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18.计算：$-1^{2026} × (-2)^2 + (π - 2)^0 + |1 - 2\sqrt{2}| - \sqrt{8}$
答案
18.解:原式$=-1×4+1+2\sqrt{2}-1-2\sqrt{2}=-4$。
解析
【分析】
这是一道实数混合运算题，解题时遵循“先算高级运算，再算低级运算”的顺序思考：第一步先逐个处理特殊运算项：①乘方运算：注意$-1^{2026}$是1的2026次幂的相反数，结果为-1；$(-2)^2$是2个-2相乘，结果为4。②零指数幂运算：非零数的0次幂等于1，$π-2$是正数，因此该项结果为1。③绝对值化简：先判断绝对值内式子的正负，$2\sqrt{2}≈2.828＞1$，因此$1-2\sqrt{2}＜0$，绝对值等于它的相反数，即$2\sqrt{2}-1$。④二次根式化简：$\sqrt{8}$可拆分为$\sqrt{4×2}$，化简为$2\sqrt{2}$。第二步先计算乘法，再把所有项的结果相加减，合并同类项即可得到最终结果。
【解析】
解：先分别计算各运算项：
1. 乘方运算：$-1^{2026}=-1$，$(-2)^2=4$，因此第一项为$-1×4=-4$；
2. 零指数幂：$(π-2)^0=1$；
3. 绝对值化简：$|1-2\sqrt{2}|=2\sqrt{2}-1$；
4. 二次根式化简：$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。
将上述结果代入原式：
原式$=-4 + 1 + (2\sqrt{2}-1) - 2\sqrt{2}$
$=-4 + 1 + 2\sqrt{2} - 1 - 2\sqrt{2}$
$=-4$
【答案】
$-4$
【知识点】
实数混合运算、零指数幂性质、绝对值化简
【点评】
本题属于基础运算类题目，主要考查各类实数运算规则的掌握程度，解题时需特别注意区分负号是否在乘方的括号内，化简绝对值前要先判断内部式子的正负，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7
这是一道实数混合运算题，解题时遵循“先算高级运算，再算低级运算”的顺序思考：第一步先逐个处理特殊运算项：①乘方运算：注意$-1^{2026}$是1的2026次幂的相反数，结果为-1；$(-2)^2$是2个-2相乘，结果为4。②零指数幂运算：非零数的0次幂等于1，$π-2$是正数，因此该项结果为1。③绝对值化简：先判断绝对值内式子的正负，$2\sqrt{2}≈2.828＞1$，因此$1-2\sqrt{2}＜0$，绝对值等于它的相反数，即$2\sqrt{2}-1$。④二次根式化简：$\sqrt{8}$可拆分为$\sqrt{4×2}$，化简为$2\sqrt{2}$。第二步先计算乘法，再把所有项的结果相加减，合并同类项即可得到最终结果。
【解析】
解：先分别计算各运算项：
1. 乘方运算：$-1^{2026}=-1$，$(-2)^2=4$，因此第一项为$-1×4=-4$；
2. 零指数幂：$(π-2)^0=1$；
3. 绝对值化简：$|1-2\sqrt{2}|=2\sqrt{2}-1$；
4. 二次根式化简：$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。
将上述结果代入原式：
原式$=-4 + 1 + (2\sqrt{2}-1) - 2\sqrt{2}$
$=-4 + 1 + 2\sqrt{2} - 1 - 2\sqrt{2}$
$=-4$
【答案】
$-4$
【知识点】
实数混合运算、零指数幂性质、绝对值化简
【点评】
本题属于基础运算类题目，主要考查各类实数运算规则的掌握程度，解题时需特别注意区分负号是否在乘方的括号内，化简绝对值前要先判断内部式子的正负，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7
19. 求下列各式中 $ x $ 的值：
(1) $ |x| = 0 $；
(2) $ |x| - \sqrt[3]{10} = 0 $；
(3) $ |x - 1| = \sqrt{5} $。
(1) $ |x| = 0 $；
(2) $ |x| - \sqrt[3]{10} = 0 $；
(3) $ |x - 1| = \sqrt{5} $。
答案
19.
(1) $|x|=0,x=0$
(2) $|x|-\sqrt[3]{10}=0,|x|=\sqrt[3]{10},x=\pm\sqrt[3]{10}$
(3) $|x-1|=\sqrt{5},x-1=\pm\sqrt{5},x=1\pm\sqrt{5}$
(1) $|x|=0,x=0$
(2) $|x|-\sqrt[3]{10}=0,|x|=\sqrt[3]{10},x=\pm\sqrt[3]{10}$
(3) $|x-1|=\sqrt{5},x-1=\pm\sqrt{5},x=1\pm\sqrt{5}$
解析
【分析】
本题考查含绝对值的方程求解，核心依据是绝对值的性质：①0的绝对值是0；②正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，即若|a|=b（b≥0），当b=0时a=0，当b＞0时a=±b。解题思路为：先将式子变形为“|含x的式子|=非负数”的形式，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，最后求解x的值即可。
【解析】
(1) 根据绝对值的性质，只有0的绝对值为0，因此当$|x|=0$时，直接可得$x=0$；
(2) 先对式子移项，将$-\sqrt[3]{10}$移到等号右侧，得$|x|=\sqrt[3]{10}$。因为$\sqrt[3]{10}$是正数，根据绝对值的性质，绝对值等于$\sqrt[3]{10}$的数有两个，互为相反数，因此$x=\pm\sqrt[3]{10}$；
(3) 将$x-1$看作一个整体，已知$|x - 1| = \sqrt{5}$，$\sqrt{5}$是正数，因此$x-1=\pm\sqrt{5}$，等式两边同时加1，解得$x=1\pm\sqrt{5}$。
【答案】
(1) $x=0$；(2) $x=\pm\sqrt[3]{10}$；(3) $x=1\pm\sqrt{5}$
【知识点】
绝对值的性质，含绝对值方程求解，移项法则
【点评】
本题属于基础题，重点考察绝对值性质的灵活应用，解题时注意把绝对值内的代数式看作整体处理，当绝对值等于正数时，有两个互为相反数的解，避免漏解。
【难度系数】
0.85
本题考查含绝对值的方程求解，核心依据是绝对值的性质：①0的绝对值是0；②正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，即若|a|=b（b≥0），当b=0时a=0，当b＞0时a=±b。解题思路为：先将式子变形为“|含x的式子|=非负数”的形式，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，最后求解x的值即可。
【解析】
(1) 根据绝对值的性质，只有0的绝对值为0，因此当$|x|=0$时，直接可得$x=0$；
(2) 先对式子移项，将$-\sqrt[3]{10}$移到等号右侧，得$|x|=\sqrt[3]{10}$。因为$\sqrt[3]{10}$是正数，根据绝对值的性质，绝对值等于$\sqrt[3]{10}$的数有两个，互为相反数，因此$x=\pm\sqrt[3]{10}$；
(3) 将$x-1$看作一个整体，已知$|x - 1| = \sqrt{5}$，$\sqrt{5}$是正数，因此$x-1=\pm\sqrt{5}$，等式两边同时加1，解得$x=1\pm\sqrt{5}$。
【答案】
(1) $x=0$；(2) $x=\pm\sqrt[3]{10}$；(3) $x=1\pm\sqrt{5}$
【知识点】
绝对值的性质，含绝对值方程求解，移项法则
【点评】
本题属于基础题，重点考察绝对值性质的灵活应用，解题时注意把绝对值内的代数式看作整体处理，当绝对值等于正数时，有两个互为相反数的解，避免漏解。
【难度系数】
0.85
20.已知实数$a$，$b$互为相反数，$c$，$d$互为倒数，$x$的绝对值为$\sqrt{7}$，求代数式$x^2 + \sqrt{a+b} + \sqrt[3]{cd}$的值。
答案
20.解:根据题意,得$a+b=0,cd=1$，$|x|=\sqrt{7}$,即$x^2=7$，$\therefore x^2+\sqrt{a+b}+\sqrt[3]{cd}=7+0+1=8$。
解析
【分析】
解题时首先回忆相关数学概念的性质：互为相反数的两个数和为0，互为倒数的两个数乘积为1，一个数的平方等于它绝对值的平方。先根据这些性质分别求出$a+b$、$cd$、$x^2$的值，再将这些值代入所求代数式，按运算顺序计算就能得到结果。
【解析】
解：根据题意可得：
∵实数$a$，$b$互为相反数，
∴$a+b=0$；
∵$c$，$d$互为倒数，
∴$cd=1$；
∵$x$的绝对值为$\sqrt{7}$，
∴$|x|=\sqrt{7}$，因此$x^2=(|x|)^2=(\sqrt{7})^2=7$。
将上述值代入代数式$x^2 + \sqrt{a+b} + \sqrt[3]{cd}$中：
原式$=7 + \sqrt{0} + \sqrt[3]{1} =7 + 0 +1=8$。
【答案】
$8$
【知识点】
相反数的性质，倒数的性质，代数式求值
【点评】
本题属于基础题，核心是对基础代数概念的理解与应用，只要熟练掌握相反数、倒数、绝对值的相关性质，准确代入计算即可得出正确结果。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆相关数学概念的性质：互为相反数的两个数和为0，互为倒数的两个数乘积为1，一个数的平方等于它绝对值的平方。先根据这些性质分别求出$a+b$、$cd$、$x^2$的值，再将这些值代入所求代数式，按运算顺序计算就能得到结果。
【解析】
解：根据题意可得：
∵实数$a$，$b$互为相反数，
∴$a+b=0$；
∵$c$，$d$互为倒数，
∴$cd=1$；
∵$x$的绝对值为$\sqrt{7}$，
∴$|x|=\sqrt{7}$，因此$x^2=(|x|)^2=(\sqrt{7})^2=7$。
将上述值代入代数式$x^2 + \sqrt{a+b} + \sqrt[3]{cd}$中：
原式$=7 + \sqrt{0} + \sqrt[3]{1} =7 + 0 +1=8$。
【答案】
$8$
【知识点】
相反数的性质，倒数的性质，代数式求值
【点评】
本题属于基础题，核心是对基础代数概念的理解与应用，只要熟练掌握相反数、倒数、绝对值的相关性质，准确代入计算即可得出正确结果。
【难度系数】
0.8
21. 如图，长方形内两个正方形的面积分别为3 cm²，1 cm²。
(1)求长方形的周长；
(2)求图中两块阴影部分的面积和。
(1)求长方形的周长；
(2)求图中两块阴影部分的面积和。
答案
21.
(1) 解:$\because$两个正方形的面积分别为$3\ \mathrm{cm}^2$,$1\ \mathrm{cm}^2$，$\therefore$大正方形的边长为$\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$,小正方形的边长为$1\ \mathrm{cm}$，$\therefore$长方形的周长为$2(\sqrt{3}+1+\sqrt{3})=(2+4\sqrt{3})\mathrm{cm}$。答:长方形的周长为$(2+4\sqrt{3})\mathrm{cm}$。
(2) 大长方形的面积为$\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)=(3+\sqrt{3})\mathrm{cm}^2$，减去两个正方形面积为$3+\sqrt{3}-3-1=(\sqrt{3}-1)\mathrm{cm}^2$。答:阴影部分的面积之和为$(\sqrt{3}-1)\mathrm{cm}^2$。
(1) 解:$\because$两个正方形的面积分别为$3\ \mathrm{cm}^2$,$1\ \mathrm{cm}^2$，$\therefore$大正方形的边长为$\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$,小正方形的边长为$1\ \mathrm{cm}$，$\therefore$长方形的周长为$2(\sqrt{3}+1+\sqrt{3})=(2+4\sqrt{3})\mathrm{cm}$。答:长方形的周长为$(2+4\sqrt{3})\mathrm{cm}$。
(2) 大长方形的面积为$\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)=(3+\sqrt{3})\mathrm{cm}^2$，减去两个正方形面积为$3+\sqrt{3}-3-1=(\sqrt{3}-1)\mathrm{cm}^2$。答:阴影部分的面积之和为$(\sqrt{3}-1)\mathrm{cm}^2$。
解析
【分析】
解题时首先利用正方形面积与边长的关系，由两个正方形的面积分别求出它们的边长：正方形边长是其面积的算术平方根，因此面积为3cm²的大正方形边长为√3 cm，面积为1cm²的小正方形边长为1cm。
(1) 求长方形周长：先确定长方形的长为两个正方形边长之和(√3+1)cm，宽等于大正方形的边长√3 cm，再代入长方形周长公式计算即可。
(2) 求阴影部分面积和：阴影部分是长方形减去两个正方形后剩余的部分，因此用长方形的总面积减去两个正方形的面积即可求出阴影部分的总面积，这种“整体减空白”的方法避免了单独计算每块阴影面积，更简便。
【解析】
(1) 已知两个正方形的面积分别为3 cm²、1 cm²，根据正方形面积=边长²，可得：
大正方形的边长为$\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，小正方形的边长为$\sqrt{1}=1\ \mathrm{cm}$。
观察图形可知，长方形的长=大正方形边长+小正方形边长=$(\sqrt{3}+1)\mathrm{cm}$，长方形的宽=大正方形边长=$\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
根据长方形周长公式$\mathrm{周长}=2×(\mathrm{长}+\mathrm{宽})$，代入得：
$\mathrm{周长}=2×[(\sqrt{3}+1)+\sqrt{3}] = 2×(2\sqrt{3} +1) = (4\sqrt{3} +2)\mathrm{cm}$。
(2) 先计算长方形的总面积，根据长方形面积公式$\mathrm{面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，代入得：
$\mathrm{长方形面积}=(\sqrt{3}+1)×\sqrt{3} = \sqrt{3}×\sqrt{3} + \sqrt{3}×1 = (3+\sqrt{3})\mathrm{cm}^2$。
阴影部分面积和=长方形面积 - 两个正方形的面积和，代入得：
$\mathrm{阴影面积和}=(3+\sqrt{3}) - 3 -1 = (\sqrt{3} -1)\mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) 长方形的周长为$(2+4\sqrt{3})\mathrm{cm}$；
(2) 两块阴影部分的面积和为$(\sqrt{3}-1)\mathrm{cm}^2$。
【知识点】
算术平方根的应用、长方形周长计算、割补法求面积
【点评】
本题考查几何图形的边长、周长、面积计算，解题关键是先从正方形面积反推边长，再结合图形的边长关系确定长方形的长宽，阴影部分采用整体减空白的思路可以简化计算，避免拆分阴影带来的繁琐步骤。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用正方形面积与边长的关系，由两个正方形的面积分别求出它们的边长：正方形边长是其面积的算术平方根，因此面积为3cm²的大正方形边长为√3 cm，面积为1cm²的小正方形边长为1cm。
(1) 求长方形周长：先确定长方形的长为两个正方形边长之和(√3+1)cm，宽等于大正方形的边长√3 cm，再代入长方形周长公式计算即可。
(2) 求阴影部分面积和：阴影部分是长方形减去两个正方形后剩余的部分，因此用长方形的总面积减去两个正方形的面积即可求出阴影部分的总面积，这种“整体减空白”的方法避免了单独计算每块阴影面积，更简便。
【解析】
(1) 已知两个正方形的面积分别为3 cm²、1 cm²，根据正方形面积=边长²，可得：
大正方形的边长为$\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，小正方形的边长为$\sqrt{1}=1\ \mathrm{cm}$。
观察图形可知，长方形的长=大正方形边长+小正方形边长=$(\sqrt{3}+1)\mathrm{cm}$，长方形的宽=大正方形边长=$\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
根据长方形周长公式$\mathrm{周长}=2×(\mathrm{长}+\mathrm{宽})$，代入得：
$\mathrm{周长}=2×[(\sqrt{3}+1)+\sqrt{3}] = 2×(2\sqrt{3} +1) = (4\sqrt{3} +2)\mathrm{cm}$。
(2) 先计算长方形的总面积，根据长方形面积公式$\mathrm{面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，代入得：
$\mathrm{长方形面积}=(\sqrt{3}+1)×\sqrt{3} = \sqrt{3}×\sqrt{3} + \sqrt{3}×1 = (3+\sqrt{3})\mathrm{cm}^2$。
阴影部分面积和=长方形面积 - 两个正方形的面积和，代入得：
$\mathrm{阴影面积和}=(3+\sqrt{3}) - 3 -1 = (\sqrt{3} -1)\mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) 长方形的周长为$(2+4\sqrt{3})\mathrm{cm}$；
(2) 两块阴影部分的面积和为$(\sqrt{3}-1)\mathrm{cm}^2$。
【知识点】
算术平方根的应用、长方形周长计算、割补法求面积
【点评】
本题考查几何图形的边长、周长、面积计算，解题关键是先从正方形面积反推边长，再结合图形的边长关系确定长方形的长宽，阴影部分采用整体减空白的思路可以简化计算，避免拆分阴影带来的繁琐步骤。
【难度系数】
0.7
