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一、选择题
1. 如图,在$□ ABCD$中,$AB=4,BC=6$,将线段AB水平向右平移$a$个单位长度得到线段EF,若四边形ECDF为菱形,则$a$的值为 (
A.1
B.2
C.3
D.4
1. 如图,在$□ ABCD$中,$AB=4,BC=6$,将线段AB水平向右平移$a$个单位长度得到线段EF,若四边形ECDF为菱形,则$a$的值为 (
B
)A.1
B.2
C.3
D.4
答案
1.B
解析
【分析】
解题时先回忆平行四边形、平移、菱形的相关性质：首先根据平行四边形的性质得到CD的长度与AB相等，且AB与CD平行；再由平移的性质可知EF与AB平行且相等，进而可推出EF与CD平行且相等，先判断出四边形ECDF是平行四边形；最后根据菱形“邻边相等”的性质，结合AD的长度列等式即可求出a的值。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=4，AD=BC=6，AB//CD。
∵线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段EF，
∴EF=AB=4，EF//AB，AE=a，
∴EF//CD，EF=CD，
∴四边形ECDF是平行四边形。
若四边形ECDF为菱形，则需邻边相等，即ED=CD=4。
又
∵ED=AD - AE=6 - a，
∴6 - a = 4，
解得a=2。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质；平移的性质；菱形的判定与性质
【点评】
本题属于基础几何题，将平移、平行四边形和菱形的知识点结合考查，解题的关键是先确定四边形ECDF为平行四边形，再利用菱形的边长特性建立方程求解，掌握基础几何图形的性质是解题的核心。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆平行四边形、平移、菱形的相关性质：首先根据平行四边形的性质得到CD的长度与AB相等，且AB与CD平行；再由平移的性质可知EF与AB平行且相等，进而可推出EF与CD平行且相等，先判断出四边形ECDF是平行四边形；最后根据菱形“邻边相等”的性质，结合AD的长度列等式即可求出a的值。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=4，AD=BC=6，AB//CD。
∵线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段EF，
∴EF=AB=4，EF//AB，AE=a，
∴EF//CD，EF=CD，
∴四边形ECDF是平行四边形。
若四边形ECDF为菱形，则需邻边相等，即ED=CD=4。
又
∵ED=AD - AE=6 - a，
∴6 - a = 4，
解得a=2。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质；平移的性质；菱形的判定与性质
【点评】
本题属于基础几何题，将平移、平行四边形和菱形的知识点结合考查，解题的关键是先确定四边形ECDF为平行四边形，再利用菱形的边长特性建立方程求解，掌握基础几何图形的性质是解题的核心。
【难度系数】
0.8
2.如图,菱形ABCD的边长为4,∠ABC=45°,点P,Q分别是BC,BD上的动点,则CQ+PQ的最小值为（
A.$\sqrt{2}$
B.2
C.3
D.$2\sqrt{2}$
D
）A.$\sqrt{2}$
B.2
C.3
D.$2\sqrt{2}$
答案
2.D
解析
【分析】
本题是求两条动线段和的最小值，可按以下思路思考：①首先回忆最短路径问题的常见模型，这类问题通常用轴对称转化线段，属于“将军饮马”模型的应用；②结合菱形的性质，菱形的对角线BD是∠ABC的平分线，同时垂直平分对角线AC，因此点C关于BD的对称点是点A，由此可得CQ=AQ，那么CQ+PQ就可以转化为AQ+PQ；③根据“两点之间线段最短”和“垂线段最短”，当A、Q、P三点共线且AP垂直于BC时，AQ+PQ的长度最小，最小值就是点A到BC的垂线段长度，最后结合已知边长和角度计算该垂线段长度即可。
【解析】
解：过点A作AP⊥BC于点P，AP交BD于点Q，此时CQ+PQ取得最小值。
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD垂直平分AC，即点A与点C关于BD对称，
∴CQ=AQ，
∴CQ+PQ = AQ + PQ = AP（此时A、Q、P共线，且AP⊥BC，根据垂线段最短，AP为最小值）。
在Rt△ABP中，∠ABC=45°，∠APB=90°，
∴△ABP是等腰直角三角形，AP=BP。
由勾股定理得：$AP^2 + BP^2 = AB^2$，
已知AB=4，代入得$2AP^2 = 16$，
解得$AP=2\sqrt{2}$（长度为正，舍去负根），
即CQ+PQ的最小值为$2\sqrt{2}$。
【答案】
D
【知识点】
菱形的性质；最短路径问题；勾股定理的应用
【点评】
本题的核心是利用菱形的对称性将两条动线段的和转化为定点到定直线的垂线段长度，解题的关键是准确找到对称点，结合垂线段最短确定最小值的位置，这类最短路径问题是几何动点类的常见题型，需要熟练掌握转化思路。
【难度系数】
0.6
本题是求两条动线段和的最小值，可按以下思路思考：①首先回忆最短路径问题的常见模型，这类问题通常用轴对称转化线段，属于“将军饮马”模型的应用；②结合菱形的性质，菱形的对角线BD是∠ABC的平分线，同时垂直平分对角线AC，因此点C关于BD的对称点是点A，由此可得CQ=AQ，那么CQ+PQ就可以转化为AQ+PQ；③根据“两点之间线段最短”和“垂线段最短”，当A、Q、P三点共线且AP垂直于BC时，AQ+PQ的长度最小，最小值就是点A到BC的垂线段长度，最后结合已知边长和角度计算该垂线段长度即可。
【解析】
解：过点A作AP⊥BC于点P，AP交BD于点Q，此时CQ+PQ取得最小值。
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD垂直平分AC，即点A与点C关于BD对称，
∴CQ=AQ，
∴CQ+PQ = AQ + PQ = AP（此时A、Q、P共线，且AP⊥BC，根据垂线段最短，AP为最小值）。
在Rt△ABP中，∠ABC=45°，∠APB=90°，
∴△ABP是等腰直角三角形，AP=BP。
由勾股定理得：$AP^2 + BP^2 = AB^2$，
已知AB=4，代入得$2AP^2 = 16$，
解得$AP=2\sqrt{2}$（长度为正，舍去负根），
即CQ+PQ的最小值为$2\sqrt{2}$。
【答案】
D
【知识点】
菱形的性质；最短路径问题；勾股定理的应用
【点评】
本题的核心是利用菱形的对称性将两条动线段的和转化为定点到定直线的垂线段长度，解题的关键是准确找到对称点，结合垂线段最短确定最小值的位置，这类最短路径问题是几何动点类的常见题型，需要熟练掌握转化思路。
【难度系数】
0.6
3.如图,四边形ABCD为正方形,△ADE为等边三角形,EF⊥AB于点F.若AD=4,则EF=（
A.4
B.3
C.$\frac{10}{3}$
D.2
D
）A.4
B.3
C.$\frac{10}{3}$
D.2
答案
3.D
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，根据正方形和等边三角形边长相等的性质，得到AE的长度等于AD的长度；第二步，结合正方形内角为90°、等边三角形内角为60°，计算出∠EAF的度数为30°；第三步，利用直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，即可算出EF的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，AD=4，
∴AD=AB=4，∠DAB=90°，
∵△ADE是等边三角形，
∴AE=AD=4，∠DAE=60°，
∴∠EAF=∠DAB - ∠DAE = 90° - 60° = 30°，
又
∵EF⊥AB，
∴△AEF是直角三角形，且∠AFE=90°，
在Rt△AEF中，∠EAF=30°，斜边AE=4，
∴EF = ½AE = ½×4 = 2，
故选D。
【答案】
D
【知识点】
正方形的性质，等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是结合特殊图形的性质找到直角三角形的边长和角度关系，解题时注意不要混淆特殊图形的内角和边长特征即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为三步：第一步，根据正方形和等边三角形边长相等的性质，得到AE的长度等于AD的长度；第二步，结合正方形内角为90°、等边三角形内角为60°，计算出∠EAF的度数为30°；第三步，利用直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，即可算出EF的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，AD=4，
∴AD=AB=4，∠DAB=90°，
∵△ADE是等边三角形，
∴AE=AD=4，∠DAE=60°，
∴∠EAF=∠DAB - ∠DAE = 90° - 60° = 30°，
又
∵EF⊥AB，
∴△AEF是直角三角形，且∠AFE=90°，
在Rt△AEF中，∠EAF=30°，斜边AE=4，
∴EF = ½AE = ½×4 = 2，
故选D。
【答案】
D
【知识点】
正方形的性质，等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是结合特殊图形的性质找到直角三角形的边长和角度关系，解题时注意不要混淆特殊图形的内角和边长特征即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
4. 如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，过点O作OE⊥OF，分别交AB，BC于点E，F，若AE=4，CF=3，则EF的长为（
A.3
B.4
C.5
D.6
C
）A.3
B.4
C.5
D.6
答案
4.C
解析
【分析】
解题时先结合正方形的性质分析已知条件：正方形的对角线互相垂直平分且相等，同时平分内角，因此可得OA=OB，∠OAE=∠OBF=45°，∠AOB=90°。再结合OE⊥OF的条件，利用同角的余角相等可推出∠AOE=∠BOF，即可证明△AOE和△BOF全等，得到AE=BF，同理可证BE=CF，最后在直角三角形BEF中用勾股定理即可求出EF的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OB，∠OAE=∠OBF=45°，∠AOB=90°，
∵OE⊥OF，
∴∠EOF=90°，
∴∠AOE + ∠EOB = 90°，∠BOF + ∠EOB = 90°，
∴∠AOE = ∠BOF，
在△AOE和△BOF中：
$\{\begin{array}{l}∠ OAE=∠ OBF\\ OA=OB\\ ∠ AOE=∠ BOF\end{array} $
∴△AOE≌△BOF（ASA），
∴BF=AE=4，
同理可证△BOE≌△COF，得BE=CF=3，
在Rt△BEF中，由勾股定理得：
$EF=\sqrt{BE^2+BF^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$
故选：C
【答案】
C
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题核心是通过正方形的性质找到全等三角形的判定条件，利用全等转化线段长度，再结合勾股定理求解未知线段，是几何部分的典型常考题。
【难度系数】
0.7
解题时先结合正方形的性质分析已知条件：正方形的对角线互相垂直平分且相等，同时平分内角，因此可得OA=OB，∠OAE=∠OBF=45°，∠AOB=90°。再结合OE⊥OF的条件，利用同角的余角相等可推出∠AOE=∠BOF，即可证明△AOE和△BOF全等，得到AE=BF，同理可证BE=CF，最后在直角三角形BEF中用勾股定理即可求出EF的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OB，∠OAE=∠OBF=45°，∠AOB=90°，
∵OE⊥OF，
∴∠EOF=90°，
∴∠AOE + ∠EOB = 90°，∠BOF + ∠EOB = 90°，
∴∠AOE = ∠BOF，
在△AOE和△BOF中：
$\{\begin{array}{l}∠ OAE=∠ OBF\\ OA=OB\\ ∠ AOE=∠ BOF\end{array} $
∴△AOE≌△BOF（ASA），
∴BF=AE=4，
同理可证△BOE≌△COF，得BE=CF=3，
在Rt△BEF中，由勾股定理得：
$EF=\sqrt{BE^2+BF^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$
故选：C
【答案】
C
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题核心是通过正方形的性质找到全等三角形的判定条件，利用全等转化线段长度，再结合勾股定理求解未知线段，是几何部分的典型常考题。
【难度系数】
0.7
5.如图,两张等宽的纸条交叉重叠在一起,重叠的部分为四边形ABCD,若测得点A,C之间的距离为12 cm,点B,D之间的距离为16 cm,则线段AB的长为 (
A.9.6 cm
B.10 cm
C.20 cm
D.12 cm
B
)A.9.6 cm
B.10 cm
C.20 cm
D.12 cm
答案
5.B
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，先根据纸条对边互相平行的特点，判定重叠部分四边形ABCD是平行四边形；第二步，结合两张纸条宽度相等，利用平行四边形面积的两种计算方法，推出平行四边形的邻边相等，进而判定四边形ABCD是菱形；第三步，根据菱形对角线互相垂直平分的性质，将对角线长度折半后，放在直角三角形中用勾股定理计算AB的长度即可。
【解析】
解：过点A作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F。
∵两张纸条的对边互相平行，
∴AB//CD，AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形。
∵两张纸条等宽，
∴AE=AF。
平行四边形ABCD的面积 = BC·AE = CD·AF，
代入AE=AF可得BC=CD，
∴平行四边形ABCD是菱形。
∵菱形的对角线互相垂直平分，设AC、BD交于点O，
∴AO = $\frac{1}{2}$AC = $\frac{1}{2}$×12 = 6 cm，
BO = $\frac{1}{2}$BD = $\frac{1}{2}$×16 = 8 cm，且∠AOB=90°。
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
AB = $\sqrt{AO^2 + BO^2}$ = $\sqrt{6^2 + 8^2}$ = $\sqrt{100}$ = 10 cm。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的判定；菱形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是几何基础应用题，解题的核心是先结合等宽纸条的特征判定重叠部分为菱形，再利用菱形的性质和勾股定理计算边长，这类题型是特殊四边形性质应用的常见考法。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：第一步，先根据纸条对边互相平行的特点，判定重叠部分四边形ABCD是平行四边形；第二步，结合两张纸条宽度相等，利用平行四边形面积的两种计算方法，推出平行四边形的邻边相等，进而判定四边形ABCD是菱形；第三步，根据菱形对角线互相垂直平分的性质，将对角线长度折半后，放在直角三角形中用勾股定理计算AB的长度即可。
【解析】
解：过点A作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F。
∵两张纸条的对边互相平行，
∴AB//CD，AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形。
∵两张纸条等宽，
∴AE=AF。
平行四边形ABCD的面积 = BC·AE = CD·AF，
代入AE=AF可得BC=CD，
∴平行四边形ABCD是菱形。
∵菱形的对角线互相垂直平分，设AC、BD交于点O，
∴AO = $\frac{1}{2}$AC = $\frac{1}{2}$×12 = 6 cm，
BO = $\frac{1}{2}$BD = $\frac{1}{2}$×16 = 8 cm，且∠AOB=90°。
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
AB = $\sqrt{AO^2 + BO^2}$ = $\sqrt{6^2 + 8^2}$ = $\sqrt{100}$ = 10 cm。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的判定；菱形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是几何基础应用题，解题的核心是先结合等宽纸条的特征判定重叠部分为菱形，再利用菱形的性质和勾股定理计算边长，这类题型是特殊四边形性质应用的常见考法。
【难度系数】
0.7
6. 在梯形ABCD中，AD//BC，AD=1，BC=3，AB=1.5，则CD的长可能是（
A.0.5
B.2
C.4
D.6
B
）A.0.5
B.2
C.4
D.6
答案
6.B
解析
【分析】
要求CD的取值范围，我们可以通过平移梯形的腰，将梯形问题转化为熟悉的平行四边形和三角形问题，利用三角形三边关系求解。具体思路是：过点D作AB的平行线交BC于点E，先证四边形ABED是平行四边形，得到相关边的长度，再在△DEC中用三边关系求出CD的范围，最后匹配选项即可。
【解析】
过点D作DE//AB，交BC于点E。
∵AD//BC，DE//AB，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴DE=AB=1.5，BE=AD=1，
∴EC=BC - BE=3 - 1=2。
在△DEC中，根据三角形三边关系：两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，可得：
EC - DE ＜ CD ＜ EC + DE，
代入数值计算得：2 - 1.5 ＜ CD ＜ 2 + 1.5，
即0.5 ＜ CD ＜ 3.5。
观察选项，只有2在该范围内，故答案选B。
【答案】
B
【知识点】
梯形的性质；平行四边形的判定与性质；三角形三边关系
【点评】
本题考查梯形问题的常用辅助线做法，平移腰可将分散的边集中到同一个三角形中，把梯形问题转化为平行四边形和三角形的问题求解，是梯形基础题型的典型考法，要熟练掌握这类辅助线的使用场景。
【难度系数】
0.7
要求CD的取值范围，我们可以通过平移梯形的腰，将梯形问题转化为熟悉的平行四边形和三角形问题，利用三角形三边关系求解。具体思路是：过点D作AB的平行线交BC于点E，先证四边形ABED是平行四边形，得到相关边的长度，再在△DEC中用三边关系求出CD的范围，最后匹配选项即可。
【解析】
过点D作DE//AB，交BC于点E。
∵AD//BC，DE//AB，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴DE=AB=1.5，BE=AD=1，
∴EC=BC - BE=3 - 1=2。
在△DEC中，根据三角形三边关系：两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，可得：
EC - DE ＜ CD ＜ EC + DE，
代入数值计算得：2 - 1.5 ＜ CD ＜ 2 + 1.5，
即0.5 ＜ CD ＜ 3.5。
观察选项，只有2在该范围内，故答案选B。
【答案】
B
【知识点】
梯形的性质；平行四边形的判定与性质；三角形三边关系
【点评】
本题考查梯形问题的常用辅助线做法，平移腰可将分散的边集中到同一个三角形中，把梯形问题转化为平行四边形和三角形的问题求解，是梯形基础题型的典型考法，要熟练掌握这类辅助线的使用场景。
【难度系数】
0.7
