22. 数学课上,小明向老师提出了一个问题:无限循环小数是无理数吗?
以0.$\dot{3}$为例,老师给小明做了以下解答:
设0.$\dot{3}$为$x$,即0.$\dot{3}=x$,
等式两边乘10,得3.$\dot{3}=10x$,即$3+0.\dot{3}=10x$.
因为0.$\dot{3}=x$,所以$3+x=10x$,解得$x=\frac{1}{3}$.即0.$\dot{3}=\frac{1}{3}$.
因为分数是有理数,所以0.$\dot{3}$是有理数.
同学们,你们学会了吗?请根据上述方法,解决下列问题:
(1)无限循环小数0.$\dot{2}$写成分数的形式是;
(2)请用上述方法将0.$\ddot{21}$写成分数形式.

22.
(1) $\frac{2}{9}$
(2) 设$0.\ddot{21}$为$x$,即$0.\ddot{21}=x$，等式两边乘100,得$21.\ddot{21}=100x$，即$21+0.\ddot{21}=100x$。因为$0.\ddot{21}=x$,所以$21+x=100x$，解得$x=\frac{7}{33}$。即$0.\ddot{21}=\frac{7}{33}$。

【分析】
本题是材料迁移类题目，核心解题思路是参照题干给出的无限循环小数化分数的方法操作：①设待转化的无限循环小数为x；②观察循环节的位数n，将等式两边同时乘10ⁿ，使得乘完之后的数的小数部分和原无限循环小数完全相同；③通过等量代换消去循环部分，得到关于x的一元一次方程，解方程即可得到对应的分数。
第(1)问0.$\dot{2}$的循环节为1位，因此乘10消去循环部分；第(2)问0.$\ddot{21}$的循环节为2位，因此乘100消去循环部分。
【解析】
(1) 设0.$\dot{2}=x$，等式两边乘10，得$2.\dot{2}=10x$，即$2+0.\dot{2}=10x$。
因为$0.\dot{2}=x$，所以$2+x=10x$，解得$x=\frac{2}{9}$。
(2) 设$0.\ddot{21}=x$，等式两边乘100，得$21.\ddot{21}=100x$，即$21+0.\ddot{21}=100x$。
因为$0.\ddot{21}=x$，所以$21+x=100x$，解得$x=\frac{21}{99}=\frac{7}{33}$。
【答案】
(1) $\frac{2}{9}$；(2) $\frac{7}{33}$
【知识点】
无限循环小数化分数、一元一次方程求解、等式的性质
【点评】
本题属于方法迁移类基础题，重点考查对题干给出方法的理解和应用能力，解题的关键是准确判断循环节的位数，按照步骤操作即可得出结果，通过本题也能进一步理解无限循环小数属于有理数的原因。
【难度系数】
0.7