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18. 我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫作中点四边形，如图所示，在四边形ABCD中，E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点，依次连接各边中点得到中点四边形EFGH.
(1)这个中点四边形EFGH的形状是
(2)请证明你的结论.
(1)这个中点四边形EFGH的形状是
平行四边形
；(2)请证明你的结论.
答案
18.(1)平行四边形
(2)证明:连接$AC$,因为$E$是$AB$的中点,$F$是$BC$的中点,所以$EF // AC$,$EF = \dfrac{1}{2}AC$. 同理$HG // AC$,$HG = \dfrac{1}{2}AC$. 所以$EF // HG$,$EF = HG$,所以四边形$EFGH$是平行四边形.
(2)证明:连接$AC$,因为$E$是$AB$的中点,$F$是$BC$的中点,所以$EF // AC$,$EF = \dfrac{1}{2}AC$. 同理$HG // AC$,$HG = \dfrac{1}{2}AC$. 所以$EF // HG$,$EF = HG$,所以四边形$EFGH$是平行四边形.
解析
【分析】
要判断中点四边形EFGH的形状，我们可以作辅助线连接四边形的对角线AC，将原四边形拆分为两个三角形，结合E、F、G、H都是各边中点的条件，利用三角形中位线定理，分别推导EF和HG与AC的位置关系、数量关系，进而得到EF和HG的关系，再根据平行四边形的判定定理即可得出结论。
【解析】
(1) 结合中点四边形的性质可直接判断形状为平行四边形；
(2) 证明：连接$AC$，
∵ $E$是$AB$的中点，$F$是$BC$的中点，
∴ $EF$是$△ ABC$的中位线，
∴ $EF // AC$，$EF = \dfrac{1}{2}AC$。
同理可得，$HG$是$△ ADC$的中位线，
∴ $HG // AC$，$HG = \dfrac{1}{2}AC$。
由此可得$EF // HG$，$EF = HG$，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可判定四边形$EFGH$是平行四边形。
【答案】
(1) 平行四边形
(2) 证明：连接$AC$，因为$E$是$AB$的中点，$F$是$BC$的中点，所以$EF // AC$，$EF = \dfrac{1}{2}AC$。 同理$HG // AC$，$HG = \dfrac{1}{2}AC$。 所以$EF // HG$，$EF = HG$，所以四边形$EFGH$是平行四边形。
【知识点】
1. 三角形中位线定理
2. 平行四边形的判定
【点评】
本题是中点四边形的基础考查题，解题的核心是通过连接对角线构造三角形，利用三角形中位线定理得到对边平行且相等的关系，进而判定四边形的形状，熟练掌握相关定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要判断中点四边形EFGH的形状，我们可以作辅助线连接四边形的对角线AC，将原四边形拆分为两个三角形，结合E、F、G、H都是各边中点的条件，利用三角形中位线定理，分别推导EF和HG与AC的位置关系、数量关系，进而得到EF和HG的关系，再根据平行四边形的判定定理即可得出结论。
【解析】
(1) 结合中点四边形的性质可直接判断形状为平行四边形；
(2) 证明：连接$AC$，
∵ $E$是$AB$的中点，$F$是$BC$的中点，
∴ $EF$是$△ ABC$的中位线，
∴ $EF // AC$，$EF = \dfrac{1}{2}AC$。
同理可得，$HG$是$△ ADC$的中位线，
∴ $HG // AC$，$HG = \dfrac{1}{2}AC$。
由此可得$EF // HG$，$EF = HG$，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可判定四边形$EFGH$是平行四边形。
【答案】
(1) 平行四边形
(2) 证明：连接$AC$，因为$E$是$AB$的中点，$F$是$BC$的中点，所以$EF // AC$，$EF = \dfrac{1}{2}AC$。 同理$HG // AC$，$HG = \dfrac{1}{2}AC$。 所以$EF // HG$，$EF = HG$，所以四边形$EFGH$是平行四边形。
【知识点】
1. 三角形中位线定理
2. 平行四边形的判定
【点评】
本题是中点四边形的基础考查题，解题的核心是通过连接对角线构造三角形，利用三角形中位线定理得到对边平行且相等的关系，进而判定四边形的形状，熟练掌握相关定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8
19. 直角坐标系中有两条直线：$y = \frac{3}{5}x + \frac{9}{5}$，$y = -\frac{3}{2}x + 6$，它们的交点为$P$，第一条直线交$x$轴于点$A$，第二条直线交$x$轴于点$B$。
(1) 求$A$，$B$两点的坐标；
(2) 用图象法解方程组$\begin{cases}5y - 3x = 9, \\3x + 2y = 12;\end{cases}$
(3) 求$△ PAB$的面积。
(1) 求$A$，$B$两点的坐标；
(2) 用图象法解方程组$\begin{cases}5y - 3x = 9, \\3x + 2y = 12;\end{cases}$
(3) 求$△ PAB$的面积。
答案
19. 解:(1)令$\dfrac{3}{5}x + \dfrac{9}{5} = 0$,解得$x = -3$,所以点$A$的坐标为$(-3,0)$;令$-\dfrac{3}{2}x + 6 = 0$,解得$x = 4$,所以点$B$的坐标为$(4,0)$.
(2)图略,方程组的解是$\begin{cases} x = 2, \\y = 3. \end{cases}$
(3)$AB = 4 - (-3) = 4 + 3 = 7$,则$△ PAB$的面积为$\dfrac{1}{2} × 7 × 3 = \dfrac{21}{2}$.
(2)图略,方程组的解是$\begin{cases} x = 2, \\y = 3. \end{cases}$
(3)$AB = 4 - (-3) = 4 + 3 = 7$,则$△ PAB$的面积为$\dfrac{1}{2} × 7 × 3 = \dfrac{21}{2}$.
解析
【分析】
(1) 求直线与x轴交点坐标的核心是：x轴上所有点的纵坐标都为0，因此分别令两条直线解析式中的y=0，解出对应的x值，即可得到A、B两点的坐标。
(2) 二元一次方程组的解与对应的两个一次函数图象的交点坐标一一对应，两个一次函数图象交点的横坐标就是方程组的x解，纵坐标就是y解，因此联立两条直线解析式求出交点坐标，就是方程组的解，图象法即通过绘制两条直线、读取交点坐标得到解。
(3) 求△PAB的面积时，A、B都在x轴上，因此AB边的长度为两点横坐标差的绝对值，AB边上的高就是交点P的纵坐标的绝对值，代入三角形面积公式即可算出结果。
【解析】
(1) 对于直线$y = \frac{3}{5}x + \frac{9}{5}$，令$y=0$，得：
$\frac{3}{5}x + \frac{9}{5} = 0$，解得$x=-3$，故点A的坐标为$(-3,0)$；
对于直线$y = -\frac{3}{2}x + 6$，令$y=0$，得：
$-\frac{3}{2}x + 6 = 0$，解得$x=4$，故点B的坐标为$(4,0)$。
(2) 方程组$\begin{cases}5y - 3x = 9, \\3x + 2y = 12;\end{cases}$可变形为$\begin{cases}y = \frac{3}{5}x + \frac{9}{5}, \\ y = -\frac{3}{2}x + 6;\end{cases}$，对应题目给出的两条直线，方程组的解就是两条直线交点P的坐标。
联立两个解析式得$\begin{cases}y = \frac{3}{5}x + \frac{9}{5} \\ y = -\frac{3}{2}x + 6 \end{cases}$，消去y得$\frac{3}{5}x + \frac{9}{5} = -\frac{3}{2}x + 6$，去分母移项合并后解得$x=2$，代入解析式得$y=3$，因此方程组的解为$\begin{cases} x=2 \\ y=3 \end{cases}$（图象略）。
(3) 由A$(-3,0)$、B$(4,0)$可得$AB = 4 - (-3) = 7$，交点P的坐标为$(2,3)$，即AB边上的高为3，根据三角形面积公式：
$S_{△ PAB} = \frac{1}{2} × AB × 高 = \frac{1}{2} ×7 ×3 = \frac{21}{2}$。
【答案】
(1) $A(-3,0)$，$B(4,0)$；
(2) $\begin{cases} x=2 \\ y=3 \end{cases}$；
(3) $\frac{21}{2}$
【知识点】
一次函数与坐标轴交点求法、一次函数与二元一次方程组的关系、三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数基础综合题，将函数、方程、几何计算结合考查，解题关键是理解一次函数与二元一次方程组的对应关系，掌握坐标轴上点的坐标特征。
【难度系数】
0.7
(1) 求直线与x轴交点坐标的核心是：x轴上所有点的纵坐标都为0，因此分别令两条直线解析式中的y=0，解出对应的x值，即可得到A、B两点的坐标。
(2) 二元一次方程组的解与对应的两个一次函数图象的交点坐标一一对应，两个一次函数图象交点的横坐标就是方程组的x解，纵坐标就是y解，因此联立两条直线解析式求出交点坐标，就是方程组的解，图象法即通过绘制两条直线、读取交点坐标得到解。
(3) 求△PAB的面积时，A、B都在x轴上，因此AB边的长度为两点横坐标差的绝对值，AB边上的高就是交点P的纵坐标的绝对值，代入三角形面积公式即可算出结果。
【解析】
(1) 对于直线$y = \frac{3}{5}x + \frac{9}{5}$，令$y=0$，得：
$\frac{3}{5}x + \frac{9}{5} = 0$，解得$x=-3$，故点A的坐标为$(-3,0)$；
对于直线$y = -\frac{3}{2}x + 6$，令$y=0$，得：
$-\frac{3}{2}x + 6 = 0$，解得$x=4$，故点B的坐标为$(4,0)$。
(2) 方程组$\begin{cases}5y - 3x = 9, \\3x + 2y = 12;\end{cases}$可变形为$\begin{cases}y = \frac{3}{5}x + \frac{9}{5}, \\ y = -\frac{3}{2}x + 6;\end{cases}$，对应题目给出的两条直线，方程组的解就是两条直线交点P的坐标。
联立两个解析式得$\begin{cases}y = \frac{3}{5}x + \frac{9}{5} \\ y = -\frac{3}{2}x + 6 \end{cases}$，消去y得$\frac{3}{5}x + \frac{9}{5} = -\frac{3}{2}x + 6$，去分母移项合并后解得$x=2$，代入解析式得$y=3$，因此方程组的解为$\begin{cases} x=2 \\ y=3 \end{cases}$（图象略）。
(3) 由A$(-3,0)$、B$(4,0)$可得$AB = 4 - (-3) = 7$，交点P的坐标为$(2,3)$，即AB边上的高为3，根据三角形面积公式：
$S_{△ PAB} = \frac{1}{2} × AB × 高 = \frac{1}{2} ×7 ×3 = \frac{21}{2}$。
【答案】
(1) $A(-3,0)$，$B(4,0)$；
(2) $\begin{cases} x=2 \\ y=3 \end{cases}$；
(3) $\frac{21}{2}$
【知识点】
一次函数与坐标轴交点求法、一次函数与二元一次方程组的关系、三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数基础综合题，将函数、方程、几何计算结合考查，解题关键是理解一次函数与二元一次方程组的对应关系，掌握坐标轴上点的坐标特征。
【难度系数】
0.7
