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1. 下列各数中，最大的是 （
A.$-1$
B.$\sqrt{2}$
C.$3$
D.$\sqrt{5}$
C
）A.$-1$
B.$\sqrt{2}$
C.$3$
D.$\sqrt{5}$
答案
1.C
解析
【分析】
这道题需要比较四个实数的大小，我们可以按两步思考：第一步先区分正负数，根据“正数大于一切负数”的规则，可直接排除负数选项；第二步比较剩余正数的大小，因为涉及算术平方根，我们可以把整数转化为算术平方根的形式，利用“非负数的算术平方根中，被开方数越大，对应的算术平方根越大”的性质，通过比较被开方数的大小，就能得出原数的大小关系，进而找到最大的数。
【解析】
解：①判断各数正负：选项A的$-1$是负数，其余$\sqrt{2}$、$3$、$\sqrt{5}$都是正数，根据“正数大于一切负数”，可先排除A选项；
②将整数$3$改写为算术平方根形式：$3=\sqrt{9}$；
③根据算术平方根的性质比较大小：非负数的算术平方根中，被开方数越大，对应的算术平方根越大，比较被开方数可得$9＞5＞2$，因此$\sqrt{9}＞\sqrt{5}＞\sqrt{2}$，即$3＞\sqrt{5}＞\sqrt{2}$；
综上，四个数中最大的是$3$。
【答案】
C
【知识点】
实数大小比较、算术平方根的性质
【点评】
本题属于基础题型，考查实数大小比较的常用方法，解题时可先通过正负性快速缩小选择范围，再结合算术平方根的性质比较正数大小，熟练掌握相关性质即可快速得分。
【难度系数】
0.9
这道题需要比较四个实数的大小，我们可以按两步思考：第一步先区分正负数，根据“正数大于一切负数”的规则，可直接排除负数选项；第二步比较剩余正数的大小，因为涉及算术平方根，我们可以把整数转化为算术平方根的形式，利用“非负数的算术平方根中，被开方数越大，对应的算术平方根越大”的性质，通过比较被开方数的大小，就能得出原数的大小关系，进而找到最大的数。
【解析】
解：①判断各数正负：选项A的$-1$是负数，其余$\sqrt{2}$、$3$、$\sqrt{5}$都是正数，根据“正数大于一切负数”，可先排除A选项；
②将整数$3$改写为算术平方根形式：$3=\sqrt{9}$；
③根据算术平方根的性质比较大小：非负数的算术平方根中，被开方数越大，对应的算术平方根越大，比较被开方数可得$9＞5＞2$，因此$\sqrt{9}＞\sqrt{5}＞\sqrt{2}$，即$3＞\sqrt{5}＞\sqrt{2}$；
综上，四个数中最大的是$3$。
【答案】
C
【知识点】
实数大小比较、算术平方根的性质
【点评】
本题属于基础题型，考查实数大小比较的常用方法，解题时可先通过正负性快速缩小选择范围，再结合算术平方根的性质比较正数大小，熟练掌握相关性质即可快速得分。
【难度系数】
0.9
2.64 的立方根是 （
A.2
B.4
C.8
D.16
B
）A.2
B.4
C.8
D.16
答案
2.B
解析
【分析】
要解决求64的立方根的问题，首先回忆立方根的定义：如果一个数x的三次方等于a，那么x就叫做a的立方根。解题时只需要分别计算每个选项中数字的三次方，找到三次方结果等于64的选项即可。
【解析】
根据立方根的定义：若$x^3=a$，则$x$是$a$的立方根。我们依次计算各选项的立方：
A选项：$2^3=2×2×2=8≠64$，不符合要求；
B选项：$4^3=4×4×4=64$，符合要求；
C选项：$8^3=8×8×8=512≠64$，不符合要求；
D选项：$16^3=16×16×16=4096≠64$，不符合要求。
因此64的立方根是4。
【答案】
B
【知识点】
立方根的定义；有理数乘方运算
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是对立方根定义的理解，只要熟练掌握常见整数的乘方结果，就能快速准确选出答案。
【难度系数】
0.9
要解决求64的立方根的问题，首先回忆立方根的定义：如果一个数x的三次方等于a，那么x就叫做a的立方根。解题时只需要分别计算每个选项中数字的三次方，找到三次方结果等于64的选项即可。
【解析】
根据立方根的定义：若$x^3=a$，则$x$是$a$的立方根。我们依次计算各选项的立方：
A选项：$2^3=2×2×2=8≠64$，不符合要求；
B选项：$4^3=4×4×4=64$，符合要求；
C选项：$8^3=8×8×8=512≠64$，不符合要求；
D选项：$16^3=16×16×16=4096≠64$，不符合要求。
因此64的立方根是4。
【答案】
B
【知识点】
立方根的定义；有理数乘方运算
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是对立方根定义的理解，只要熟练掌握常见整数的乘方结果，就能快速准确选出答案。
【难度系数】
0.9
3. $\sqrt{25}$的值是 （
A.5
B.$\pm5$
C.$\dfrac{1}{5}$
D.$\pm\dfrac{1}{5}$
A
）A.5
B.$\pm5$
C.$\dfrac{1}{5}$
D.$\pm\dfrac{1}{5}$
答案
3.A
解析
【分析】解题时首先要明确根号（√）的数学含义：√a表示的是数a的算术平方根，算术平方根的结果一定是非负数，因此首先可以排除带正负号的B、D选项；接下来我们找平方后等于25的非负数，5的平方是25，1/5的平方是1/25，因此排除C选项，最终得到正确答案。
【解析】根据算术平方根的定义：如果一个非负数x的平方等于a，即x²=a，那么这个非负数x叫做a的算术平方根，记作√a。
因为5²=25，且5为非负数，所以25的算术平方根是5，即√25=5，故本题选A。
【答案】A
【知识点】1.算术平方根的概念 2.平方根与算术平方根的区别
【点评】本题属于基础题，主要考查算术平方根的相关概念，解题关键是明确算术平方根与平方根的差异，避免混淆二者的表示方法和取值范围。
【难度系数】0.8
【解析】根据算术平方根的定义：如果一个非负数x的平方等于a，即x²=a，那么这个非负数x叫做a的算术平方根，记作√a。
因为5²=25，且5为非负数，所以25的算术平方根是5，即√25=5，故本题选A。
【答案】A
【知识点】1.算术平方根的概念 2.平方根与算术平方根的区别
【点评】本题属于基础题，主要考查算术平方根的相关概念，解题关键是明确算术平方根与平方根的差异，避免混淆二者的表示方法和取值范围。
【难度系数】0.8
4. 下列计算中正确的是 （
A.$\sqrt{4}=\pm 2$
B.$2\sqrt{3}-\sqrt{3}=2$
C.$|3-\sqrt{5}|=\sqrt{5}-3$
D.$\sqrt[3]{2^3}=2$
D
）A.$\sqrt{4}=\pm 2$
B.$2\sqrt{3}-\sqrt{3}=2$
C.$|3-\sqrt{5}|=\sqrt{5}-3$
D.$\sqrt[3]{2^3}=2$
答案
4.D
解析
【分析】
本题考查实数运算的相关基础知识，解题时需逐个分析每个选项，结合对应的运算规则判断正误，最终选出正确选项。首先回忆算术平方根、二次根式加减、绝对值化简、立方根的相关知识点，再逐一验证四个选项的计算是否正确，排除错误选项即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$\sqrt{4}$表示4的算术平方根，算术平方根的结果为非负数，因此$\sqrt{4}=2$，不是$\pm2$，该选项错误；
B选项：二次根式加减时，同类二次根式合并只需将系数相加减，根号部分保持不变，因此$2\sqrt{3}-\sqrt{3}=(2-1)\sqrt{3}=\sqrt{3}≠2$，该选项错误；
C选项：先判断绝对值内式子的正负：$3=\sqrt{9}＞\sqrt{5}$，因此$3-\sqrt{5}＞0$，正数的绝对值是它本身，所以$|3-\sqrt{5}|=3-\sqrt{5}$，该选项错误；
D选项：根据立方根的性质$\sqrt[3]{a^3}=a$，可得$\sqrt[3]{2^3}=2$，该选项正确。
【答案】
D
【知识点】
算术平方根定义、二次根式加减运算、绝对值与立方根性质
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查实数相关运算的核心规则，需要注意区分平方根和算术平方根的差异，化简绝对值前先判断内部式子的正负，牢记立方根的运算性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题考查实数运算的相关基础知识，解题时需逐个分析每个选项，结合对应的运算规则判断正误，最终选出正确选项。首先回忆算术平方根、二次根式加减、绝对值化简、立方根的相关知识点，再逐一验证四个选项的计算是否正确，排除错误选项即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$\sqrt{4}$表示4的算术平方根，算术平方根的结果为非负数，因此$\sqrt{4}=2$，不是$\pm2$，该选项错误；
B选项：二次根式加减时，同类二次根式合并只需将系数相加减，根号部分保持不变，因此$2\sqrt{3}-\sqrt{3}=(2-1)\sqrt{3}=\sqrt{3}≠2$，该选项错误；
C选项：先判断绝对值内式子的正负：$3=\sqrt{9}＞\sqrt{5}$，因此$3-\sqrt{5}＞0$，正数的绝对值是它本身，所以$|3-\sqrt{5}|=3-\sqrt{5}$，该选项错误；
D选项：根据立方根的性质$\sqrt[3]{a^3}=a$，可得$\sqrt[3]{2^3}=2$，该选项正确。
【答案】
D
【知识点】
算术平方根定义、二次根式加减运算、绝对值与立方根性质
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查实数相关运算的核心规则，需要注意区分平方根和算术平方根的差异，化简绝对值前先判断内部式子的正负，牢记立方根的运算性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
5. 在实数：$-1.414,\sqrt{5},π,3.\dot{6},2+\sqrt{3},3.212\ 212\ 221···$（相邻两个1之间依次多一个2），$3.141\ 592\ 6$中，无理数的个数为 （
A.2
B.3
C.4
D.5
C
）A.2
B.3
C.4
D.5
答案
5.C
解析
【分析】
解题首先要明确无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数。常见的无理数有三类：①开方开不尽的数的方根；②含π的数；③有规律但不循环的无限小数。我们只需逐个判断给出的实数属于有理数还是无理数，最后统计无理数的个数即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析给出的数：
1. $-1.414$是有限小数，属于有理数；
2. $\sqrt{5}$是开方开不尽的数，为无限不循环小数，属于无理数；
3. $π$是典型的无限不循环小数，属于无理数；
4. $3.\dot{6}$是无限循环小数，属于有理数；
5. $2+\sqrt{3}$：$\sqrt{3}$是无理数，有理数与无理数的和仍为无理数，因此$2+\sqrt{3}$是无理数；
6. $3.212\ 212\ 221···$（相邻两个1之间依次多一个2）是无限不循环小数，属于无理数；
7. $3.141\ 592\ 6$是有限小数，属于有理数。
综上，无理数共有$\sqrt{5},π,2+\sqrt{3},3.212\ 212\ 221···$，共4个。
【答案】
C
【知识点】
无理数的定义、实数的分类
【点评】
本题易错点是容易将有限小数$3.1415926$误认为是无理数，或将有规律但不循环的无限小数错当成循环小数，解题时要紧扣无理数“无限、不循环”两个核心特征判断。
【难度系数】
0.7
解题首先要明确无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数。常见的无理数有三类：①开方开不尽的数的方根；②含π的数；③有规律但不循环的无限小数。我们只需逐个判断给出的实数属于有理数还是无理数，最后统计无理数的个数即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析给出的数：
1. $-1.414$是有限小数，属于有理数；
2. $\sqrt{5}$是开方开不尽的数，为无限不循环小数，属于无理数；
3. $π$是典型的无限不循环小数，属于无理数；
4. $3.\dot{6}$是无限循环小数，属于有理数；
5. $2+\sqrt{3}$：$\sqrt{3}$是无理数，有理数与无理数的和仍为无理数，因此$2+\sqrt{3}$是无理数；
6. $3.212\ 212\ 221···$（相邻两个1之间依次多一个2）是无限不循环小数，属于无理数；
7. $3.141\ 592\ 6$是有限小数，属于有理数。
综上，无理数共有$\sqrt{5},π,2+\sqrt{3},3.212\ 212\ 221···$，共4个。
【答案】
C
【知识点】
无理数的定义、实数的分类
【点评】
本题易错点是容易将有限小数$3.1415926$误认为是无理数，或将有规律但不循环的无限小数错当成循环小数，解题时要紧扣无理数“无限、不循环”两个核心特征判断。
【难度系数】
0.7
6.公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的一个成员发现了一个新数——无理数“$\sqrt{2}$”.他的发现，在当时的数学界掀起了一场巨大风暴，导致了西方数学史上的“第一次数学危机”.请你估计$\sqrt{2}+1$的值在（
A.0和1之间
B.1和2之间
C.2和3之间
D.3和4之间
C
）A.0和1之间
B.1和2之间
C.2和3之间
D.3和4之间
答案
6.C
解析
【分析】
要判断$\sqrt{2}+1$的取值范围，首先需要估算出无理数$\sqrt{2}$的取值范围：先找到和被开方数2相邻的两个正整数的完全平方数，根据算术平方根的大小和被开方数大小的对应关系，就能得到$\sqrt{2}$在哪两个相邻整数之间，再给这个范围的左右两边同时加1，即可得到$\sqrt{2}+1$的取值范围。
【解析】
首先计算相邻正整数的平方：
$1^2=1$，$2^2=4$，
因为$1＜2＜4$，根据“被开方数越大，对应的算术平方根越大”，可得：
$\sqrt{1}＜\sqrt{2}＜\sqrt{4}$，即$1＜\sqrt{2}＜2$，
给不等式三边同时加1，得：
$1+1＜\sqrt{2}+1＜2+1$，也就是$2＜\sqrt{2}+1＜3$，
因此$\sqrt{2}+1$的值在2和3之间。
【答案】
C
【知识点】
无理数的估算，算术平方根的性质
【点评】
本题考查无理数的估算方法，核心解题思路是通过找与被开方数相邻的完全平方数，确定无理数的大致范围，再结合不等式的变形得到所求式子的范围，是基础类考题。
【难度系数】
0.8
要判断$\sqrt{2}+1$的取值范围，首先需要估算出无理数$\sqrt{2}$的取值范围：先找到和被开方数2相邻的两个正整数的完全平方数，根据算术平方根的大小和被开方数大小的对应关系，就能得到$\sqrt{2}$在哪两个相邻整数之间，再给这个范围的左右两边同时加1，即可得到$\sqrt{2}+1$的取值范围。
【解析】
首先计算相邻正整数的平方：
$1^2=1$，$2^2=4$，
因为$1＜2＜4$，根据“被开方数越大，对应的算术平方根越大”，可得：
$\sqrt{1}＜\sqrt{2}＜\sqrt{4}$，即$1＜\sqrt{2}＜2$，
给不等式三边同时加1，得：
$1+1＜\sqrt{2}+1＜2+1$，也就是$2＜\sqrt{2}+1＜3$，
因此$\sqrt{2}+1$的值在2和3之间。
【答案】
C
【知识点】
无理数的估算，算术平方根的性质
【点评】
本题考查无理数的估算方法，核心解题思路是通过找与被开方数相邻的完全平方数，确定无理数的大致范围，再结合不等式的变形得到所求式子的范围，是基础类考题。
【难度系数】
0.8
7.实数$a,b$在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是 （
A.$a＞-1$
B.$a＜-2$
C.$ab＞0$
D.$a+b＜0$
D
）A.$a＞-1$
B.$a＜-2$
C.$ab＞0$
D.$a+b＜0$
答案
7.D
解析
【分析】
解题时首先观察数轴上a、b的位置，利用“数轴上右边的数总比左边的数大”的性质，先确定a、b的取值范围，再结合有理数大小比较、有理数运算的相关法则，逐一验证四个选项的正误，最终选出正确结论。
【解析】
由数轴上点的位置可得：$\boldsymbol{-2 ＜ a ＜ -1}$，$\boldsymbol{0 ＜ b ＜ 1}$，逐一分析选项：
A. 因为$a ＜ -1$，所以$a ＞ -1$不成立，A错误；
B. 因为$a ＞ -2$，所以$a ＜ -2$不成立，B错误；
C. $a$为负数，$b$为正数，异号两数相乘结果为负，即$ab ＜ 0$，因此$ab ＞ 0$不成立，C错误；
D. 可得$1 ＜ |a| ＜ 2$，$0 ＜ |b| ＜ 1$，异号两数相加时取绝对值更大的数的符号，$a$的绝对值大于$b$的绝对值，因此$a+b$的符号为负，即$a+b ＜ 0$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
数轴的应用；有理数运算；有理数大小比较
【点评】
本题考查数轴性质的应用和有理数基础运算法则的掌握，解题核心是准确根据数轴判断出两个数的取值范围，是基础类题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察数轴上a、b的位置，利用“数轴上右边的数总比左边的数大”的性质，先确定a、b的取值范围，再结合有理数大小比较、有理数运算的相关法则，逐一验证四个选项的正误，最终选出正确结论。
【解析】
由数轴上点的位置可得：$\boldsymbol{-2 ＜ a ＜ -1}$，$\boldsymbol{0 ＜ b ＜ 1}$，逐一分析选项：
A. 因为$a ＜ -1$，所以$a ＞ -1$不成立，A错误；
B. 因为$a ＞ -2$，所以$a ＜ -2$不成立，B错误；
C. $a$为负数，$b$为正数，异号两数相乘结果为负，即$ab ＜ 0$，因此$ab ＞ 0$不成立，C错误；
D. 可得$1 ＜ |a| ＜ 2$，$0 ＜ |b| ＜ 1$，异号两数相加时取绝对值更大的数的符号，$a$的绝对值大于$b$的绝对值，因此$a+b$的符号为负，即$a+b ＜ 0$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
数轴的应用；有理数运算；有理数大小比较
【点评】
本题考查数轴性质的应用和有理数基础运算法则的掌握，解题核心是准确根据数轴判断出两个数的取值范围，是基础类题型。
【难度系数】
0.8
8.若 m 和 n 分别是 10 的两个平方根，则 $ m + 2mn + n $ 的值是 （
A.0
B.10
C.20
D.-20
D
）A.0
B.10
C.20
D.-20
答案
8.D
解析
【分析】
解题时首先回忆平方根的性质：正数有两个平方根，且它们互为相反数。观察所求代数式$m + 2mn + n$，可将其变形为$(m+n)+2mn$，因此只需要求出$m+n$和$mn$的值，再整体代入计算即可，无需单独求出m、n的具体数值。
【解析】
解：
∵m和n是10的两个平方根，
∴正数的两个平方根互为相反数，即$m + n = 0$，
且两个平方根的乘积$mn = \sqrt{10}×(-\sqrt{10}) = -10$，
将$m+n=0$、$mn=-10$代入代数式得：
$m + 2mn + n = (m + n) + 2mn = 0 + 2×(-10) = -20$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
平方根的性质，代数式求值
【点评】
本题主要考查平方根相关性质的应用，采用整体代入的方法可大幅简化计算过程，解题时需注意两个互为相反数的平方根相乘结果为负数，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.6
解题时首先回忆平方根的性质：正数有两个平方根，且它们互为相反数。观察所求代数式$m + 2mn + n$，可将其变形为$(m+n)+2mn$，因此只需要求出$m+n$和$mn$的值，再整体代入计算即可，无需单独求出m、n的具体数值。
【解析】
解：
∵m和n是10的两个平方根，
∴正数的两个平方根互为相反数，即$m + n = 0$，
且两个平方根的乘积$mn = \sqrt{10}×(-\sqrt{10}) = -10$，
将$m+n=0$、$mn=-10$代入代数式得：
$m + 2mn + n = (m + n) + 2mn = 0 + 2×(-10) = -20$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
平方根的性质，代数式求值
【点评】
本题主要考查平方根相关性质的应用，采用整体代入的方法可大幅简化计算过程，解题时需注意两个互为相反数的平方根相乘结果为负数，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.6
