9. 定义一种新运算“△”：$a△ b = a^2 - ab$，则$\sqrt{2}△1$的值为（）

A.$1-\sqrt{2}$
B.$1+\sqrt{2}$
C.$2-\sqrt{2}$
D.$2+\sqrt{2}$

9.C

【分析】
这是新定义运算类题目，解题思路很清晰：首先明确新运算“△”的规则，即a△b的结果等于第一个数的平方减去两个数的乘积；接下来找到题目中对应a、b的取值，a为$\sqrt{2}$，b为1；最后把数值代入运算公式，按照二次根式的运算法则逐步计算，再匹配选项即可。
【解析】
根据新运算$a△ b = a^2 - ab$的定义，将$a=\sqrt{2}$，$b=1$代入公式：
$\sqrt{2}△1=(\sqrt{2})^2 - \sqrt{2} × 1$
先计算乘方：$(\sqrt{2})^2=2$
再计算乘法：$\sqrt{2} × 1=\sqrt{2}$
最后计算减法：$2 - \sqrt{2}$
因此运算结果为$2-\sqrt{2}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
新定义运算，二次根式计算
【点评】
本题属于基础题型，主要考查对新运算规则的理解能力和二次根式的基础运算能力，只要准确代入数值、按运算顺序计算就能得分。
【难度系数】
0.8

10.下列关于圆周率π的说法错误的是（）

A.它是无限不循环小数
B.它可以用数轴上唯一的一个点来表示
C.它的相反数小于－3
D.它与任何无理数的和是无理数

10.D

【分析】
解题时首先回忆圆周率π的基本性质：π是数值约为3.14的无限不循环小数，属于无理数，再结合相反数、实数与数轴的对应关系、无理数运算的相关概念，逐一验证四个选项的正误，找出说法错误的选项即可。
【解析】
已知π是无限不循环小数，数值约为3.14，属于无理数，逐一分析选项：
A. π是无限不循环小数，该说法正确，不符合题意；
B. 所有实数与数轴上的点一一对应，π是实数，因此它可以用数轴上唯一的一个点来表示，该说法正确，不符合题意；
C. π的相反数是-π≈-3.14，因为-3.14＜-3，所以它的相反数小于-3，该说法正确，不符合题意；
D. 举反例：π与-π（均为无理数）的和为0，0是有理数，因此“它与任何无理数的和是无理数”的说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
圆周率的特征；实数与数轴的关系；无理数的运算
【点评】
本题属于基础概念类考题，重点考查对圆周率属性和实数相关概念的掌握情况，解题的关键是牢记π的基本性质，同时可通过举反例的方法快速判断错误命题。
【难度系数】
0.7

二、填空题
11. 已知某数的一个平方根为$-\sqrt{13}$，则这个数为.

11.13

【分析】
解题时首先回忆平方根的定义：如果一个数x的平方等于a，那么x叫做a的平方根。反过来，已知一个数的平方根，求这个原数，只需要将该平方根进行平方运算即可，平方运算可以消去平方根符号，且负数的平方为正数，不用额外担心符号问题。
【解析】
根据平方根的定义可知，原数等于其平方根的平方。
已知该数的一个平方根为$-\sqrt{13}$，因此这个数为：
$(-\sqrt{13})^2 = (\sqrt{13})^2 = 13$
【答案】
13
【知识点】
1. 平方根的定义
2. 平方运算
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是理解平方根与原数的运算关系，掌握对应定义即可快速得分，是平方根章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.9

12. 计算：$\sqrt{9} - |-2| =$ .

12.1

【分析】
解题时需先分别化简式子中的两个运算项，再做减法计算：首先根据算术平方根的定义计算$\sqrt{9}$的值，再根据绝对值的性质化简$|-2|$，最后将两个化简后的结果相减即可得到答案。
【解析】
解：分步计算如下：
1. 计算算术平方根：$\sqrt{9}$表示9的算术平方根，结果为3，即$\sqrt{9}=3$；
2. 化简绝对值：负数的绝对值是它的相反数，所以$|-2|=2$；
3. 做减法运算：$\sqrt{9} - |-2| = 3 - 2 = 1$。
【答案】
1
【知识点】
算术平方根计算，绝对值的性质，有理数减法
【点评】
本题是基础运算题型，考察的都是代数运算中的基础知识点，只要熟练掌握算术平方根和绝对值的化简规则，按运算顺序分步计算即可，不容易出错。
【难度系数】
0.9

13. 在实数$\frac{2}{3}$，$\sqrt[3]{5}$，0，$π$中，无理数有个.

13.2

【分析】
解题时首先回忆无理数的定义，明确无理数是无限不循环小数，常见的无理数包含开方开不尽的数、含π的数等类型；再逐个判断所给4个实数是有理数还是无理数；最后统计无理数的总个数即可得到答案。
【解析】
我们先明确相关定义：整数和分数统称为有理数，无限不循环小数叫做无理数。接下来逐个判断每个数的类别：
1. $\frac{2}{3}$是分数，属于有理数；
2. $\sqrt[3]{5}$是开立方后开不尽的数，属于无限不循环小数，是无理数；
3. 0是整数，属于有理数；
4. $π$是典型的无限不循环小数，是无理数。
综上，无理数共有2个。
【答案】
2
【知识点】
无理数的识别；有理数的概念；实数的分类
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对无理数、有理数概念的理解与区分，只要牢记常见的无理数类型，就能快速准确作答。
【难度系数】
0.8

14. 比较大小：$-\sqrt{31}$ $-6$.（选填“＞”或“＜”）

14.＞

【分析】
要比较两个负数的大小，我们可以依据“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”的规则求解。首先分别求出两个数的绝对值，再比较绝对值的大小：其中一个绝对值是$\sqrt{31}$，另一个是6，我们可以把6转化为$\sqrt{36}$，再根据“被开方数越大，对应的算术平方根越大”的性质比较两个绝对值的大小，最后即可推出原数的大小关系。
【解析】
1. 回忆两个负数比较大小的法则：两个负数比较大小，绝对值大的数反而小。
2. 分别计算两个数的绝对值：
$\left|-\sqrt{31}\right|=\sqrt{31}$，$\left|-6\right|=6$
3. 将6转化为算术平方根的形式：$6=\sqrt{6^2}=\sqrt{36}$
4. 比较算术平方根的大小：
因为$31＜36$，所以$\sqrt{31}＜\sqrt{36}$，即$\sqrt{31}＜6$
5. 根据负数比较大小的规则，绝对值小的负数更大，因此$-\sqrt{31}＞-6$
【答案】
＞
【知识点】
实数大小比较；算术平方根的性质
【点评】
本题核心考查负数比较大小的方法，解题关键是熟练掌握负数比较大小的规则，会通过将整数转化为算术平方根的形式简化比较过程，属于基础题型，掌握相关规则即可快速求解。
【难度系数】
0.8

15.若$2m-4$与$3m-1$是正数$a$的两个不同的平方根，则$a$为。

15.4

【分析】
解题时先回忆平方根的性质：一个正数有两个不同的平方根，这两个平方根互为相反数，而互为相反数的两个数之和为0。因此我们可以先根据这一性质列出关于m的一元一次方程，求出m的取值后，代入任意一个平方根的表达式，将结果平方即可得到a的值。
【解析】
解：
∵正数a的两个不同平方根是2m-4和3m-1，正数的两个平方根互为相反数
∴$(2m-4)+(3m-1)=0$
合并同类项得：$5m-5=0$
解得：$m=1$
将$m=1$代入$2m-4$得：$2×1-4=-2$
∴$a=(-2)^2=4$
【答案】
4
【知识点】
平方根的性质；解一元一次方程
【点评】
本题重点考查正数平方根的相关性质，解题的核心是抓住“正数的两个平方根互为相反数”这一要点建立方程求解，整体难度不高，熟练掌握基础概念即可解答。
【难度系数】
0.8

16. 已知 $ m ＜ \sqrt{19} ＜ m+1 $，且 $ m $ 为整数，则 $ m $ 的值为 。

16.4

【分析】
要确定整数m的值，需先估算出$\sqrt{19}$的取值范围。我们可以通过找与19相邻的两个完全平方数，利用算术平方根的性质，得到$\sqrt{19}$介于哪两个相邻整数之间，再结合题目给出的$m＜\sqrt{19}＜m+1$的关系，即可求出m的值。
【解析】
解：先计算与19相邻的完全平方数：
∵ $4^2=16$，$5^2=25$，且$16＜19＜25$
∴ 对三个正数同时开算术平方根可得：$\sqrt{16}＜\sqrt{19}＜\sqrt{25}$
即 $4＜\sqrt{19}＜5$
又
∵ $m＜\sqrt{19}＜m+1$，且m为整数
∴ 对比可得$m=4$
【答案】
4
【知识点】
1. 无理数的估算 2. 算术平方根的性质 3. 完全平方数的应用
【点评】
本题考查无理数的估算，解题的核心是找到与被开方数相邻的两个完全平方数，进而确定无理数的整数范围，属于基础题型，熟练掌握常见完全平方数是快速解题的关键。
【难度系数】
0.85

17. 数轴上点A表示$\sqrt{5}$，那么到点A的距离等于$3\sqrt{5}$的点所表示的数是。

17.$4\sqrt{5}$或$-2\sqrt{5}$

【分析】
要解决这个问题，首先明确数轴上到一个定点距离相等的点共有2个，分别位于该定点的左右两侧。我们可以分两种情况讨论：①所求点在点A的右侧，此时该点表示的数比点A表示的数大$3\sqrt{5}$，用加法计算；②所求点在点A的左侧，此时该点表示的数比点A表示的数小$3\sqrt{5}$，用减法计算，最后合并两种情况的结果即可。
【解析】
设到点A的距离等于$3\sqrt{5}$的点表示的数为$x$。
情况1：该点在点A的右侧：
$x = \sqrt{5} + 3\sqrt{5} = 4\sqrt{5}$
情况2：该点在点A的左侧：
$x = \sqrt{5} - 3\sqrt{5} = -2\sqrt{5}$
综上，符合条件的数为$4\sqrt{5}$或$-2\sqrt{5}$。
【答案】
$4\sqrt{5}$或$-2\sqrt{5}$
【知识点】
数轴两点距离；绝对值性质；二次根式加减
【点评】
本题考查数轴上点与点之间距离的应用，解题时要注意距离是非负的，符合条件的点有两个，分别在已知点的两侧，避免漏解。
【难度系数】
0.7

18. 若$4-\sqrt{5}$的整数部分为$a$，小数部分为$b$，则代数式$2+\sqrt{5}a -b$的值为。

18.$2\sqrt{5}-1$

【分析】
要解决这个问题，首先需要估算出$\sqrt{5}$的取值范围，进而得到$4-\sqrt{5}$的取值范围，确定它的整数部分$a$；再根据“小数部分=原数-整数部分”求出$b$，最后将$a$和$b$代入代数式化简计算即可。
【解析】
1. 估算$\sqrt{5}$的取值范围
∵$2^2=4$，$3^2=9$，且$4＜5＜9$
∴$2＜\sqrt{5}＜3$
2. 求$4-\sqrt{5}$的范围，确定整数部分$a$
对不等式$2＜\sqrt{5}＜3$两边同时乘$-1$，得$-3＜-\sqrt{5}＜-2$
两边同时加4，得$4-3＜4-\sqrt{5}＜4-2$，即$1＜4-\sqrt{5}＜2$
∴$4-\sqrt{5}$的整数部分$a=1$
3. 求小数部分$b$
根据小数部分的定义：$b=\mathrm{原数}-\mathrm{整数部分}$
即$b=(4-\sqrt{5})-a=4-\sqrt{5}-1=3-\sqrt{5}$
4. 代入代数式计算
将$a=1$，$b=3-\sqrt{5}$代入$2+\sqrt{5}a -b$：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2+\sqrt{5}×1-(3-\sqrt{5})\\&=2+\sqrt{5}-3+\sqrt{5}\\&=2\sqrt{5}-1\end{aligned}$
【答案】
$2\sqrt{5}-1$
【知识点】
1. 无理数的估算 2. 代数式求值 3. 二次根式加减
【点评】
本题核心考查无理数整数部分、小数部分的求解方法，解题时要注意给不等式乘负数时不等号方向需改变，代入计算去括号时要注意符号变化，是无理数相关的典型基础题型。
【难度系数】
0.7

三、解答题
19. 计算：
(1)$(-2)^2 - (3 - 5) - \sqrt{4} + 2×3$； (2)$\sqrt[3]{27} - |2 - \sqrt{5}| - (1 - \sqrt{5}) + \sqrt{(-3)^2}$。

19.解:(1)原式=4−(−2)−2+6
=4+2−2+6
=10.
(2)原式=3−(√5−2)−1+√5+3
=3−√5+2−1+√5+3
=7.

【分析】
(1) 这是含乘方、开平方、括号的有理数混合运算，按照“先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内”的运算顺序思考：第一步先分别算出$(-2)^2$、$3-5$、$\sqrt{4}$、$2×3$的结果，再按从左到右的顺序计算加减即可。
(2) 这是含立方根、绝对值、开平方的实数混合运算，思考步骤为：先计算开立方$\sqrt[3]{27}$、开平方$\sqrt{(-3)^2}$，再根据“负数的绝对值是它的相反数”化简$|2-\sqrt{5}|$，最后去括号合并同类项即可，注意去括号时的符号变化。
【解析】
(1) 分别计算各运算项：
$(-2)^2=4$，$3-5=-2$，$\sqrt{4}=2$，$2×3=6$，代入原式得：
原式$=4 - (-2) - 2 + 6$
$=4 + 2 - 2 + 6$
$=10$
(2) 分别化简各运算项：
$\sqrt[3]{27}=3$，$\because 2＜\sqrt{5},\therefore |2-\sqrt{5}|=\sqrt{5}-2$，$\sqrt{(-3)^2}=3$，代入原式得：
原式$=3 - (\sqrt{5} - 2) - (1 - \sqrt{5}) + 3$
$=3 - \sqrt{5} + 2 - 1 + \sqrt{5} + 3$
$=7$
【答案】(1)$10$；(2)$7$
【知识点】实数混合运算；绝对值化简；开方运算
【点评】本题属于基础运算题，核心考察运算顺序和符号处理规则，去绝对值、去括号时的符号变化是主要易错点，只要严格按照运算规则逐步计算，即可顺利得分。
【难度系数】0.8