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9 设正方形的面积为S，当一个正方形的边长不是有理数时，S可能为 （
A.0.49
B.16
C.25
D.27
D
）A.0.49
B.16
C.25
D.27
答案
9. D
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆正方形面积与边长的关系：正方形面积S等于边长a的平方，即$S=a^2$，因此边长$a=\sqrt{S}$。题目要求边长不是有理数，也就是$\sqrt{S}$是无理数，即S不是完全平方数（有理数的平方）。接下来只需逐一判断各选项的S是否为完全平方数即可。
【解析】
设该正方形的边长为$a$，根据正方形面积公式可得：$S=a^2$，因此$a=\sqrt{S}$。
选项A：当$S=0.49$时，$a=\sqrt{0.49}=0.7$，0.7是有理数，不符合要求；
选项B：当$S=16$时，$a=\sqrt{16}=4$，4是有理数，不符合要求；
选项C：当$S=25$时，$a=\sqrt{25}=5$，5是有理数，不符合要求；
选项D：当$S=27$时，$a=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$是无理数，因此$3\sqrt{3}$也是无理数，即边长不是有理数，符合要求。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
正方形面积计算，平方根运算，无理数定义
【点评】
本题结合正方形的面积公式考查无理数的判定，解题的关键是明确当边长为无理数时，对应的面积不是完全平方数，属于基础概念考查题。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆正方形面积与边长的关系：正方形面积S等于边长a的平方，即$S=a^2$，因此边长$a=\sqrt{S}$。题目要求边长不是有理数，也就是$\sqrt{S}$是无理数，即S不是完全平方数（有理数的平方）。接下来只需逐一判断各选项的S是否为完全平方数即可。
【解析】
设该正方形的边长为$a$，根据正方形面积公式可得：$S=a^2$，因此$a=\sqrt{S}$。
选项A：当$S=0.49$时，$a=\sqrt{0.49}=0.7$，0.7是有理数，不符合要求；
选项B：当$S=16$时，$a=\sqrt{16}=4$，4是有理数，不符合要求；
选项C：当$S=25$时，$a=\sqrt{25}=5$，5是有理数，不符合要求；
选项D：当$S=27$时，$a=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$是无理数，因此$3\sqrt{3}$也是无理数，即边长不是有理数，符合要求。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
正方形面积计算，平方根运算，无理数定义
【点评】
本题结合正方形的面积公式考查无理数的判定，解题的关键是明确当边长为无理数时，对应的面积不是完全平方数，属于基础概念考查题。
【难度系数】
0.8
10 [2024深圳]如图，A，B，C均为正方形.若A的面积为10，C的面积为1，则B的边长可以是
2
（写出一个答案即可）答案
10. 答案不唯一,如 2
解析
【分析】
首先利用正方形面积与边长的关系，分别求出正方形A和C的边长，再结合图形中三个正方形的摆放特点，得到正方形B边长的取值范围，最后在范围内任选一个符合要求的数即可。
【解析】
设正方形B的边长为$x$。
1. 求正方形A的边长：正方形面积等于边长的平方，已知A的面积为10，因此A的边长为$\sqrt{10}$，估算得$\sqrt{10}\approx3.16$；
2. 求正方形C的边长：已知C的面积为1，因此C的边长为$\sqrt{1}=1$；
3. 结合图形可知，正方形B的边长小于A的边长，且大于C的边长，即$1＜x＜\sqrt{10}$，在此范围内任取一个数即可，例如2。
【答案】
2（答案不唯一）
【知识点】
正方形面积计算，无理数估算
【点评】
本题是开放型试题，结合几何图形考查了平方根的应用和无理数的估算，解题的关键是根据图形特征确定未知边长的取值范围，答案只要在取值范围内均符合要求。
【难度系数】
0.8
首先利用正方形面积与边长的关系，分别求出正方形A和C的边长，再结合图形中三个正方形的摆放特点，得到正方形B边长的取值范围，最后在范围内任选一个符合要求的数即可。
【解析】
设正方形B的边长为$x$。
1. 求正方形A的边长：正方形面积等于边长的平方，已知A的面积为10，因此A的边长为$\sqrt{10}$，估算得$\sqrt{10}\approx3.16$；
2. 求正方形C的边长：已知C的面积为1，因此C的边长为$\sqrt{1}=1$；
3. 结合图形可知，正方形B的边长小于A的边长，且大于C的边长，即$1＜x＜\sqrt{10}$，在此范围内任取一个数即可，例如2。
【答案】
2（答案不唯一）
【知识点】
正方形面积计算，无理数估算
【点评】
本题是开放型试题，结合几何图形考查了平方根的应用和无理数的估算，解题的关键是根据图形特征确定未知边长的取值范围，答案只要在取值范围内均符合要求。
【难度系数】
0.8
11 [2024 滨州]比$\sqrt{3}$大且比$\sqrt{10}$小的整数是
2或3
.（第10题）答案
11. 2或3
解析
【分析】
要找到比$\sqrt{3}$大且比$\sqrt{10}$小的整数，首先需要用“夹逼法”估算出$\sqrt{3}$和$\sqrt{10}$分别介于哪两个相邻整数之间，确定两个无理数的取值范围后，再找出范围内的整数即可。解题时先找与被开方数3、10相邻的完全平方数，通过比较完全平方数的算术平方根，就能得到$\sqrt{3}$和$\sqrt{10}$的取值区间。
【解析】
1. 估算$\sqrt{3}$的取值范围：
$\because 1^2=1$，$2^2=4$，且$1＜3＜4$
$\therefore \sqrt{1}＜\sqrt{3}＜\sqrt{4}$，即$1＜\sqrt{3}＜2$
2. 估算$\sqrt{10}$的取值范围：
$\because 3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜10＜16$
$\therefore \sqrt{9}＜\sqrt{10}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{10}＜4$
3. 提取符合条件的整数：
大于$1＜\sqrt{3}＜2$且小于$3＜\sqrt{10}＜4$的整数为2、3。
【答案】
2或3
【知识点】
无理数的估算，算术平方根的性质
【点评】
本题是基础类题型，核心考查用夹逼法估算无理数的大小，熟练记忆常见完全平方数可大幅提升解题速度。
【难度系数】
0.8
要找到比$\sqrt{3}$大且比$\sqrt{10}$小的整数，首先需要用“夹逼法”估算出$\sqrt{3}$和$\sqrt{10}$分别介于哪两个相邻整数之间，确定两个无理数的取值范围后，再找出范围内的整数即可。解题时先找与被开方数3、10相邻的完全平方数，通过比较完全平方数的算术平方根，就能得到$\sqrt{3}$和$\sqrt{10}$的取值区间。
【解析】
1. 估算$\sqrt{3}$的取值范围：
$\because 1^2=1$，$2^2=4$，且$1＜3＜4$
$\therefore \sqrt{1}＜\sqrt{3}＜\sqrt{4}$，即$1＜\sqrt{3}＜2$
2. 估算$\sqrt{10}$的取值范围：
$\because 3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜10＜16$
$\therefore \sqrt{9}＜\sqrt{10}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{10}＜4$
3. 提取符合条件的整数：
大于$1＜\sqrt{3}＜2$且小于$3＜\sqrt{10}＜4$的整数为2、3。
【答案】
2或3
【知识点】
无理数的估算，算术平方根的性质
【点评】
本题是基础类题型，核心考查用夹逼法估算无理数的大小，熟练记忆常见完全平方数可大幅提升解题速度。
【难度系数】
0.8
12 给出下列命题:① 所有分数可以写成有限小数或循环小数的形式;② 无理数不能写成分数形式$\frac{n}{m}$(m,n 是整数);③ $7-2π$与$\sqrt{25}$都是无理数;④ 有理数可以来确定一个无理数的范围.其中,属于假命题的是
③
(填序号).答案
12. ③
解析
【分析】
要判断命题的真假，首先需要回忆有理数、无理数的核心概念及二者的区别，再逐个验证每个命题的表述是否符合概念：首先明确有理数包括整数和分数，所有有理数都能写成有限小数或无限循环小数，可表示为两个整数的比值；无理数是无限不循环小数，不能表示为两个整数的比值。判断带根号的数时要先化简再判断属性，最后找出假命题即可。
【解析】
结合相关概念逐个判断命题真假：
1. 命题①：分数属于有理数，所有有理数都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式，因此所有分数都能写成有限小数或循环小数，①是真命题；
2. 命题②：无理数是无限不循环小数，无法表示为$\frac{n}{m}$（$m,n$是整数，$m\ne0$）的分数形式，②是真命题；
3. 命题③：先化简$\sqrt{25}=5$，5是整数，属于有理数，只有$7-2π$是无理数，因此该命题表述错误，是假命题；
4. 命题④：可以用有理数夹逼的方法确定无理数的范围，例如$\sqrt{2}$在有理数1和2之间，④是真命题。
综上，假命题为③。
【答案】
③
【知识点】
有理数的概念；无理数的概念；算术平方根化简
【点评】
本题考查有理数与无理数的概念辨析，解题时要注意：判断带根号的数是否为无理数，必须先化简再判断，不能仅看形式就直接判定为无理数，掌握基础概念是解这类题的核心。
【难度系数】
0.8
要判断命题的真假，首先需要回忆有理数、无理数的核心概念及二者的区别，再逐个验证每个命题的表述是否符合概念：首先明确有理数包括整数和分数，所有有理数都能写成有限小数或无限循环小数，可表示为两个整数的比值；无理数是无限不循环小数，不能表示为两个整数的比值。判断带根号的数时要先化简再判断属性，最后找出假命题即可。
【解析】
结合相关概念逐个判断命题真假：
1. 命题①：分数属于有理数，所有有理数都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式，因此所有分数都能写成有限小数或循环小数，①是真命题；
2. 命题②：无理数是无限不循环小数，无法表示为$\frac{n}{m}$（$m,n$是整数，$m\ne0$）的分数形式，②是真命题；
3. 命题③：先化简$\sqrt{25}=5$，5是整数，属于有理数，只有$7-2π$是无理数，因此该命题表述错误，是假命题；
4. 命题④：可以用有理数夹逼的方法确定无理数的范围，例如$\sqrt{2}$在有理数1和2之间，④是真命题。
综上，假命题为③。
【答案】
③
【知识点】
有理数的概念；无理数的概念；算术平方根化简
【点评】
本题考查有理数与无理数的概念辨析，解题时要注意：判断带根号的数是否为无理数，必须先化简再判断，不能仅看形式就直接判定为无理数，掌握基础概念是解这类题的核心。
【难度系数】
0.8
13 按要求分别写出一个大于9且小于10的无理数：
（1）用含π的式子表示；
（2）用无限不循环小数的形式表示；
（3）用带根号且开方开不尽的形式表示。
（1）用含π的式子表示；
（2）用无限不循环小数的形式表示；
（3）用带根号且开方开不尽的形式表示。
答案
13. 答案不唯一,如(1) $3π$ (2) 9.121 221 222 1…(相邻的两个1之间依次多一个2) (3) $\sqrt{83}$
解析
【分析】
要写出大于9且小于10的无理数，首先明确所求数的范围为$9 ＜ x ＜ 10$，再结合三类不同要求分别构造：
1. 含π的形式：已知π≈3.14，若设$x = kπ$，则$k$的取值范围为$\frac{9}{π}\approx2.87 ＜ k ＜ \frac{10}{π}\approx3.18$，取整数$k=3$即可得到符合要求的数；
2. 无限不循环小数形式：固定整数部分为9，小数部分构造为无限不循环的序列即可，常用相邻两个相同数字间依次多1个另一个数字的构造方法，保证小数部分无循环规律；
3. 带根号且开方开不尽的形式：先对范围两边平方，得$9^2=81$，$10^2=100$，因此只要被开方数取大于81且小于100的非完全平方数即可，这类数开平方后结果必然在9到10之间，且是开方开不尽的无理数。
【解析】
(1) 含π的式子：因为$π\approx3.14$，所以$3π\approx9.42$，满足$9 ＜ 3π ＜10$，且$3π$是含π的无理数，符合要求；
(2) 无限不循环小数：整数部分为9，小数部分按“相邻的两个1之间依次多一个2”构造，得到$9.1212212221···$，是无限不循环小数，满足范围要求；
(3) 带根号形式：取被开方数为83，因为$81＜83＜100$，所以$\sqrt{81}＜\sqrt{83}＜\sqrt{100}$，即$9＜\sqrt{83}＜10$，且83不是完全平方数，$\sqrt{83}$开方开不尽，是无理数，符合要求。
注：本题答案不唯一，满足要求即可。
【答案】
答案不唯一，如(1) $3π$ (2) $9.1212212221···$（相邻的两个1之间依次多一个2） (3) $\sqrt{83}$
【知识点】
无理数的定义；实数大小比较；算术平方根估算
【点评】
本题为开放性试题，主要考查无理数的常见类型和大小估算能力，解题时结合无理数的三类典型特征构造符合范围的数即可，思维灵活度较高。
【难度系数】
0.8
要写出大于9且小于10的无理数，首先明确所求数的范围为$9 ＜ x ＜ 10$，再结合三类不同要求分别构造：
1. 含π的形式：已知π≈3.14，若设$x = kπ$，则$k$的取值范围为$\frac{9}{π}\approx2.87 ＜ k ＜ \frac{10}{π}\approx3.18$，取整数$k=3$即可得到符合要求的数；
2. 无限不循环小数形式：固定整数部分为9，小数部分构造为无限不循环的序列即可，常用相邻两个相同数字间依次多1个另一个数字的构造方法，保证小数部分无循环规律；
3. 带根号且开方开不尽的形式：先对范围两边平方，得$9^2=81$，$10^2=100$，因此只要被开方数取大于81且小于100的非完全平方数即可，这类数开平方后结果必然在9到10之间，且是开方开不尽的无理数。
【解析】
(1) 含π的式子：因为$π\approx3.14$，所以$3π\approx9.42$，满足$9 ＜ 3π ＜10$，且$3π$是含π的无理数，符合要求；
(2) 无限不循环小数：整数部分为9，小数部分按“相邻的两个1之间依次多一个2”构造，得到$9.1212212221···$，是无限不循环小数，满足范围要求；
(3) 带根号形式：取被开方数为83，因为$81＜83＜100$，所以$\sqrt{81}＜\sqrt{83}＜\sqrt{100}$，即$9＜\sqrt{83}＜10$，且83不是完全平方数，$\sqrt{83}$开方开不尽，是无理数，符合要求。
注：本题答案不唯一，满足要求即可。
【答案】
答案不唯一，如(1) $3π$ (2) $9.1212212221···$（相邻的两个1之间依次多一个2） (3) $\sqrt{83}$
【知识点】
无理数的定义；实数大小比较；算术平方根估算
【点评】
本题为开放性试题，主要考查无理数的常见类型和大小估算能力，解题时结合无理数的三类典型特征构造符合范围的数即可，思维灵活度较高。
【难度系数】
0.8
14 无理数像一首读不完的长诗，既不循环，也不枯竭，无穷无尽，数学家称之为一种特殊的数.设面积为$5π$的圆的半径为$a$.
（1）$a$是有理数吗？请说明理由.
（2）估计$a$的值（结果精确到$0.1$）.
（1）$a$是有理数吗？请说明理由.
（2）估计$a$的值（结果精确到$0.1$）.
答案
14. （1）$a$ 不是有理数 理由:$\because π a^2=5π,\therefore a^2=5. \because a＞0$,且找不到平方后等于 5 的有理数,$\therefore a$ 是无理数,不是有理数.
（2）$\because 2^2＜5＜3^2,\therefore 2＜a＜3. \because 2.2^2=4.84,2.3^2=5.29$,$\therefore 2.2＜a＜2.3. \because 2.23^2=4.9729,2.24^2=5.0176,\therefore 2.23＜a＜2.24,\therefore a\approx2.2$
（2）$\because 2^2＜5＜3^2,\therefore 2＜a＜3. \because 2.2^2=4.84,2.3^2=5.29$,$\therefore 2.2＜a＜2.3. \because 2.23^2=4.9729,2.24^2=5.0176,\therefore 2.23＜a＜2.24,\therefore a\approx2.2$
解析
【分析】
（1）解决第一问首先利用圆的面积公式建立关于$a$的等式，化简得到$a^2$的取值，再结合有理数的定义（整数和分数统称有理数）判断是否存在平方等于5的有理数，即可判定$a$是否为有理数。
（2）解决第二问使用夹逼法：先确定$a$的整数范围，再逐步缩小范围到十分位、百分位，最后按照精确到$0.1$的要求，结合四舍五入规则得到$a$的近似值。
【解析】
（1）$a$不是有理数，理由如下：
根据圆的面积公式$S=πr^2$，代入$S=5π$、$r=a$得：$πa^2=5π$，两边同时除以$π$可得$a^2=5$。
因为$a＞0$，且不存在任何一个有理数（整数或分数）的平方等于5，因此$a$是无理数，不是有理数。
（2）估算$a$的值：
$\because 2^2=4＜5＜9=3^2$，$\therefore 2＜a＜3$；
$\because 2.2^2=4.84$，$2.3^2=5.29$，$\therefore 2.2＜a＜2.3$；
$\because 2.23^2=4.9729$，$2.24^2=5.0176$，$\therefore 2.23＜a＜2.24$；
根据精确到$0.1$的要求对百分位四舍五入，可得$a\approx2.2$。
【答案】
（1）$a$不是有理数，理由：$\because π a^2=5π,\therefore a^2=5. \because a＞0$,且找不到平方后等于 5 的有理数,$\therefore a$ 是无理数,不是有理数。
（2）$a\approx2.2$
【知识点】
1. 无理数的定义
2. 无理数的估算
3. 圆的面积公式
【点评】
本题是无理数相关的基础题型，既考查了无理数的判定方法，也考查了夹逼法估算无理数大小的技能，解题核心是明确有理数和无理数的区别，熟练掌握估算无理数的思路。
【难度系数】
0.8
（1）解决第一问首先利用圆的面积公式建立关于$a$的等式，化简得到$a^2$的取值，再结合有理数的定义（整数和分数统称有理数）判断是否存在平方等于5的有理数，即可判定$a$是否为有理数。
（2）解决第二问使用夹逼法：先确定$a$的整数范围，再逐步缩小范围到十分位、百分位，最后按照精确到$0.1$的要求，结合四舍五入规则得到$a$的近似值。
【解析】
（1）$a$不是有理数，理由如下：
根据圆的面积公式$S=πr^2$，代入$S=5π$、$r=a$得：$πa^2=5π$，两边同时除以$π$可得$a^2=5$。
因为$a＞0$，且不存在任何一个有理数（整数或分数）的平方等于5，因此$a$是无理数，不是有理数。
（2）估算$a$的值：
$\because 2^2=4＜5＜9=3^2$，$\therefore 2＜a＜3$；
$\because 2.2^2=4.84$，$2.3^2=5.29$，$\therefore 2.2＜a＜2.3$；
$\because 2.23^2=4.9729$，$2.24^2=5.0176$，$\therefore 2.23＜a＜2.24$；
根据精确到$0.1$的要求对百分位四舍五入，可得$a\approx2.2$。
【答案】
（1）$a$不是有理数，理由：$\because π a^2=5π,\therefore a^2=5. \because a＞0$,且找不到平方后等于 5 的有理数,$\therefore a$ 是无理数,不是有理数。
（2）$a\approx2.2$
【知识点】
1. 无理数的定义
2. 无理数的估算
3. 圆的面积公式
【点评】
本题是无理数相关的基础题型，既考查了无理数的判定方法，也考查了夹逼法估算无理数大小的技能，解题核心是明确有理数和无理数的区别，熟练掌握估算无理数的思路。
【难度系数】
0.8
