的题型，解题核心思路为：先通过移项、系数化为1等操作，将方程变形为“某式的立方等于常数”的形式，再根据立方根的定义对常数开立方得到该式的值，进而求出x的值。其中第(3)题需要先将$(x+1)$看作一个整体计算，再求解x。
【解析】
(1) 移项得：$x^3 = 0.343$，
根据立方根的定义，$\because 0.7^3=0.343$，$\therefore x = \sqrt[3]{0.343} = 0.7$。
(2) 移项得：$8x^3 = -1$，
系数化为1得：$x^3 = -\frac{1}{8}$，
根据立方根的定义，$\because (-\frac{1}{2})^3 = -\frac{1}{8}$，$\therefore x = \sqrt[3]{-\frac{1}{8}} = -\frac{1}{2}$。
(3) 将$(x+1)$看作整体，根据立方根的定义，$\because (-2)^3 = -8$，$\therefore x+1 = \sqrt[3]{-8} = -2$，
移项解得：$x = -2-1 = -3$。
【答案】
(1) $x=0.7$；(2) $x=-\frac{1}{2}$；(3) $x=-3$
【知识点】
立方根的定义，开立方运算，整体法解方程
【点评】
本题是立方根的基础应用题型，解题时需注意负数的立方根仍为负数，不要混淆立方根与平方根的符号性质，涉及整体作为底数的题型优先用整体思想简化计算。
【难度系数】
0.8
这三道题均是利用立方根的定义求解未知数x的题型，解题核心思路为：先通过移项、系数化为1等操作，将方程变形为“某式的立方等于常数”的形式，再根据立方根的定义对常数开立方得到该式的值，进而求出x的值。其中第(3)题需要先将$(x+1)$看作一个整体计算，再求解x。
【解析】
(1) 移项得：$x^3 = 0.343$，
根据立方根的定义，$\because 0.7^3=0.343$，$\therefore x = \sqrt[3]{0.343} = 0.7$。
(2) 移项得：$8x^3 = -1$，
系数化为1得：$x^3 = -\frac{1}{8}$，
根据立方根的定义，$\because (-\frac{1}{2})^3 = -\frac{1}{8}$，$\therefore x = \sqrt[3]{-\frac{1}{8}} = -\frac{1}{2}$。
(3) 将$(x+1)$看作整体，根据立方根的定义，$\because (-2)^3 = -8$，$\therefore x+1 = \sqrt[3]{-8} = -2$，
移项解得：$x = -2-1 = -3$。
【答案】
(1) $x=0.7$；(2) $x=-\frac{1}{2}$；(3) $x=-3$
【知识点】
立方根的定义，开立方运算，整体法解方程
【点评】
本题是立方根的基础应用题型，解题时需注意负数的立方根仍为负数，不要混淆立方根与平方根的符号性质，涉及整体作为底数的题型优先用整体思想简化计算。
【难度系数】
0.8
13 已知$x,y$满足$\sqrt{x-2y-3} + |2x-3y-5|=0$,求$x-8y$的立方根.
答案
13. $\because \sqrt{x-2y-3}+|2x-3y-5|=0,\sqrt{x-2y-3}≥0$,$|2x-3y-5|≥0,\therefore x-2y-3=0,2x-3y-5=0.$ 联立,解得$\begin{cases} x=1,\\ y=-1. \end{cases}$ $\therefore x-8y=9,\therefore x-8y$ 的立方根为 $\sqrt[3]{9}$
解析
【分析】
本题可根据非负数的性质建立方程组求解。首先回忆算术平方根和绝对值的性质：二者都是非负数，当两个非负数的和为0时，每个非负数的值都为0，据此可列出关于x、y的二元一次方程组；解方程组得到x、y的取值后，代入x-8y计算出结果，最后根据立方根的定义求出对应立方根即可。
【解析】
解：$\because \sqrt{x-2y-3}≥0$，$|2x-3y-5|≥0$，且$\sqrt{x-2y-3} + |2x-3y-5|=0$，
$\therefore \begin{cases} x-2y-3=0 \\ 2x-3y-5=0 \end{cases}$，
整理得$\begin{cases} x-2y=3 ① \\ 2x-3y=5 ② \end{cases}$，
由①得$x=2y+3$，将其代入②得：$2(2y+3)-3y=5$，
解得$y=-1$，
把$y=-1$代入$x=2y+3$，得$x=1$，
即方程组的解为$\begin{cases} x=1 \\ y=-1 \end{cases}$，
$\therefore x-8y=1 - 8×(-1)=9$，
$\therefore x-8y$的立方根为$\sqrt[3]{9}$。
【答案】
$\sqrt[3]{9}$
【知识点】
非负数的性质，二元一次方程组的解法，立方根的定义
【点评】
本题属于基础综合题，核心考点是多个非负数相加和为0的性质，只要掌握该性质，再结合二元一次方程组的求解以及立方根的定义就能顺利解题，是这部分内容的常考题型。
【难度系数】
0.75
本题可根据非负数的性质建立方程组求解。首先回忆算术平方根和绝对值的性质：二者都是非负数，当两个非负数的和为0时，每个非负数的值都为0，据此可列出关于x、y的二元一次方程组；解方程组得到x、y的取值后，代入x-8y计算出结果，最后根据立方根的定义求出对应立方根即可。
【解析】
解：$\because \sqrt{x-2y-3}≥0$，$|2x-3y-5|≥0$，且$\sqrt{x-2y-3} + |2x-3y-5|=0$，
$\therefore \begin{cases} x-2y-3=0 \\ 2x-3y-5=0 \end{cases}$，
整理得$\begin{cases} x-2y=3 ① \\ 2x-3y=5 ② \end{cases}$，
由①得$x=2y+3$，将其代入②得：$2(2y+3)-3y=5$，
解得$y=-1$，
把$y=-1$代入$x=2y+3$，得$x=1$，
即方程组的解为$\begin{cases} x=1 \\ y=-1 \end{cases}$，
$\therefore x-8y=1 - 8×(-1)=9$，
$\therefore x-8y$的立方根为$\sqrt[3]{9}$。
【答案】
$\sqrt[3]{9}$
【知识点】
非负数的性质，二元一次方程组的解法，立方根的定义
【点评】
本题属于基础综合题，核心考点是多个非负数相加和为0的性质，只要掌握该性质，再结合二元一次方程组的求解以及立方根的定义就能顺利解题，是这部分内容的常考题型。
【难度系数】
0.75
14 新考向 探究题 把一个长12 cm、宽9 cm、高2 cm的长方体铁块加工成一个正方体铁块后，其表面积有何变化？试通过计算说明（假设加工过程中无任何损耗）。
答案
14. 设加工成的正方体铁块的棱长为 $x\ \mathrm{cm},$ 则 $x^3=12×9×2$,解得 $x=6.$ 此时正方体铁块的表面积为 $6×6^2=216(\mathrm{cm}^2),$ 而原长方体铁块的表面积为$(12×9+9×2+12×2)×2=300(\mathrm{cm}^2).$ $\because 300-216=84(\mathrm{cm}^2),\therefore$ 加工成一个正方体铁块后,其表面积减少了 $84\ \mathrm{cm}^2$
解析
【分析】
解题的核心突破口是加工过程无损耗，说明铁块前后体积不变。首先我们可以先计算长方体的体积，该体积即为加工后正方体的体积；再根据正方体体积公式，通过开立方运算求出正方体的棱长；最后分别计算原长方体和新正方体的表面积，对二者做差即可得出表面积的变化情况。
【解析】
设加工成的正方体铁块的棱长为 $x\ \mathrm{cm}$，由体积不变可得：
$x^3=12×9×2$
计算右侧得$x^3=216$，开立方解得 $x=6$。
接下来计算两者的表面积：
正方体表面积：$6×6^2=216(\mathrm{cm}^2)$
原长方体表面积：$(12×9+9×2+12×2)×2=(108+18+24)×2=300(\mathrm{cm}^2)$
二者差值为：$300-216=84(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
加工成正方体铁块后，其表面积减少了 $84\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
立方根的应用；长方体、正方体体积计算；长方体、正方体表面积计算
【点评】
本题属于几何实际应用题，解题关键是抓住“无损耗则体积不变”的隐含条件，结合立方根运算求出正方体棱长，再代入表面积公式对比即可，考查了对几何公式的掌握和实际应用能力。
【难度系数】
0.7
解题的核心突破口是加工过程无损耗，说明铁块前后体积不变。首先我们可以先计算长方体的体积，该体积即为加工后正方体的体积；再根据正方体体积公式，通过开立方运算求出正方体的棱长；最后分别计算原长方体和新正方体的表面积，对二者做差即可得出表面积的变化情况。
【解析】
设加工成的正方体铁块的棱长为 $x\ \mathrm{cm}$，由体积不变可得：
$x^3=12×9×2$
计算右侧得$x^3=216$，开立方解得 $x=6$。
接下来计算两者的表面积：
正方体表面积：$6×6^2=216(\mathrm{cm}^2)$
原长方体表面积：$(12×9+9×2+12×2)×2=(108+18+24)×2=300(\mathrm{cm}^2)$
二者差值为：$300-216=84(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
加工成正方体铁块后，其表面积减少了 $84\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
立方根的应用；长方体、正方体体积计算；长方体、正方体表面积计算
【点评】
本题属于几何实际应用题，解题关键是抓住“无损耗则体积不变”的隐含条件，结合立方根运算求出正方体棱长，再代入表面积公式对比即可，考查了对几何公式的掌握和实际应用能力。
【难度系数】
0.7
