1. 如图,已知点A,D,C,B在同一条直线上,且$AD=BC$,$AE=BF$,$CE=DF$.
(1)求证:$AE// BF$;
(2)若$DF=FC$,求证:四边形$DECF$是菱形.

1. 证明:(1)
∵ AD = BC,
∴ AD + DC = BC + DC,即 AC = BD. 在△AEC 和△BFD 中, $\begin{cases} AC = BD, \\ AE = BF, \\ CE = DF, \end{cases}$
∴ △AEC≌△BFD,
∴ ∠A = ∠B,
∴ AE//BF.
(2)
∵ △AEC≌△BFD,
∴ ∠ECA = ∠FDB,
∴ EC//DF. 又 EC = DF,
∴ 四边形 DECF 是平行四边形.
∵ DF = FC,
∴ ▱DECF 是菱形.

【分析】
(1) 要证$AE// BF$，可通过证明同位角$∠ A=∠ B$实现。已知$AD=BC$，等式两边加公共线段$DC$可得$AC=BD$，结合已知$AE=BF$、$CE=DF$，可通过SSS判定$△ AEC≌△ BFD$，由全等性质得$∠ A=∠ B$，即可推出平行。
(2) 要证四边形$DECF$是菱形，需先证其为平行四边形：由$△ AEC≌△ BFD$可得$∠ ECA=∠ FDB$，推出$EC// DF$，结合已知$EC=DF$，可证得四边形$DECF$是平行四边形，再添加邻边$DF=FC$的条件，即可判定为菱形。
【解析】
(1) 证明：
$\because AD = BC$，
$\therefore AD + DC = BC + DC$，即$AC = BD$。
在$△ AEC$和$△ BFD$中，
$\begin{cases} AC = BD, \\ AE = BF, \\ CE = DF, \end{cases}$
$\therefore △ AEC≌△ BFD(\mathrm{SSS})$，
$\therefore ∠ A = ∠ B$，
$\therefore AE// BF$。
(2) 证明：
$\because △ AEC≌△ BFD$，
$\therefore ∠ ECA = ∠ FDB$，
$\therefore EC// DF$。
又$\because EC = DF$，
$\therefore$四边形$DECF$是平行四边形。
$\because DF = FC$，
$\therefore □ DECF$是菱形。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) 证明见上述解析。
【知识点】
全等三角形的判定与性质；平行线的判定；菱形的判定
【点评】
本题是几何基础综合题，解题核心是先通过线段和的关系得到全等三角形的判定条件，借助全等得到角的关系，再逐步推导平行和特殊四边形的判定，逻辑链条清晰，侧重对基础判定定理的应用考查。
【难度系数】
0.7

2.如图，$□ ABCD$的对角线$AC$，$BD$交于点$O$，分别以点$B$，$C$为圆心，$\frac{1}{2}AC$，$\frac{1}{2}BD$长为半径画弧，两弧交于点$P$，连接$BP$，$CP$.
（1）试判断四边形$BPCO$的形状，并说明理由；
（2）请说明当$□ ABCD$的对角线满足什么条件时四边形$BPCO$是正方形.

2. 解:(1) 四边形 BPCO 是平行四边形. 理由如下:
∵ ▱ABCD的对角线 AC,BD 交于点 O,
∴ AO = OC,BO = OD.
∵ 以点 B,C 为圆心,$\frac{1}{2}AC$,$\frac{1}{2}BD$ 长为半径画弧,两弧交于点 P,
∴ $BP = \frac{1}{2}AC = OC$, $CP = \frac{1}{2}BD = OB$,
∴ 四边形 BPCO 是平行四边形.
(2) 当 AC = BD 且 AC ⊥ BD 时,四边形 BPCO 是正方形.
∵ AC ⊥ BD,
∴ ∠BOC = 90°,
∵ AC = BD,OB = $\frac{1}{2}BD$,$OC = \frac{1}{2}AC$,
∴ OB = OC,又四边形 BPCO 是平行四边形,
∴ 四边形 BPCO 是正方形.

【分析】
（1）要判断四边形BPCO的形状，首先回忆平行四边形的判定定理：首先利用平行四边形对角线互相平分的性质，可得$OC=\frac{1}{2}AC$，$OB=\frac{1}{2}BD$；再结合尺规作图的定义，得到$BP=\frac{1}{2}AC$，$CP=\frac{1}{2}BD$，可推出$BP=OC$、$CP=OB$，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”即可得出结论。
（2）要使平行四边形BPCO成为正方形，需要满足“有一个角是直角+邻边相等”两个条件：∠BOC=90°对应原平行四边形对角线$AC⊥ BD$，$OB=OC$对应原平行四边形对角线$AC=BD$，综合两个条件即可。
【解析】
(1) 四边形BPCO是平行四边形，理由如下：
∵$□ABCD$的对角线AC、BD交于点O，
∴$AO=OC$，$BO=OD$。
∵ 分别以点B、C为圆心，$\frac{1}{2}AC$、$\frac{1}{2}BD$长为半径画弧，两弧交于点P，
∴ $BP = \frac{1}{2}AC = OC$， $CP = \frac{1}{2}BD = OB$，
∴ 四边形BPCO两组对边分别相等，因此四边形BPCO是平行四边形。
(2) 当$AC=BD$且$AC⊥ BD$时，四边形BPCO是正方形，理由如下：
∵ $AC⊥ BD$，
∴ $∠ BOC = 90°$，
∵ $AC=BD$，$OB=\frac{1}{2}BD$，$OC=\frac{1}{2}AC$，
∴ $OB=OC$，
又
∵ 四边形BPCO是平行四边形，
∴ 有一个角是直角且邻边相等的平行四边形是正方形，因此四边形BPCO是正方形。
【答案】
（1）四边形BPCO是平行四边形；
（2）当$AC⊥ BD$且$AC=BD$时，四边形BPCO是正方形。
【知识点】
平行四边形的性质；平行四边形的判定；正方形的判定
【点评】
本题结合尺规作图的条件考查特殊四边形的性质与判定，解题时需要先将平行四边形对角线的性质和作图给出的边长条件转化，再结合正方形的判定定理反推原平行四边形对角线的要求，能有效巩固特殊四边形的相关知识。
【难度系数】
0.7