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7.下列图形:①直角三角形;②平行四边形;③等腰梯形;④直角梯形,其中是轴对称图形而非中心对称图形的有 (
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
A
)A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
7.A
解析
【分析】
解题时先明确轴对称图形和中心对称图形的定义：轴对称图形是沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形是绕某一点旋转180°后，能和原图形完全重合的图形。接下来逐个分析4个图形的对称性，筛选出“是轴对称图形而非中心对称图形”的类别，统计个数即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析各图形的对称性：
1. ①直角三角形：普通直角三角形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合要求；
2. ②平行四边形：普通平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合要求；
3. ③等腰梯形：沿上下底中点的连线折叠后两边完全重合，是轴对称图形；绕任意点旋转180°后无法与原图形重合，不是中心对称图形，符合要求；
4. ④直角梯形：既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合要求。
综上，只有1个图形符合要求，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
轴对称图形判定，中心对称图形判定，常见几何图形对称性
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的核心是准确区分两种对称图形的定义，牢记常见平面图形的对称性质，注意不要将特殊图形的性质套用到普通图形上，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8
解题时先明确轴对称图形和中心对称图形的定义：轴对称图形是沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形是绕某一点旋转180°后，能和原图形完全重合的图形。接下来逐个分析4个图形的对称性，筛选出“是轴对称图形而非中心对称图形”的类别，统计个数即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析各图形的对称性：
1. ①直角三角形：普通直角三角形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合要求；
2. ②平行四边形：普通平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合要求；
3. ③等腰梯形：沿上下底中点的连线折叠后两边完全重合，是轴对称图形；绕任意点旋转180°后无法与原图形重合，不是中心对称图形，符合要求；
4. ④直角梯形：既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合要求。
综上，只有1个图形符合要求，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
轴对称图形判定，中心对称图形判定，常见几何图形对称性
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的核心是准确区分两种对称图形的定义，牢记常见平面图形的对称性质，注意不要将特殊图形的性质套用到普通图形上，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8
8. 如图,在等腰梯形ABCD中,AB//CD,AD=BC=6 cm,∠A=60°,BD平分∠ABC,那么这个梯形的周长为 (
A.18 cm
B.24 cm
C.30 cm
D.36 cm
C
)A.18 cm
B.24 cm
C.30 cm
D.36 cm
答案
8.C
解析
【分析】
解题思路：首先利用等腰梯形的性质得到同一底上的底角相等，结合角平分线的定义求出相关角的度数，再利用平行线的内错角相等推出等腰三角形，得到CD的长度；接着在△ABD中根据三角形内角和判断出直角三角形，利用含30°角的直角三角形的性质求出AB的长度，最后将四条边长度相加得到梯形周长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是等腰梯形，$AB// CD$，$AD=BC=6\mathrm{cm}$，
∴$∠ ABC=∠ A=60°$，
∵BD平分$∠ ABC$，
∴$∠ ABD=∠ DBC=\frac{1}{2}∠ ABC=30°$，
∵$AB// CD$，
∴$∠ CDB=∠ ABD=30°$，
∴$∠ CDB=∠ DBC$，
∴$CD=BC=6\mathrm{cm}$，
在$△ ABD$中，$∠ A=60°$，$∠ ABD=30°$，
∴$∠ ADB=180°-∠ A-∠ ABD=180°-60°-30°=90°$，即$△ ABD$是直角三角形，
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ ABD=30°$，30°角所对的直角边为AD，
∴$AD=\frac{1}{2}AB$，即$AB=2AD=2×6=12\mathrm{cm}$，
∴梯形ABCD的周长$=AB+BC+CD+AD=12+6+6+6=30\mathrm{cm}$。
【答案】
C
【知识点】
等腰梯形的性质，平行线的性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，将多个基础几何知识点结合考察，解题核心是通过角度关系推导边的等量关系，只要熟练掌握相关基础性质，就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先利用等腰梯形的性质得到同一底上的底角相等，结合角平分线的定义求出相关角的度数，再利用平行线的内错角相等推出等腰三角形，得到CD的长度；接着在△ABD中根据三角形内角和判断出直角三角形，利用含30°角的直角三角形的性质求出AB的长度，最后将四条边长度相加得到梯形周长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是等腰梯形，$AB// CD$，$AD=BC=6\mathrm{cm}$，
∴$∠ ABC=∠ A=60°$，
∵BD平分$∠ ABC$，
∴$∠ ABD=∠ DBC=\frac{1}{2}∠ ABC=30°$，
∵$AB// CD$，
∴$∠ CDB=∠ ABD=30°$，
∴$∠ CDB=∠ DBC$，
∴$CD=BC=6\mathrm{cm}$，
在$△ ABD$中，$∠ A=60°$，$∠ ABD=30°$，
∴$∠ ADB=180°-∠ A-∠ ABD=180°-60°-30°=90°$，即$△ ABD$是直角三角形，
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ ABD=30°$，30°角所对的直角边为AD，
∴$AD=\frac{1}{2}AB$，即$AB=2AD=2×6=12\mathrm{cm}$，
∴梯形ABCD的周长$=AB+BC+CD+AD=12+6+6+6=30\mathrm{cm}$。
【答案】
C
【知识点】
等腰梯形的性质，平行线的性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，将多个基础几何知识点结合考察，解题核心是通过角度关系推导边的等量关系，只要熟练掌握相关基础性质，就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
二、填空题
9. 如图，在$□ ABCD$中，$BC$的垂直平分线$EO$交$AD$于点$E$，交$BC$于点$O$，连接$BE$，$CE$，过点$C$作$CF// BE$，交$EO$的延长线于点$F$，连接$BF$。若$AD=8$，$CE=5$，则四边形$BFCE$的面积为________。
9. 如图，在$□ ABCD$中，$BC$的垂直平分线$EO$交$AD$于点$E$，交$BC$于点$O$，连接$BE$，$CE$，过点$C$作$CF// BE$，交$EO$的延长线于点$F$，连接$BF$。若$AD=8$，$CE=5$，则四边形$BFCE$的面积为________。
答案
9.24
解析
【分析】
解题时先从已知条件出发：首先利用平行四边形的性质得到BC的长度，再结合垂直平分线的性质得到线段相等和垂直关系；接着通过证明三角形全等得到边相等，结合平行条件判定四边形BFCE是平行四边形，再由邻边相等判定其为菱形；最后利用勾股定理求出菱形另一条对角线的长度，用菱形面积公式即可计算出结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC = AD = 8。
∵EO是BC的垂直平分线，
∴BO = OC = $\frac{1}{2}$BC = 4，BE = CE，∠EOB = 90°。
∵CF//BE，
∴∠OBE = ∠OCF。
在△BOE和△COF中：
$\{\begin{array}{l}∠OBE = ∠OCF \\BO = CO \\∠BOE = ∠COF\end{array} $
∴△BOE ≌ △COF（ASA），
∴BE = CF，EO = FO。
又
∵BE//CF，
∴四边形BFCE是平行四边形。
又
∵BE = CE，
∴平行四边形BFCE是菱形。
在Rt△EOC中，CE = 5，OC = 4，由勾股定理得：
$EO = \sqrt{CE^2 - OC^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3$，
∴EF = 2EO = 6。
菱形BFCE的面积为：$\frac{1}{2}×BC×EF = \frac{1}{2}×8×6 = 24$。
【答案】
24
【知识点】
平行四边形的性质，垂直平分线的性质，菱形的判定与面积计算
【点评】
本题综合考查了多个基础几何定理的应用，解题的突破口是先判断四边形BFCE的形状为菱形，再结合勾股定理求出对角线长度，是一道典型的几何基础综合题，能有效考查对几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件出发：首先利用平行四边形的性质得到BC的长度，再结合垂直平分线的性质得到线段相等和垂直关系；接着通过证明三角形全等得到边相等，结合平行条件判定四边形BFCE是平行四边形，再由邻边相等判定其为菱形；最后利用勾股定理求出菱形另一条对角线的长度，用菱形面积公式即可计算出结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC = AD = 8。
∵EO是BC的垂直平分线，
∴BO = OC = $\frac{1}{2}$BC = 4，BE = CE，∠EOB = 90°。
∵CF//BE，
∴∠OBE = ∠OCF。
在△BOE和△COF中：
$\{\begin{array}{l}∠OBE = ∠OCF \\BO = CO \\∠BOE = ∠COF\end{array} $
∴△BOE ≌ △COF（ASA），
∴BE = CF，EO = FO。
又
∵BE//CF，
∴四边形BFCE是平行四边形。
又
∵BE = CE，
∴平行四边形BFCE是菱形。
在Rt△EOC中，CE = 5，OC = 4，由勾股定理得：
$EO = \sqrt{CE^2 - OC^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3$，
∴EF = 2EO = 6。
菱形BFCE的面积为：$\frac{1}{2}×BC×EF = \frac{1}{2}×8×6 = 24$。
【答案】
24
【知识点】
平行四边形的性质，垂直平分线的性质，菱形的判定与面积计算
【点评】
本题综合考查了多个基础几何定理的应用，解题的突破口是先判断四边形BFCE的形状为菱形，再结合勾股定理求出对角线长度，是一道典型的几何基础综合题，能有效考查对几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
10.如图,三个边长相同的正方形叠放在一起,$O_1,O_2$是其中两个正方形的中心,阴影部分的面积之和是4,则正方形的边长为
2√2
.答案
10.2√2
解析
【分析】
解题时首先回忆正方形的中心性质：边长相等的两个正方形，若其中一个的顶点在另一个的中心，无论怎么旋转，重叠部分的面积始终等于单个正方形面积的1/4。据此可知图中两个阴影部分的面积之和为单个正方形面积的1/2，结合已知的阴影面积和，先求出正方形的面积，再计算边长即可。
【解析】
设正方形的边长为$a$（$a＞0$），则单个正方形的面积为$a^2$。
因为$O_1$、$O_2$是正方形的中心，根据正方形的旋转不变性，每个阴影部分的面积均为正方形面积的$\frac{1}{4}$，因此两个阴影部分的面积和为：
$\frac{1}{4}a^2 + \frac{1}{4}a^2 = \frac{1}{2}a^2$
已知阴影部分面积之和为4，列方程得：
$\frac{1}{2}a^2 = 4$
解得$a^2=8$，所以$a=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。
【答案】
$2\sqrt{2}$
【知识点】
正方形的性质，旋转的不变性，面积计算
【点评】
本题属于基础几何应用题，核心是利用正方形的中心特征和旋转性质，将不规则的阴影面积转化为正方形面积的固定占比求解，省去了复杂的割补运算，掌握特殊图形的性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.6
解题时首先回忆正方形的中心性质：边长相等的两个正方形，若其中一个的顶点在另一个的中心，无论怎么旋转，重叠部分的面积始终等于单个正方形面积的1/4。据此可知图中两个阴影部分的面积之和为单个正方形面积的1/2，结合已知的阴影面积和，先求出正方形的面积，再计算边长即可。
【解析】
设正方形的边长为$a$（$a＞0$），则单个正方形的面积为$a^2$。
因为$O_1$、$O_2$是正方形的中心，根据正方形的旋转不变性，每个阴影部分的面积均为正方形面积的$\frac{1}{4}$，因此两个阴影部分的面积和为：
$\frac{1}{4}a^2 + \frac{1}{4}a^2 = \frac{1}{2}a^2$
已知阴影部分面积之和为4，列方程得：
$\frac{1}{2}a^2 = 4$
解得$a^2=8$，所以$a=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。
【答案】
$2\sqrt{2}$
【知识点】
正方形的性质，旋转的不变性，面积计算
【点评】
本题属于基础几何应用题，核心是利用正方形的中心特征和旋转性质，将不规则的阴影面积转化为正方形面积的固定占比求解，省去了复杂的割补运算，掌握特殊图形的性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.6
11.如图,在梯形ABCD中,AB//CD,∠ADC + ∠BCD = 90°,分别以DA,AB,BC为边向梯形外作正方形,其面积分别是$S_1,S_2,S_3$,且$S_2 = S_1 + S_3$,已知$S_2=49$,则CD的长度为
14
.答案
11.14
解析
【分析】
首先根据正方形面积与边长的关系，由已知的正方形面积推出对应边的长度和三边的平方关系；接下来利用AB//CD的条件，通过作平行线平移BC，构造平行四边形和直角三角形，将∠ADC与∠BCD的和为90°的条件转化为直角三角形的内角关系，最后利用勾股定理求出CD被分成的两段长度，相加即可得到CD的总长。
【解析】
1. 由正方形面积等于边长的平方可得：$S_1=AD^2$，$S_2=AB^2$，$S_3=BC^2$。
已知$S_2=49$，则$AB^2=49$，得$AB=7$（边长为正数）。
又因为$S_2=S_1+S_3$，所以$AB^2=AD^2+BC^2=49$。
2. 过点A作$AE// BC$，交CD于点E。
因为$AB// CD$，$AE// BC$，所以四边形ABCE是平行四边形，因此$EC=AB=7$，$AE=BC$，且$∠ AED=∠ BCD$。
3. 已知$∠ ADC+∠ BCD=90°$，代入$∠ AED=∠ BCD$得：$∠ ADC+∠ AED=90°$，因此$△ ADE$中$∠ DAE=90°$，即$△ ADE$是直角三角形。
4. 根据勾股定理，$DE^2=AD^2+AE^2=AD^2+BC^2=49$，得$DE=7$（长度为正数）。
5. 因此$CD=DE+EC=7+7=14$。
【答案】
14
【知识点】
正方形的性质；平行四边形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，将特殊四边形性质与勾股定理结合考查，解题的核心是通过作辅助线构造平行四边形和直角三角形，把分散的边、角关系集中到同一个三角形中处理，对辅助线构造意识有一定要求。
【难度系数】
0.7
首先根据正方形面积与边长的关系，由已知的正方形面积推出对应边的长度和三边的平方关系；接下来利用AB//CD的条件，通过作平行线平移BC，构造平行四边形和直角三角形，将∠ADC与∠BCD的和为90°的条件转化为直角三角形的内角关系，最后利用勾股定理求出CD被分成的两段长度，相加即可得到CD的总长。
【解析】
1. 由正方形面积等于边长的平方可得：$S_1=AD^2$，$S_2=AB^2$，$S_3=BC^2$。
已知$S_2=49$，则$AB^2=49$，得$AB=7$（边长为正数）。
又因为$S_2=S_1+S_3$，所以$AB^2=AD^2+BC^2=49$。
2. 过点A作$AE// BC$，交CD于点E。
因为$AB// CD$，$AE// BC$，所以四边形ABCE是平行四边形，因此$EC=AB=7$，$AE=BC$，且$∠ AED=∠ BCD$。
3. 已知$∠ ADC+∠ BCD=90°$，代入$∠ AED=∠ BCD$得：$∠ ADC+∠ AED=90°$，因此$△ ADE$中$∠ DAE=90°$，即$△ ADE$是直角三角形。
4. 根据勾股定理，$DE^2=AD^2+AE^2=AD^2+BC^2=49$，得$DE=7$（长度为正数）。
5. 因此$CD=DE+EC=7+7=14$。
【答案】
14
【知识点】
正方形的性质；平行四边形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，将特殊四边形性质与勾股定理结合考查，解题的核心是通过作辅助线构造平行四边形和直角三角形，把分散的边、角关系集中到同一个三角形中处理，对辅助线构造意识有一定要求。
【难度系数】
0.7
