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20. 求下列各式中 $ x $ 的值：
(1)$ x^2 - \frac{121}{49} = 0 $；
(2)$ (x + 3)^3 - 27 = 0 $。
(1)$ x^2 - \frac{121}{49} = 0 $；
(2)$ (x + 3)^3 - 27 = 0 $。
答案
20.解:(1)$x^2-\frac{121}{49}=0$,
$x^2=\frac{121}{49}$,
$x=\pm\frac{11}{7}$.
(2)$(x+3)^3-27=0$,
$(x+3)^3=27$,
$x+3=3$,
$x=0$.
$x^2=\frac{121}{49}$,
$x=\pm\frac{11}{7}$.
(2)$(x+3)^3-27=0$,
$(x+3)^3=27$,
$x+3=3$,
$x=0$.
解析
【分析】
本题分为两个小问，分别对应平方和立方类方程的求解，解题思路如下：
(1) 第一问先通过移项将常数项移到等号右侧，得到$x^2$的取值，再根据平方根的性质，正数有两个互为相反数的平方根，即可求出$x$的所有解；
(2) 第二问先移项得到$(x+3)^3$的取值，再根据立方根的性质，每个数的立方根唯一，求出$x+3$的取值后，解简单的一次方程即可得到$x$的值。
【解析】
(1) 对$x^2 - \frac{121}{49} = 0$移项可得：
$x^2 = \frac{121}{49}$
根据平方根的定义计算得：
$x = \pm\sqrt{\frac{121}{49}} = \pm\frac{11}{7}$
(2) 对$(x + 3)^3 - 27 = 0$移项可得：
$(x + 3)^3 = 27$
根据立方根的定义，27的立方根为3，因此：
$x + 3 = 3$
移项计算得：
$x = 0$
【答案】
(1)$x=\pm\frac{11}{7}$；(2)$x=0$
【知识点】
平方根的性质、立方根的性质、移项法则
【点评】
本题属于基础运算题，解题核心是区分平方根和立方根的差异：正数的平方根有2个且互为相反数，正数的立方根只有1个，避免出现漏解或者多写正负号的错误。
【难度系数】
0.8
本题分为两个小问，分别对应平方和立方类方程的求解，解题思路如下：
(1) 第一问先通过移项将常数项移到等号右侧，得到$x^2$的取值，再根据平方根的性质，正数有两个互为相反数的平方根，即可求出$x$的所有解；
(2) 第二问先移项得到$(x+3)^3$的取值，再根据立方根的性质，每个数的立方根唯一，求出$x+3$的取值后，解简单的一次方程即可得到$x$的值。
【解析】
(1) 对$x^2 - \frac{121}{49} = 0$移项可得：
$x^2 = \frac{121}{49}$
根据平方根的定义计算得：
$x = \pm\sqrt{\frac{121}{49}} = \pm\frac{11}{7}$
(2) 对$(x + 3)^3 - 27 = 0$移项可得：
$(x + 3)^3 = 27$
根据立方根的定义，27的立方根为3，因此：
$x + 3 = 3$
移项计算得：
$x = 0$
【答案】
(1)$x=\pm\frac{11}{7}$；(2)$x=0$
【知识点】
平方根的性质、立方根的性质、移项法则
【点评】
本题属于基础运算题，解题核心是区分平方根和立方根的差异：正数的平方根有2个且互为相反数，正数的立方根只有1个，避免出现漏解或者多写正负号的错误。
【难度系数】
0.8
21.已知一个正数的平方根是$2a - 4$与$-3 - a$.
(1)求$a$的值和这个正数；
(2)求$3a + 4$的平方根.
(1)求$a$的值和这个正数；
(2)求$3a + 4$的平方根.
答案
21.解:(1)由题意可得，
$2a-4+(-3-a)=0$,
则$a=7$.
$\therefore 2×7-4=10$,
$\therefore 10^2=100$.
$\therefore a$的值为7,这个正数为100.
(2)$\because a=7$,
$\therefore 3a+4=3×7+4=25$.
$\because 25$的平方根为$\pm5$,
$\therefore 3a+4$的平方根为$\pm5$.
$2a-4+(-3-a)=0$,
则$a=7$.
$\therefore 2×7-4=10$,
$\therefore 10^2=100$.
$\therefore a$的值为7,这个正数为100.
(2)$\because a=7$,
$\therefore 3a+4=3×7+4=25$.
$\because 25$的平方根为$\pm5$,
$\therefore 3a+4$的平方根为$\pm5$.
解析
【分析】
解决本题首先要掌握正数平方根的核心性质：一个正数的两个平方根互为相反数，互为相反数的两个数相加和为0。第一问可以依据这个性质列出关于a的一元一次方程，求解得到a的值后，代入其中一个平方根再平方，就能算出这个正数；第二问先把求得的a代入3a+4算出对应数值，再根据平方根的定义求它的平方根，注意正数的平方根有两个且互为相反数，不要漏写负根。
【解析】
(1) 由正数的两个平方根互为相反数，可得：
$2a-4+(-3-a)=0$
化简方程得：$a-7=0$，解得$a=7$。
将$a=7$代入$2a-4$得：$2×7-4=10$，
因此这个正数为$10^2=100$。
(2) 将$a=7$代入$3a+4$得：
$3×7+4=25$，
因为25的平方根为$\pm\sqrt{25}=\pm5$，
所以$3a+4$的平方根为$\pm5$。
【答案】
(1) $a$的值为7，这个正数为100；
(2) $3a+4$的平方根为$\pm5$。
【知识点】
1. 平方根的性质
2. 解一元一次方程
3. 平方根的计算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查平方根的相关概念，解题的关键是牢记正数的两个平方根互为相反数的性质，计算平方根时注意不要遗漏负根。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要掌握正数平方根的核心性质：一个正数的两个平方根互为相反数，互为相反数的两个数相加和为0。第一问可以依据这个性质列出关于a的一元一次方程，求解得到a的值后，代入其中一个平方根再平方，就能算出这个正数；第二问先把求得的a代入3a+4算出对应数值，再根据平方根的定义求它的平方根，注意正数的平方根有两个且互为相反数，不要漏写负根。
【解析】
(1) 由正数的两个平方根互为相反数，可得：
$2a-4+(-3-a)=0$
化简方程得：$a-7=0$，解得$a=7$。
将$a=7$代入$2a-4$得：$2×7-4=10$，
因此这个正数为$10^2=100$。
(2) 将$a=7$代入$3a+4$得：
$3×7+4=25$，
因为25的平方根为$\pm\sqrt{25}=\pm5$，
所以$3a+4$的平方根为$\pm5$。
【答案】
(1) $a$的值为7，这个正数为100；
(2) $3a+4$的平方根为$\pm5$。
【知识点】
1. 平方根的性质
2. 解一元一次方程
3. 平方根的计算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查平方根的相关概念，解题的关键是牢记正数的两个平方根互为相反数的性质，计算平方根时注意不要遗漏负根。
【难度系数】
0.8
22. 已知 $4a + 7$ 的立方根是 $3$，$2a + 2b + 2$ 的算术平方根是 $4$。
(1)求 $a$，$b$ 的值；
(2)求 $6a + 3b$ 的平方根。
(1)求 $a$，$b$ 的值；
(2)求 $6a + 3b$ 的平方根。
答案
22.解:(1)$\because 4a+7$的立方根是3,$2a+2b+2$的算术平方根是4,
$\therefore 4a+7=27$,$2a+2b+2=16$,
$\therefore a=5$,$b=2$.
(2)由(1)知$a=5$,$b=2$,
$\therefore 6a+3b=6×5+3×2=36$,
$\therefore 6a+3b$的平方根为$\pm6$.
$\therefore 4a+7=27$,$2a+2b+2=16$,
$\therefore a=5$,$b=2$.
(2)由(1)知$a=5$,$b=2$,
$\therefore 6a+3b=6×5+3×2=36$,
$\therefore 6a+3b$的平方根为$\pm6$.
解析
【分析】
解决本题的核心是熟练运用立方根、算术平方根的定义：①若一个数的立方根是3，说明这个数等于3的立方；②若一个数的算术平方根是4，说明这个数等于4的平方。第一问先根据这两个性质列出关于a、b的方程，先解出a的值，再代入第二个方程求出b的值。第二问将求得的a、b代入6a+3b计算出结果，再根据平方根的定义，正数有两个互为相反数的平方根，求出最终结果即可。
【解析】
(1) $\because 4a+7$的立方根是3，$2a + 2b + 2$的算术平方根是4，
$\therefore 4a+7=3^3=27$，$2a + 2b + 2=4^2=16$，
解$4a+7=27$得：$4a=20$，$a=5$，
将$a=5$代入$2a + 2b + 2=16$得：$10+2b+2=16$，解得$b=2$。
(2) 由(1)知$a=5$，$b=2$，
$\therefore 6a+3b=6×5+3×2=36$，
$\because (\pm6)^2=36$，
$\therefore 6a+3b$的平方根为$\pm6$。
【答案】
(1)$a=5$，$b=2$；(2)$\pm6$
【知识点】
1. 立方根的定义 2. 算术平方根的定义 3. 平方根的计算
【点评】
本题属于根式定义的基础应用题，解题关键是准确区分立方根、算术平方根、平方根的性质，根据定义列方程求解参数，注意正数的平方根有两个，不要漏写负的平方根。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是熟练运用立方根、算术平方根的定义：①若一个数的立方根是3，说明这个数等于3的立方；②若一个数的算术平方根是4，说明这个数等于4的平方。第一问先根据这两个性质列出关于a、b的方程，先解出a的值，再代入第二个方程求出b的值。第二问将求得的a、b代入6a+3b计算出结果，再根据平方根的定义，正数有两个互为相反数的平方根，求出最终结果即可。
【解析】
(1) $\because 4a+7$的立方根是3，$2a + 2b + 2$的算术平方根是4，
$\therefore 4a+7=3^3=27$，$2a + 2b + 2=4^2=16$，
解$4a+7=27$得：$4a=20$，$a=5$，
将$a=5$代入$2a + 2b + 2=16$得：$10+2b+2=16$，解得$b=2$。
(2) 由(1)知$a=5$，$b=2$，
$\therefore 6a+3b=6×5+3×2=36$，
$\because (\pm6)^2=36$，
$\therefore 6a+3b$的平方根为$\pm6$。
【答案】
(1)$a=5$，$b=2$；(2)$\pm6$
【知识点】
1. 立方根的定义 2. 算术平方根的定义 3. 平方根的计算
【点评】
本题属于根式定义的基础应用题，解题关键是准确区分立方根、算术平方根、平方根的性质，根据定义列方程求解参数，注意正数的平方根有两个，不要漏写负的平方根。
【难度系数】
0.8
